길이 거리 공간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 길이를 갖는 곡선
- 2.2. 내재적 거리
3. 성질
- 3.1. 근사적 중점
4. 예
참조

1. 개요

길이 거리 공간은 거리 공간의 일종으로, 두 점 사이의 거리가 그 점들을 잇는 경로의 길이의 하한과 같은 공간을 의미한다. 유도된 내재적 거리를 통해 정의되며, 이 거리는 경로의 길이를 기반으로 한다. 길이 공간은 내재적 거리를 가지며, 근사 중간점을 갖는 완비 거리 공간과 동치 관계를 가진다. 연결 리만 다양체, 유클리드 공간 등이 길이 공간의 예시이며, 초구와 같은 공간은 길이 공간이 아닐 수 있다.

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길이 거리 공간

2. 정의

$(M, d)$ 를 거리 공간이라고 하자. 여기서 $M$ 은 평면이나 원 위의 모든 점과 같은 점들의 집합이고, $d(x,y)$ 는 점 $x, y \in M$ 사이의 거리를 나타내는 함수이다.

$M$ 에 대한 새로운 거리 $d_\text{I}$ 를 정의하는데, 이를 '''유도된 내재적 거리'''라고 한다. 이는 $x$ 에서 $y$ 까지의 모든 경로 길이의 하한으로 정의된다. 여기서 $x$ 에서 $y$ 까지의 ''경로''는 다음 조건을 만족하는 연속 함수 $\gamma \colon [0,1] \rightarrow M$ 이다.

$\gamma(0) = x$
$\gamma(1) = y$

이러한 경로의 ''길이''는 가측 곡선에 대해 설명된 대로 정의된다. 만약

x

에서

y

까지 유한한 길이의 경로가 없다면

d_\text{I}(x,y) = \infty

로 설정한다.

d \mapsto d_\text{I}

는 멱등이다. 즉,

(d_\text{I})_\text{I} = d_\text{I}

이다.

만약

M

의 모든 점

x

와

y

에 대해

d_\text{I}(x,y) = d(x,y)

가 성립한다면,

(M, d)

를 '''길이 공간''' 또는 '''경로 거리 공간'''이라고 하며, 거리

d

는 '''내재적'''이라고 한다.

거리

d

가 '''근사 중간점'''을 가진다는 것은, 임의의

\varepsilon > 0

과

M

의 점

x

와

y

에 대해,

d(x,c)

와

d(c,y)

가 모두

\frac{d(x,y)}{2} + \varepsilon

보다 작은

M

의 점

c

가 존재한다는 것을 의미한다.

2. 1. 길이를 갖는 곡선

로비어 공간

(X,d)

속의 '''곡선'''(curve^영어)은 임의의 닫힌구간

[a,b]\subseteq\mathbb R

에서

X

로 가는 함수이다.

곡선

\gamma\colon[a,b]\to X

가 주어졌을 때, 각 양의 정수

n\in\mathbb Z^+

에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.

:

\operatorname{length}_n(\gamma)\stackrel{\text{def}}=\sup_{a=t_0 1\\d(\gamma(a),\gamma(b))&n=1\end{cases}\in[0,\infty]

삼각 부등식에 의하여, 이 함수는 항상 증가 함수이다. 곡선

\gamma

의 '''길이'''(length^영어)는 이 수열의 상한이다.^[2]^[3]

:

\operatorname{length}(\gamma)\stackrel{\text{def}}=\lim_{n\to\infty}\operatorname{length}_n(\gamma)=\sup_{n\in\mathbb Z^+}\operatorname{length}_n(\gamma)\in[0,\infty]

길이가 유한한 곡선을 '''길이를 갖는 곡선'''(-曲線, rectifiable curve^영어)이라고 한다.^[2]^[3]

2. 2. 내재적 거리

로비어 공간

(X,d)

위의 함수

d_{\text{I}}\colon X\times X\to[0,\infty]

는 '''내재적 거리'''라고 하며, 다음과 같이 정의된다.^[2]^[3]

:

d_{\text{I}}(x,y)=\inf_{\gamma\in\operatorname{Curve}(x,y)}\operatorname{length}\gamma

여기서

\operatorname{Curve}(x,y)

는

x

에서

y

로 가는 모든 곡선들의 집합을 의미한다. 즉, 다음 조건을 만족한다.

:

\gamma\colon[a,b]\to X

:

\gamma(a)=x

:

\gamma(b)=y

(X,d_{\text{I}})

는 로비어 공간을 이룬다.

일반적으로 다음 부등식이 성립한다.

