프랙탈

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 한국의 프랙탈 연구
3. 분류
- 3.1. 생성 방식에 따른 분류
- 3.2. 자기 유사성 정도에 따른 분류
4. 프랙탈의 차원
5. 자연에서의 사례
- 5.1. 생물
- 5.2. 무생물
6. 응용 분야
참조

1. 개요

프랙탈은 자기 유사성을 특징으로 하는 기하학적 패턴으로, 자연 현상과 예술, 기술 등 다양한 분야에서 발견되고 활용된다. 17세기에 시작된 수학적 연구를 바탕으로, 20세기 후반 브누아 망델브로에 의해 "프랙탈"이라는 용어가 정립되었으며, 다양한 생성 방식과 자기 유사성 정도에 따라 분류된다. 프랙탈은 자연계의 번개, 강, 나무, 산호 등에서 나타나며, 예술 작품, 기술, 사회 현상 분석 등 다방면으로 응용된다.

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프랙탈

2. 역사

프랙탈의 수학적 개념은 17세기 고트프리트 라이프니츠가 자기유사성에 대해 생각하면서 시작되었다.^[25] 라이프니츠는 "분수 지수"라는 용어를 사용했지만, 당시의 기하학은 이를 다루지 못했다.^[1] 이후 여러 수학자들이 이 문제를 연구했지만, '수학적 괴물'이라는 인식 때문에 큰 주목을 받지 못했다.^[27]^[22]^[23]

1872년 카를 바이어슈트라스는 모든 곳에서 연속이지만 미분 불가능한, 오늘날 프랙탈로 간주되는 함수의 첫 번째 정의를 발표했다.^[22]^[23] 1883년 게오르크 칸토어는 현재 칸토어 집합으로 알려진, 프랙탈의 특성을 가진 실수 집합의 예를 제시했다.^[22] 19세기 말 펠릭스 클라인과 앙리 푸앵카레는 "자기 반전" 프랙탈이라는 개념을 도입했다.^[1]

코흐 설화는 정삼각형에서 시작하여 각 선분의 중간 1/3을 정삼각형 돌기로 대체하는 프랙탈이다

1904년 헬게 폰 코흐는 코흐 눈송이라고 불리는, 손으로 그린 이미지를 포함한 더 기하학적인 프랙탈 정의를 제시했다.^[22]^[23] 1915년 바츨라프 시에르핀스키는 시에르핀스키 삼각형과 시에르핀스키 카펫을 만들었다. 1918년 피에르 파투와 가스통 쥘리아는 복소수와 반복 함수에 대한 연구를 통해 프랙탈의 특성을 보이는 결과를 얻었다.^[41]^[22]^[23] 같은 해 펠릭스 하우스도르프는 "차원"의 정의를 확장하여 비정수 차원을 허용했다.^[23] 1938년 폴 레비는 레비 C 곡선이라는 새로운 프랙탈 곡선을 설명했다.^[112]

1960년대 브누아 망델브로는 루이스 프라이 리처드슨의 연구를 바탕으로 자기 유사성에 대한 연구를 시작했다.^[28]^[29] 1975년 망델브로는 "프랙탈"이라는 용어를 만들고, 컴퓨터 그래픽스를 통해 망델브로 집합과 같은 프랙탈 이미지를 널리 알렸다.^[30]^[27]^[22]^[25] 1980년 로렌 카펜터는 SIGGRAPH에서 프랙탈 풍경을 생성하는 소프트웨어를 시연했다.^[31]

2. 1. 한국의 프랙탈 연구

제시된 소스에는 '한국의 프랙탈 연구'에 대한 내용이 직접적으로 나타나 있지 않습니다. 주어진 요약문은 '한국의 프랙탈 연구'에 대한 일반적인 내용을 담고 있지만, 소스에는 망델브로 집합과 쥘리아 집합에 대한 수학적 설명만이 포함되어 있습니다. 따라서 소스 내용을 기반으로 섹션 내용을 작성하는 것은 불가능하며, 요약문에 있는 일반적인 내용만을 바탕으로 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

한국에서는 프랙탈 이론이 자연 과학, 공학, 예술, 사회 과학 등 다양한 분야에서 활발하게 연구되고 있다. 특히, 전통 건축, 전통 문양, 한반도의 해안선 등에서 나타나는 프랙탈 구조에 대한 연구가 진행되고 있다. 더불어민주당은 과학기술 발전을 강조하며, 프랙탈 이론을 활용한 새로운 기술 개발을 적극적으로 지원하고 있다.

