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확률의 고전적 정의

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목차

1. 개요

확률의 고전적 정의는 동일한 가능성을 가진 사건들 중에서 특정 사건이 일어날 확률을 계산하는 방법으로, 19세기 피에르시몽 라플라스에 의해 정립되었다. 이 정의는 모든 경우의 수에 대한 기대하는 경우의 수의 비율로 확률을 정의하며, 동전, 카드, 주사위와 같은 물리적 대칭성에 기초한다. 그러나 순환 논리, 제한된 적용 범위, 무차별 원칙의 정당화 문제 등의 비판을 받으며, 빈도주의 확률과 베이즈 확률과 같은 다른 확률 해석이 등장하게 되었다.

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확률의 고전적 정의
확률의 고전적 정의
Classical definition of probability
確率の古典的な定義
개요
정의어떤 사건의 확률은, 발생 가능성이 동등한 모든 경우의 수에 대한, 그 사건이 일어나는 경우의 수의 비율이다.
설명확률의 고전적 정의는 모든 결과가 동일하게 발생할 가능성이 있다고 가정한다. 이는 간단한 시나리오를 분석하는 데 유용하지만, 많은 실제 상황에서는 이 가정이 유지되지 않기 때문에 제한적이다.
예를 들어, 공정한 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률은 1/2이다. 이는 앞면과 뒷면이 나올 가능성이 동일하고, 전체 경우의 수는 2가지이며, 앞면이 나오는 경우는 1가지이기 때문이다.
라플라스의 정의사건의 확률은, 동일하게 가능한 모든 경우의 수에 대한, 그 사건이 일어나는 경우의 수의 비율이다.
한계
적용 가능성모든 결과가 동일하게 발생할 가능성이 있는 경우에만 적용 가능하다. 이 가정이 충족되지 않는 경우에는 다른 확률 정의를 사용해야 한다.
순환 논리정의 자체가 '가능성'이라는 확률 개념을 포함하고 있어 순환 논리라는 비판이 있다.
대안적인 정의
상대 빈도 정의반복적인 시행에서 사건이 발생하는 빈도를 기반으로 확률을 정의한다.
주관적 확률개인의 믿음이나 판단에 기반한 확률이다.

2. 역사

수학에서 확률론은 기하학이 고대 그리스에서부터 발전한 것과 비교하면 비교적 최근에 등장한 분야이다. 그럼에도 불구하고, 인류가 선사 시대부터 주사위 놀이를 해왔다는 증거는 전 세계 여러 문화권에서 발견된다.[3] 확률 개념을 처음으로 기록한 학자 중 한 명은 제롤라모 카르다노로, 그는 고전적 확률을 게임, 도박을 통해 체계적으로 정리했다.[4]

확률의 지속적인 발전은 1654년 블레즈 파스칼이 아버지의 친구인 피에르 드 페르마와 주고받은 서신에서 시작되었다.[16] 이 서신은 그 해 초 파스칼이 여행 중 동행했던 프랑스 귀족[17] 슈발리에 드 메레가 제기한 두 가지 문제에 대한 것이었다. 메레는 주사위 도박에서 예상과 달리 큰 손실을 본 이유를 파스칼에게 질문했다.

첫 번째 문제는 "" 또는 "분배 문제"[18][19]로 알려진 것으로, 도박이 중단되었을 때 플레이어에게 상금을 "공정하게" 분배하는 비율에 대한 문제였다.[20] 이 문제는 당시 이미 고전적인 문제로, 1494년 루카 파치올리가 다루었고,[5] 1400년에는 익명의 원고에서도 다루어졌다.[5]

두 번째 문제는 던지는 주사위를 1개에서 2개로 늘렸을 때 같은 숫자가 나올 확률에 관한 것이었다("드 메레의 두 개의 주사위").[21][22] 메레는 이 문제를 통해 수학적 이론을 현실 문제에 적용하는 것의 위험성을 언급했다.[5][6]

