관수로

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1. 개요

관수로는 넓은 수조에서 관으로 물이 흘러 들어갈 때, 관벽과의 마찰로 인해 흐름이 변화하는 현상을 다룬다. 관 입구에서 유속이 일정한 흐름은 관벽의 영향으로 점차 핵 부분이 사라지고 완전히 발달된 흐름으로 변하며, 이 과정에서 발달 거리가 존재한다. 관수로 내 흐름은 레이놀즈 수에 따라 층류와 난류로 구분되며, 마찰 손실 수두는 에너지 손실을 나타내는 중요한 요소이다. Darcy-Weisbach 공식, Nikuradse 실험, Moody 선도 등을 통해 마찰 손실을 계산하며, Manning 공식, Chezy 공식, Hazen-Williams 공식과 같은 경험식을 활용하여 평균 유속을 추정할 수 있다. 또한, 관수로에는 소손실이 발생하며, 관의 연결 상태에 따라 단일 관수로, 병렬 관수로, 다지 관수로로 분류된다.

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관수로
개요
층류와 난류의 비교
정의	닫힌 도관 내에서 액체의 흐름
관련 항목	유체 역학 레이놀즈 수 베르누이 방정식 관로 마찰 수력 반지름
설명
특징	닫힌 도관(예: 파이프, 튜브) 내에서 액체가 흐르는 것을 의미함. 유체 역학의 중요한 연구 분야 중 하나임.
흐름의 종류	층류: 유체가 층을 이루며 부드럽게 흐르는 상태 난류: 유체가 불규칙하고 혼란스럽게 흐르는 상태
흐름의 결정	흐름의 종류는 주로 레이놀즈 수에 의해 결정됨.
레이놀즈 수	레이놀즈 수가 낮으면 층류, 높으면 난류가 발생함.
주요 고려 사항	관의 형상 유체의 점성 유체의 속도
응용 분야
산업	석유 수송 화학 물질 이송 수도 공급 하수 처리
공학	난방 시스템 냉각 시스템 항공기 설계 자동차 설계
의료	혈액 순환 약물 전달

2. 관수로 내 흐름 변화

관 입구에서는 유속이 일정한 흐름 형상을 보이다가, 점차 관벽과의 마찰로 인해 핵(core)부분이 사라지고 완전 발달한(fully developed) 흐름으로 변하게 된다. 관 입구에서 완전 발달 흐름까지의 거리를 발달 거리(entrance length)라고 한다

넓은 수조에서 관수로로 흘러 들어가는 물은 관수로 입구에서 유속이 모두 일정한 모습을 보인다. 그러다 관 벽과의 마찰, 즉 점성 때문에 관과 접한 부분은 유속이 0이 되고, 관 벽의 영향을 받지 않는 중앙부의 평활화된 부분은 점성의 영향을 받지 않아 흐름이 가속화된다. 그리고 하류로 갈수록 흐름 형상에서 인접한 층의 속도가 감소하기 시작한다. 최종적으로 관 벽의 영향을 받지 않는 부분, 즉 핵(core) 부분은 사라지고 점성에 의해 영향을 받던 가장자리 부분이 만나게 되는데, 이 상태를 '''완전히 발달된 흐름'''(fully developed flow)이라고 한다. 관수로의 입구에서부터 완전 발달 흐름이 생기기까지의 거리를 '''발달 거리'''(entrance length)라고 한다.

2. 1. 발달 거리

넓은 수조에서 관수로로 흘러 들어가는 물은 관수로 입구에서 유속이 모두 일정한 모습을 보인다. 그러다 관벽과의 마찰, 즉 점성 때문에 관과 접한 부분은 유속이 0이 되고, 관벽의 영향을 받지 않는 중앙부의 평활화된 부분은 점성의 영향을 받지 않아 흐름이 가속화된다. 그리고 하류로 갈수록 흐름 형상에서 인접한 층의 속도가 감소하기 시작한다.

