거듭 행렬

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1. 개요

거듭 행렬은 각 고유값이 ±1인 행렬로 정의되며, 부호 행렬로 대각화 가능하다. 거듭 행렬의 고유값은 ±1이며, 가역 행렬이고 역행렬은 자기 자신이다. 또한, 거듭 행렬의 모든 정수 거듭제곱은 거듭 행렬이다. 대칭 거듭 행렬은 직교 행렬이며, 반사 및 180° 회전 행렬이 이에 해당한다.

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행렬 - 스핀 (물리학)
스핀은 양자역학적 각운동량으로, 양자화된 값을 가지며 자기 쌍극자 모멘트를 유발하여 다양한 분야에 응용되고 스핀트로닉스 기술 발전에 기여하지만, 전자의 스핀 기원은 아직 완전히 밝혀지지 않았다.
행렬 - 파울리 행렬
파울리 행렬은 양자역학에서 스핀을 나타내는 데 사용되는 에르미트 행렬이자 유니타리 행렬로, 행렬식은 -1이고 대각합은 0이며, 리 대수의 생성원이자 파울리 벡터로 정의되어 다양한 물리학 분야에서 활용된다.

거듭 행렬
정의
정의	어떤 행렬을 제곱했을 때 단위행렬이 되는 행렬
조건	A² = I (A는 주어진 행렬, I는 단위행렬)
다른 표현	A⁻¹ = A (A의 역행렬은 A 자신과 같음)
특징
선형 변환	반사를 나타냄
고윳값	+1 또는 -1
행렬식	±1
복소수 행렬	에르미트 행렬이면서 동시에 유니타리 행렬임
실수 행렬	대칭행렬이면서 동시에 직교행렬임
예시
2x2 행렬	자세한 예시 보기
파울리 행렬	대표적인 예시
실수 대칭행렬	A = A⁻¹ 조건을 만족하는 행렬

2. 정의 및 기본 성질

불가역 행렬은 결함이 없는 행렬이며, 각 고유값은 ±1과 같다. 불가역 행렬은 부호 행렬로 대각화된다.^[4]

정규 불가역 행렬은 에르미트 행렬(복소수) 또는 대칭(실수)이며, 유니타리 행렬(복소수) 또는 직교(실수)이다. 어떤 체에서 불가역 행렬의 행렬식은 ±1이다.^[4]

만약 '''A'''가 ''n'' × ''n'' 행렬이면, '''A'''가 불가역 행렬인 것은 $\bold P_+ = (\bold I + \bold A)/2$ 가 멱등 행렬일 때와 같고, 마찬가지로 $\bold P_- = (\bold I - \bold A)/2$ 가 멱등 행렬일 때와 같다. 이 두 연산자는 벡터 $v = v_+ + v_-$ 의 대칭 및 반대칭 투영 $v_\pm = \bold P_\pm v$ 을 형성하며, 불가역 행렬 '''A'''에 관하여 $\bold Av_\pm = \pm v_\pm$ 또는 $\bold{A P}_\pm = \pm \bold P_\pm$ 의 의미를 갖는다.^[4]

만약 '''A'''가 실수에 대한 행렬 대수인 M(''n'', R)의 불가역 행렬이고, '''A'''가 '''I'''의 스칼라 배수가 아니면, '''A'''에 의해 생성된 부분 대수 {''x'' '''I''' + ''y'' '''A''': ''x'', ''y'' ∈ R}는 분할 복소수에 동형이다.

만약 '''A'''와 '''B'''가 서로 교환하는 두 개의 불가역 행렬(즉, '''AB''' = '''BA''')이면 '''AB'''도 불가역 행렬이다.

만약 '''A'''가 불가역 행렬이면 '''A'''의 모든 정수 거듭제곱은 불가역 행렬이다.

2. 1. 정의

2. 2. 기본 성질

거듭행렬의 고윳값은 ±1이다.^[4] 거듭행렬은 가역행렬이며, 역행렬은 자기 자신이다. (A^-1 = A) 거듭행렬의 행렬식은 ±1이다.^[4]

만약 A가 불가역 행렬이면, A의 모든 정수 거듭제곱은 불가역 행렬이다. n이 홀수이면 Aⁿ는 A와 같고, n이 짝수이면 I (단위행렬)와 같다.

