상수 함수

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1. 개요

상수 함수는 정의역의 모든 값에 대해 동일한 공역의 값을 갖는 함수이다. 즉, 입력값에 관계없이 항상 동일한 값을 출력한다. 상수 함수는 임의의 x, x'에 대해 f(x) = f(x')이며, y = c 와 같은 형태로 표현될 수 있다.

상수 함수의 그래프는 평면에서 수평선으로 나타나며, 우함수이다. 상수 함수의 미분은 0이며, 전순서 집합 사이의 상수 함수는 순서를 보존하고 순서를 반전한다. 위상 공간 사이의 상수 함수는 연속 함수이며, 연결 집합 위에서 국소 상수 함수는 상수 함수와 동치이다. 상수 사상, 쌍대 상수 사상, 영 사상 등 범주론적 개념으로도 확장된다.

상수 함수

정의

정의	정의역의 모든 원소에 대해 항상 같은 값을 갖는 함수
수식 표현	f(x) = c (c는 상수)

특징

함숫값	모든 입력에 대해 동일한 값을 출력
그래프	좌표평면 상에서 x축에 평행한 직선
미분	미분하면 0이 됨

예시

예시	f(x) = 5, g(x) = -2, h(x) = π (파이)
활용	수학적 모델링, 프로그래밍 등

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 상수 사상
3. 성질
- 3.1. 국소 상수 함수의 층
- 3.2. 상수 사상의 존재
4. 예
- 4.1. 상수 사상의 예

2. 정의

정의역 $X$ 와 공역 $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 가 주어졌을 때, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 $f$ 를 상수 함수라고 한다.

* 임의의 $x,x'\in X$ 에 대하여 $f(x)=f(x')$ 이다.
* 임의의 $x\in X$ 에 대하여 $f(x)=y$ 가 되는 $y\in Y$ 가 존재하며, $y$ 는 $x$ 에 의존하지 않는다.
* $X$ 가 공집합이거나, 또는 임의의 $x\in X$ 에 대하여 $f(x)=y$ 가 되는, $x$ 에 의존하지 않는 $y\in Y$ 가 유일하게 존재한다.
* $X$ 에 비이산 위상을 부여하고, $Y$ 에 이산 위상을 부여하였을 때, $f$ 는 연속 함수이다.

정의역 $X$ 와 공역 $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 가 주어졌다고 하고, 정의역 $X$ 에 위상 공간의 구조가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 $f$ 를 국소 상수 함수(局所常數函數, locally constant function^영어)라고 한다.

* 만약 임의의 $x\in X$ 에 대하여, $f|_U$ 가 상수 함수가 되는 근방 $U\ni x$ 가 존재한다.
* $Y$ 에 이산 위상을 부여하였을 때, $f$ 는 연속 함수이다.

두 매끄러운 다양체 $M$ , $N$ 사이의 매끄러운 함수 $f\colon M\to\mathbb R$ 는 미분을 취할 수 있다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* $f$ 의 도함수 $Df$ 는 어디서나 0이다.
* $f$ 는 국소 상수 함수이다.

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실수 인수를 갖는 실함수로서, 상수 함수는 일반적인 형태 $y(x) = c$ 또는 $y = c$ 를 갖는다. 예를 들어, 함수 $y(x) = 4$ 는 출력값이 $c = 4$ 인 특정 상수 함수이다.

상수 함수 $y = c$ 의 그래프는 점 $(0, c)$ 를 지나는 평면의 "수평선"이다. 하나의 변수 $x$ 에 대한 다항식의 맥락에서, 상수 함수는 차수가 0인 다항식이므로 "영이 아닌 상수 함수"라고 불리며, 일반적인 형태는 $f(x) = c$ ( $c \ne 0$ )이다. 이 함수는 $x$ -축과의 교차점이 없으므로, 근 (영점)이 없다. 반면에, 다항식 $f(x) = 0$ 은 "항등적으로 0인 함수"이다. 이는 (자명한) 상수 함수이며, 모든 $x$ 는 근이다. 그래프는 평면에서 $x$ -축이다.

함수가 정의되는 맥락에서, 함수의 미분은 입력 값의 변화에 따른 함수 값의 변화율을 측정하는 것이다. 상수 함수는 변하지 않으므로, 미분은 0이다.

