구텐베르크-릭터 법칙

3. 특성

지진 규모와 그 발생 빈도 사이의 관계는 1944년 찰스 릭터와 베노 구텐베르크가 미국 캘리포니아주의 지진을 연구한 논문에서 처음 발표했으며,^[38][39] 1949년 전 세계 지진 연구로 확대해서 일반화했다.^[40] 지진의 규모와 발생 빈도 사이 관계는 매우 일반화되어 있지만, 지역, 혹은 시간에 따라 공식의 a와 b값이 달라질 수 있다.

이 법칙을 이해하려는 현대의 시도는 자기 조직 임계성 또는 자기 유사성 이론을 포함한다.

3. 1. b값

3. 2. a값

4. 수식 표현

5. G-R 법칙의 해석

구텐베르크-릭터 법칙에서 b값은 보통 지진이 활발한 지역에서 1.0에 가깝게 나타난다. 예를 들어 규모 M4.0 지진과 비교하면 M3.0 지진은 10배, M2.0 지진은 100배 더 자주 발생한다. 그러나 지진 발생 지역의 환경에 따라 b값은 0.5에서 2까지 변동될 수 있다.^[41] 특히 군발지진 발생 시 b값이 최대 2.5까지 높아져 큰 지진이 작은 지진에 비해 매우 큰 비율로 일어날 수 있다.

b값의 공간적, 시간적 변화에 대한 해석은 여러 논쟁이 있다. b값 변화의 주요 원인으로는 암반에 가해지는 응력,^[42] 진원 깊이,^[43] 발진기구해,^[44] 암반의 강성율,^[45] 국지단층파괴 정도 등이 있다. 실험실 내 암반 실험에서 완전히 파괴되기 전 변형된 샘플에서 b값이 감소하는 현상^[46]이 관측되어, b값의 급격한 감소가 지진 발생 전 전조현상이라는 주장도 제기되었다.^[47] 통계물리학적으로는 대규모 지진 목록을 통해 구텐베르크-릭터 법칙이 일반적으로 잘 성립되지만, 이를 지진 예측에 적용하기는 어렵다.^[48] b값이 1.0과 크게 다를 경우 지진 목록이 불완전하거나 규모 계산에 오류가 있는 등 데이터세트에 문제가 있다고 분석할 수 있다.

모든 지진 목록에서는 작은 지진 규모 범위에서 b값이 작아지는 '롤오프' 현상이 나타난다. 이는 로그 눈금 그래프에서 규모가 낮은 끄트머리가 평평해지는 형태로 나타난다. 이 현상은 대부분 작은 지진이 감지 및 측정되기 어려워 데이터 목록이 불완전해지기 때문에 발생한다(즉, 완전성 규모가 커짐). 대부분 지역에서 기기 신호 대 잡음 수준이 작아 미소지진을 감지하고 기록할 수 있는 지진관측소 수가 적어, 많은 미소지진이 목록화되지 않는다. 그러나 일부 최신 지진 역학 모델에서는 지진 규모 분포에 물리적인 '롤오프'가 있을 가능성, 즉 규모가 작은 지진 수가 생각보다 더 적다는 이론도 있다.^[49]

5. 1. 물체 크기 분포

5. 2. 분지 모델

5. 3. 프랙탈

6. b값의 변화

구텐베르크-릭터 법칙의 b값은 일반적으로 지진이 활발히 일어나는 지역에서 1.0에 가깝게 나타난다.^[41] 이는 규모 M4.0의 지진 발생 빈도와 비교하면 M3.0의 지진은 10배, M2.0의 지진은 100배 더 많이 일어난다는 의미이다. 하지만 지진 발생 지역의 지반 환경에 따라 b값은 대략 0.5에서 2까지 범위로 변동될 수 있다.^[5] 특히 군발지진이 발생하면 b값이 최대 2.5까지 높아질 수 있으며, 이는 작은 지진에 비해 큰 지진도 매우 큰 비율로 일어난다는 것을 의미한다.^[41]

