4항 보조정리

1. 개요

4항 보조정리는 아벨 범주에서 가환 그림의 조건에 따라 사상의 전사성 또는 단사성을 결론짓는 정리이다. 4항 보조정리를 통해 5항 보조정리를 증명할 수 있으며, 이는 긴 완전 순서열의 호몰로지 계산에 응용된다. 4항 보조정리는 1955년 데이비드 앨빈 북스바움에 의해 소개되었다.

2. 정의

아벨 범주에서 다음과 같은 가환 그림이 주어졌을 때, 4항 보조정리와 5항 보조정리가 성립한다.

:$\backslash begin\{matrix\}$
&\to&&\to&&\to\\
{\scriptstyle a}\downarrow&&{\scriptstyle b}\downarrow&&{\scriptstyle c}\downarrow&&{\scriptstyle d}\downarrow\\
&\to&&\to&&\to
\end{matrix}

이 가환 그림에서 두 행은 완전열이고, $a$는 전사 사상, $d$는 단사 사상이라 하자. 4항 보조정리는 $b$와 $c$의 관계를, 5항 보조정리는 $c$의 성질을 다룬다.

2.1. 4항 보조정리

아벨 범주에서 다음과 같은 가환 그림이 주어졌다고 하자.

:$\backslash begin\{matrix\}$
&\to&&\to&&\to\\
{\scriptstyle a}\downarrow&&{\scriptstyle b}\downarrow&&{\scriptstyle c}\downarrow&&{\scriptstyle d}\downarrow\\
&\to&&\to&&\to
\end{matrix}

이 가환 그림에서 다음이 성립한다고 하자.

* 두 행 모두 완전열이다.
* $a$는 전사 사상이다.
* $d$는 단사 사상이다.

4항 보조정리에 따르면, 다음이 성립한다.

* 만약 $c$가 전사 사상이라면 $b$ 역시 전사 사상이다.
* 만약 $b$가 단사 사상이라면 $c$ 역시 단사 사상이다.

이 두 명제는 서로 쌍대이다. 즉, 둘째는 첫째를 반대 범주에서 적용한 것에 불과하다.

이는 도롱뇽 정리를 써서 간단히 증명할 수 있다.

임의의 아벨 범주(아벨 군의 범주나 주어진 체 위의 벡터 공간의 범주 등)나 군의 범주에서 다음의 가환도표를 생각한다.

--

위 그림에서 행이 완전하고 m 과 p 가 전사 사상이며 q 가 단사 사상이면, n 은 전사 사상이다.

--

위 그림에서 행이 완전하고 m 과 p 가 단사 사상이며 l 이 전사 사상이면, n 은 단사 사상이다.

2.2. 5항 보조정리

5항 보조정리(五項補助定理, five lemma^영어)는 4항 보조정리를 양쪽에 적용하여 만들 수 있다. 아벨 범주에서 다음과 같은 가환 그림을 생각해 보자.

--

여기서 두 행은 완전열이고, m과 p는 동형 사상, l은 전사 사상, q는 단사 사상이라고 가정하면, n 역시 동형 사상이 된다.

이는 4항 보조정리를 왼쪽 열과 오른쪽 열을 제거한 부분 도형에 각각 적용하여 증명할 수 있다.

2.2.1. 짧은 5항 보조정리

4항 보조정리를 양쪽에 적용하여 응용할 수 있다. 아벨 범주 속에서 다음과 같은 가환 그림이 주어졌다고 하자.

:$\backslash begin\{matrix\}$
&\to&&\to&&\to&&\to\\
{\scriptstyle a}\downarrow&&{\scriptstyle b}\downarrow&&{\scriptstyle c}\downarrow&&{\scriptstyle d}\downarrow&&{\scriptstyle e}\downarrow\\
&\to&&\to&&\to&&\to
\end{matrix}

이 가환 그림에서 다음이 성립한다고 하자.

* 두 행 모두 완전열이다.
* $a$는 전사 사상이다.
* $e$는 단사 사상이다.
* $b$와 $d$는 동형 사상이다.

이때, $c$ 역시 동형 사상이다.

5항 보조정리의 특수한 경우로, 다음과 같은 가환 그림을 생각하자.

:$\backslash begin\{matrix\}$
0\to&&\to&&\to&&\to0\\
&{\scriptstyle b}\downarrow&&{\scriptstyle c}\downarrow&&{\scriptstyle d}\downarrow\\
0\to&&\to&&\to&&\to0
\end{matrix}

짧은 5항 보조정리(-五項補助定理, short five lemma^영어)에 따르면, 만약 각 행이 짧은 완전열이며 $b$, $d$가 동형 사상이라면 $c$ 역시 동형 사상이다. 짧은 5항 보조정리는 (아벨 범주가 아닌) 군의 범주에서도 성립한다.

3. 증명

4항 보조정리의 증명은 다이어그램 체이싱이라는 방법을 사용한다. 이 방법은 5항 보조정리를 증명하는 데에도 사용된다. 5항 보조정리는 두 개의 4항 보조정리를 증명함으로써 증명할 수 있다.

