베르누이 방정식

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 역사
3. 기본 원리 및 가정
- 3.1. 가정
4. 베르누이 방정식의 형태
5. 베르누이 방정식의 응용
6. 베르누이 방정식의 한계
7. 베르누이 방정식과 관련된 논란 및 오해
- 7.1. 양력 발생 원리에 대한 오해
- 7.2. 베르누이 방정식 적용에 대한 오해
8. 베르누이 방정식의 확장
참조

1. 개요

베르누이 방정식은 유체역학에서 유체의 속도, 압력, 높이 사이의 관계를 나타내는 중요한 원리이다. 이 방정식은 비압축성, 비점성, 정상류 등의 조건을 만족하는 유체에 적용되며, 유선상에서 에너지 보존을 설명한다. 베르누이 방정식은 다양한 형태로 표현되며, 압축성 유동과 비압축성 유동에 따라 다른 형태를 가진다. 이 원리는 항공기의 양력 발생, 기화기, 분사기, 피토관, 벤투리 미터 등 다양한 분야에 응용된다. 하지만, 실제 유체에는 점성, 압축성 등의 영향이 존재하므로, 베르누이 방정식 적용에는 한계가 있으며, 양력 발생 원리나 교실 실험에 대한 오해를 불러일으키기도 한다.

더 읽어볼만한 페이지

상태 방정식 - 퓨가시티
퓨가시티는 혼합물 내 상들의 평형 상태에서 물질 이동 현상을 설명하는 '이탈 성향' 척도로, 실제 기체의 거동을 이상 기체 법칙에 가깝게 보정하는 데 사용되며 화학 퍼텐셜과 관련이 있다.
상태 방정식 - 반데르발스 상태 방정식
반데르발스 상태 방정식은 기체 분자 간 인력과 분자 자체의 부피를 고려하여 실제 기체의 상태를 기술하고, 압력, 부피, 온도, 몰수 사이의 관계를 나타내며, 기상과 액상 간 상전이 설명과 열역학적 개념 이해에 중요한 방정식이다.
유체역학 방정식 - 나비에-스토크스 방정식
나비에-스토크스 방정식은 유체의 운동을 기술하는 비선형 편미분방정식으로, 질량 및 운동량 보존 법칙에 기반하며, 해의 존재성과 매끄러움은 밀레니엄 문제이지만 다양한 유체 흐름 모델링과 수치 해석적 응용에 활용된다.
유체역학 방정식 - 크리핑 유동
크리핑 유동은 낮은 레이놀즈 수에서 점성력이 관성력보다 우세하여 끈적한 저항에 의해 유체의 움직임이 지배되는 흐름으로, 스토크스 방정식으로 기술되며 순간성, 시간 가역성과 같은 특징을 갖는다.

베르누이 방정식

2. 역사

1738년 다니엘 베르누이가 자신의 저서 《유체역학》에서 베르누이 방정식을 처음 제시했다.^[62] 레온하르트 오일러는 1752년에 베르누이 방정식을 유도하고 완전한 형태로 발전시켰다.^[62]

3. 기본 원리 및 가정

베르누이 방정식은 유체가 유선을 따라 흐를 때, 역학적 에너지 보존 법칙에 따라 운동 에너지, 위치 에너지, 압력 에너지의 합이 일정하게 유지된다는 원리를 따른다.^[83]

베르누이 방정식은 비압축성 유동(incompressible flow), 즉 유체가 흐르는 동안 밀도가 변하지 않는 흐름에 대해 유효하다.^[83] 대부분의 액체는 밀도가 거의 일정하므로 비압축성 유동으로 간주할 수 있다. 기체의 경우에도 유동 속도가 매우 낮아 밀도 변화가 무시할 만한 수준이라면 비압축성 유동으로 볼 수 있다.

3. 1. 가정

베르누이 방정식을 적용하려면 다음과 같은 가정이 필요하다.

유체는 비압축성이어야 한다.^[83] 즉, 압력이 변해도 밀도가 일정해야 한다.
점성력(viscous force)이 없어야 한다.^[83] 즉, 유체 내부 마찰이 없어야 한다.
정상류여야 한다.^[83] 즉, 시간에 따라 유동 속도, 압력, 밀도 등의 흐름 특성이 변하지 않아야 한다.
하나의 유선에 대해서만 적용된다.^[83]
외부와의 에너지 교환이 없어야 한다.^[83]

베르누이 정리는 비점성 유체의 분류에 따라 여러 유형으로 나뉘지만, 크게 두 가지 유형으로 분류할 수 있다.

외력이 보존력이고, 바로트로픽성(밀도가 압력만의 함수)이며, 정상류라는 조건에서 성립하는 법칙 (I)
소용돌이 없는 흐름이라는 조건에서 성립하는 법칙 (II)

(I)의 법칙은 유선 위에서만 베르누이 방정식이 성립한다는 제약이 있지만, (II)의 법칙은 전 공간에서 식이 성립한다.

4. 베르누이 방정식의 형태

베르누이 방정식의 원래 형태는 다음과 같다.

: ${p} + {\rho v^2 \over 2} + \rho gh = \mbox{constant}$

여기서,

$v$ 는 유선 내 한 점에서의 유동 속도
$g$ 는 중력 가속도
$h$ 는 기준면에 대한 그 점의 높이
$p$ 는 그 점에서의 압력
$\rho$ 는 유체의 밀도

이다.