관측된 일부 b값의 공간적, 시간적 변화에 대한 해석으로는 여러 논쟁이 있다. b값의 변화를 설명하기 위해 가장 많이 언급되는 원인으로는 암반에 가해지는 응력,^[42] 진원 깊이,^[43] 발진기구해,^[44] 암반의 강성율,^[45] 국지단층파괴 정도 등이 있다. 실험실 내에서는 암반의 지진 실험을 할 때 완전히 파괴되기 전에 변형된 샘플에서 b값이 감소되는 현상^[46]이 관측되었는데, 이를 통해 b값의 갑작스러운 감소는 지진이 일어나기 전 전조현상이라는 주장도 나왔다.^[47]

통계물리학적으로는 대규모 지진 목록을 통해 구텐베르크-릭터 법칙이 일반론적으로 잘 성립되고 거시적 지진에 가까울 때 변화를 설명하는 이론적 틀을 제공하긴 하지만, 이를 지진 예측에 적용해서 b값이 변동될 때 전부 지진이 일어날 것이라고 말하기는 어렵다.^[48] 대신 b값이 1.0과 크게 다를 경우 지진 목록이 다 채워지지 않아 불완전하거나 규모 계산에 오류가 있는 등 지진 데이터세트에 문제가 있다고 분석할 수도 있다.

모든 지진 목록에서는 경험적 법칙으로 더 작은 지진 규모 범위와 비교할 때 점점 b값이 작아지는 현상이 발견된다. 이를 b값의 '롤오프'라고 말하는데, 로그 눈금 단위로 구텐베르크-릭터 법칙 그래프를 그릴 경우 규모가 낮은 끄트머리에서 실 데이터는 그래프가 거의 평평해지는 롤오프 현상이 일어난다. 이런 일이 일어나는 가장 대표적인 이유로는 대부분의 작은 지진이 전부 감지하고 정확하게 측정하기에는 에너지가 너무 작아 빠지는 경우가 많고(즉 완전성 규모가 커짐), 이 때문에 지진 데이터 목록이 불완전해져서 실제 법칙과 오차가 생긴다.^[49] 대부분의 지역에서는 기기 신호 대 잡음 수준이 작아져 미소지진을 감지하고 기록할 수 있는 지진관측소의 수가 적고, 이 때문에 수많은 미소지진이 목록화되지 않는다. 하지만 일부 최신 지진 역학 모델에서는 지진의 규모 분포가 원래부터 물리적으로 '롤오프'가 있을 가능성, 즉 규모가 작은 지진의 수는 생각보다 더 적다고 주장하는 이론도 존재한다.^[49]

b값은 대상 지진군의 특성을 나타내는 중요한 매개변수이며, 최우도법을 사용하여 쉽게 측정할 수 있다. 분석 대상 지진에 대해, 규모 ''M''_min 이상의 지진은 빠짐없이 기록되었다고 하면,

:$b\; =\; \backslash frac\{\backslash log\; e\}\{\backslash bar\; M\; -\; M\_\{\backslash mathrm\{min\}\}\}$

로 주어진다. 여기서, $\backslash bar\; M$은 $M$의 평균값이다.^[25][26]

일반적으로 지하 구조가 복잡하고 불균질한 장소에서는 b값이 크다고 알려져 있다.

2004년 수마트라 지진이나 2011년 동일본 대지진 등 대지진 발생에 앞서 b값이 저하되었다는 보고가 있으며^[27][28], 전조 현상 중 하나로 주목받고 있다.^[29]

7. 일반화

지진 규모와 그 발생 빈도 사이의 관계는 1944년 찰스 릭터와 베노 구텐베르크가 미국 캘리포니아주의 지진을 연구한 논문에서 처음 발표했으며,^[38][39] 1949년 전 세계 지진 연구로 확대해서 일반화했다.^[40]

여러 새 모델에서는 구텐베르크-릭터 법칙 모델을 일반화했다. 그 중 2004년 오스카 소톨롱고코스타와 A. 포사디스가 발표한 모델이 있으며,^[50] 2006년에는 R. 실버 등이 아래와 같이 수정한 일반화 형태를 발표했다.^[51]