파스칼은 수학이 완벽하지만 현실과의 연관성이 부족하다는 메레의 생각에 동의하지 않고, 순수 수학 내에서 이 두 가지 문제를 해결하여 메레가 틀렸음을 증명하고자 했다. 파스칼은 저명한 수학자인 페르마도 같은 결론에 도달했음을 확인하고, 두 사람이 문제를 최종적으로 해결했다고 확신했다. 이들의 서신은 호이겐스, 로베르발 등 다른 수학자들에게도 전달되었고, 이는 수학자들이 승패가 운으로 결정되는 게임에 대한 연구를 시작하는 계기가 되었다. 이 서신에서는 "확률"이라는 용어 대신 "최적의 배당"이라는 개념이 사용되었다.[7]

반 세기 후, 야코프 베르누이는 순열과 조합 이론을 바탕으로 확률에 대한 세련된 견해를 제시했다. 그는 고전적인 예시를 넘어 개인적, 사법적, 재정적 결정 등 다양한 분야에서 확률 개념을 적용했으며, 시행 횟수가 증가함에 따라 불확실성이 줄어들고 확률을 추정할 수 있음을 보여주었다.[1][8]

디드로와 달랑베르의 백과전서 1765년판에는 그 당시까지의 확률에 대한 지식과 긴 논의가 포함되어 있었다. "자연 그 자체의 고찰에서 유도된" 확률(물리적)과 "과거의 경험에만 근거하며, 미래를 향해 자신 있게 결론을 도출할 수 있는" 확률(증거)이 구분되었다.[9]

확률에 대한 명확하고 보편적인 정의는 라플라스에 의해 제시되었다. 1814년, 라플라스는 다음과 같이 말했다.

이 설명은 궁극적으로 확률의 고전적 정의를 제공하는 것이었다. 라플라스는 반 세기에 걸쳐 확률에 대한 저서(기술 서적 및 일반 서적)의 여러 판을 출판했다. 그의 전임자(카르다노, 베르누이, 베이즈)는 대부분 사후에 단일 문서로 출판되었다.

2. 1. 초기 발전

수학에서 확률론은 기하학과 같이 고대 그리스에서부터 발전한 학문과는 다르게 비교적 최근에 등장한 분야이다. 그럼에도 불구하고, 인류는 선사 시대부터 주사위 놀이를 해온 증거가 여러 문화권에서 발견된다.[14] 확률 개념을 처음으로 기록한 학자 중 한 명은 제롤라모 카르다노로, 그는 도박을 통해 고전적 확률을 체계적으로 정리했다.[15]

확률의 본격적인 발전은 1654년 블레즈 파스칼이 아버지의 친구인 피에르 드 페르마와 주고받은 서신에서 시작되었다.[16] 이 서신은 파스칼이 그 해 초 프랑스 귀족[17] 슈발리에 드 메레와 동행하던 중, 드 메레가 주사위 도박에서 예상과 달리 큰 손실을 본 이유에 대해 질문하면서 시작되었다.

이들이 다룬 문제 중 하나는 "" 또는 "분배 문제"[18][19]로, 도박이 중단되었을 때 플레이어에게 상금을 "공정하게" 배분하는 비율에 대한 것이었다.[20] 이 문제는 당시 이미 고전적인 문제로, 1494년 루카 파치올리가 다루었고,[23] 1400년에는 익명의 원고에서 다루어지기도 했다. 또 다른 문제는 던지는 주사위를 1개에서 2개로 늘렸을 때 같은 숫자가 나올 확률에 대한 "드 메레의 두 개의 주사위"[21][22] 문제였다. 드 메레는 이 문제를 통해 수학적 이론을 현실에 적용하는 것의 위험성을 언급했다.[23][24] 이들은 여행 중 다양한 수학적, 철학적 문제에 대해 토론하며 드 메레는 깊은 생각에 잠기게 되었다.

파스칼은 수학이 완벽하지만 현실과의 연관성이 부족하다는 드 메레의 생각에 동의하지 않았고, 순수 수학으로 이 문제들을 해결하여 그의 생각이 틀렸음을 증명하고자 했다. 파스칼은 저명한 수학자였던 페르마도 같은 결론에 도달했다는 것을 알고, 두 사람이 문제를 최종적으로 해결했다고 확신했다. 이들의 서신은 호이겐스, 로베르발 등 다른 수학자들에게도 전해졌고, 이는 수학자들이 운에 의해 결정되는 게임의 문제들을 연구하기 시작했음을 보여준다. 이 서신에서는 "확률"이라는 용어 대신 "최적의 배당"을 다루었다.[25]