최종적으로 관벽의 영향을 받지 않는 부분, 즉 핵(core) 부분은 사라지고 점성에 의해 영향을 받던 가장자리 부분이 만나게 되는데, 이 상태를 '''완전히 발달된 흐름'''(fully developed flow)이라고 한다. 관수로의 입구에서부터 완전 발달 흐름이 생기기까지의 거리를 '''발달 거리'''(entrance length)라고 한다. 발달 거리 이후에는 유속 분포가 변하지 않고, 벽에서의 전단력도 일정하며, 층류이건 난류이건 상관 없이 선형적인 압력 손실이 발생한다. 발달 거리는 층류, 난류에 상관 없이 레이놀즈 수(Re), 관수로의 직경에 대한 함수로 나타난다. 그러나 두 식이 동일하게 나타나는 것은 아니다.^[2]

2. 2. 층류와 난류

관수로에서의 흐름은 주로 흐름의 관성력에 대한 점성과 중력의 영향에 의해 지배된다. 레이놀즈 수로 표현되는 관성에 대한 점성의 영향에 따라 흐름은 층류 또는 난류가 될 수 있다. 표면 거칠기가 다른 원형 관의 경우, 약 2000 미만의 레이놀즈 수에서는 관의 흐름이 층류가 되며, 그 이상에서는 무디 차트에서 볼 수 있듯이 난류가 지속될 수 있다.^[2] 직사각형 덕트와 같은 비원형 관의 경우, 임계 레이놀즈 수는 변동하지만 종횡비에 따라 여전히

\sim \mathcal{O}(10^3)

이다.^[3] 레이놀즈 수에서 한 자릿수 더 작은, 즉

\sim \mathcal{O}(10^2)

에서 발생하는 난류로의 초기 전이는 테슬라 밸브와 같은 특수한 기하학적 형상을 가진 채널에서 발생할 수 있다.^[4]

관을 통한 흐름은 대략 다음 두 가지로 나눌 수 있다.

층류 - 하겐-포아젤 흐름 참조
난류 - 무디 선도 참조

3. 관수로의 마찰 손실 수두

관수로 내의 흐름은 관 벽과의 마찰로 인해 에너지 손실이 발생하며, 이를 마찰 손실 수두(friction head loss)로 나타낸다.^[8] 마찰 손실 수두는 관의 형상이나 흐름의 종류(층류, 난류)에 관계없이 다음 식으로 나타낼 수 있다.

: $h_L=\frac{\tau}{\gamma R}l$

여기서 $\tau$ 는 전단 응력, $\gamma$ 는 유체의 비중량, R은 경심, l은 관의 길이를 의미한다.

3. 1. Darcy-Weisbach 공식

관수로에서 실제 유체 흐름은 점성에 의해 에너지 손실이 발생한다. 이를 손실 수두 h_L로 나타낸다. 오른쪽 그림과 같은 관로 내 미소 요소를 도입한 뒤, 베르누이 방정식을 적용하면 다음과 같다.

:

\frac{v_1^2}{2g}+\frac{p_1}{\gamma}+z_1=\frac{v_2^2}{2g}+\frac{p_2}{\gamma}+z_2+h_L

수평관이라고 가정하면 위치 수두의 차이는 없다(z₁=z₂). 또한 미소 요소에 흐르는 유량 Q는 일정하고 미소 면적 또한 입구와 출구가 동일하므로 연속 방정식에 의해 v₁=v₂이다. 따라서

h_L=\frac{p_1-p_2}{\gamma}

가 된다.

운동량 방정식을 통해 압력 변화를 구하면 다음과 같다.

\Sigma F_x=\rho Q(v_2-v_1)

에서 v₁=v₂이므로

\Sigma F_x=0

이다. 즉 x축 방향(흐름 방향)으로 작용하는 알짜힘은 0이 되어야 한다. x축 방향으로 작용하는 힘들에는 dA 면에 작용하는 서로 방향이 다른 압력에 의한 두 힘, 그리고 흐름 방향에 반대 방향으로 저항하는 전단 응력에 의한 힘이 있다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

:

\Sigma F_x=pdA-\tau dPdx-(p+dp)dA=0

여기서 P는 윤변을 의미한다. 구하고자 하는 dp에 대하여 정리하면,

dp=-\tau \frac{dP}{dA}dx

가 된다. 이때 경심(R)의 정의에 따라,

R=\frac{dA}{dP}

이고 이를 대입하면

dp=- \frac{\tau}{R}dx

이다. 이제 전체 단면에 대해 압력 변화를 알기 위해 적분을 한다.