위 식에서 속도의 제곱과 압력이 선형적인 관계를 가지는 것처럼 보이지만, 실제 기체에서는 속도가 낮을 경우에만 이러한 관계가 성립한다. 액체의 경우 속도가 높아지면 공동현상과 같은 비선형 과정들이 발생한다. 기체의 경우 속도가 높아지면 밀도가 변하여, 밀도가 일정하다는 가정이 맞지 않게 된다.^[84]

위 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

{\rho v^2 / 2} + \rho g h + p = q + \rho g h + p = \mbox{constant}

여기서

q \equiv {\rho v^2 / 2}

는 동압력이라고 부른다.

베르누이 방정식을 실제로 쓸 때는, 유선 상의 유동에서

\rho g h

가 0이거나 무시할 만큼 작은 경우가 많다. 이런 경우 위 식은 다음과 같이 간략해진다.

:

p + q = p_0

여기서

p_0

는 전압력 또는 정체압력이라 부르며,

p

는 전압력 및 동압력과 구별하기 위하여 정압력이라 부른다.^[84] 보통 "압력"이라 하면 정압력을 지칭하는 경우가 많다.

따라서 단순화된 베르누이 방정식은 "정압력 + 동압력 = 전압력"으로 요약될 수 있다.^[78] 즉, 베르누이 방정식은 "유선 상에서의 전압력은 일정하다"는 말로 해석될 수 있다.

베르누이 방정식은 수두(水頭) 또는 에너지에 의해 다음과 같이 표현될 수 있다.

'''수두(水頭)에 의한 표현'''

:

\frac{v^2}{2g}+\frac{p}{\rho g}+z=H_0=\mathrm{constant}

［m］

$\frac{v^2}{2g}$ : '''속도 수두'''(velocity head)
$\frac{p}{\rho g}$ : '''압력 수두'''(pressure head)
$z$ : '''위치 수두'''(potential head)
$H_0$ : '''전 수두'''(total head)

'''에너지에 의한 표현'''

:

\frac{1}{2}m_0 v^2+ p \frac{m_0}{\rho}+m_0 g z =\mathrm{constant}

［J］

'''압력에 의한 표현'''

:

\frac{1}{2}\rho v^2 + p+\rho g z=\mathrm{constant}

［Pa］

4. 1. 비압축성 유동 방정식

대부분의 액체 흐름과 마하수가 낮은 기체의 흐름에서, 유체 소포의 밀도는 흐름 내 압력 변화와 관계없이 일정하다고 간주할 수 있다. 따라서 유체는 비압축성으로 간주할 수 있으며, 이러한 흐름을 비압축성 흐름이라고 한다. 베르누이가 그의 실험을 액체에 대해 수행했으므로, 그의 방정식은 원래 형태에서는 비압축성 흐름에만 유효하다.

베르누이 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같다.

:

\frac{v^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{constant}

여기서:

$v$ 는 한 점에서의 유체 흐름 속도,
$g$ 는 중력 가속도,
$z$ 는 기준면 위의 점의 높이(양의 $z$ 방향은 위쪽, 즉 중력 가속도와 반대 방향을 가리킴),
$p$ 는 선택된 점에서의 압력,
$\rho$ 는 유체 내 모든 점에서의 밀도이다.

베르누이 방정식과 베르누이 상수는 단위 질량당 에너지가 균일한 흐름 영역 전체에 적용된다. 잘 혼합된 저수지의 액체는 단위 질량당 에너지가 전체적으로 균일하기 때문에, 베르누이 방정식을 사용하여 저수지 내 모든 곳(저수지가 공급하는 파이프 또는 흐름장 포함)의 유체 흐름을 분석할 수 있다. 단, 점성력이 지배적이어서 단위 질량당 에너지를 감소시키는 경우는 제외된다.^[6]

이 베르누이 방정식을 적용하려면 다음 가정을 충족해야 한다.^[2]

흐름은 정상 상태여야 한다. 즉, 임의의 지점에서 흐름 매개변수(속도, 밀도 등)는 시간에 따라 변할 수 없다.
흐름은 비압축성이어야 한다. 압력이 변하더라도 밀도는 유선을 따라 일정해야 한다.
점성력에 의한 마찰은 무시할 수 있어야 한다.

보존력장(중력장으로 제한되지 않음)의 경우, 베르누이 방정식은 다음과 같이 일반화할 수 있다.^[2]

:

\frac{v^2}{2} + \Psi + \frac{p}{\rho} = \text{constant}

여기서

\Psi

는 고려되는 점에서의 힘 포텐셜이다. 예를 들어, 지구의 중력의 경우

\Psi = gz

이다.

유체 밀도

\rho

를 곱하면, 위 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

\tfrac{1}{2} \rho v^2 + \rho g z + p = \text{constant}

또는:

:

q + \rho g h = p_0 + \rho g z = \text{constant}

여기서

$q = \tfrac{1}{2}\rho v^2$ 는 동압,
$h = z + \tfrac{p}{\rho g}$ 는 압력수두 또는 수두(높이 $z$ 와 압력수두의 합)^[11]^[12],
$p_0 = p + q$ 는 정압(정압 $p$ 과 동압 $q$ 의 합)이다.^[13]

베르누이 방정식의 상수는 정규화할 수 있다. 일반적인 방법은 '''전수두''' 또는 '''에너지 수두'''

H

를 사용하는 것이다.