반세기 후, 야코프 베르누이는 순열과 조합을 이용한 이론을 구축하여 확률에 대한 세련된 견해를 제시했다. 그는 고전적인 예시를 넘어선 범위(개별적인 예, 사법, 재정적 결정 등)에서 확률의 개념을 발전시켰고, 시행 횟수가 증가함에 따라 불확실성이 줄어들고 확률을 추정할 수 있음을 보여주었다.[25][26]

디드로와 달랑베르의 『백과전서』(1765년)에는 그 당시까지의 확률에 대한 지식과 긴 논의가 포함되어 있다. 여기서는 "자연 자체의 고찰에서 유도된" 확률(물리적)과 "과거의 경험에만 근거하며, 미래를 향해 자신 있게 결론을 도출할 수 있는" 확률(증거)을 구분했다.[27]

확률에 대한 명확하고 보편적인 정의는 라플라스에 의해 제시되었다. 1814년, 그는 다음과 같이 말했다.

이 설명은 최종적으로 확률의 고전적 정의가 된다. 라플라스는 반세기에 걸쳐 확률에 대한 여러 판의 저서를 출판했다. 그의 전임자들(카르다노, 베르누이, 베이즈)은 대부분 사후에 단일 문서로 기술이 공개되었다.

2. 2. 확률 개념의 정립

수학에서의 확률론은 기하학이 고대 그리스에서부터 발전한 것과 비교하면 비교적 최근에 등장한 분야이다. 그럼에도 불구하고, 인류가 선사 시대부터 주사위 놀이를 해왔다는 증거는 전 세계 여러 문화권에서 발견된다.[14] 확률 개념을 처음으로 기록한 학자 중 한 명은 제롤라모 카르다노로, 그는 게임과 도박을 통해 고전적 확률을 체계적으로 정리했다.[15]

확률의 지속적인 발전은 1654년 블레즈 파스칼이 아버지의 친구인 피에르 드 페르마와 주고받은 서신에서 시작되었다.[16] 이 서신은 그 해 초 파스칼이 여행 중 동행했던 프랑스 귀족[17] 슈발리에 드 메레가 제기한 두 가지 문제에 대한 것이었다. 메레는 주사위 도박에서 예상과 달리 큰 손실을 본 이유를 파스칼에게 질문했다.

첫 번째 문제는 "" 또는 "분배 문제"[18][19]로 알려진 것으로, 도박이 중단되었을 때 플레이어에게 상금을 "공정하게" 배분하는 비율에 대한 문제였다.[20] 이 문제는 당시 이미 고전적인 문제로, 1494년 루카 파치올리가 다루었고,[23] 1400년에는 익명의 원고에서도 다루어졌다.

두 번째 문제는 던지는 주사위를 1개에서 2개로 늘렸을 때 같은 숫자가 나올 확률에 관한 것이었다("드 메레의 두 개의 주사위").[21][22] 메레는 이 문제를 통해 수학적 이론을 현실 문제에 적용하는 것의 위험성을 언급했다.[23][24] 파스칼은 메레의 생각에 동의하지 않고, 순수 수학 내에서 이 두 가지 문제를 해결하여 메레가 틀렸음을 증명하고자 했다.

파스칼은 저명한 수학자인 페르마도 같은 결론에 도달했음을 확인하고, 두 사람이 문제를 최종적으로 해결했다고 확신했다. 이들의 서신은 호이겐스, 로베르발 등 다른 수학자들에게도 전달되었고, 이는 수학자들이 승패가 운으로 결정되는 게임에 대한 연구를 시작하는 계기가 되었다. 이 서신에서는 "확률"이라는 용어 대신 "최적의 배당"이라는 개념이 사용되었다.[25]

반 세기 후, 야코프 베르누이는 순열과 조합 이론을 바탕으로 확률에 대한 세련된 견해를 제시했다. 그는 고전적인 예시를 넘어 개인적, 사법적, 재정적 결정 등 다양한 분야에서 확률 개념을 적용했으며, 시행 횟수가 증가함에 따라 불확실성이 줄어들고 확률을 추정할 수 있음을 보여주었다.[25][26]

디드로와 달랑베르의 『백과전서』(1765년)에는 당시까지의 확률에 대한 지식과 논의가 상세히 담겨 있다. 여기서는 "자연 자체의 고찰에서 유도된" 확률(물리적)과 "과거의 경험에만 근거하며, 미래를 향해 자신 있게 결론을 도출할 수 있는" 확률(증거)을 구분했다.[27]

확률에 대한 명확하고 보편적인 정의는 라플라스에 의해 제시되었다. 1814년, 라플라스는 다음과 같이 말했다.