:

p_2-p_1=-\frac{\tau}{R}(x_2-x_1)=-\frac{\tau}{R}l

위에서 구했던 손실 수두 식과 지금 구한 식을 손실 수두에 대해 정리하면 관수로에서 손실 수두에 대한 식을 얻을 수 있다.

:

h_L=\frac{\tau}{\gamma R}l\qquad \cdots(1)

이 식은 관 단면이 어떤 형상이든지, 층류인지 난류인지에 상관 없이 적용 가능하다.^[8]

Darcy-Weisbach에 의하면 마찰 손실 수두는 다음 식을 통해서도 구할 수 있다.^[9]^[10]^[8] 여기서 ''l''은 관의 길이이다.^[11]

:

h_L=f\cdot \frac{l}{D}\cdot \frac{V^2}{2g}\qquad \cdots(2)

f는 마찰계수(무차원)로, 레이놀즈 수(Re)와 상대조도

\frac{e}{D}

의 함수이다.^[8] (e : 관의 조도(거칠기))

비원형 단면의 손실 수두는 R=D/4의 관계를 이용해서 다음 식으로 구할 수 있다.^[12]

:

h_L=f\cdot \frac{l}{4R}\cdot \frac{V^2}{2g}

3. 1. 1. 마찰 계수

마찰 속도(u_*)는 다음과 같이 정의된다.^[12]

:

u_*=\sqrt{\frac{\tau_0}{\rho}} =V\sqrt{\frac{f}{8}}

여기서 τ₀는 전단응력, ρ는 밀도, V는 속도, f는 무차원 계수인 마찰 계수이다.

관의 흐름은 주로 흐름의 관성력에 대한 점성과 중력의 영향에 의해 지배된다. 레이놀즈 수로 표현되는 관성에 대한 점성의 영향에 따라 흐름은 층류 또는 난류가 될 수 있다. 표면 거칠기가 다른 원형 관의 경우, 레이놀즈 수가 약 2000^[2] 미만일 때는 관의 흐름이 층류가 되며, 임계값 이상에서는 무디 차트에서 볼 수 있듯이 난류가 지속될 수 있다. 직사각형 덕트와 같은 비원형 관의 경우, 임계 레이놀즈 수는 변동하지만 종횡비에 따라 여전히

\sim \mathcal{O}(10^3)

이다.^[3] 테슬라 밸브와 같은 특수한 기하학적 형상을 가진 채널에서는 레이놀즈 수가 한 자릿수 더 작은, 즉

\sim \mathcal{O}(10^2)

에서 난류로의 초기 전이가 발생할 수 있다.^[4]

관을 통한 흐름은 대략 다음 두 가지로 나눌 수 있다.

층류 - 하겐-포아젤 흐름 참조
난류 - 무디 선도 참조

3. 2. Nikuradse의 손실 계수 실험

관수로에서 Darcy-Weisbach 공식을 적용하기 위해선 마찰 계수 f를 알아야 하는데, f는 레이놀즈 수(Re)와 상대 조도

\frac{e}{D}

의 함수이다. 결국 관수로에서 손실 수두를 알기 위해선 흐름 특성과 관의 제원을 알아야 하는 문제가 있다. Nikuradse는 실험을 통해 이들의 관계를 알아내고자 했다. 우측의 그래프에서 분홍색 직선은 층류의 경우를 나타낸 것이다. 층류는 관의 조도에 상관 없이 레이놀즈 수(Re)에만 반비례한다.

레이놀즈 수가 층류일 때보다 더 커지면 흐름은 천이 영역과 난류 흐름으로 변하게 된다. 상대 조도

\frac{e}{D}

가 작은 경우에는 큰 레이놀즈 수 영역까지, 상대 조도

\frac{e}{D}

가 큰 경우에는 그보다 작은 레이놀즈 수 영역까지 천이 영역이 나타난다. 천이 영역에서는 마찰 계수가 레이놀즈 수와 상대 조도 모두의 영향을 받는다. 레이놀즈 수가 더 커져서 천이 영역을 벗어나 난류 영역으로 가면, 마찰 계수 f는 레이놀즈 수와 관계없고 상대 조도에 의해서만 변하는 것을 확인할 수 있다.(그래프 상에서 우측 부분. Re가 커지더라도 마찰 계수 f가 일정하게 되어 수평 구간이 나타난다) 이 구간을 완전 난류 영역이라고 한다.

