교환 행렬

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 수식적 정의
3. 성질
4. 관련 행렬
참조

1. 개요

교환 행렬은 정사각 행렬로, 주대각선을 기준으로 원소를 대칭으로 배열하여 얻어진다. 이 행렬은 행렬의 행과 열을 반전시키는 역할을 하며, 대칭 행렬이자 대합 행렬이다. 교환 행렬의 특성은 전치, 거듭제곱, 대각합, 행렬식, 특성 다항식, 수반 행렬 등에서 나타나며, 반대각 행렬, 중심대칭 행렬, 페르대칭 행렬, 이중대칭 행렬과 관련이 있다.

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교환 행렬
개요
정의	반대각선을 기준으로 요소를 대칭적으로 교환하는 행렬
크기	정사각 행렬
성질
역행렬	자기 자신
행렬식	(-1)^(n(n-1)/2) (n은 행렬의 크기)
고윳값	±1
고유 벡터	(1, ±1), (1, 0, ±1), (1, 0, 0, ±1), ...
활용
벡터의 순서 반전	교환 행렬을 벡터에 곱하면 벡터의 요소 순서가 반전됨.
양자 컴퓨팅	양자 푸리에 변환 회로에 사용

2. 정의

''n'' × ''n'' 행렬 ''J''를 교환 행렬이라고 하며, 이때 ''J''의 원소는 다음과 같이 정의된다.^[1]

2. 1. 수식적 정의

가 n × n 교환 행렬인 경우, J의 원소는 다음과 같이 정의된다.^[1]

:

J_{i,j} = \begin{cases}1, & j = n - i + 1 \\0, & j \ne n - i + 1\\\end{cases}

또는,

:

J_{i,j} = \begin{cases}1, & i + j = n + 1 \\0, & i + j \ne n + 1\\\end{cases}

^[1]

3. 성질

교환 행렬은 대칭 행렬이다.^[1]
거듭 행렬 Jⁿ = I (n은 짝수), Jⁿ = J (n은 홀수)이다.^[1] 따라서 J는 거듭제곱 행렬이다. 즉, J^-1 = J이다.^[1]
J의 대각합은 n이 홀수이면 1이고, n이 짝수이면 0이다.^[1]
J의 행렬식은 다음과 같다:^[1]

:

\det(J_n) = (-1)^\frac{n(n-1)}{2}

:n의 함수로, 주기가 4이며, n이 4를 법으로 하는 합동으로 0, 1, 2, 3일 때 각각 1, 1, −1, −1을 제공한다.

J의 특성 다항식은 다음과 같다.^[1]

:

\det(\lambda I- J_n) = \begin{cases}\big[(\lambda+1)(\lambda-1)\big]^\frac{n}{2} & \text{ if } n \text{ is even,} \\[4pt](\lambda-1)^\frac{n+1}{2}(\lambda+1)^\frac{n-1}{2} & \text{ if } n \text{ is odd.}\end{cases}

J의 수반 행렬은 다음과 같다.^[1]

:

\operatorname{adj}(J_n) = \sgn(\pi_n)  J_n.

(여기서 은 요소의 순열 의 부호이다).

3. 1. 전치 행렬과의 관계

교환 행렬은 대칭 행렬이다. 즉, J^T = J이다.

교환 행렬로 행렬을 전치하면 행렬의 행 위치가 수직으로 뒤집힌다.

:

\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}7 & 8 & 9 \\4 & 5 & 6 \\1 & 2 & 3\end{pmatrix}.

교환 행렬로 행렬을 후치하면 행렬의 열 위치가 수평으로 뒤집힌다.

:

\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & 2 & 1 \\6 & 5 & 4 \\9 & 8 & 7\end{pmatrix}.

3. 2. 거듭제곱

거듭 행렬involutory matrix^영어 Jⁿ = I (n은 짝수), Jⁿ = J (n은 홀수)이다. 특히, 교환 행렬은 거듭 행렬이다. 즉, J^-1 = J이다.

모든 정수 k에 대해 다음과 같다.

:

J_n^k = \begin{cases}I & \text{ if } k \text{ is even,} \\[2pt]J_n & \text{ if } k \text{ is odd.}\end{cases}

3. 3. 대각합과 행렬식

J^영어의 대각합은 n이 홀수이면 1이고 n이 짝수이면 0이다.^[1]

\operatorname{tr}(J_n) = n\bmod 2.

J^영어의 행렬식은 다음과 같다:^[1]

\det(J_n) = (-1)^\frac{n(n-1)}{2}

n의 함수로, 주기가 4이며, n이 4를 법으로 하는 합동으로 0, 1, 2, 3일 때 각각 1, 1, −1, −1을 제공한다.

3. 4. 특성 다항식

Characteristic polynomial|특성 다항식^영어 ''J''의 특성 다항식은 다음과 같다.^[1]

:

\det(\lambda I- J_n) = \begin{cases}\big[(\lambda+1)(\lambda-1)\big]^{n/2} & \text{ if } n \text{ is even,} \\[4pt](\lambda-1)^{(n+1)/2}(\lambda+1)^{(n-1)/2} & \text{ if } n \text{ is odd.}\end{cases}

3. 5. 수반 행렬

의 수반 행렬은 다음과 같다.

:

\operatorname{adj}(J_n) = \sgn(\pi_n)  J_n.

여기서 은 요소의 순열 의 부호이다.^[1]

4. 관련 행렬

교환 행렬은 반대각 행렬의 가장 간단한 형태이다.^[1] 이와 관련된 행렬은 다음과 같다.

조건 AJ = JA^T를 만족하는 임의의 행렬 A는 반대각 대칭행렬이라고 한다.^[1]

4. 1. 반대각 행렬

교환 행렬은 가장 간단한 반대각 행렬이다.^[1]

4. 2. 중심대칭 행렬

조건 AJ = JA를 만족하는 임의의 행렬 A는 중심대칭행렬이라고 한다.^[1]

4. 3. 페르대칭 행렬

조건 AJ = JA^T를 만족하는 행렬 A는 페르대칭 행렬이라고 한다.

4. 4. 이중대칭 행렬

''AJ'' = ''JA'' 조건을 만족하는 대칭 행렬 A는 이중대칭 행렬이라고 한다. 이중대칭 행렬은 중심대칭 행렬이자 페르대칭 행렬이다.

참조

_[1] 서적 Matrix Analysis Cambridge University Press
_[2] 서적 Matrix Analysis https://books.google[...] Cambridge University Press

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