네이피어의 뼈
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1. 개요
네이피어의 뼈는 곱셈, 나눗셈, 제곱근 계산을 돕기 위해 고안된 계산 도구이다. 17세기 스코틀랜드 수학자 존 네이피어가 개발했으며, 여러 자릿수의 숫자와 한 자릿수의 곱셈을 기반으로 한다. 네이피어의 뼈는 막대 형태로 구성되며, 각 막대에는 숫자와 그 곱셈 결과가 표시되어 있다. 곱셈은 막대를 배열하고 대각선으로 숫자를 더하는 방식으로 수행되며, 나눗셈은 곱셈의 역순으로, 제곱근은 추가적인 제곱수 막대를 사용하여 계산한다. 19세기에는 가독성을 높이기 위한 개량이 이루어졌으며, 앙리 제네이유는 네이피어의 뼈를 발전시켜 제네이유-루카스 눈금자를 발명했다.
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| 네이피어의 뼈 | |
|---|---|
| 개요 | |
 | |
| 명칭 | |
| 다른 이름 | 네피어 막대, 네피어 계산 막대 |
| 영어 명칭 | Napier's bones |
| 역사 | |
| 발명가 | 존 네이피어 |
| 발명 시기 | 1617년 (Rabdologiæ 책에 설명) |
| 용도 | 곱셈, 나눗셈, 제곱근 계산 |
| 원리 | 격자 곱셈 |
| 구조 및 사용법 | |
| 구성 요소 | 숫자 막대 (곱셈 테이블) 인덱스 막대 |
| 작동 방식 | 곱셈: 막대를 배열하고 숫자를 더함 나눗셈: 막대를 배열하고 숫자를 뺌 |
| 장점 | 계산 속도 향상, 암산 능력 향상 |
| 관련 도구 | |
| 관련 발명품 | 계산자 |
| 관련 기술 | 로그 |
2. 역사
네이피어의 뼈는 그리스어로 "막대"를 의미하는 ραβδoςel(rabdos)와 "말"을 의미하는 λóγoςel(logos)의 합성어인 '''랍돌로지'''(Rabdology)라고도 불린다. 존 네이피어는 1617년 말 에든버러에서 ''Rabdologiæ''라는 이름으로 발표했다. 네이피어의 뼈를 응용하여, 여러 자릿수끼리의 곱셈이나 나눗셈, 제곱근을 구하는 계산을 할 수 있다.
네이피어의 뼈는 틀을 가진 '''기반'''과, 곱셈이나 나눗셈을 하기 위해 기반 위에 배치되는 '''네이피어 막대'''로 구성된다. 기반의 왼편에는 1부터 9까지의 숫자가 순서대로 적힌 9개의 정사각형이 나란히 배열되어 있다. 네이피어 막대에 대한 자세한 내용은 하위 문단에서 다룬다.
3. 구성
3. 1. 네이피어 막대
네이피어의 막대는 나무나 금속, 또는 두꺼운 종이로 만들어진 가늘고 긴 판이다. 네이피어의 막대는 9개의 정사각형으로 구획되어 있으며, 가장 윗부분을 제외한 모든 정사각형은 대각선으로 왼쪽 위와 오른쪽 아래로 나뉘어져 있다. 가장 윗부분의 정사각형에는 한 자리 숫자가 적혀 있으며, 그 외의 정사각형에는 가장 윗부분에 적힌 숫자를 2배 한 수부터 9배 한 수까지가 순서대로 적혀 있다. 여기서 정사각형의 왼쪽 윗부분에는 10의 자리 숫자가, 오른쪽 아랫부분에는 1의 자리 숫자가 적혀 있다. 10 미만의 숫자의 경우, 왼쪽 윗부분의 숫자는 0이다. 가장 윗부분의 정사각형에 적혀 있는 숫자는 0부터 9까지 있는데, 0의 막대는 모든 숫자가 0이므로 없어도 문제 없다. 제곱근 계산을 할 경우에는, 이 외에 제곱수를 나열한 막대가 필요하다.