2.1. 상수 사상

범주 $\mathcal C$ 에서, 사상 $f\colon X\to Y$ 가 다음 조건을 만족시키면 상수 사상(constant morphism^영어)이라고 한다.
* 임의의 대상 $W\in\mathcal C$ 및 사상 $g,h\colon W\to X$ 에 대하여, $f\circ g=f\circ h$ 를 만족한다.
범주 $\mathcal C$ 에서, 사상 $f\colon X\to Y$ 가 다음 조건을 만족시키면 쌍대 상수 사상(coconstant morphism^영어)이라고 한다.
* 임의의 대상 $W\in\mathcal C$ 및 사상 $g,h\colon X\to W$ 에 대하여, $g\circ f=h\circ f$ 를 만족한다.
상수 사상이자 쌍대 상수 사상인 사상을 영 사상(zero morphism^영어)이라고 한다.

3. 성질

상수 함수는 미분하면 0이 되는 함수이다. 예를 들어, 함수 $y(x) = 4$는 입력값 $x$에 관계없이 출력값이 항상 4이므로 상수 함수이며, 그 미분은 0이다. 역으로, 어떤 함수의 미분이 모든 실수 $x$에 대해 0이면 그 함수는 상수 함수이다.

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실함수로서 상수 함수는 $y = c$ (여기서 $c$는 상수) 형태로 표현된다. 상수 함수 $y = c$의 그래프는 xy-평면에서 점 $(0, c)$를 지나는 수평선이다. 상수 함수는 우함수이며, 그래프는 $y$-축에 대해 대칭이다.

전순서 집합 사이의 함수에서, 상수 함수는 순서 보존과 순서 반전을 모두 수행한다. 정의역과 공역이 같은 상수 함수는 멱등원이다.

위상 공간 사이의 상수 함수는 연속 함수이다. 연결 집합 위에서 국소 상수 함수는 상수 함수와 동치이다.

3.1. 국소 상수 함수의 층

위상 공간 $X$ 위의 실수 값의 상수 함수들의 준층은 일반적으로 층이 아니며, 그 층화는 실수 값의 국소 상수 함수들의 층이다.

3.2. 상수 사상의 존재

범주에서 끝 대상 $1$ 을 갖는 범주에서의 상수 사상은 $X\to1\to Y$ 의 꼴의 사상들이다. 시작 대상 $0$ 을 갖는 범주에서의 쌍대 상수 사상은 $X\to0\to Y$ 의 꼴의 사상들이다.

영 대상을 갖는 범주는 영 사상을 갖는 범주를 이룬다. 이 경우, 두 대상 $X,Y$ 사이의 사상은 영 대상을 통하는 유일한 사상인 $X\to 0\to Y$ 이다.

4. 예

* 공역이 한원소 집합이거나 공집합인 모든 함수는 상수 함수이다. 정의역이 한원소 집합이거나 공집합인 모든 함수는 상수 함수이다.
* 실수 인수를 갖는 실함수로서, 상수 함수는 일반적인 형태 $y(x) = c$ 또는 $y = c$를 갖는다. 예를 들어, 함수 $y(x) = 4$는 출력값이 $c = 4$인 특정 상수 함수이다.
* 상수 함수 $y = c$의 그래프는 점 $(0, c)$를 지나는 평면의 수평선이다.
* 하나의 변수 $x$에 대한 다항식의 맥락에서, 상수 함수는 차수가 0인 다항식이므로 "영이 아닌 상수 함수"라고 불리며, 일반적인 형태는 $f(x) = c$ (단, $c \neq 0$)이다. 이 함수는 $x$-축과의 교차점이 없으므로, 근 (영점)이 없다. 반면에, 다항식 $f(x) = 0$은 "항등적으로 0인 함수"이다. 이는 (자명한) 상수 함수이며, 모든 $x$는 근이다. 그래프는 평면에서 $x$-축이다.
* 상수 함수는 우함수이다.
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4.1. 상수 사상의 예

범주에서 상수 사상의 개념을 정의할 수 있다.

* 집합의 범주에서 상수 사상은 상수 함수이다.
* 군의 범주에서 상수 사상, 쌍대 상수 사상, 영 사상은 모두 상이 항등원인 상수 함수이다.
* 환 위 왼쪽 가군들의 범주에서 영 사상은 0으로 가는 상수 함수이다.