:

H = z + \frac{p}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} = h + \frac{v^2}{2g}

위 방정식은 압력이 0이 되는 유속이 있으며, 더 높은 속도에서는 압력이 음수가 됨을 시사한다. 대부분의 경우, 기체와 액체는 음의 절대 압력이나 0 압력을 가질 수 없으므로, 베르누이 방정식은 0 압력에 도달하기 전에 유효하지 않게 된다. 액체의 경우 압력이 너무 낮아지면 캐비테이션이 발생한다. 위 방정식은 유속 제곱과 압력 사이의 선형 관계를 사용한다. 기체의 더 높은 유속이나 액체의 소리파의 경우, 질량 밀도의 변화가 상당해져서 일정한 밀도라는 가정이 유효하지 않게 된다.

4. 2. 단순화된 형태

Bernoulli's principle|베르누이 방정식^영어에서 높이 변화가 무시할 만큼 작은 경우, 즉 ρgz 항의 변화가 매우 작아 무시할 수 있는 경우(비행 중인 항공기)에는 다음과 같이 단순화된 형태로 나타낼 수 있다.^[14]

:

p + q = p_0

여기서

p₀는 전압력(total pressure) 또는 정체압력(stagnation pressure)이라 부른다.
p는 정압력(static pressure)이라 부르며,^[84] 전압력 및 동압력dynamic pressure|동압^영어과 구별하기 위해 사용한다. 보통 그냥 "압력"이라 하면 정압력을 지칭하는 경우가 많다.

따라서 단순화된 베르누이 방정식은 다음과 같이 요약할 수 있다.^[78]

: 정압력 + 동압력 = 전압력

이는 "유선 상에서의 전압력은 일정하다"는 말로 해석될 수 있다. 또한 만약 그 유동이 한 곳에서 출발하였다면, "그 유동 내의 모든 점에서의 전압력은 일정하다"고 할 수 있다. 그러나 이 식은 경계층 내에는 적용되지 않는다.^[1]

위치 에너지의 변화를 무시할 수 있는 경우, 비점성·비압축성 유체의 정상적인 흐름에서 유선 상에서

:

\frac{1}{2} \rho v^2 + p = p_0 (=\mathrm{constant})

가 성립한다. (v는 속도, p는 압력, ρ는 밀도)

여기서

정압(static pressure): $p$ 는 유체가 실제로 외부에 미치는 압력이다.
동압(dynamic pressure): $q = \frac{1}{2}\rho v^2$ 는 유체 요소의 운동 에너지에 상당하는 양이다.
전압(total pressure): $p_0 = p + q$ 는 동압과 정압의 합이다.

4. 3. 압축성 유동 방정식

압축성 유체에 대해, 등온압 상태 방정식을 따르고 보존력의 작용하에,^[16]

:\frac {v^2}{2}+ \int_{p_1}^p \frac {\mathrm{d}\tilde{p}}{\rho\left(\tilde{p}\right)} + \Psi = \text{상수 (유선을 따라)}

여기서:

는 압력
는 밀도이며 는 밀도가 압력의 함수임을 나타낸다.
는 유속
는 보존력장과 관련된 퍼텐셜이며, 종종 중력 퍼텐셜을 의미한다.

공학적 상황에서는, 고도는 일반적으로 지구 크기에 비해 작고, 유체 흐름의 시간 척도는 상태 방정식을 단열 과정으로 간주할 만큼 충분히 작다. 이 경우, 이상 기체에 대한 위의 방정식은 다음과 같다.^[1]

:\frac {v^2}{2}+ gz + \left(\frac {\gamma}{\gamma-1}\right) \frac {p}{\rho} = \text{상수 (유선을 따라)}

여기서, 위에 나열된 항 외에:

는 유체의 비열비
는 중력 가속도
는 기준면 위의 점의 고도

압축성 유동의 많은 응용 분야에서 고도의 변화는 다른 항에 비해 무시할 수 있으므로, 항은 생략할 수 있다. 그러면 매우 유용한 방정식의 형태는 다음과 같다.

:\frac {v^2}{2}+\left( \frac {\gamma}{\gamma-1}\right)\frac {p}{\rho} = \left(\frac {\gamma}{\gamma-1}\right)\frac {p_0}{\rho_0}

여기서:

는 전압
는 전밀도

음속의 정의

:a = \sqrt{\gamma\left({p/\rho}\right)}

를 이용하면, 베르누이 정리는

:v = \sqrt{ \frac {2}{\gamma-1}(a_s^2-a^2) }

가 유선 상에서 성립한다. (''a_s''는 정체점에서의 음속)

가 된다.

진공에서는 ''a'' =0이 되므로, 그때 유속은 최댓값

:v_{max} = \sqrt{ \frac {2}{\gamma-1} }a_s

에 도달한다. 예를 들어, 큰 용기에 봉입된 기체가 용기 벽의 작은 구멍으로 진공 속으로 분출되는 경우의 유속이 그것에 해당한다. 용기 안이 1기압, 15℃의 공기인 경우, '''

\gamma = 1.4, a_s = 340 m/s

'''이므로, '''

v_{max} = 760 m/s

'''가 된다.^[64]

등엔트로피 흐름의 경우, 위 방정식은 다음과 같이 된다.