:

d(x,y)\le d_{\text{I}}(x,y)\qquad\forall x,y\in X

d=d_{\text{I}}

가 성립하는 로비어 공간은 '''길이 로비어 공간'''이라고 하며, 추가로 거리 공간을 이룬다면 '''길이 거리 공간'''이라고 한다.^[2]

거리 공간

(M, d)

에서

M

은 평면이나 원 위의 모든 점과 같은 점들의 집합이고,

d(x,y)

는 점

x,y\in M

사이의 거리를 나타내는 함수이다.

M

에 대한 새로운 거리

d_\text{I}

를 정의하는데, 이를 '''유도된 내재적 거리'''라고 한다. 이는 다음과 같이 정의된다.

:

d_\text{I}(x,y)

는

x

에서

y

까지의 모든 경로의 길이의 하한이다.

여기서

x

에서

y

까지의 경로는 다음과 같은 연속 함수이다.

:

\gamma \colon [0,1] \rightarrow M

여기서

\gamma(0) = x

이고

\gamma(1) = y

이다. 이러한 경로의 길이는 가측 곡선에 대해 설명된 대로 정의된다. 만약

x

에서

y

까지 유한한 길이의 경로가 없다면

d_\text{I}(x,y) =\infty

로 설정한다. (이는 닫힌 구간 [0,+∞] 내에서 공집합의 하한이 +∞이므로 하한 정의와 일치한다.)

d\mapsto d_\text{I}

는 멱등이다. 즉, 다음이 성립한다.

:

(d_\text{I})_\text{I} = d_\text{I}.

만약

M

의 모든 점

x

와

y

에 대해 다음이 성립하면,

:

d_\text{I}(x,y)=d(x,y)

(M, d)

를 '''길이 공간''' 또는 '''경로 거리 공간'''이라고 하며, 거리

d

는 '''내재적'''이라고 한다.

거리

d

가 '''근사 중간점'''을 가진다는 것은, 임의의

\varepsilon>0

과

M

의 점

x

와

y

에 대해,

d(x,c)

와

d(c,y)

가 모두 다음보다 작은

:

{d(x,y) \over 2} + \varepsilon.

M

의 점

c

가 존재한다는 것을 의미한다.

3. 성질

내재적 거리에 의해 정의된 위상은 원래 거리에 의해 정의된 위상보다 세밀하거나 같다.

'''볼록 거리 공간'''(convex metric space^영어) $(X,d)$ 는 임의의 $x,y\in X$ 에 대하여, $x\ne y$ 라면

: $d(x,m)+d(m,y)=d(x,y)$

가 되는 $m\in X$ 가 존재하는 거리 공간이다. 모든 완비 볼록 거리 공간은 길이 거리 공간이다.^[4] (그러나 볼록 거리 공간이 아닌 길이 거리 공간이 존재한다.)

$(M, d)$ 를 거리 공간이라 하고, $d(x,y)$ 를 점 $x,y\in M$ 사이의 거리라고 하자. $M$ 에 대한 새로운 거리 $d_\text{I}$ 를 정의하는데, 이를 '''유도된 내재적 거리'''라고 하며 다음과 같이 정의된다.

$d_\text{I}(x,y)$ 는 $x$ 에서 $y$ 까지의 모든 경로 길이의 하한이다.

매핑 $d\mapsto d_\text{I}$ 는 멱등이다. 즉,

: $(d_\text{I})_\text{I} = d_\text{I}.$

$M$ 의 모든 점 $x$ 와 $y$ 에 대해

: $d_\text{I}(x,y)=d(x,y)$

가 성립한다면, $(M, d)$ 를 '''길이 공간''' 또는 '''경로 거리 공간'''이라고 하며, 거리 $d$ 는 '''내재적'''이라고 한다.

공간 $(M, d_\text{I})$ 는 항상 경로 거리 공간이다(단, $d_\text{I}$ 는 무한대가 될 수 있다).
호프-리노우 정리에 따르면, 길이 공간 $(M,d)$ 가 완비이고 국소 콤팩트하면 $M$ 의 임의의 두 점은 최소 측지선으로 연결될 수 있으며, $M$ 의 모든 유계 닫힌 집합은 콤팩트하다.

3. 1. 근사적 중점

근사적 중점을 갖는 거리 공간(metric space with approximate midpoints^영어) (X, d)는 다음 조건을 갖는 거리 공간이다.

임의의 양의 실수 ε > 0 및 두 점 x, y ∈ X에 대하여, 2d(x, m) < d(x, y) + ε이자 2d(y, m) < d(x, y) + ε인 점 m ∈ X가 존재한다.

모든 길이 거리 공간은 근사적 중점을 갖는 거리 공간이다. 완비 거리 공간에 대하여, 길이 거리 공간 조건과 근사적 중점을 갖는 조건은 서로 동치이다.