한편 매끈한 관(smooth pipe)에서는 상대 조도와 관계 없이 마찰 계수 f가 레이놀즈 수만의 함수로 나타난다.^[1]

Nikuradse 실험의 한계는 공장에서 생산되는 관의 조도가 실험실에서 인공적으로 관에 모래를 뿌려 만든 조도와는 다르기 때문에 실제 상황에 적용하기는 힘들다는 점이다.^[2]

3. 3. Moody 선도

무디 선도(Moody diagram 또는 Moody chart)는 Nikuradse가 인공적으로 조성한 조도를 가지고 실험한 것보다 실제 관에 적용하기 위해 만들어진 도표이다.^[2] 이는 상업용 관에 널리 사용되는 Colebrook의 경험식이 반복 계산을 통해 이용하기 어렵기 때문에 편의를 위해 도표화한 것이다.^[3]

4. 관수로의 층류 흐름

관의 흐름은 주로 흐름의 관성력에 대한 점성과 중력의 영향에 의해 지배된다. 레이놀즈 수로 표현되는 관성에 대한 점성의 영향에 따라 흐름은 층류 또는 난류가 될 수 있다. 원형 관의 경우, 약 2000 미만의 레이놀즈 수에서는 관의 흐름이 층류가 되며, 임계값 이상에서는 난류가 지속될 수 있다.^[2] 비원형 관의 경우에도 임계 레이놀즈 수는 이동하지만 종횡비에 따라 여전히 $\sim \mathcal{O}(10^3)$ 이다.^[3] 관수로의 층류 흐름은 유체가 관 벽에 평행하게 층을 이루어 흐르는 상태를 말하며, 하겐-포아젤 흐름이라고도 한다.

4. 1. 유속 분포

관수로 내 완전 발달한 비압축성 층류 흐름에 대한 유속 분포를 구하기 위해 그림과 같은 미소 요소를 도입한다. 미소 요소에 x 방향으로 운동량 방정식을 적용하면 x 방향으로 가속도가 없으므로 알짜힘도 0이다.

:

\Sigma F_x=0

:

pA-\tau 2\pi rdx-(p+dp)A=0

전단 응력에 대해 정리하면

\tau =-\frac{dp\cdot r}{dx\cdot 2}

이고, 층류의 점성 법칙에 의해

\tau =\mu \frac{du}{dy}

이다. y=R-r이고 dy=-dr이므로 뉴턴의 점성 법칙 즉,

\tau =-\mu \frac{du}{dr}

이다.

전단 응력에 대해 정리한 식과 점성 법칙을 결합하면

:

\frac{du}{dr}=\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}r

이고, 압력 경사 dp/dx는 r과 무관하므로 상수로 취급하고 식을 적분한다.

:

u=\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dx}r^2+C

상수 C를 구하기 위해 관과 접하는 부분(r=R)에서의 유속을 생각해보면 u=0이다. 대입 후 식을 정리하면 포물선의 유속 분포는 다음과 같다.

:

u=-\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dx}R^2\left( 1-\frac{r^2}{R^2}\right)\qquad \cdots (4)

수평관의 경우

\frac{dp}{dx}=\frac{p_2-p_1}{l}=-\frac{\gamma h_L}{l}

이므로

:

u=\frac{\gamma h_L}{4\mu l}R^2\left( 1-\frac{r^2}{R^2}\right)\qquad \cdots (5)

이고, 이 식으로 표현되는 층류를 하겐-푸아죄유(Hagen-Poiseuille) 흐름이라고 한다.^[1]

4. 2. 평균 유속

관수로 내 층류 흐름의 평균 유속은 최대 유속의 절반이다. 관수로에서는 관 중심에서 유속이 최대이며, r=0일 때 u=u_max이다. 평균 유속을 구하기 위한 유량은 다음과 같다.^[13]

:

\begin{align} Q & = \int_AudA=\int_0^Ru_{max}\left( 1-\frac{r^2}{R^2}\right)2\pi rdr \\& = \frac{1}{2}u_{max}\pi R^2 \\ \end{align}

평균 유속은 다음과 같다.