:\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{\nabla \phi \cdot \nabla \phi}{2} + \Psi + \frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{p}{\rho} = \text{constant}

5. 베르누이 방정식의 응용

비행기가 공중으로 떠올라 비행할 수 있도록 만들어주는 힘을 양력이라 하는데, 이러한 양력은 베르누이 법칙에 의해 날개 설계에 반영된다.^[85] 비행기 날개의 단면은 하부가 직선이고 상부가 곡면으로 이루어져 있다. 이때 상부를 흐르는 공기는 코안다 효과에 의해 곡면을 따라 이동 거리가 증가하고, 이에 따라 속도가 증가한다. 유체의 이동 속도와 압력이 반비례하는 베르누이 법칙에 따라 날개 상부의 기압은 하부에 비해 상대적으로 감소한다. 유체는 압력이 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐르려는 성질이 있으므로, 공기가 날개를 위로 밀어 올려 비행기가 부상하게 된다.^[85]

압력 감소에 따른 온도 저하(에 따른)로 인해 에어버스 A340 항공기 날개 상부 표면에 나타나는 응결 현상

베르누이 원리는 항공기 날개 주변의 유체 흐름을 통해 익형에 작용하는 양력을 계산하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 항공기 날개의 윗면을 지나는 공기의 속도가 아랫면을 지나는 공기의 속도보다 빠르다면, 베르누이 원리에 의해 날개 표면의 압력이 위쪽이 아래쪽보다 낮아진다. 이 압력 차이로 인해 위쪽으로 향하는 양력이 발생한다.^[1]^[23] 날개의 위아래 표면 속도 분포를 알면 베르누이 방정식을 사용하여 (근사적으로) 양력을 계산할 수 있다.^[24]

왕복 엔진에 사용되는 기화기에는 벤투리가 포함되어 압력이 낮은 영역을 생성, 연료를 기화기로 끌어들여 유입되는 공기와 혼합한다. 벤투리의 목 부분의 저압은 베르누이 원리로 설명 가능하다. 좁은 목 부분에서 공기는 가장 빠른 속도로 이동하므로 압력이 가장 낮다.

이 외에도 다음과 같은 다양한 응용 사례가 존재한다.

증기 기관차 또는 정적 보일러의 분사기.
항공기의 피토관과 정압공은 항공기의 대기 속도를 측정하는 데 사용된다. 베르누이 원리는 대기 속도 지시계를 보정하여 동압에 맞는 지시 대기 속도를 표시하도록 한다.^[1]
드 라발 노즐은 베르누이 원리를 이용하여 추진제 연소에 의해 생성된 압력 에너지를 속도로 전환하여 힘을 생성한다.
벤투리 미터 또는 오리피스 플레이트와 같은 장치를 사용하여 유체의 흐름 속도를 측정할 수 있다. 벤투리 효과를 통해 직경이 감소된 영역에서 압력이 감소하는 현상을 이용한다.
베이스에 구멍이나 탭이 있는 탱크의 최대 배수 속도는 베르누이 방정식을 사용하여 직접 계산할 수 있다. 이는 토리첼리의 법칙과도 관련이 있다.^[25]
베르누이 그립은 이 원리를 이용하여 표면과 그리퍼 사이에 비접촉 접착력을 생성한다.
크리켓 경기 중에 투수는 공의 한쪽을 계속해서 광택을 낸다. 시간이 지나면 한쪽은 매우 거칠어지고 다른 쪽은 여전히 매끄럽다. 따라서 공이 던져져 공기 중을 지나갈 때 공의 한쪽 속도가 다른 쪽보다 빠르며, 이로 인해 양쪽 사이에 압력 차이가 발생한다.

6. 베르누이 방정식의 한계

베르누이 방정식은 비압축성 유동(incompressible flow)에 대해서만 유효하다.^[83] 대부분의 경우 액체는 밀도가 일정하다고 생각할 수 있어 비압축성 유동으로 간주할 수 있다. 기체의 경우에도 유동 속도가 매우 낮아 밀도 변화가 무시할 만큼 작은 경우에는 비압축성으로 간주할 수 있다.

베르누이 방정식을 적용하기 위한 가정은 다음과 같다.

유체는 비압축성이어야 한다.^[83] 압력이 변해도 밀도는 변하지 않아야 한다.
유선이 경계층을 통과해서는 안 된다.
점성력(viscous force)이 존재하지 않아야 한다.
시간에 대한 변화가 없어야 한다(정상상태, steady state).^[83]
하나의 유선에 대해서만 적용된다.^[83]
하나의 유선상 총 에너지는 일정하다.^[83]
흐름 외부와의 에너지 교환은 없다.^[83]
회전하지 않는 흐름이라면 서로 다른 유선 사이에서도 압력과 속도를 비교할 수 있다. 비점성 유체에서는 상류가 균일한 흐름 또는 정지 상태에서 시작된 흐름은 회전하지 않는 흐름이므로, 균일한 흐름 속의 익형 문제에서는 서로 다른 유선에서도 비교가 가능하다. (단, 불연속 흐름이나 분류 영역, 경계층과 후류 영역은 제외)

일반적으로 서로 다른 유선 간의 비교는 불가능하지만, 유선곡률의 정리를 사용하면 서로 다른 유선 간의 비교가 가능하다.

점성 유체라도 경계층 외부나 후류 외부의 층류 영역과 같이, 비압축성·회전하지 않는 흐름이라면 점성 항의 기여를 무시할 수 있으므로, 그 영역에서는 베르누이 정리를 적용할 수 있다.