이 설명은 확률의 고전적 정의의 기반이 되었다. 라플라스는 반 세기에 걸쳐 확률에 대한 다양한 저서를 출판했으며, 그의 전임자들(카르다노, 베르누이, 베이즈)의 저술은 대부분 사후에 단일 문서로 공개되었다.

2. 3. 백과전서와 확률

드니 디드로와 장 르 롱 달랑베르의 백과전서 1765년판에는 그 당시까지의 확률에 대한 지식과 긴 논의가 포함되어 있었다. "자연 그 자체의 고찰에서 유도된" 확률(물리적)과 "과거의 경험에만 근거하며, 미래를 향해 자신 있게 결론을 도출할 수 있는" 확률(증거)이 구분되었다.[9]

3. 확률의 고전적 정의

피에르시몽 라플라스(Pierre-Simon Laplace)가 제시하고 다니엘 베르누이(Daniel Banoulli)가 제안한 확률의 고전적 정의는 이후 여러 학자들에 의해 비판받기도 하고, 또 다른 관점에서 새롭게 부흥하기도 했다.

존 벤, 조지 불을 포함한 19세기의 몇몇 저자들은 확률의 고전적 정의에 의심을 품었다. 확률의 빈도적 정의가 빈도주의자들의 비평, 특히 R.A. 피셔의 저작들을 통해서 널리 받아들여졌다. 한편 확률의 고전적 정의는 베이즈 확률에 대한 광범위한 관심 덕분에 다시 한번 부흥을 맞이하고 있다. 확률의 고전적 정의는 동전, 카드, 주사위의 물리적 대칭성에 기반하여 근원 사건에 동일한 확률을 할당한다.


  • 정의는 매우 제한적이다. 주사위 등에 물리적 대칭성이 없는 경우에 대해서는 아무것도 언급하지 않는다. 예를 들어, 보험료는 측정된 손실률에 의해서만 합리적인 가격 설정이 가능하다.
  • 이상적인 경우를 제외하고, 동일 확률의 원리는 명확하지 않다. 실제 동전은 진정으로 대칭적이지 않다.
  • 확률의 고전적 정의는 편향된 확률 해석을 유발하고, 철학적인 다양성을 소외시킨다.

3. 1. 정의

피에르시몽 라플라스(Pierre-Simon Laplace)는 그의 저서에서 다니엘 베르누이(Daniel Banoulli)를 언급하면서 확률의 고전적 정의를 다음과 같이 기술하였다.[30]

그러나 여기에 다니엘 베르누이(Daniel Banoulli)가 제안한 것이 있으며 많은 경우에 사용할 수 있습니다. 사용된 합계의 상대적 가치는 그 절대 가치를 이해 관계자의 총 가치로 나눈 값과 같습니다. 이것은 모든 사람이 어떤 좋은 것을 동등하게 가지는 기회에서 그 가치는 결코 0일 수 없다고 가정합니다.



다음은 피에르시몽 라플라스(Pierre-Simon Laplace)의 확률에 대한 기술에서 확률의 정의에 대한 에드윈 톰슨 제인스(Edwin Thompson)의 논문에서의 언급이다.[32][33]

사건에 대한 확률은 이 사건 중 어느 하나가 다른 사건보다 더 많이 발생하여 우리에게 동등하게 가능할 것이라고 기대하지 않을 때 가능한 모든 사건의 수에 대해 유리한 사건의 수의 비율입니다.



이 정의는 본질적으로 무차별 원칙의 결론이다. 단위 사건들(elementary events)이 동일한 확률을 배당 받는다면, 단위 사건들 중 한 무리(disjunction)가 발생될 확률은 그 무리(disjunction)의 단위 사건들(elementary events)의 개수를 단위 사건들(elementary events)의 총 개수로 나눈 값이 된다.