:

V=\frac{Q}{A}=\frac{1}{2}u_{max}

위 식에서 관수로의 평균 유속은 관 중심에서 최대 유속의 절반이 된다.^[13]

4. 3. 마찰 손실 계수

층류 흐름에서 평균 유속(

V

)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

:

V=\frac{\gamma h_L}{8\mu l}R^2

여기서

R=\frac{d}{2}

를 대입하고 손실 수두

h_L

에 대해 정리하면 다음과 같다.^[1]

:

h_L=\frac{64\mu}{\rho Vd}\frac{l}{d}\frac{V^2}{2g}

이를 Darcy-Weisbach 식과 비교하면 마찰손실계수

f=\frac{64\mu}{\rho Vd}=\frac{64}{Re}

이다. 즉, 층류의 경우 마찰손실계수는 관의 거칠기와 상관 없이 레이놀즈 수(Re)에만 영향을 받는다.^[1]

5. 관수로의 난류 흐름

관의 흐름은 주로 흐름의 관성력에 대한 점성과 중력의 영향에 의해 지배된다. 레이놀즈 수로 표현되는 관성에 대한 점성의 영향에 따라 흐름은 층류 또는 난류가 될 수 있다. 표면 거칠기가 다른 원형 관의 경우, 약 2000^[2]의 임계값 미만의 레이놀즈 수에서는 관의 흐름이 궁극적으로 층류가 되며, 임계값 이상에서는 무디 차트에서 볼 수 있듯이 난류가 지속될 수 있다. 직사각형 덕트와 같은 비원형 관의 경우, 임계 레이놀즈 수는 이동하지만 종횡비에 따라 여전히 $\sim \mathcal{O}(10^3)$ 이다.^[3] 레이놀즈 수에서 한 자릿수 더 작은, 즉 $\sim \mathcal{O}(10^2)$ 에서 발생하는 난류로의 초기 전이는 테슬라 밸브와 같은 특수한 기하학적 형상을 가진 채널에서 발생할 수 있다.^[4]

관을 통한 흐름은 대략 다음 두 가지로 나눌 수 있다.

층류 - 하겐-포아젤 흐름 참조
난류 - 무디 선도 참조

난류 흐름은 유체가 불규칙하게 섞이며 흐르는 상태를 말한다.

5. 1. 유속 분포

관수로 내 난류 흐름의 유속 분포는 층류에 비해 비교적 균일하며, 관 벽 근처에서 급격하게 감소한다. 유속 분포를 알기 위해 프란틀의 혼합 거리 이론에서부터 출발한다.^[1] 혼합 거리에 관한 프란틀의 가정에 의하면 벽 근방에서의 전단응력은 벽면 전단 응력과 동일한 값을 갖는다. 따라서

\tau =\tau_0

이다. 혼합 거리 이론 식을

{du\over dy}

에 대해 정리하는데, 마찰속도

u_*=\sqrt{\frac{\tau}{\rho}}

임을 이용해서 전단 응력을 마찰 속도로 나타낸다면, 다음과 같다.^[1]

:

{du\over dy}=\sqrt{\frac{\tau_0}{\rho \kappa^2 y^2}}=\frac{u_*}{\kappa y}

적분하면 다음 식과 같이 된다.^[1]

:

u=\frac{u_*}{\kappa}ln y+C \qquad \cdots (6)

이 식은 관 벽의 상태를 전혀 가정하지 않고 유도한 식이므로 매끈한 관이건 거친 관이건 모두 적용할 수 있는 기본식이다.^[1]

5. 2. 관 중심선 유속

난류 흐름에서 관 중심선 유속은 평균 유속보다 약간 크다. 층류에서와 마찬가지로 좌표계를 도입하여 관 중심에서부터 관 벽까지의 거리를 r, 관 벽에서부터 관 중심까지의 거리를 y, 관의 반경을 R이라 하면, 난류 흐름 기본식으로부터 다음을 유도할 수 있다.

:

\frac{u_c-u}{u_*}=\frac{1}{\kappa}ln \frac{R}{y}

(

u_c

: 관 중심선 유속,

u_*

: 전단 속도, κ: Karman의 범용 상수)

양변에

2\pi (R-y)dy

를 곱하여 적분하고, 치환적분 등을 통해 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:

V=u_c-3.75u_*

(V: 평균 유속)

최종적으로 관 중심선 유속 u_c와 평균 유속 V의 관계는 다음과 같다.

:

u_c=V\left( 1+3.75\sqrt{\frac{f}{8}}\right)

실험에 의하면 상수 3.75보다 4.07이 더 잘 맞는 것으로 나타나, 식을 다음과 같이 수정한다.