거리 d가 근사 중간점을 가진다는 것은, 임의의 ε > 0과 M의 점 x와 y 쌍에 대해 d(x, c)와 d(c, y)가 모두 (d(x, y) / 2) + ε 보다 작은 M의 c가 존재한다는 것을 의미한다.

길이 공간의 거리는 근사 중간점을 갖는다. 반대로, 근사 중간점을 갖는 모든 완비 거리 공간은 길이 공간이다.

4. 예

연결 리만 다양체의 표준적인 거리 공간 구조는 길이 거리 공간을 이룬다. 특히, 유클리드 공간 위의 표준적인 거리 구조는 길이 거리 공간을 이룬다. 마찬가지로, 모든 연결 핀슬러 다양체는 길이 공간을 이룬다.

임의의 거리 공간에서 모든 내재적 거리가 유한하다면, 그 거리 공간은 길이 거리 공간을 이룬다.

이산 공간은 다음과 같은 이산 계량을 갖는다.

: $d(x,y)=\begin{cases}0&x=y\\1&x\ne y\end{cases}$

이산 공간 위에서 모든 곡선은 상수 함수이므로, 모든 이산 공간은 (자명하게) 길이 거리 공간을 이룬다.

일반적인 유클리드 공간 $\R^n$ 는 일반적인 유클리드 거리를 갖는 경로 거리 공간이다.
모든 연결된 리만 다양체는 두 점 사이의 거리를 두 점을 연결하는 연속적으로 미분 가능한 곡선의 길이의 하한으로 정의함으로써 경로 거리 공간으로 변환될 수 있다. (리만 구조를 통해 이러한 곡선의 길이를 정의할 수 있다.) 이와 유사하게 길이가 정의된 다른 다양체에는 핀슬러 다양체와 부분 리만 다양체가 포함된다.
모든 완비 거리 공간이자 볼록 거리 공간은 길이 거리 공간이다. 이는 칼 멩거의 결과이다. 그러나 역은 성립하지 않는다. 즉, 볼록하지 않은 길이 거리 공간이 존재한다.

4. 1. 길이 공간이 아닌 거리 공간

유클리드 공간 속의 초구는 유클리드 공간의 부분 거리 공간으로 볼 때 길이 거리 공간이 아니다. 단위 원

S^1

은

\R^2

의 유클리드 거리에서 상속된 거리('''현 거리''')를 갖지만 경로 거리 공간은 아니다.

S^1

에 유도된 고유 거리는 라디안의 각도로 거리를 측정하며, 결과적으로 얻은 길이 거리 공간을 리만 원이라고 한다. 2차원에서 구의 현 거리는 고유하지 않으며, 유도된 고유 거리는 대원 거리로 주어진다.

4. 2. 완비 거리 공간이 아닌 길이 거리 공간

원점을 제거한 유클리드 공간 $ {\mathbb R}^n\setminus\{0\} $을 유클리드 공간의 부분 거리 공간으로 생각한다면, 이는 길이 거리 공간이지만 완비 거리 공간이 아니다.^[1]

4. 3. 원순서 집합

원순서 집합

(X,\lesssim)

에 로비어 공간 구조

:

d(x,y)=\begin{cases}0&x\lesssim y\\\infty&x\not\lesssim y\end{cases}

를 부여할 수 있다.

이 경우, 임의의 곡선

\gamma\colon[a,b]\to X

의 길이는 다음과 같이 결정된다.

만약 $\gamma$ 가 증가 함수라면 ( $\forall s,t\in[a,b]\colon s\le t\implies \gamma(s)\lesssim \gamma(t)$ ), 그 길이는 0이다.
만약 $\gamma$ 가 증가 함수가 아니라면 그 길이는 ∞이다.

:

\operatorname{length}\gamma=\begin{cases}0&\forall s,t\in[a,b]\colon s\le t\implies\gamma(s)\lesssim\gamma(t)\\\infty&\exists s,t\in[a,b],\;s\le t\colon \gamma(s)\not\lesssim\gamma(t)\\\end{cases}

특히,

(X,\lesssim)

가 이산 공간일 때 (

x\lesssim y\implies x=y

) 거리가 0인 곡선은 상수 곡선 밖에 없으며, 다른 곡선의 길이는 ∞이다.

참조

_[1] 서적 Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces Birkhäuser
_[2] 서적 Metric spaces of non-positive curvature Springer-Verlag
_[3] 저널 On asymmetric distances 2013
_[4] 서적 An introduction to metric spaces and fixed point theory Wiley-IEEE 2001

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