정규 거듭행렬은 에르미트 행렬(복소수) 또는 대칭 (실수)이며, 또한 유니타리 행렬(복소수) 또는 직교 (실수)이다.

만약 A가 실수에 대한 행렬 대수 M(n, R)의 불가역 행렬이고, A가 I의 스칼라 배수가 아니면, A에 의해 생성된 부분 대수 {xI + yA: x, y ∈ R}는 분할 복소수에 동형이다.

만약 A와 B가 서로 교환하는 두 개의 불가역 행렬(즉, AB = BA)이면, AB도 불가역 행렬이다.

3. 예시

기본행렬(elementary matrix)에서 행 교환 기본 행렬은 거듭 행렬이다.^[6] 또 다른 종류의 기본 행렬의 특수한 경우로, 행 또는 열에 -1을 곱하는 것을 나타내는 행렬도 거듭 행렬이며, 부호 행렬의 예시이다.^[2]

: $\mathbf{I}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\;,\;\mathbf{I}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

: $\mathbf{R}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0\end{pmatrix}\;,\;\mathbf{R}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0\end{pmatrix}$

: $\mathbf{S}=\begin{pmatrix}+1 & 0 & 0 \\0 & -1 & 0 \\0 & 0 & -1\end{pmatrix}\;,\;\mathbf{S}^{-1}=\begin{pmatrix}+1 & 0 & 0 \\0 & -1 & 0 \\0 & 0 & -1\end{pmatrix}$

위 행렬에서

'''I'''는 단위행렬이다.
'''R'''은 단위행렬에 대한 순열 행렬의 특수한 경우이다.
'''S'''는 부호 행렬이다.

2\times2

실수 행렬

\begin{pmatrix}a & b \\ c & -a \end{pmatrix}

는

a^2 + bc = 1

일 때 거듭 행렬이다.^[2]

파울리 행렬은 거듭 행렬이다.

:

\begin{align}\sigma_1 = \sigma_x &=\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0\end{pmatrix}, \\\sigma_2 = \sigma_y &=\begin{pmatrix}0 & -i \\i & 0\end{pmatrix}, \\\sigma_3 = \sigma_z &=\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -1\end{pmatrix}.\end{align}

거듭 행렬로 구성된 모든 블록 대각 행렬은 블록의 선형 독립성의 결과로 거듭 행렬이 된다.

3. 1. 기본 행렬

기본행렬(elementary matrix)에서 행 교환 기본 행렬은 거듭 행렬이다.^[6] 또 다른 종류의 기본 행렬의 특수한 경우로, 행 또는 열에 -1을 곱하는 것을 나타내는 행렬도 거듭 행렬이며, 부호 행렬의 예시이다.^[2]

\mathbf{I}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\;,\;\mathbf{I}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}

\mathbf{R}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0\end{pmatrix}\;,\;\mathbf{R}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0\end{pmatrix}

\mathbf{S}=\begin{pmatrix}+1 & 0 & 0 \\0 & -1 & 0 \\0 & 0 & -1\end{pmatrix}\;,\;\mathbf{S}^{-1}=\begin{pmatrix}+1 & 0 & 0 \\0 & -1 & 0 \\0 & 0 & -1\end{pmatrix}

위 행렬에서

'''I'''는 단위행렬이다.
'''R'''은 단위행렬에 대한 순열 행렬의 특수한 경우이다.
'''S'''는 부호 행렬이다.

2\times2

실수 행렬

\begin{pmatrix}a & b \\ c & -a \end{pmatrix}

는

a^2 + bc = 1

일 때 거듭 행렬이다.