7. 베르누이 방정식과 관련된 논란 및 오해

베르누이 방정식은 유체역학에서 중요한 원리이지만, 종종 오해를 받거나 논란의 대상이 되기도 한다.
양력 발생 원리에 대한 오해

날개 주변의 공기 흐름에 대해, 날개 윗면과 아랫면을 통과하는 공기가 같은 시간에 도착해야 한다는 "동시 도착 원리"가 널리 퍼져 있다. 이 원리에 따르면, 윗면의 경로가 더 길기 때문에 윗면의 공기 속도가 더 빨라야 하고, 베르누이 방정식에 의해 압력이 낮아져 양력이 발생한다는 것이다.^[26]^[27]

하지만, 실제로는 날개 윗면을 통과하는 공기가 더 빨리 도착하며, "동시 도착 원리"는 성립하지 않는다.^[28]^[29]^[30] 이는 베르누이 방정식이 틀렸다는 의미가 아니라, 속도 분포를 설명하는 "동시 도착 원리"가 잘못되었다는 것을 의미한다. 베르누이 방정식 자체는 여전히 유효하며, 양력 계산에 정확하게 사용될 수 있다.^[31]^[32]

종이 위로 바람을 불면 종이가 뜨는 실험과 같이, 베르누이 방정식을 잘못 적용하여 "공기 속도가 빠를수록 압력이 낮아진다"고 설명하는 경우가 있다.^[33] 그러나 이 설명은 종이 아래로 바람을 불어도 종이가 뜨는 현상, 입에서 나오는 공기의 압력이 주변 공기와 같다는 점, 종이 위아래의 흐름이 서로 다른 흐름장이라는 점 등을 고려하지 않은 것이다.^[37]^[38]^[39]^[40]^[41]^[42]^[43]^[44]

베르누이 방정식은 흐름장 ''내부''에서 속도와 압력의 ''변화''를 설명하는 것이며, 서로 다른 흐름장을 비교하는 데 사용할 수 없다.^[45]^[46] 종이가 뜨는 현상은 플룸이 종이 곡면을 따라 흐르면서 발생하는 압력 기울기 때문이며, 베르누이 방정식은 이 압력 감소가 속도 증가와 관련되어 있음을 보여준다.^[47]^[48]^[49]^[50]

"동시 도착 원리"의 오류와는 별개로, 베르누이 방정식 대신 유선 곡률 정리나 뉴턴의 운동 방정식을 사용해야 한다는 오해도 있다. 하지만 날개 주위 유체의 속도 분포가 정확히 알려지면, 어떤 이론을 사용하든 같은 결과를 얻게 된다. 이는 모두 뉴턴 역학에 기반한 이론이기 때문이다.^[72]^[73]

날개 주위의 속도 분포를 설명하는 이론으로는 코안다 효과^[74]^[75]와 쿠타 조건 등이 있다. 코안다 효과는 점성에 의해 유체가 물체 표면을 따라 흐르는 현상을 말하며, 쿠타 조건은 날개 뒷전에서 유체가 부드럽게 떨어져 나가는 조건을 말한다. 쿠타 조건을 이용하여 순환량을 결정하고, 쿠타-주코프스키 정리를 통해 양력을 계산할 수 있는데, 이 정리의 유도에는 베르누이 방정식이 사용된다.^[77]
베르누이 방정식 적용에 대한 오해베르누이 방정식은 서로 다른 유선 간에는 적용할 수 없다는 오해가 있지만, 모든 경우에 그런 것은 아니다.^[41]^[42]^[43]^[44]

비회전 흐름: 유체가 회전하지 않는 흐름(비회전 흐름)의 경우, 서로 다른 유선 간에도 베르누이 방정식을 적용할 수 있다.
균일한 흐름: 균일한 흐름 속의 익형 문제처럼, 전체 공간에 베르누이 방정식을 적용할 수 있는 경우도 있다.

일반적으로 베르누이 정리는 동일한 유선 내에서 적용되지만, 곡률의 정리를 이용하면 서로 다른 유선 간의 비교도 가능하다.

7. 1. 양력 발생 원리에 대한 오해

공기역학적 양력에 대한 가장 흔한 잘못된 설명 중 하나는 공기가 날개의 상부와 하부 표면을 동일한 시간에 통과해야 한다는 주장이다.^[26]^[27] 이는 상부 표면이 더 긴 경로를 제공하기 때문에 공기가 날개 상단을 하단보다 더 빠르게 이동해야 함을 의미한다. 그런 다음 베르누이 방정식을 인용하여 날개 상단의 압력이 하단보다 낮아야 한다고 결론짓는다.

하지만, 양력을 발생시키는 물체의 경우 등속 주행 시간을 요구하는 물리적 원리는 없다. 실제로 이론과 실험에 따르면, 양력을 경험하는 물체의 상부 표면을 통과하는 공기는 하부 표면을 통과하는 시간보다 ''짧은'' 시간에 통과한다. 따라서 등속 주행 시간에 기반한 설명은 거짓이다.^[28]^[29]^[30] 등속 주행 시간 설명이 거짓이지만, 베르누이 방정식이 거짓인 것은 아니다. 베르누이 방정식은 잘 확립되어 있으며, 공기역학적 양력에 대한 일반적인 수학적 처리에서 베르누이 방정식이 올바르게 사용된다.^[31]^[32]

베르누이 방정식과 관련된 몇몇 일반적인 교실 실험이 베르누이 방정식을 사용하여 잘못 설명되는 경우가 있다.^[33] 그중 하나는 종이 한 장을 수평으로 잡아 아래로 처지게 한 다음 종이 위쪽으로 바람을 불어주는 실험이다. 실험자가 종이 위로 바람을 불면 종이가 위로 올라간다. 그러면 이 현상을 "공기의 속도가 빠를수록 압력이 낮아진다"는 이유로 설명한다.^[34]^[35]^[36]