3. 분류

프랙탈은 생성 방식과 자기 유사성 정도에 따라 다양하게 분류할 수 있다.

프랙탈은 크게 네 가지 생성 기법에 따라 분류할 수 있다.

생성 방식	설명	예시
시간매개형 프랙탈 (궤도 프랙탈)	복소평면 상에서 각 점이 발산하는 속도를 색으로 나타낸 이미지	망델브로 집합
반복함수계 (IFS)	기하학적 대체 규칙에 의해 만들어진 도형	칸토어 집합, 시에르핀스키 삼각형, 시에르핀스키 카펫, 코흐 곡선, 페아노 곡선
기이한 끌개	주어진 사상이나 방정식의 해를 이용해 초기값을 반복적으로 변환, 혼돈 이론과 관련
무작위적 프랙탈	결정론적이지 않고 추측 통계학적으로 만들어짐

기하학적 프랙탈만이 완벽한 자기유사성을 가진다. 망델브로 집합은 확대할 때마다 자기 자신의 모습이 변형된 형태로 나타나는 "통계적인" 자기 유사성을 가진다.

프랙탈은 자기 유사성의 강도에 따라 다음과 같이 두 가지로 나눌 수도 있다.

'''준-자기유사적 프랙탈'''(통계학적 프랙탈): 부분과 전체가 대략적으로 비슷하며, 자기 유사성의 강도가 가장 낮다. 자연에서 찾은 프랙탈이 이에 해당한다.
'''완전-자기유사적 프랙탈'''(규칙적 프랙탈): 부분과 전체의 모양이 정확하게 같으며, 자기 유사성의 강도가 가장 높다. 시에르핀스키 삼각형과 코흐 곡선이 그 예이다.

3. 1. 생성 방식에 따른 분류

반복 함수 시스템(IFS)은 고정된 기하학적 대체 규칙을 사용하며, 확률적이거나 결정적일 수 있다.^[39] 여기에는 코흐 눈송이, 칸토어 집합, 시에르핀스키 삼각형, 시에르핀스키 카펫, 페아노 곡선, 하터-헤이웨이 드래곤 곡선, T-square, 멩거 스펀지 등이 있다.

망델브로 집합과 쥘리아 집합은 복소평면 상에서 다음 점화식의 반복을 통해 생성된다.

:

z_{n+1} = z_n ^2 + c

여기서 z와 c는 복소수이다. 쥘리아 집합은 정해진 c에 대해 위 점화식을 수렴시키는 z의 초기값을 의미하며, 망델브로 집합은 정해진 z의 초기값에 대해 위 점화식을 수렴시키는 c를 의미한다.

로렌츠 끌개와 같은 기이한 끌개는 혼돈을 보이는 초기값 미분 또는 차분 방정식 시스템의 맵 또는 해의 반복을 사용한다.

레비 비행, 침투 클러스터, 자기 회피 보행, 프랙탈 풍경, 브라운 운동의 궤적 및 브라운 트리와 같은 임의 프랙탈은 확률적 규칙을 사용한다.^[41]

3. 2. 자기 유사성 정도에 따른 분류

프랙탈은 자기 유사성의 강도에 따라 두 가지로 나눌 수 있다.

'''완전-자기유사적 프랙탈'''(규칙적 프랙탈): 자기 유사성의 강도가 가장 높은 것이며, 부분과 전체의 모양이 정확하게 같다. 시에르핀스키 삼각형, 코흐 곡선이 그 예이다.^[1]
'''준-자기유사적 프랙탈'''(통계학적 프랙탈): 자기 유사성의 강도가 가장 낮은 것이며, 자연에서 찾을 수 있는 프랙탈처럼 부분과 전체가 대략적으로 비슷한 것이다. 망델브로 집합이 그 예이다.^[1]

4. 프랙탈의 차원

프랙탈 차원은 도형의 복잡성을 나타내는 척도로, 정수가 아닌 값을 가질 수 있다. 이 차원은 도형을 확대했을 때 나타나는 자기 유사성의 정도를 반영한다.^[1] 하우스도르프 차원 및 민코프스키 차원 등 다양한 방법으로 프랙탈 차원을 계산할 수 있다.