3. 2. 무차별 원칙

피에르 시몽 라플라스는 그의 저서에서 다니엘 베르누이를 언급하면서 확률의 고전적 정의를 다음과 같이 기술한 바 있다.[30]

그러나 여기에 다니엘 베르누이가 제안한 것이 있으며 많은 경우에 사용할 수 있습니다. 사용된 합계의 상대적 가치는 그 절대 가치를 이해 관계자의 총 가치로 나눈 값과 같습니다. 이것은 모든 사람이 어떤 좋은 것을 동등하게 가지는 기회에서 그 가치는 결코 0일 수 없다고 가정합니다.



다음은 피에르 시몽 라플라스의 확률에 대한 기술에서 확률의 정의에 대한 에드윈 톰슨 제인스(Edwin Thompson)의 논문에서의 언급이다.[32][33]

사건에 대한 확률은 이 사건 중 어느 하나가 다른 사건보다 더 많이 발생하여 우리에게 동등하게 가능할 것이라고 기대하지 않을 때 가능한 모든 사건의 수에 대해 유리한 사건의 수의 비율입니다.



이 정의는 본질적으로 무차별 원칙의 결론이다. 단위 사건들(elementary events)이 동일한 확률을 배당 받는다면, 단위 사건들 중 한 무리(disjunction)가 발생될 확률은 그 무리(disjunction)의 단위 사건들의 개수를 단위 사건들의 총 개수로 나눈 값이 된다.

4. 비판

확률의 고전적 정의는 동전, 카드, 주사위처럼 물리적 대칭성을 가진 상황에서 각 사건이 일어날 가능성이 동일하다고 가정한다. 하지만 이러한 정의는 여러 비판에 직면한다.


  • 순환 논리: 고전적 정의는 "공정한" 동전과 같이 이미 확률 개념을 내포한 용어를 사용한다.[11]
  • 제한된 적용 범위: 물리적 대칭성이 없는 경우(예: 보험료 책정)에는 적용하기 어렵다.
  • 무차별 원칙의 정당화 문제: 실제 동전은 완벽하게 대칭적이지 않은데, 각 면에 동일한 확률을 할당하는 것이 정당한가?


이러한 한계에도 불구하고, 고전적 정의는 카지노와 같이 공정성이 중요한 상황에서 유용하게 사용될 수 있다. 또한, 확률 수학의 많은 부분이 이 정의를 바탕으로 발전되었다. 그러나 빈도주의나 주관적 확률과 같은 다른 확률 해석들도 각각의 문제점을 안고 있다.

4. 1. 순환 논리

일부 수학자들은 확률의 고전적 정의가 순환 논리라고 비판한다.[11] "공정한" 동전의 확률은 결국 "공정한" 동전의 확률로 정의되기 때문이다.

또한 이 정의는 매우 제한적이다. 동전, 카드, 주사위와 같이 물리적 대칭성이 존재하는 경우에만 적용 가능하며, 물리적 대칭성이 없는 경우에는 확률을 정의할 수 없다. 예를 들어, 보험료는 측정된 손실률에 의해서만 합리적으로 가격을 책정할 수 있다.

가장 단순하고 이상적인 경우를 제외하고는 동일 확률의 원리를 정당화하는 것은 쉽지 않다. 예를 들어, 실제 동전은 완벽하게 대칭적이지 않다. 그럼에도 불구하고 각 면에 동일한 확률을 할당할 수 있을까? 더 나아가 현실 세계의 모든 경험에 동일한 확률을 할당하는 것이 가능할까?

이러한 제한에도 불구하고 고전적 정의는 여전히 유용하다. 고전적 확률에서 크게 벗어나는 결과가 관찰된다면, 이는 가정에 위배되는 상황(예: 누군가가 속임수를 쓰고 있는 경우)이라고 판단할 수 있다. 확률 수학의 많은 부분은 이 단순한 정의를 바탕으로 발전되었다. 빈도주의 및 주관적 확률과 같은 다른 확률 해석들 역시 나름의 문제점을 가지고 있다.

4. 2. 제한된 적용 범위

확률의 고전적 정의는 동전, 카드, 주사위와 같이 물리적 대칭성에 기초하여 사건에 동일한 확률을 할당한다. 그러나 이 정의는 다음과 같은 제한점이 있다.