4. 곱셈
네이피어의 뼈를 사용한 곱셈은 여러 자릿수의 숫자와 한 자릿수의 숫자를 곱하는 것이 기본 원리이다. 여러 자릿수를 나타내는 막대를 틀 왼쪽에 놓고, 곱하는 한 자릿수에 해당하는 행을 보면서 대각선으로 구분된 숫자들을 더하여 결과를 얻는다.
네이피어의 뼈는 그리스어로 "막대"를 의미하는 ραβδoςel(rabdos)와 "말"을 의미하는 λóγoςel(logos)의 합성어인 '''랍돌로지'''(Rabdology)라고도 불린다. 1617년 에든버러에서 ''Rabdologiæ''라는 이름으로 발표되었다. 네이피어의 뼈에는 구구단 표가 통합되어 있어, 여러 자릿수로 구성된 양수의 정수와 한 자리 양의 정수의 곱셈 계산을 덧셈만으로 해결할 수 있다.
이를 응용하여 여러 자릿수끼리의 곱셈, 나눗셈, 제곱근 계산도 가능하다.
4. 1. 한 자릿수 곱셈
곱하려는 여러 자릿수에 해당하는 네이피어 막대를 기반 위에 순서대로 배열한다. 예를 들어 46785399 × 7을 계산하는 경우, 기반에 왼쪽부터 4, 6, 7, 8, 5, 3, 9, 9의 막대를 순서대로 배열한다. 0을 포함하는 자릿수가 있다면, 0의 막대는 없으므로 네이피어 막대를 놓지 않고 공백으로 둔다.- -|]]
곱하는 한 자릿수에 해당하는 행을 따라가며, 대각선으로 구분된 숫자들을 더하여 결과를 얻는다. 위 그림에서 색이 변해 있는 7번째 행을 보면, 제일 오른쪽 사각형의 오른쪽 아래는 3이므로, 구하는 곱의 1의 자리는 3이다. 다음으로, 제일 오른쪽 사각형의 왼쪽 위는 6이고, 그 왼쪽 옆 사각형의 오른쪽 아래는 3이므로, 10의 자리는 6+3=9가 된다. 마찬가지로, 100의 자리는 6+1=7이 된다. 10만 자리는 5+9=14가 되므로, 1을 올림하여 100만 자리를 4+2+1=7로 하고, 10만 자리를 4로 한다. 따라서, 구하는 곱은 327497793이 된다.
더한 결과가 두 자릿수가 되는 경우에는 윗자리를 다음 자릿수에 더한다. 이러한 덧셈을 보기 쉽게 하기 위해, 막대를 기울여 더하는 수를 세로로 나열할 수 있도록 한 형태의 네이피어의 뼈 개량판도 만들어졌다.
4. 2. 여러 자릿수 곱셈
여러 자릿수 곱셈은 한 자릿수 곱셈 과정을 반복하여 수행한다. 각 자릿수에 대한 곱셈 결과를 구한 후, 자릿수에 맞춰 배열하고 모두 더하여 최종 결과를 얻는다.예를 들어 825 × 913을 계산하는 방법은 다음과 같다.
1. 8, 2, 5 뼈대를 순서대로 배치한다.
2. 9, 1, 3 행을 개별적으로 평가하여 결과를 얻는다.
3. 각 행의 결과를 자릿수에 맞춰 배열한다.
4. 배열된 숫자들을 모두 더한다.
:2475
:8250
:+ 742500
:'''753225'''
46785399 × 96431의 곱셈 과정은 다음과 같다.
1. 4, 6, 7, 8, 5, 3, 9, 9의 막대를 차례로 나열한다.
2. 96431의 각 자릿수인 1, 3, 4, 6, 9와의 곱을 각 행에서 구한다.
3. 자릿수가 올라갈 때마다 왼쪽으로 자릿수를 이동시키면서 적고 더한다.
- -|]]
이것은 세로 곱셈과 같은 원리이며, 네이피어의 뼈는 구구단을 외우지 않고도 곱셈을 쉽게 할 수 있도록 돕는 도구이다.