다이어그램 체이싱을 하기 위해, 환 위의 가군의 범주를 가정한다. 이렇게 하면 다이어그램에 있는 대상들을 '원소'로 생각할 수 있고, 사상(morphism)은 이 원소들에 작용하는 함수(실제로는 준동형 사상)로 생각할 수 있다. 단사 함수는 단사 사상이고, 전사 함수는 전사 사상이다. 핵과 상 역시 함수론적 의미로 생각한다. 미첼의 매장 정리 덕분에, 이 증명 방법은 모든 (작은) 아벨 범주에도 적용된다. 군의 범주에서는 덧셈 표기를 곱셈 표기로 바꾸면 되고, 아벨군의 가환성은 사용되지 않는다.

4항 보조정리는 두 부분으로 나눌 수 있다.

(1) m과 p가 전사이고, q가 단사이면 n은 전사이다.

(2) m과 p가 단사이고, l이 전사이면 n은 단사이다.

이 두 가지를 증명하면 5항 보조정리가 증명된다.

3.1. 다이어그램 체이싱을 이용한 증명

다이어그램 체이싱은 4항 보조정리를 증명하는 일반적인 방법이다. 4항 보조정리는 2개로 나누어 증명할 수 있으며, 이를 통해 5항 보조정리를 증명한다.

다이어그램 체이싱을 위해, 환 위의 가군의 범주를 가정한다. 이를 통해 다이어그램 내 대상의 '원소'를 생각하고, 사상을 원소에 작용하는 함수(실제로는 준동형 사상)로 간주할 수 있다. 사상이 단사 함수이면 단사 사상이고, 전사 함수이면 전사 사상이다. 핵과 상도 함수론적 의미로 생각할 수 있다. 미첼의 매장 정리에 의해 이 증명은 모든 (작은) 아벨 범주에도 적용된다. 군의 범주에서는 가법 표기를 승법 표기로 바꾸고, 아벨군의 가환성은 사용되지 않는다.

(1)의 증명을 위해, m과 p가 전사이고 q가 단사라고 가정한다.

--
* C′의 원소 c′를 생각한다.
* p가 전사이므로, p(d) = t(c′)인 D의 원소 d가 존재한다.
* 다이어그램의 가환성에 의해, u(p(d)) = q(j(d))이다.
* 완전성에 의해 im t = ker u이므로, 0 = u(t(c′)) = u(p(d)) = q(j(d))이다.
* q가 단사이므로, j(d) = 0이고, d는 ker j = im h에 있다.
* 따라서, h(c) = d인 C의 원소 c가 존재한다.
* t(n(c)) = p(h(c)) = t(c′)이고, t는 준동형 사상이므로, t(c′ − n(c)) = 0이다.
* 완전성에 의해, c′ − n(c)는 s의 상에 있으므로, s(b′) = c′ − n(c)인 B′의 원소 b′가 존재한다.
* m이 전사이므로, b′ = m(b)인 B의 원소 b를 찾을 수 있다.
* 가환성에 의해, n(g(b)) = s(m(b)) = c′ − n(c)이다.
* n은 준동형 사상이므로, n(g(b) + c) = n(g(b)) + n(c) = c′ − n(c) + n(c) = c′이다.
* 따라서 n은 전사이다.

(2)를 증명하기 위해, m과 p가 단사이고 l이 전사라고 가정한다.

--
* n(c) = 0인 C의 원소 c를 생각한다.
* 그러면 t(n(c))는 0이다.
* 가환성에 의해, p(h(c)) = 0이다.
* p가 단사이므로, h(c) = 0이다.
* 완전성에 의해, g(b) = c인 B의 원소 b가 존재한다.
* 가환성에 의해, s(m(b)) = n(g(b)) = n(c) = 0이다.
* 완전성에 의해, r(a′) = m(b)인 A′의 원소 a′가 존재한다.
* l이 전사이므로, l(a) = a′ 인 A의 원소 a가 존재한다.
* 가환성에 의해, m(f(a)) = r(l(a)) = m(b)이다.
* m이 단사이므로, f(a) = b이다.
* 따라서 c = g(f(a))이다.
* g와 f의 합성은 자명하므로, c = 0이다.
* 따라서 n은 단사이다.

두 개의 4항 보조정리를 결합하면 5항 보조정리가 증명된다.

4. 응용

5항 보조 정리는 종종 긴 완전 순서열에 적용된다. 주어진 대상의 호몰로지 또는 코호몰로지를 계산할 때, 일반적으로 호몰로지/코호몰로지가 알려진 더 간단한 하위 대상을 사용하며, 원래 대상의 알려지지 않은 호몰로지 군을 포함하는 긴 완전 순서열에 도달한다. 이것만으로는 종종 알려지지 않은 호몰로지 군을 결정하기에 충분하지 않지만, 만약 원래 대상과 하위 대상을 모르피즘을 통해 잘 이해된 대상과 비교할 수 있다면, 각 긴 완전 순서열 간의 모르피즘이 유도되고, 5항 보조 정리를 사용하여 알려지지 않은 호몰로지 군을 결정할 수 있다.

5. 역사

데이비드 앨빈 북스바움은 1955년 논문에서 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 5항 보조정리가 보조정리 5.9로 이미 등장한다.