이 설명에는 몇 가지 문제점이 있다. 첫째, 종이 아래쪽으로 바람을 불어도 종이는 위로 올라간다. 만약 종이의 움직임이 공기의 속도가 빨라서 발생했다면, 종이는 아래로 처져야 한다.^[37] 둘째, 실험자가 입으로 바람을 불 때 공기의 압력은 주변 공기와 ''같다''.^[38] 공기가 움직인다고 해서 압력이 낮아지는 것은 아니다. 실험에서 실험자의 입에서 나오는 공기의 정압은 주변 공기의 압력과 ''같다''.^[39]^[40] 셋째, 종이의 위쪽과 아래쪽의 흐름을 베르누이 방정식을 사용하여 연결하는 것은 잘못된 것이다. 종이의 위와 아래는 ''다른'' 흐름장이고 베르누이 방정식은 하나의 흐름장 내에서만 적용되기 때문이다.^[41]^[42]^[43]^[44]

원리의 표현 방식에 따라 의미가 달라질 수 있으므로 원리를 정확하게 진술하는 것이 중요하다.^[45] 베르누이 방정식이 실제로 말하는 것은 일정한 에너지의 흐름 내에서 유체가 저압 영역을 통과할 때 속도가 빨라지고 그 반대도 마찬가지라는 것이다.^[46] 따라서 베르누이 방정식은 흐름장 ''내부에서'' 속도의 ''변화''와 압력의 ''변화''에 관한 것이다. 서로 다른 흐름장을 비교하는 데 사용할 수 없다.

종이가 위로 올라가는 이유를 정확하게 설명하려면 플룸이 종이의 곡선을 따라 흐르고 곡선의 유선은 흐름 방향에 수직인 압력 기울기를 형성하며, 곡선의 안쪽이 압력이 낮다는 것을 관찰해야 한다.^[47]^[48]^[49]^[50] 베르누이 방정식은 압력 감소가 속도 증가와 관련되어 있다고 예측한다. 다시 말해, 공기가 종이 위를 지나갈 때, 속도가 빨라져 실험자의 입에서 나왔을 때보다 더 빠르게 움직인다. 하지만 이것은 실험에서 명확하게 나타나지는 않는다.^[51]^[52]^[53]

두 개의 매달린 구슬 사이에 바람을 불거나, 큰 주머니를 부풀리거나, 공기를 흐르게 하여 공을 매달아 두는 등의 다른 일반적인 교실 실험도 "공기의 속도가 빠를수록 압력이 낮아진다"는 식으로 비슷하게 오해를 불러일으키는 방식으로 설명되는 경우가 있다.^[54]^[55]^[56]^[57]^[58]^[59]^[60]^[61]

베르누이 방정식은 충분히 검증된 이론이다.^[66]^[67]^[68] 날개 주위 유체의 '''속도 분포'''를 정확히 알면, 베르누이 방정식을 사용하여 날개에 발생하는 '''양력'''의 크기를 충분히 좋은 정확도로 '''계산할 수 있다'''. 그러나 베르누이 방정식만으로는 날개의 형태로부터 유체의 속도 분포를 구할 수 없으므로, 날개 주위 유체의 속도 분포를 설명하는 이론이 별도로 필요하다. 그 이론에 대해 오해가 있다.

양력에 대한 일반인을 위한 설명에는, "동시 도착 원리" 때문에 날개 위쪽의 흐름이 아래쪽 흐름보다 빨라지고, 베르누이 방정식에 의해 날개 위쪽의 압력이 아래쪽 압력보다 작아져서, 따라서 위쪽으로 향하는 양력이 발생한다고 설명하는 것이 있다.^[69]

"동시 도착 원리"란, "날개의 앞전에서 위아래로 갈라진 유체는 날개의 뒷전에서 동시에 도착한다."는 원리이다. 이 원리에 의해, 날개 위쪽의 경로 길이가 아래쪽 경로 길이보다 긴 경우, "날개 위쪽을 흐르는 속도가 아래쪽 속도보다 커진다"는 날개 주위의 유체 속도 분포가 "유도된다". 그러나 실제로는, 위쪽의 흐름이 뒷전에 더 빨리 도착하며, '''동시 도착 원리는 성립하지 않는다'''.^[70]

현재, "동시 도착 원리"가 잘못되었다는 것은 널리 알려지게 되었다. 하지만, "베르누이 방정식을 양력 설명에 사용하는 것은 잘못이며, 유선 곡률 정리나 뉴턴의 운동 방정식을 사용해야 한다"는 오해도 나타나게 되었다.

일반인을 위한 설명에서 잘못된 것은 "동시 도착 원리"뿐이며, "동시 도착 원리"는 베르누이 방정식과는 무관하다. 오히려, 동시 도착 원리의 불성립으로 이어진, 위쪽의 흐름이 후단에 더 빨리 도착한다는 실험 사실은, 베르누이 방정식에 의한 양력의 발생을 "보강할 뿐, 부정적인 의견이 되지는 않는다".^[71]

또한, 베르누이 방정식이 잘못이고 유선 곡률 정리나 뉴턴의 운동 방정식이 옳다는 것은 모순을 포함한다. 날개 주위의 유체 '''속도 분포가 정확히 알려지면''', 베르누이 방정식이든, 유선 곡률 정리이든, 운동량 변화와 충격량(혹은 반작용)의 관계이든, 정확하게 적용하는 한, '''같은 결과를 얻을 수 있다'''. 왜냐하면, '''이것들은 모두 뉴턴 역학에 기원을 둔 이론이기 때문이다'''.^[72]^[73]

날개 주위의 속도 분포를 설명하는 이론으로는 "동시 도착의 원리" 외에도, 코안다 효과^[74]^[75]와 쿠타 조건 등이 있다.