5. 나눗셈
나눗셈은 곱셈의 역순으로 수행된다. 46785399를 96431로 나누는 경우를 예로 들어보자. 먼저, 제수(96431)에 해당하는 네이피어 막대를 배열하고, 주판을 사용하여 1부터 9까지의 곱을 구한다. 이 값들을 참고하여 나눗셈을 진행하며, 나머지가 제수보다 작아질 때까지 반복한다. 필요한 경우 소수점 이하 자리까지 계산을 계속할 수 있다.
5. 1. 나눗셈 과정
주판을 사용하여, 제수(나누는 수)에 해당하는 막대를 기반 위에 배열하고, 제수의 1부터 9까지의 모든 곱을 구한다. 피제수(나누어지는 수)는 8자리 숫자이지만, 부분 곱은 모두 6자리 숫자이므로, 46785399의 마지막 두 자리 '99'는 임시로 무시하고 467853을 남겨둔다. 그런 다음, 잘린 피제수보다 작은 최대 부분 곱을 찾는다. 이 경우 385724이다. 385724가 주판의 '4' 행에 있으므로, 몫의 가장 왼쪽 숫자로서 '4'를 기록하고, 원래 피제수 아래에 왼쪽 정렬된 부분 곱을 쓴다. 두 항을 빼면 8212999가 남는다.동일한 단계를 반복한다. 숫자를 6자리로 자르고, 잘린 숫자보다 바로 작은 부분 곱을 선택하고, 행 번호를 몫의 다음 숫자로 쓰고, 부분 곱을 첫 번째 반복에서 구한 차에서 뺀다. 이 과정을 반복하여 빼기 결과가 제수보다 작아지면 남은 숫자가 나머지가 된다.
따라서 이 예에서 몫은 485이고 나머지는 16364이다. 더 정확한 값을 위해, 필요한 소수점 자릿수를 찾기 위해 이 과정을 계속한다. 몫의 마지막 숫자 뒤에 소수점을 표시하고 나머지 163640에 0을 추가한다. 빼기 후 결과에 매번 0을 추가하면서 이 과정을 계속한다.
나눗셈도 곱셈과 마찬가지 방법으로 수행할 수 있다. 예를 들어 46785399÷96431의 몫을 구할 때, 먼저 기반 내부에 제수 96431에 해당하는 네이피어의 막대를 배치하고, 제수 96431과 1부터 9까지의 수의 곱을 앞서 설명한 방법에 따라 계산한다. 이 값을 참고하여 나눗셈의 세로셈을 수행하면 된다.
이상의 결과로부터, 46785399÷96431 = 485 … 16364 가 된다.
네이피어의 막대가 사용되는 부분은 곱을 구하는 부분뿐이므로, 소수점 이하의 값이 필요한 경우에도 일반적인 나눗셈 세로셈과 마찬가지로 계산하면 된다.
6. 제곱근
제곱근 계산에는 제곱수가 나열된 특별한 막대가 추가로 필요하다. 이 막대는 다른 뼈와 달리 세 개의 열로 구성되어 있다. 첫 번째 열에는 1부터 9까지의 제곱수(1, 4, 9, ..., 81)가, 두 번째 열에는 1부터 9까지의 짝수(2, 4, 6, ..., 18)가, 마지막 열에는 1부터 9까지의 숫자가 나열되어 있다.[1]
이 막대는 제곱근 계산에서 (130+''n'')×''n'' = 13×''n''×10 + ''n''2 형태의 연산을 수행하는 데 사용된다. 예를 들어, 4행의 값은 134×4 = 536과 같다. 이러한 연산은 제곱근을 구하는 과정에서 핵심적인 역할을 한다.
6. 1. 제곱근 계산 과정
네이피어 막대를 사용하여 제곱근을 계산하는 과정은 다음과 같다.먼저, 제곱근을 구하려는 수를 소수점을 기준으로 두 자리씩 나눈다. 예를 들어 46785399의 제곱근을 구할 때, 다음과 같이 나눈다.