:

u_c=V\left( 1+4.07\sqrt{\frac{f}{8}}\right)

이 식은 관의 상태에 대해 전혀 가정하지 않고 시작했으므로, 거친 관이든 매끈한 관이든 사용할 수 있다.^[1]

5. 3. 매끈한 관과 거친 관

관 벽의 상태에 따라 매끈한 관(smooth pipe)과 거친 관(rough pipe)으로 구분하며, 난류 흐름의 특성이 달라진다. 매끈한 관과 거친 관을 구분하는 기준은 다음과 같다.^[2]

매끈한 관 : $\frac{u_*e}{\nu}<5 \quad \left( \frac{e}{\delta}<\frac{1}{4} \right)$
천이 영역 : $5< \frac{u_*e}{\nu}<70 \quad \left( \frac{1}{4} < \frac{e}{\delta}< 6 \right)$
완전히 거친 관 : $70< \frac{u_*e}{\nu} \quad \left( 6 < \frac{e}{\delta} \right)$

관의 흐름은 주로 흐름의 관성력에 대한 점성과 중력의 영향에 의해 지배된다. 레이놀즈 수로 표현되는 관성에 대한 점성의 영향에 따라 흐름은 층류 또는 난류가 될 수 있다. 표면 거칠기가 다른 원형 관의 경우, 약 2000^[2]의 임계값 미만의 레이놀즈 수에서는 관의 흐름이 궁극적으로 층류가 되며, 임계값 이상에서는 무디 차트에서 볼 수 있듯이 난류가 지속될 수 있다.

관을 통한 흐름은 대략 다음 두 가지로 나눌 수 있다.

층류 - 하겐-포아젤 흐름 참조
난류 - 무디 선도 참조

6. 관수로의 평균 유속 경험식

Darcy-Weisbach 공식에서 손실수두 h_L과 마찰계수 f를 알면 평균 유속 V를 구할 수 있으나, f가 주어지지 않으면 시행착오법을 통해 구할 수밖에 없는 번거로움이 있다. 따라서 좀더 간편하고 실용적인 방법으로 평균유속을 구하는 매닝 공식, Chezy 공식, Hazen-Williams 공식과 같은 경험식들이 사용된다.^[1]

6. 1. Manning 공식

Darcy-Weisbach 공식에서 손실수두 h_L과 마찰계수 f를 알면 평균 유속 V를 구할 수 있으나, f가 주어지지 않으면 시행착오법을 통해 구할 수밖에 없는 번거로움이 있다. 따라서 좀더 간편하고 실용적인 방법으로 평균유속을 구하는 방법이 생겼다. 매닝 공식은 경험식으로, 평균유속을 구하는 간편한 방법 중 하나이다.^[1]

n은 조도 계수, R은 경심, I는 동수 경사라 할 때,

:

V=\frac{1}{n}R^{\frac{2}{3}}I^{\frac{1}{2}}

^[2]^[1]^[3]

조도 계수(coefficient of roughness) n은 관 벽의 거친 정도를 나타내는 계수이며, 다음 표와 같이 주어진다.

재료	n	재료	n
염화비닐관(신품)	0.009~0.012	연철관	0.012~0.014
놋쇠관, 유리관	0.01~0.012	도금한 연철관	0.013~0.015
용접, 강관	0.01~0.013	콘크리트관(활면)	0.012~0.013
칠한 주철관	0.01~0.013	콘크리트(조면)	0.014~0.016
주철관(신품)	0.012~0.014	흄관	0.011~0.014
낡은 주철관	0.014~0.018

조도 계수와 마찰손실계수 f의 관계는 다음 식과 같이 나타난다.^[2]^[1]

: $f=\frac{12.7gn^2}{D^{\frac{1}{3}}}=\frac{124.6n^2}{D^{\frac{1}{3}}} (m\cdot sec)$

6. 2. Chezy 공식

Darcy-Weisbach 공식에서 손실수두 h_L과 마찰계수 f를 알면 평균 유속 V를 구할 수 있으나, f가 주어지지 않으면 시행착오법을 통해 구할 수밖에 없는 번거로움이 있다. 따라서 좀더 간편하고 실용적인 방법으로 평균유속을 구하는 방법이 생겼다. 매닝 공식과 Chezy 공식은 모두 경험식으로, 평균유속을 구하는 간편한 방법들이다.^[1]

개수로, 관수로에 사용한다.