:$\backslash log\; N\_\{>m\}=\backslash log\; N+\backslash left(\backslash frac\{2-q\}\{1-q\}\backslash right)\backslash log\; \backslash left[1-\backslash left(\backslash frac\{1-q\}\{2-q\}\backslash right)\backslash left(\backslash frac\{10^\{2m\}\}\{a^\{2/3\}\}\backslash right)\backslash right]$

여기서 ''N''은 총 지진 발생 횟수, ''a''는 비례상수, ''q''는 평형물리계에서 볼츠만-깁스 통계로는 설명할 수 없는 계를 특성화하기 위해 콘스탄치누 트살리스가 도입한 비확장성 매개변수이다.

N. V. 살리스, E. S. 스코르다스, P. A. 바로트소스 등이 발표한 논문에서^[52] 위의 일반화된 공식은 특정 규모 임계값 이상에서 아래와 같이 원래의 구텐베르크-릭터 법칙으로 유도할 수 있다는 것을 발견했다.

: $b=\backslash frac\{2(2-q)\}\{q-1\}$

또한 일반화된 로지스틱 함수 방정식으로 구텐베르크-릭터 법칙을 일반화하는 경우도 있다.^[53] 이 모델에서는 b값을 중앙대서양, 카나리아 제도, 마젤란 산맥, 동해에서 기록된 지진을 통해 밝혀졌다. 일반화한 로지스틱 방정식은 N. 버러드와 J. M. 찬드라 키샨이 콘크리트의 음향 방출에 적용했다.^[54] 버러드는 일반화된 로지스틱 방정식에서 나오는 b값이 단층파괴에 따라 단조형식으로 증가한다는 점을 보여주었고 이를 단층파괴 준수 b값이라 불렀다.

베이즈 통계법을 이용한 새로운 기법을 활용해 구텐베르크-릭터 법칙을 새롭게 일반화하는 방법도 발표되었다.^[55] 여기서 구텐베르크-릭터 법칙의 b값을 대체하는 형태도 나왔으며, 2010년에서 2016년 사이 칠레에서 발생한 지진에 대해 새롭게 발표한 베이즈 통계법식 일반화 법칙을 적용했다.

8. G-R 법칙의 문제점

G-R 법칙은 전 세계의 대지진뿐만 아니라 국지적인 소규모 지진에 대해서도 거의 성립하지만^[30], 두 가지 문제점이 있다.

첫째, b값이 서로 다른 두 지진 집단(, )을 하나로 합쳐서 생각하면, = 가 아닌 이상 G-R 법칙이 더 이상 성립하지 않는 모순이 발생한다. 다만 G-R 법칙은 대수(log) 스케일이기 때문에 데이터 변동으로 인해 이 모순은 크게 눈에 띄지 않는다.

둘째, G-R 법칙이 성립하는 범위에는 한계가 있다. 예를 들어, 현재까지 칠레 지진(1960 Valdivia earthquake^영어) (Mw 9.5)보다 큰 지진은 알려져 있지 않다. 하지만 G-R 법칙이 모든 범위에서 직선으로 성립한다면 Mw 9.5를 넘는 훨씬 큰 지진도 발생 확률이 0이 아니게 된다. 그러나 지구의 크기는 유한하고, 주변 구조에 따른 단층 크기의 제약 때문에 지진 규모에는 상한$M\_c$이 존재할 것으로 예상된다.^[31]

G-R 법칙은 지진이 완전히 무작위로 발생한다고 가정한다. 이와 반대로 특정 장소에서 특정 규모의 지진이 반복된다는 고유 지진 모델도 있다. 이 모델이 어느 정도 성립한다면, 고유 지진을 여러 번 포함하는 충분히 긴 시간 동안의 지진 규모($M$) 분포는 다음과 같은 특징을 보인다.

• 고유 지진의 $M$에 해당하는 부분에 피크(peak)가 나타난다.
• 고유 지진과 그 외의 지진 중 가장 큰 지진 사이에는 마그니튜드 갭(magnitude gap)이 생긴다.
• 고유 지진을 제외한 소규모 지진 부분에 대해서는 G-R 법칙이 성립한다.^[31]

참조

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