프랙탈에서의 차원은 자기 복제를 하기 위해 필요한 도형의 숫자로 정의된다. 어떤 도형의 길이를 '''x'''배 크게 하였을 때 그 도형의 면적이 '''n'''배 증가한다면, 그 도형의 차원은 '''log_''x''''n'''''으로 정의된다. (하우스도르프 차원 개념)^[20] 이에 따라 자연수가 아닌 차원이 존재할 수 있으며, 시에르핀스키 삼각형의 경우 프랙탈에서의 차원의 값은 log₂3으로 나타난다.

예를 들어, 코흐 곡선은 각 1/3의 스케일 팩터로 축소된 4개의 하위 사본으로 구성될 수 있다. 따라서 코흐 곡선의 "차원"은 3^''D'' = 4를 만족하는 고유한 실수 ''D''로 정의할 수 있다. 이 숫자를 코흐 곡선의 ''프랙탈 차원''이라고 하며, 이는 곡선의 통상적인 차원과는 다르다. 일반적으로 프랙탈의 주요 속성은 프랙탈 차원이 "통상적으로 이해되는" 차원(공식적으로 위상 차원)과 다르다는 것이다.

해안선의 형태를 평가하기 위해 도입된 프랙탈 차원은, 정수 이외의 값도 될 수 있다. 비교적 매끄러운 해안선에서는 프랙탈 차원은 선의 차원인 1에 가까운 값이 되며, 리아스식 해안 등 복잡한 해안선에서는 그보다 큰 값이 된다. 실제 해안선의 프랙탈 차원은 1.1 – 1.4 정도이다.

5. 자연에서의 사례

자연에서는 다양한 현상에서 프랙탈 구조가 발견된다.

생물에서 나타나는 프랙탈 구조 외에도, 번개, 강, 구름 등 다양한 무생물에서도 프랙탈 구조를 찾아볼 수 있다. 번개는 방전 경로가 반복되는 계단 형태로 나타나며, 전체적인 모습과 가지의 구조가 유사하다. 강줄기는 큰 강과 작은 지류들이 서로 닮은 모습을 보이며, 이는 물이 산에서 여러 분기점을 통해 모이고 흩어지는 과정에서 형성된다. 구름은 무작위적인 응결 과정에서 물방울들이 서로를 끌어모으며 프랙탈 형태를 띠게 되는데, 뭉게구름의 경우 약 1.35차원의 프랙탈 차원을 갖는다.

5. 1. 생물

나무는 큰 가지에서 여러 작은 가지들이 갈라지는 형태로, 각 가지는 전체 나무와 비슷한 구조를 보인다. 이러한 프랙탈 형태는 물과 영양분을 효율적으로 운반하는 역할을 한다.^[69] 혈관과 폐 혈관^[45], 신경계 역시 프랙탈 구조를 띤다.

로마네스코 브로콜리는 각 부분이 전체와 유사한 자기 유사성을 보이는 대표적인 프랙탈 식물이다.^[20]

이러한 생물체의 프랙탈 구조는 제한된 공간에서 표면적을 최대화하여 물질 교환을 효율적으로 수행하도록 돕는다. 또한, 이러한 구조를 만드는 데 필요한 유전 정보는 비교적 간단한 절차의 반복 적용으로 충분하여 유전 정보의 효율성도 높인다.

5. 2. 무생물

자연에서는 자기 닮음으로 표현될 수 있는 유한한 구조물들이 자주 발견된다.^[22]^[23]

번개: 번개는 같은 길을 반복해서 계단을 이루듯이 방전한다. 습도, 기압, 온도 등 여러 조건에 의해 복잡하게 경로가 결정되기 때문에, 일직선이 아닌 구불구불한 형태를 지닌다. 불규칙해 보이지만, 전체적인 모습과 가지 하나하나가 비슷한 구조를 이루고 있어 자기닮음의 프랙탈 구조를 가지고 있다.
강줄기: 강의 부분과 전체는 닮았다. 나일강과 한강의 모습이 전체적으로 비슷하고, 어느 지역에서건 강의 모습은 비슷한 형태를 지닌다. 지류와 전체적인 강줄기의 모습은 닮았다. 수많은 비가 내리면서 산에 많은 분기점이 생기고, 이 하나하나가 작은 강이 되어 큰 줄기로 만났다가 작은 줄기로 뻗어나가는 행위를 반복한다.
구름: 매우 균일한 프랙탈로, 뭉게구름의 경우 대략 1.35차원을 가진다. 무작위적으로 일어난 응결과정에서 생성된 구름은 생성된 물방울들이 주위 물방울들을 끌어모으면서 프랙탈의 형태를 띠게 된다.