파울리 행렬은 거듭 행렬이다.

\begin{align}\sigma_1 = \sigma_x &=\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0\end{pmatrix}, \\\sigma_2 = \sigma_y &=\begin{pmatrix}0 & -i \\i & 0\end{pmatrix}, \\\sigma_3 = \sigma_z &=\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -1\end{pmatrix}.\end{align}

3. 2. 파울리 행렬

파울리 행렬은 에서의 거듭 행렬이다.^[2] 파울리 행렬은 다음과 같다.

:

\begin{align}\sigma_1 = \sigma_x &=\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0\end{pmatrix}, \\\sigma_2 = \sigma_y &=\begin{pmatrix}0 & -i \\i & 0\end{pmatrix}, \\\sigma_3 = \sigma_z &=\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -1\end{pmatrix}.\end{align}

세 종류의 기본 행렬 중 하나인 행 교환 기본 행렬은 거듭 행렬이다. 행 또는 열에 -1을 곱하는 것을 나타내는 행렬도 거듭 행렬이며, 부호 행렬의 간단한 예시이다.^[2]

3. 3. 2x2 실수 행렬

2\times 2

실수 행렬

\begin{pmatrix}a & b \\ c & -a \end{pmatrix}

는

a^2 + bc = 1

일 때 거듭 행렬이다.^[2]

파울리 행렬은 거듭 행렬의 한 예시이다.

\begin{align}\sigma_1 = \sigma_x &=\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0\end{pmatrix}, \\\sigma_2 = \sigma_y &=\begin{pmatrix}0 & -i \\i & 0\end{pmatrix}, \\\sigma_3 = \sigma_z &=\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & -1\end{pmatrix}.\end{align}

세 종류의 기본 행렬 중 하나인 행 교환 기본 행렬은 거듭 행렬이다. 행 또는 열에 -1을 곱하는 것을 나타내는 행렬도 거듭 행렬이며, 이는 부호 행렬의 한 예시이다.

몇 가지 거듭 행렬의 예시는 다음과 같다.

\begin{array}{cc}\mathbf{I} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}; &\mathbf{I}^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\\\\mathbf{R} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0\end{pmatrix}; &\mathbf{R}^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0\end{pmatrix}\\\\\mathbf{S} = \begin{pmatrix}+1 & 0 & 0 \\0 & -1 & 0 \\0 & 0 & -1\end{pmatrix}; &\mathbf{S}^{-1} = \begin{pmatrix}+1 & 0 & 0 \\0 & -1 & 0 \\0 & 0 & -1\end{pmatrix}\\\end{array}

'''I'''는 3 × 3 단위 행렬이다.
'''R'''은 3 × 3 단위 행렬에서 두 개의 행이 교환된 행렬이다.
'''S'''는 부호 행렬이다.

거듭 행렬로 구성된 블록 대각 행렬은 블록의 선형 독립성에 의해 거듭 행렬이 된다.

3. 4. 블록 대각 행렬

거듭 행렬로 구성된 모든 블록 대각 행렬은 블록의 선형 독립성의 결과로 거듭 행렬이 된다.^[2]

4. 대칭성 및 직교성

대칭 행렬이면서 대합 행렬인 행렬은 직교 행렬이며, 등거리 변환(유클리드 거리를 보존하는 선형 변환)을 나타낸다. 반대로 모든 직교 거듭행렬은 대칭 행렬이다.^[3]

이의 특별한 경우로, 모든 반사와 180° 회전 행렬은 거듭행렬이다.

4. 1. 대칭 거듭행렬

대칭 행렬이면서 대합 행렬인 행렬은 직교 행렬이며, 등거리 변환(유클리드 거리를 보존하는 선형 변환)을 나타낸다. 반대로 모든 직교 거듭행렬은 대칭 행렬이다.^[3]

이의 특별한 경우로, 모든 반사와 180° 회전 행렬은 거듭행렬이다.

4. 2. 반사 및 회전

대칭 행렬이면서 대합 행렬인 행렬은 직교 행렬이며, 등거리 변환(유클리드 거리를 보존하는 선형 변환)을 나타낸다. 반대로 모든 직교 대합 행렬은 대칭 행렬이다.^[3] 모든 반사와 180° 회전 행렬은 이러한 대합 행렬의 특수한 경우에 해당한다.