코안다 효과는 "점성의 효과에 의해 날개의 형태를 따라 흐른다"는 것으로, 이것과 작용 반작용 법칙을 이용한 양력의 원리 설명은 베르누이 방정식을 사용하지 않는 설명으로 알려져 있다. 하지만 코안다 효과는 원래 분류(제트)가 물체를 따라가는 성질이며, 일반적인 날개에는 분류가 발생하지 않으므로, 코안다 효과를 일반적인 날개의 속도 분포 설명에 사용하는 것은 부적절하다는 의견도 있다.^[76] 따라서 코안다 효과를 이용한 양력 설명에는 의문이 있다.

쿠타 조건은 "점성의 효과에 의해 날개 후단의 가장자리에서 기류가 날개로부터 떨어진다"는 것이다. 적절한 형태의 날개에 대해 쿠타 조건에 기초하여 순환량을 결정(=속도 분포를 결정)하고, 쿠타-주코프스키 정리를 사용하여 순환량과 속도로부터 계산한 양력이 실험과 잘 일치하는 것이 알려져 있다.^[77] 참고로, "쿠타-주코프스키 정리"의 도출에는 '''베르누이 방정식'''이 사용되고 있다.

7. 2. 베르누이 방정식 적용에 대한 오해

베르누이 방정식은 "서로 다른 유선 간에는 적용할 수 없다"는 오해가 있지만, 모든 경우에 그런 것은 아니다.^[41]^[42]^[43]^[44]

비회전 흐름: 유체가 회전하지 않는 흐름(비회전 흐름)의 경우, 서로 다른 유선 간에도 베르누이 방정식을 적용할 수 있다.
균일한 흐름: 균일한 흐름 속의 익형 문제처럼, 전체 공간에 베르누이 방정식을 적용할 수 있는 경우도 있다.

일반적으로 베르누이 정리는 동일한 유선 내에서 적용되지만, 곡률의 정리를 이용하면 서로 다른 유선 간의 비교도 가능하다.

8. 베르누이 방정식의 확장

외부 에너지의 출입을 고려하여 베르누이 방정식을 확장할 수 있다.^[1]