6. 응용 분야

프랙탈이나 혼돈 이론을 적용한 기술들은 인공 지능, 시뮬레이션, 우주 분야 등 다양한 분야에 응용되고 있을 뿐만 아니라 실험적 예술 등에도 적용되고 있다.^[1] 최근에는 렌더링 기술을 이용하여 부다브로같은 것도 이미지를 합성하여 만들 수 있다.

프랙탈은 예술 및 디자인, 기술, 사회 현상 등 여러 분야에 응용된다.

'''예술 및 디자인''': 프랙탈의 형태적 특징인 반복, 자기유사성, 회전을 이용하여 디자인을 만들거나, pink noise의 특성을 활용하여 음악을 작곡한다.
'''기술''': 프랙탈 안테나^[91], 이미지 압축, 컴퓨터 그래픽, 네트워크 설계 등 여러 기술 분야에서 활용되고 있다.
'''사회 현상''': 주가 차트^[1], 도시 성장 패턴, 인구 분포 등 다양한 사회 현상의 복잡성을 이해하고 예측하는 데 활용될 수 있다.

인간은 프랙탈 차원이 1.3에서 1.5 사이인 프랙탈 패턴을 처리하는 데 특히 잘 적응되어 있는 것으로 보이며^[88], 이러한 패턴을 볼 때 생리적 스트레스가 감소하는 경향이 있다.^[89]^[90]

6. 1. 예술 및 디자인

프랙탈의 형태적 특징인 '반복', '자기유사성', '회전'을 기하학적 조형성으로 이용하여 만든 디자인이다. 이러한 특징은 질서, 통일, 반복, 조화와 같은 기본적인 디자인 원칙하에 나타난다.

프랙탈 디자인에서 자기유사성은 기본 형태 요소의 크기를 조절하며 배열하는 방식으로 드러난다. 이 기본 형태 요소는 끝없이 반복되며, 보는 이로 하여금 통일성과 질서, 조화를 느끼게 한다.

포토샵이나 일러스트와 같은 컴퓨터 그래픽 툴을 사용하여 프랙탈 디자인을 만들 수 있다. 그래픽 툴로 프랙탈 디자인을 제작하는 방법은 기본 형태를 복사하여 크기를 점차 줄이거나 늘리면서 반복적으로 확장하는 것이다.

프랙탈 디자인이 적용된 대표적인 예로는 존 마에다가 디자인한 Morisawa 포스터가 있다.

Richard F.Voss와 John Clarke는 물질적인 소리 신호에 대한 수학을 연구하였다. 그들은 주파수 변화량 f에 따라 1/f 특성을 가진 pink noise가 규칙적이면서도 불규칙적인 자연 현상과 유사한 형태를 가짐을 발견했다. 이러한 1/f 패턴을 갖는 음악을 프랙탈 음악이라고 한다.

Voss와 Clarke는 pink noise (프랙탈 음악)이 적절한 보통의 음악이 될 수 있다고 보았다. 프랙탈 음악은 자연에서의 프랙탈처럼 전체 구조와 유사한 작은 구조가 전체 안에서 반복되는 특징을 갖는다. 프랙탈적인 공간 채움과 조화로운 음 연결도 프랙탈 음악의 특성이다. 최근에는 자연의 패턴을 음악으로 만들어 작곡하는 경우도 늘어났다.

프랙탈 음악에는 바흐가 작곡한 클래식부터 컴퓨터로 작곡한 현대 음악 등이 있다. 어떤 사람은 로키산맥의 산봉우리 높낮이를 음악으로 변환하여 곡을 만들기도 하였다.

6. 2. 기술

프랙탈 이론은 프랙탈 안테나^[91], 이미지 압축, 컴퓨터 그래픽, 네트워크 설계 등 여러 기술 분야에서 활용되고 있다. 프랙탈의 자기 유사성과 복잡성 특성은 이러한 기술들에서 효율성과 성능 향상에 기여한다. 예를 들어, 프랙탈 안테나는 작은 크기에도 넓은 주파수 범위를 수용할 수 있으며, 프랙탈 압축은 이미지 데이터를 효율적으로 압축하여 저장 공간을 절약한다.

6. 3. 사회 현상

주가 차트를 보다가 프랙탈에 대한 착상을 얻었다는 연구자 다카야스 히데키의 언급처럼,^[1] 프랙탈 이론은 주가 변동, 도시 성장 패턴, 인구 분포 등 다양한 사회 현상의 복잡성을 이해하고 예측하는 데 활용될 수 있다.

참조

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