호프-리노우 정리
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1. 개요
호프-리노우 정리는 연결된 매끄러운 리만 다양체에서 닫힌 유계 집합, 완비 거리 공간, 측지적 완비성 사이의 관계를 설명하는 정리이다. 이 정리에 따르면 이러한 조건들은 서로 동치이며, 이 중 하나라도 참이면 임의의 두 점을 연결하는 길이 최소화 측지선이 존재한다. 호프-리노우 정리는 길이 거리 공간으로 일반화될 수 있으며, 무한 차원 다양체나 로렌츠 다양체에서는 일반적으로 성립하지 않는다.
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2. 진술
를 매끄러운 연결 리만 다양체라 하자. 호프-리노우 정리는 이러한 다양체의 완비성(completeness)을 특징짓는 여러 중요한 조건들이 서로 동치임을 밝히는 정리이다. 이 조건들은 다양체의 위상적 성질(콤팩트성), 거리 공간으로서의 성질(계량 완비성), 그리고 기하학적 성질(측지 완비성)을 포함한다. 또한, 이 조건들이 만족될 경우 임의의 두 점 을 잇는 길이 최소화 측지선의 존재성이 보장된다. 구체적인 동치 조건과 그 함의는 하위 섹션에서 자세히 다룬다.
2. 1. 동치 조건
를 매끄러운 연결 리만 다양체라 하자. 그러면, 다음 명제들은 서로 동치이다.# 의 닫힌 유계 부분 집합은 콤팩트이다.
# 은 완비 거리 공간이다.
# 은 측지적으로 완비하다. 즉, 모든 에 대해, 지수 사상 exp''p''가 전체 접 공간 에서 정의된다.
또한, 위의 명제 중 하나라도 참이면, 임의의 두 점 에 대해 이 두 점을 연결하는 길이 최소화 측지선이 존재한다(측지선은 일반적으로 길이 함수에 대한 임계점이며 최소값일 수도 있고 아닐 수도 있다).
호프-리노우 정리에서 완비성의 첫 번째 특징은 다양체의 위상과 다양한 집합의 유계성에 관한 것이고, 두 번째는 변분법의 특정 문제(즉, 길이 범함수의 최소화)에 대한 최소화 자의 존재에 관한 것이며, 세 번째는 특정 상미분 방정식계의 해의 특성에 관한 것이다.
2. 2. 최소화 측지선의 존재성
를 매끄러운 연결 리만 다양체라 하자. 호프-리노우 정리에 따르면 다음 세 가지 명제는 서로 동치이다.# 의 닫힌 유계 부분 집합은 콤팩트하다.
# 은 완비 거리 공간이다.
# 은 측지적으로 완비하다. 즉, 모든 점 에 대해, 지수 사상 exp''p''가 전체 접공간 에서 정의된다.
이 명제들 중 하나라도 참일 경우, 임의의 두 점 에 대해, 이 두 점을 연결하는 길이 최소화 측지선이 반드시 존재한다. 여기서 측지선은 일반적으로 길이 함수의 임계점을 의미하며, 반드시 길이가 최소인 경로만을 뜻하는 것은 아니다.
3. 변형 및 일반화
호프-리노우 정리는 원래 정의된 리만 다양체 외에 다른 수학적 공간으로 확장되거나, 특정 조건에서는 성립하지 않는 등 여러 방향으로 연구되었다. 대표적으로 길이 거리 공간으로 일반화될 수 있으며, 반대로 무한 차원 다양체나 준 리만 다양체와 같은 경우에는 일반적으로 성립하지 않는 것으로 알려져 있다.[4][2] 이러한 구체적인 일반화 및 비적용 사례는 아래 하위 섹션에서 자세히 다룬다.
3. 1. 길이-거리 공간으로의 일반화
호프-리노우 정리는 다음과 같은 방식으로 길이-거리 공간으로 일반화된다:만약 길이-거리 공간이 완비 공간이고 국소 콤팩트 공간이라면, 임의의 두 점은 최소 측지선으로 연결될 수 있으며, 모든 유계 폐집합은 콤팩트 공간이다.
사실 이러한 성질은 국소 콤팩트 길이-거리 공간에 대한 완비성을 특징짓는다.
3. 2. 무한 차원 다양체에서의 비적용
호프-리노우 정리는 무한 차원 다양체에 대해서는 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 분리 가능한 힐베르트 공간의 단위 구는 힐베르트 다양체 구조를 가질 수 있는데, 이 구조에서는 서로 마주보는 점(대척점)들이 길이를 최소화하는 측지선으로 연결될 수 없는 경우가 있다. 나아가, 두 점이 (길이 최소화 여부와 관계없이) 어떤 측지선으로도 연결된다는 것 자체가 보장되지 않는다는 사실도 밝혀졌다.[2]3. 3. 준 리만 다양체에서의 비적용
호프-리노우 정리는 준 리만 다양체의 한 종류인 로런츠 다양체로 일반화되지 않는다. 클리프턴-폴 토러스는 콤팩트하지만 완비되지 않은 로런츠 다양체의 예시를 제공하는데, 이는 2차원 원환과 미분동형이다.참조
[1]
논문
Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche
[2]
간행물
The Hopf–Rinow theorem is false in infinite dimensions
[3]
논문
Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche
[4]
간행물
The Hopf–Rinow theorem is false in infinite dimensions
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