V=C\sqrt{RI}

여기서 C는 평균 유속 계수이며, 다음 식과 같다.

C=\frac{1}{n}R^{\frac{1}{6}}=\sqrt{\frac{8g}{f}}

(g는 중력가속도, f는 마찰 손실 계수이다)^[2]^[1]

6. 3. Hazen-Williams 공식

Darcy-Weisbach 공식에서 손실수두 h_L과 마찰계수 f를 알면 평균 유속 V를 구할 수 있으나, f가 주어지지 않으면 시행착오법을 통해 구할 수밖에 없는 번거로움이 있다. 따라서 좀더 간편하고 실용적인 방법으로 평균유속을 구하는 방법이 생겼다. 매닝 공식, Chezy 공식, Hazen-Williams 공식은 모두 경험식으로, 평균유속을 구하는 간편한 방법들이다.^[18]

Hazen-Williams 공식은 다음과 같다.

v = 0.84935 C R^0.63 I^0.54 = 0.35464 C D^0.63 I^0.54

C: Hazen-Williams 계수
R: 동수반경( $R=\frac{A}{P}$ )
I: 동수경사( $I = \frac{\text{마 찰 손 실 수 두 } h_L}{\text{관 길 이 } l}$ )

7. 소손실

관수로에서 마찰에 의한 손실이 아닌, 와(vortex, 渦), 단면의 변화, 흐름 방향의 변화, 만곡부에서의 2차류(secondary flow), 경계층의 발달에 의해 발생하는 손실을 '''소손실''', '''형상 손실''', '''부차적 손실'''이라고 한다. 마찰에 의한 주손실에 비해 크기가 작기 때문에 소손실이라고 부르지만, 부분적으로 열린 밸브 손실은 마찰 손실보다 클 수 있다.

소손실 수두(loss head due to minor loss)는 다음 식으로 나타낸다.

: $h_m=f_m\frac{V^2}{2g}$

여기서 f_m은 소손실 계수(또는 부차손실계수, coefficient of minor loss)이며, 소손실의 종류에 따라 달라진다.

Darcy-Weisbach 공식을 이용하여 부차적 손실을 나타낼 수도 있다. 이때 관의 길이는 '''등가길이'''(equivalent length)라고 하며, l_e로 표시한다.

: $h_m = f \frac{l_e}{d} \frac{V^2}{2g}$

이것은 부차적 손실이 생기는 만큼 관의 길이를 늘려주어서 주손실로만 나타내는 것이다. 위의 두 식을 결합하면 등가길이에 대한 식을 얻을 수 있다.

: $l_e = \frac{f_m d}{f}$

소손실에는 단면 급축소 손실, 단면 급확대 손실 등이 있다.

7. 1. 단면 급축소 손실

관 단면적이 급격하게 줄어들 때, 흐름이 바로 좁아진 단면을 채우지 못하고 중간에 '축류부'라는 더 좁은 단면이 생긴다. 이때 발생하는 손실을 단면 급축소 손실이라고 하며, 다음 식으로 나타낼 수 있다.^[19]

:

h_{sc} = \left( \frac{A_1}{A_c} -1 \right)^2 \frac{V_2^2}{2g}

7. 1. 1. 입구 손실

큰 저수지나 관에서 작은 관으로 유입될 때 손실이 발생하는데 이를 입구 손실이라 하고, 입구 손실 수두를

h_e=f_e\frac{V^2}{2g}

로 나타낸다. 입구 손실 계수는 일반적으로 f_e=0.5이다.^[19] 입구 손실은 단면 급축소 손실의 극단적인 예이다.

7. 2. 단면 급확대 손실

관의 단면적이 급격하게 확대될 때, 즉 관 단면적이 A₁에서 A₂인 관으로 변할 때 단면 급확대 손실은 다음과 같다.

:

h_{se} = \left( 1 - \frac{A_1}{A_2} \right)^2 \frac{V_1^2}{2g}

7. 2. 1. 출구 손실

관에서 저수지나 큰 관으로 유출될 때 발생하는 손실을 출구 손실이라고 하며, 단면 급확대 손실의 극단적인 예이다. 일반적으로 출구 손실 계수 f₀=1.0이다.