5. 추가 성질 및 관련 개념

5. 1. 결함 없음

거듭행렬은 결함이 없는 행렬이며, 각 고유값은

\pm 1

과 같다. 따라서 거듭 행렬은 부호 행렬로 대각화된다.^[4]

정규 거듭 행렬은 에르미트 행렬(복소수) 또는 대칭(실수)이며, 또한 유니타리 행렬(복소수) 또는 직교(실수)이다. 어떤 체에서 거듭 행렬의 행렬식은 ±1이다.^[4]

만약 가 행렬이면,

\bold P_+ = (\bold I + \bold A)/2

가 멱등 행렬일 때와,

\bold P_- = (\bold I - \bold A)/2

가 멱등 행렬일 때, 는 거듭 행렬이 된다. 이 두 연산자는 벡터

v = v_+ + v_-

의 대칭 및 반대칭 투영

v_\pm = \bold P_\pm v

을 형성하며, 거듭 행렬 에 관하여

\bold Av_\pm = \pm v_\pm

또는

\bold{A P}_\pm = \pm \bold P_\pm

의 의미를 갖는다.

만약 가 실수에 대한 행렬 대수인 의 거듭 행렬이고, 가 의 스칼라 배수가 아니면, 에 의해 생성된 부분 대수

\{x \bold I + y \bold A: x y \in \R\}

는 분할 복소수에 동형이다.

만약 와 가 서로 교환하는 두 개의 거듭 행렬 (즉, )이면 도 거듭 행렬이다.

만약 가 거듭 행렬이면 의 모든 정수 거듭제곱은 거듭 행렬이다.

5. 2. 에르미트 및 유니타리 행렬

5. 3. 멱등 행렬과의 관계

5. 4. 생성된 부분 대수

5. 5. 교환 법칙

두 거듭행렬 A와 B가 교환 법칙을 만족하면(AB=BA) AB도 거듭행렬이다.^[4]

6. 교환행렬의 특수한 멱 성질 (별도 섹션)

반대각선이 교환행렬인 거듭행렬은 제곱했을 때 교번 특성을 갖는다.

Jⁿ = I (n은 짝수)
Jⁿ = J (n은 홀수)
J^T = J (□^T는 전치)

거듭행렬 간에는 교환법칙이 성립한다.

\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0  \\0 & 1 & 0  \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\qquad

:

\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0  \\0 & 1 & 0  \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}

:

\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0  \\0 & 1 & 0  \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0  \\0 & 1 & 0  \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0  \\0 & 1 & 0  \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0  \\0 & 1 & 0  \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}

:

\begin{pmatrix}1 & 0 & 0  \\0 & 1 & 0  \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0  \\0 & 1 & 0  \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0  \\0 & 1 & 0  \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}

거듭행렬 간에는 교환법칙이 성립한다.

6. 1. 교번 특성

반대각선이 교환행렬인 거듭행렬은 제곱했을 때 교번 특성을 갖는다.

Jⁿ = I (n은 짝수)
Jⁿ = J (n은 홀수)
J^T = J (□^T는 전치)

거듭행렬 간에는 교환법칙이 성립한다.

6. 2. 예시

\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0  \\0 & 1 & 0  \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0  \\0 & 1 & 0  \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0  \\0 & 1 & 0  \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0  \\0 & 1 & 0  \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}1 & 0 & 0  \\0 & 1 & 0  \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0  \\0 & 1 & 0  \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 0 & 1  \\0 & 1 & 0  \\1& 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0  \\0 & 1 & 0  \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}

거듭행렬 간에는 교환법칙이 성립한다.

참조

_[1] 서적 Functions of Matrices: Theory and Computation https://books.google[...] Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)
_[2] 서적 The Theory of Matrices Academic Press
_[3] 서적 Numerical methods for bifurcations of dynamical equilibria https://books.google[...] Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)
_[4] 서적 Matrix Mathematics https://books.google[...] Princeton University Press
_[5] 서적 Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices Schaum
_[6] 서적 The Theory of Matrices Academic Press

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