참조

_[1] 서적 Aerodynamics https://books.google[...] Wiley
_[2] 서적 An Introduction to Fluid Dynamics https://books.google[...] Cambridge University Press
_[3] 웹사이트 Hydrodynamica https://www.britanni[...] Britannica Online Encyclopedia 2008-10-30
_[4] 간행물 Handbook of fluid dynamics CRC Press
_[5] 논문 From Newton's mechanics to Euler's equations
_[6] 서적 Fluid mechanics https://books.google[...] McGraw-Hill
_[7] 논문 How do wings work? 2003-11-01
_[8] 웹사이트 Misinterpretations of Bernoulli's Law https://web.archive.[...] 2009-04-29
_[9] 웹사이트 3 Airfoils and Airflow http://www.av8n.com/[...] 2005-01-01
_[10] 서적 Physics John Wiley & Sons 1960-01-01
_[11] 서적 Flow of Industrial Fluids: Theory and Equations https://books.google[...] CRC Press
_[12] 서적 Hydraulics of Open Channel Flow https://books.google[...] Elsevier
_[13] 서적 Prandtl's Essentials of Fluid Mechanics https://books.google[...] Springer
_[14] 웹사이트 Bernoulli's Equation https://archive.toda[...] NASA Glenn Research Center 2012-07-31
_[15] 서적 Fluid Mechanics McGraw-Hill International Edition
_[16] 서적 Principles of Astrophysical Fluid Dynamics https://books.google[...] Cambridge University Press
_[17] 서적 Fluid Mechanics Pergamon Press
_[18] 서적 Fundamentals of Classical Thermodynamics https://books.google[...] John Wiley and Sons
_[19] 서적 The Feynman Lectures on Physics
_[20] 서적 Physics for Scientists and Engineers: Mechanics W. H. Freeman
_[21] 서적 The Feynman Lectures on Physics
_[22] 논문 The Nearly Perfect Fermi Gas https://physics.ncsu[...] 2010-05-01
_[23] 서적 Physics John Wiley & Sons 1960-01-01
_[24] 논문 An Aerodynamicist's View of Lift, Bernoulli, and Newton http://www.df.uba.ar[...] 2002-03-01
_[25] 서적 Mechanical Engineering Reference Manual
_[26] 서적 Physics That Works Kendall Hunt
_[27] 논문 Bernoulli and Newton in Fluid Mechanics http://scitation.aip[...] 1972-11-01
_[28] 논문 How do wings work? https://www3.eng.cam[...] 2003-01-01
_[29] 웹사이트 Incorrect Lift Theory #1 https://web.archive.[...] NASA 2000-08-16
_[30] 서적 Introduction to Flight McGraw-Hill Higher Education
_[31] 웹사이트 How Airplanes Fly https://web.archive.[...]
_[32] 서적 Introduction to Flight McGraw-Hill Education 2016-01-01
_[33] 웹사이트 Misinterpretations of Bernoulli's Law https://web.archive.[...] Department of Physics, University Frankfurt
_[34] 웹사이트 Origami Flying Disk https://archive.toda[...]
_[35] 웹사이트 Bernoulli Effects https://web.archive.[...] School of Physics and Astronomy, University of Minnesota
_[36] 웹사이트 Educational Packet http://www.tallships[...] Tall Ships Festival – Channel Islands Harbor 2012-06-25
_[37] 웹사이트 Physical Principles of Winged Flight http://www.rcgroups.[...] 2016-03-31
_[38] 학술지 How Do Wings Work http://iopscience.io[...] IOP Publishing 2022-04-07
_[39] 학술지 Bernoulli? Perhaps, but What About Viscosity? http://d1vdx9ifs4n5d[...] 2018-03-18
_[40] 웹사이트 Coanda Effect: Understanding Why Wings Work http://karmak.org/ar[...] 2003-02
_[41] 학술지 How Do Wings Work http://iopscience.io[...] IOP Publishing 2022-04-07
_[42] 학술지 Bernoulli? Perhaps, but What About Viscosity? http://d1vdx9ifs4n5d[...] 2018-03-18
_[43] 학술지 Why Aircraft Fly http://iopscience.io[...]
_[44] 뉴스 Bernoulli and Newton in Fluid Mechanics 1972-11
_[45] 웹사이트 Bernoulli's Principle http://www.av8n.com/[...]
_[46] 학술지 Bernoulli, Newton and Dynamic Lift Part I http://onlinelibrary[...]
_[47] 학술지 How Do Wings Work http://iopscience.io[...] IOP Publishing 2022-04-07
_[48] 학술지 Bernoulli, Newton and Dynamic Lift Part II http://onlinelibrary[...]
_[49] 서적 Aeronautics: An Educator's Guide with Activities in Science, Mathematics, and Technology Education http://www.nasa.gov/[...] NASA
_[50] 웹사이트 The Newtonian Description of Lift of a Wing http://www.integener[...]
_[51] 서적 Understanding Flight https://books.google[...]
_[52] 서적 The Aeronautics File https://www.mat.uc.p[...]
_[53] 웹사이트 Some simple Experiments http://www.sailtheor[...] 2022-04-07
_[54] 웹사이트 Q: Is It Really Caused by the Bernoulli Effect? https://www.nsta.org[...] National Science Teaching Association
_[55] 학술지 Thinking About Bernoulli http://tpt.aapt.org/[...] American Association of Physics Teachers 2007-09
_[56] 학술지 Bernoulli and Newton in Fluid Mechanics 1972-11
_[57] 웹사이트 The Bernoulli Conundrum http://www.introphys[...] Department of Physics, University of Alabama at Birmingham 2012-06-25
_[58] 웹사이트 Physical Principles of Winged Flight http://www.rcgroups.[...] 2016-03-31
_[59] 웹사이트 The Newtonian Description of Lift of a Wing http://www.integener[...]
_[60] 웹사이트 Thin Metal Sheets – Coanda Effect https://www.physics.[...] Physics Lecture-Demonstration Facility, University of Maryland 2012-10-23
_[61] 웹사이트 Answer #256 https://www.physics.[...] Physics Lecture-Demonstration Facility, University of Maryland 2014-12-09
_[62] 서적 流体力学朝倉書店
_[63] 웹사이트 ベルヌーイの定理：楽しい流れの実験教室 http://www.jsme-fed.[...] 2021-06-22
_[64] 서적 流体力学培風館
_[65] 학술지 How do wings work? http://www3.eng.cam.[...] 2003-11
_[66] 서적 An Introduction to Fluid Dynamics Cambridge University Press
_[67] 서적 Hydrodynamics Cambridge University Press
_[68] 서적 流体力学東京図書
_[69] 웹사이트 飛行機はなぜ飛ぶのかまだ分からない?? - NPO法人知的人材ネットワーク・あいんしゅたいん http://jein.jp/jifs/[...]
_[70] 웹사이트 Incorrect Lift Theory https://www.grc.nasa[...] NASA 2012-04-20
_[71] 웹사이트 飛行機の飛ぶ訳 (流体力学の話in物理学概論) http://ocw.kyoto-u.a[...] 京都大学OCW 2013-04-08
_[72] 웹사이트 Newton vs Bernoulli https://www.grc.nasa[...] NASA 2012-04-20
_[73] 웹사이트 Bernoulli Or Newton: Who's Right About Lift? http://www.planeandp[...] 2009-11-26
_[74] 서적 Understanding Flight, Second Edition McGraw-Hill Professional
_[75] 서적 流れの不思議講談社ブルーバックス
_[76] 웹사이트 Report on the Coandă Effect and lift http://newfluidtechn[...]
_[77] 서적 Fluid Mechanics Fifth Edition Academic Press
_[78] 서적 Aerodynamics https://books.google[...] Wiley
_[79] 서적 An Introduction to Fluid Dynamics https://books.google[...] University Press
_[80] 웹인용 Hydrodynamica http://www.britannic[...] Britannica Online Encyclopedia 2008-10-30
_[81] 서적 Fluid Mechanics McGraw–Hill Inc.
_[82] 백과사전 베르누이 정리 https://terms.naver.[...] 네이버 지식백과 (두산백과)
_[83] 서적 토목기사 과년도 - 수리수문학 성안당 2015
_[84] 웹인용 Bernoulli's Equation https://www.grc.nasa[...] NASA Glenn Research Center 2019-08-25
_[85] 웹사이트 양력이 생기는 이유 - 양력은 어떻게 발생하나? 제대로 알아보자 네이버 지식백과 (물리산책, 김충섭)

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com