: 46|78|53|99
가장 왼쪽 그룹부터 시작하여, 그룹의 수보다 작거나 같은 제곱수 중 가장 큰 수를 찾는다. 46보다 작거나 같은 제곱수 중 가장 큰 수는 36(=62)이다. 따라서 제곱근의 첫 번째 자릿수는 6이 된다.
다음으로, 네이피어 막대를 이용하여 중간 계산을 수행한다. 6의 두 배인 12를 나타내는 막대(1의 막대와 2의 막대)와 제곱수 막대를 함께 배열한다. 각 행의 값을 계산하여 오른쪽에 적는다. 이 값들 중에서 1078 (46에서 36을 뺀 후 다음 그룹 78을 내린 값) 이하의 가장 큰 수를 찾으면, 8행의 1024를 찾을 수 있다. 1078에서 1024를 빼면 54가 남고, 8이 제곱근의 다음 자릿수가 된다.
이후, 다음 단계를 반복한다.
1. 53(다음 그룹)을 내려 5453을 만든다.
2. 12(이전 단계의 막대)에 10을 곱하고, 8(현재 자릿수)의 두 배인 16을 더하여 136을 만든다.
3. 136을 나타내는 막대와 제곱수 막대를 배열하고, 각 행의 값을 계산한다.
4. 5453 이하의 가장 큰 수를 찾아 3행의 4089를 구한다. 5453에서 4089를 빼면 1364가 남고, 3이 제곱근의 다음 자릿수가 된다.
99(다음 그룹)를 내려 136499를 얻고, 위 과정을 반복하여 9행의 123021을 찾는다. 136499에서 123021을 빼면 13478이 남고, 9가 제곱근의 다음 자릿수가 된다.
이상의 과정을 통해 46785399의 제곱근은 약 6839임을 알 수 있다.
:
이와 같은 방식으로, 네이피어 막대를 이용하면 제곱근을 비교적 쉽게 계산할 수 있다.
7. 개량 및 발전
네이피어의 뼈는 곱셈을 덧셈으로, 나눗셈과 제곱근 계산도 가능하게 하는 도구이다. 기반과 네이피어의 막대로 구성되며, 기반에는 1부터 9까지 숫자가, 막대에는 윗부분 숫자의 2배수부터 9배수까지 10의 자리와 1의 자리 숫자가 대각선으로 나뉘어 적혀 있다. 막대는 나무, 금속, 두꺼운 종이 등으로 만들어진다.
19세기에 네이피어의 뼈는 읽기 쉽도록 대각선이 수정되었다. 앙리 제네이유는 제네이유-루카스 눈금자를 발명하여 올림수를 시각적으로 표현, 암산 없이 곱셈 결과를 바로 읽을 수 있게 하였다.
7. 1. 대각선 수정 (19세기)
19세기에 네이피어의 뼈는 읽기 쉽도록 변형되었다. 막대는 약 65° 각도로 만들어져 더해야 하는 삼각형이 정렬되도록 했다. 이 경우, 막대의 각 사각형에서 일의 자리는 오른쪽에, 십의 자리(또는 0)는 왼쪽에 위치한다.막대는 세로선과 가로선이 막대가 접하는 선보다 더 잘 보이도록 제작되어 결과의 각 숫자를 구성하는 두 부분이 더 쉽게 읽히도록 했다. 따라서 그림에서 다음을 즉시 알 수 있다.
987654321 × 5 = 4938271605
7. 2. 제네이유-루카스 눈금자 (1891년)
1891년, 앙리 제네이유는 네이피어의 뼈를 변형하여 제네이유-루카스 눈금자를 발명하였다. 이 눈금자는 올림수를 시각적으로 표현하여, 중간 암산 없이 간단한 곱셈 문제의 결과를 바로 읽을 수 있도록 하였다.[2]다음은 52749 × 4 = 210996를 계산하는 예시이다.
참조
[1]
서적
Rabdologiæ
1617
[2]
웹사이트
Napier’s bones and Genaille-Lucas’s rods
https://locomat.lori[...]
2021-03-17
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