8. 관수로의 종류

관수로는 관로의 연결 상태에 따라 다음과 같이 분류한다.

'''단일 관수로''': 두 개의 수조나 저수지를 하나의 관으로 연결한 것이다. 사이펀 등이 있다.
'''병렬 관수로''': 두 개의 수조나 저수지를 중간에 두 갈래로 나누었다가 다시 합쳐지는 관, 혹은 아예 두 개의 관으로 연결하는 경우이다.
'''다지 관수로''': 여러 개의 관이 서로 다른 수조나 저수지에 연결된 경우이다. branching pipe line^영어라고도 한다.^[1]

8. 1. 단일 관수로

단일 관수로는 두 개의 수조나 저수지를 하나의 관으로 연결한 것이다. 단일관수로에는 등단면 관수로, 부등단면 관수로, 사이펀이 있다.

8. 1. 1. 등단면 관수로 해석

관의 직경이 일정한 단일 관수로의 해석 방법이다.^[1]

입구 손실, 주 손실, 출구 손실만 고려해주면 된다.^[1]

:

H=\left( f\frac{l}{d} + f_e + f_o \right) \frac{V^2}{2g}

8. 1. 2. 부등단면 관수로 해석

사이펀과 더불어 단일관수로의 한 종류이다. 관의 직경이 변하는 단일 관수로의 해석은 다음 세 가지 방법을 통해 가능하다.

'''시행착오법''' : 흐름을 완전 난류로 가정하여 마찰계수 f를 구하고, 주어진 총 손실 H와 f를 이용해 평균 유속 V를 구한다. 이후 레이놀즈 수 Re를 구한 뒤, e/d를 이용하여 다시 f를 구하는 과정을 반복, 초기 가정치 f와 결과값 f를 비교하여 두 값이 일치할 때까지 진행하는 방법이다. f의 계산이 끝나면 평균 유속 V를 결정할 수 있고, 관의 직경 d가 주어졌으므로 유량 Q도 결정할 수 있다.(Q=AV)
'''도식해법''' : 마찰계수를 가정하는 것이 아니라 적당한 수의 유량 Q를 가정하고, Q에 따른 총 수두손실 H의 관계를 그래프로 그려서 해결하는 방법이다. 주어지는 총 손실 H값을 그래프 상에 대입해 보면 구하고자 하는 유량 Q를 알 수 있게 된다.
'''등가길이관'''(equivalent length pipe) : 단면이 서로 다른 두 관을 비교할 때, 같은 유량에서 동일한 수두손실을 나타낸다면 두 관은 등가길이를 갖게 된다. 이때 두 관에 부차적 손실이 있는 경우 부차적 손실을 이에 해당하는 관의 길이로 바꾸어서 각 관의 길이에 더해주어야 한다. 그 다음 같은 단면적의 관으로 바꿔준 다음 Darcy-Weisbach 공식으로 평균 유속 V와 Q를 구할 수 있다.

8. 2. 병렬 관수로

병렬 관수로(parallel pipe line)는 두 개의 수조나 저수지를 중간에 두 개로 분기했다가 합쳐지는 관, 혹은 아예 두 개의 관으로 연결하는 경우를 말한다.^[1]

8. 3. 다지 관수로

여러 개의 관이 서로 다른 저수지에 연결된 형태이다.^[1] branching pipe line^영어라고도 한다.

참조

_[1] 서적 Fluid mechanics: fundamentals and applications McGraw-Hill Higher Education 2006
_[2] 간행물 The Onset of Turbulence in Pipe Flow https://www.science.[...] 2011-07
_[3] 간행물 Laminar-turbulent transition in ducts of rectangular cross section 1966
_[4] 간행물 Early turbulence and pulsatile flows enhance diodicity of Tesla's macrofluidic valve 2021-05-17
_[5] 논문 2012
_[6] 논문 2012
_[7] 논문 2012
_[8] 논문 2010
_[9] 논문 2012
_[10] 논문 2012
_[11] 논문 2012
_[12] 논문 2010
_[13] 논문 2010
_[14] 논문 2012
_[15] 논문 2012
_[16] 논문 2012
_[17] 논문 2012
_[18] 서적 토목기사 상하수도공학 한솔아카데미 2016
_[19] 논문 2012

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