F-공간

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1. 개요
2. 예시
- 2.1. 예시 1
- 2.2. 예시 2
3. 충분 조건
4. 관련 성질
참조

1. 개요

F-공간은 완비 거리화 가능인 위상 벡터 공간이다. 모든 바나흐 공간과 프레셰 공간은 F-공간이며, Lp 공간은 F-공간의 예시이다. F-공간에서 정의된 선형 작용소는 열린 사상 정리를 만족하며, 닫힌 그래프를 가진 선형 사상은 연속적이다.

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F-공간 - 프레셰 공간
프레셰 공간은 국소 볼록 공간의 한 종류로, 평행 이동 불변 거리 함수 또는 반노름의 가산 집합을 사용하여 위상을 정의하며, 바나흐 공간을 일반화한 공간으로 함수해석학에서 중요한 역할을 한다.
F-공간 - K-공간 (함수해석학)
K-공간은 특정 성질을 만족하는 위상 벡터 공간으로, 유한 차원 바나흐 공간과 $0< p < 1$ 일 때의 $\ell^p$ 공간이 그 예시이며, 바나흐 공간 $\ell^1$ 은 K-공간이 아니다.

F-공간
F-공간
유형	위상 벡터 공간
속성	완비 평행 이동 불변 거리 벡터 공간 구조
정의
정의	실수 또는 복소수 체 K 위의 벡터 공간 V V × V → R로의 거리 함수 d를 갖춤 K 위에서의 스칼라 곱셈과 V 위에서의 벡터 덧셈이 연속 함수 완비인 평행 이동 불변 거리 d를 가짐
F-노름	x ↦ \|\|x\|\| := d(0, x)로 정의
거리	d(x, y) = \|\|y − x\|\|
특징
예시	모든 프레셰 공간 L^p 공간 (0 < p < 1) 하디 공간 H^p (0 < p < 1)
주의 사항	국소 볼록 공간일 필요는 없음

2. 예시

모든 바나흐 공간과 프레셰 공간은 F-공간이다.^[6]^[1]^[5] p ≥ 0일 때, L^p 공간은 F-공간이고 p ≥ 1일 때는 국소 볼록이기 때문에 프레셰 공간이고 심지어는 바나흐 공간이다.

2. 1. 예시 1

L^{\frac{1}{2}}[0,\, 1]

은 F-공간이다. 이것은 연속 반노름과 연속 선형 범함수를 인정하지 않으며, 자명한 쌍대 공간을 가진다.

2. 2. 예시 2

W_p(\mathbb{D})

를 단위 디스크

\mathbb{D}

에서 복소수 값을 가지는 테일러 급수의 공간이라고 정의한다.

:

f(z)=\sum_{n \geq 0}a_n z^n

이 급수는 다음 조건을 만족한다.

:

\sum_{n}|a_n|^p < \infty

0 < p < 1일 때,

W_p(\mathbb{D})

는 p-노름을 가지는 F-공간이다.

:

\|f\|_p= \sum_{n}|a_n|^p \qquad (0 < p < 1)

W_p

는 준-바나흐 대수이며,

|\zeta| \;\leq\; 1

를 만족하는 모든

\zeta

에 대해, 맵핑

f \,\mapsto\, f(\zeta)

은

W_p(\mathbb{D})

에서 유계 선형(곰셈의 범함수)이다.

3. 충분 조건

벡터 공간 X에 대한 임의의 메트릭 d에 의해 유도된 위상 τ가 (X, τ)를 위상 벡터 공간으로 만들고, (X, d)가 완비 거리 공간이면, (X, τ)는 완비 위상 벡터 공간이다.^[2]^[3]

4. 관련 성질

열린 사상 정리에 따르면, F-공간에서 정의된 선형 작용소가 특정한 조건을 만족하면 열린 사상이 된다.

그래프가 닫힌 F-공간으로의 선형 거의 연속 사상은 연속적이다. 그래프가 닫힌 F-공간으로의 선형 거의 열린 사상은 반드시 열린 사상이다. F-공간에서 선형 연속 거의 열린 사상은 반드시 열린 사상이다. 공역에서 이미지가 제2 범주인 F-공간에서 선형 연속 거의 열린 사상은 반드시 전사 열린 사상이다.

참조

_[1] 서적 Linear operators. Part I: general theory Interscience publishers, inc., New York 1958
_[2] 논문 Invariant metrics in groups (solution of a problem of Banach) https://www.ams.org/[...]
_[3] 문서
_[4] 문서 nlab
_[5] 서적 Linear operators. Part I: general theory Interscience publishers
_[6] 서적 Linear operators. Part I: general theory Interscience publishers, inc., New York 1958

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