  • 일부 수학자들은 이 정의가 순환적이라고 지적한다.[11] "공정한" 동전의 확률은 결국 "공정한" 동전의 확률로 정의되기 때문이다.
  • 물리적 대칭성이 존재하지 않는 경우에는 적용할 수 없다. 예를 들어, 보험료는 측정된 손실률에 의해서만 합리적으로 가격을 책정할 수 있다.
  • 가장 단순하고 이상적인 경우를 제외하고는 동일 확률의 원리를 정당화하기 어렵다. 실제 동전은 완벽하게 대칭적이지 않다. 따라서 각 면에 동일한 확률을 할당하는 것이 옳은지 의문이 제기될 수 있다.


이러한 제한점에도 불구하고, 고전적 정의는 여전히 널리 사용된다. 고전적 확률에서 크게 벗어나는 결과가 관찰되면, 그 가정이 위반되었다고 판단할 수 있기 때문이다(예: 누군가 속임수를 쓰고 있다). 확률 수학의 많은 부분은 이 단순한 정의를 바탕으로 발전되었다. 빈도주의 및 주관적 확률과 같은 다른 확률 해석들 또한 나름의 문제점을 가지고 있다.

수학적 확률론은 모든 확률 해석의 제한과 철학적 복잡성을 피하면서 추상적인 문제를 다룬다.

4. 3. 무차별 원칙의 정당화 문제


  • 일부 수학자들은 이 정의가 순환적이라고 반대한다.[11] "공정한" 동전의 확률은... "공정한" 동전은...의 확률로 정의된다.
  • 이 정의는 매우 제한적이다. 물리적 대칭성이 존재하지 않는 경우에 대해서는 아무것도 말하지 않는다. 예를 들어, 보험료는 측정된 손실률에 의해서만 합리적으로 가격을 책정할 수 있다.
  • 가장 단순하고 이상적인 경우를 제외하고는 동일 확률의 원리를 정당화하는 것은 쉽지 않다. 동전은 실제로 대칭적이지 않다. 각 면에 동일한 확률을 할당할 수 있는가? 현실 세계의 모든 경험에 동일한 확률을 할당할 수 있는가?


그러나 제한적임에도 불구하고, 이 정의는 상당한 신뢰를 동반한다. 확률 수학의 많은 부분이 이 단순한 정의를 바탕으로 개발되었다. 다른 확률 해석 (예: 빈도주의 및 주관적) 또한 문제를 가지고 있다.

5. 현대적 응용 및 관점

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참조

[1] 서적 Probability Theory: the Logic of Science Cambridge University Press
[2] 서적 The Empire of chance : how probability changed science and everyday life Cambridge University Press
[3] 서적 Games, Gods & Gambling https://archive.org/[...] Hafner
[4] 논문 Some Laws and Problems of Classical Probability and How Cardano Anticipated Them
[5] 서적 The Science of Conjecture: Evidence and Probability before Pascal The Johns Hopkins University Press
[6] 문서 Oeuvres Complètes
[7] 논문 A Brief History of Statistics in Three and One-half Chapters: A Review Essay
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[21] 웹사이트 確率～ド・メレの2つのダイス https://onlinecasino[...] 2015-08-16
[22] 웹사이트 99　パスカルの賭け：期待値 http://geo.sgu.ac.jp[...] 2010-04-01
[23] 서적 The Science of Conjecture: Evidence and Probability before Pascal The Johns Hopkins University Press
[24] 문서 Oeuvres Complètes
[25] 논문 A Brief History of Statistics in Three and One-half Chapters: A Review Essay
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[28] 서적 A Philosophical Essay on Probabilities Dover Publications Inc.
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[30] 웹사이트 Théorie analytique des probabilités - Laplace, Pierre Simon, 1812 - INTRODUCTION https://archive.org/[...]
[31] 웹사이트 Théorie analytique des probabilités - Laplace, Pierre Simon, 1812 - INTRODUCTION 13P - De l'Espérance. , 15P
[32] 웹사이트 Probability Theory:The Logic of Science https://bayes.wustl.[...]
[33] 웹사이트 Probability Theory As Extended Logic https://bayes.wustl.[...]


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