구구단

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1. 개요
2. 역사
3. 구구단의 구성 및 원리
4. 구구단 학습 방법 및 관련 자료
5. 기타
참조

1. 개요

구구단은 곱셈의 결과를 나타내는 표로, 각 숫자에 1부터 9까지의 수를 곱한 값을 정리한 것이다. 가장 오래된 곱셈표는 기원전 305년경 중국에서 제작된 십진 곱셈표이며, 피타고라스의 표라고도 불린다. 구구단은 곱셈의 교환 법칙을 기반으로 구성되며, 2단부터 9단까지 각 단의 곱셈 결과를 순서대로 외운다. 구구단은 암기, 노래, 게임 등 다양한 방법으로 학습할 수 있으며, 주산에서는 나눗셈 구구도 활용된다. 인도, 중국, 한국 등에서는 20단 또는 그 이상의 구구단이 사용되기도 하며, 나이, 시간 등을 나타내는 데에도 활용된다.

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구구단
명칭
한국어	구구단
한자	九九段
영어	Multiplication table
일본어	九九 (くく, Kuku)
중국어	九九 (jiǔjiǔ)
내용
정의	곱셈을 암기하기 위해 만들어진 표
범위	일반적으로 1단부터 9단까지 (일부 문화권에서는 다른 범위 사용)
활용	기본적인 산수 연산 능력 향상에 기여
역사
기원	고대 바빌로니아 또는 중국에서 유래
동아시아 전파	한자 문화권에서 널리 사용
한국	조선 시대부터 교육에 활용
문화적 측면
암기 방식	각 나라별 독특한 암기 구전 방식 존재
교육	초등 교육 과정에서 중요한 부분을 차지
게임 및 노래	구구단을 활용한 다양한 게임 및 노래 존재
기타
확장된 구구단	19단, 20단 등 더 큰 숫자를 포함하는 구구단도 존재
곱셈표	구구단을 확장하여 더 큰 숫자 곱셈을 돕는 표
계산기	계산기의 등장으로 구구단의 중요성이 다소 감소했지만, 여전히 기본적인 연산 능력 향상에 중요

2. 역사

곱셈표의 역사는 고대 문명까지 거슬러 올라간다.

전국 시대의 칭화 대학 죽간(清華簡)에 소장된 기원전 305년경의 대나무 죽간 21개 묶음은 세계에서 가장 오래된 십진법 곱셈표의 사례이다.^[9] 곱셈 구구는 십진법에서 1부터 9까지의 자연수끼리의 곱셈을 외우기 쉽게 암기하는 방법이다. 유럽 등에서는 십이진법의 잔재로 12×12까지의 곱셈표를 배우기도 했다.

일본에서는 초등학교 2학년 산수 수업에서 한 자리 수끼리의 곱셈을 학습하며, 한 자리 수끼리의 곱셈을 확실하게 습득하는 방법으로 구구단이 활용되는 경우가 많다.^[13]

곱이 한 자리 수일 때는 "가"를 붙인다. "가"는 0을 의미하며^[14], 십의 자리의 빈 자리를 의식하게 하는 데에도 도움이 된다. 특히 주산에서 "가"가 있기 때문에 자릿수를 잘못 계산하는 일이 없어진다^[14].

2. 1. 고대

바빌로니아에서는 약 4000년 전에 60진법을 사용한 곱셈표를 사용했다.^[2] 중국에서는 기원전 305년경 전국 시대 청화 간에 십진 곱셈표가 기록되었는데, 이는 현존하는 가장 오래된 십진 곱셈표이다.^[2]

피타고라스(기원전 570–495년)가 곱셈표를 만들었다고 알려져 있으며, '피타고라스의 표'라고 불리기도 한다.^[4] 현존하는 가장 오래된 그리스 곱셈표는 서기 1세기에 제작된 밀랍 태블릿으로, 대영 박물관에 소장되어 있다.^[5]

한국에서는 백제 시대에 중국으로부터 구구단이 전래되었다. 헤이조 궁 터(8세기)에서 발견된 목간에는 중국 수학서 '손자산경'과 유사한 표기 방식이 나타난다.^[17]^[18] 경주 불국사 삼층석탑(석가탑)에서 발견된 무구정광대다라니경(8세기 중엽)에는 '구구팔십일'이라는 표현이 등장하여, 통일신라 시대에 이미 구구단이 널리 사용되었음을 알 수 있다.

2. 2. 중세 및 근대

1820년, 수학자 존 레슬리는 저서 ''산술 철학''에서^[7] 최대 1000 × 1000까지의 곱셈표를 발표했는데, 이는 숫자를 한 번에 세 자리씩 곱할 수 있게 해준다. 레슬리는 어린 학생들이 50 × 50까지의 곱셈표를 암기하도록 권장했다.

일본에는 야마토 시대에 백제에서 구구단이 전해졌으며, 헤이안 시대에는 귀족의 교양 중 하나였다는 설^[16]이 있었다. 그러나 나라시의 헤이조 궁 터에서 출토된 "구구"를 적은 8세기 목간에 중국 수학서 "손자산경"과 같은 "여(如)"자가 쓰여 있어,^[17] 구구단은 중국에서 전래된 것으로 추정된다고 나라 문화재 연구소가 2010년 12월 3일에 발표했다.^[18] 2022년 7월 27일, 교토탄고시 나라 시대 쓰루오 유적에서 구구단이 표리에 쓰여진 목간 1점이 출토되었다고 교토부 매장 문화재 조사 연구 센터가 발표했다.^[19] 8세기에 성립된 만엽집에는 구구단을 사용한 희서가 다수 보인다.^[20]

2. 3. 현대

대한민국에서는 초등학교 2학년 수학 교육 과정에서 구구단을 학습한다.^[13] 19단, 20단, 심지어 99단까지 암기하는 교육 방식도 등장했다.

영어권 국가에서는 12 × 12 곱셈표가 일반적이다. 이는 십이진법의 잔재로 볼 수 있다. 미국의 대학생·대학원생의 38%가 "구구단을 완전히 기억하지 못한다"는 조사 결과도 있는데, 이는 영어의 기수사 체계가 구구단 암기에 불리하게 작용하기 때문이라는 견해가 있다.

1989년, 전미 수학교사 협의회(NCTM)는 암기 위주 교육 방식에 대한 변화를 권고했다. 2006년 핵심 사항에서 기본적인 수학적 사실을 학습해야 함을 명확히 했지만, 암기가 최선의 방법인지에 대해서는 합의가 이루어지지 않았다. 최근에는 비디오 게임 스타일 앱이나 캐릭터 기반 이야기를 통해 구구단을 가르치는 등 다양한 방법들이 시도되고 있다.

인도에서는 지역 및 학교에 따라 20단, 심지어 99단까지 외우는 경우도 있다.

3. 구구단의 구성 및 원리

구구단은 곱셈의 교환 법칙($a \times b = b \times a$)을 기반으로 한다. 곱해지는 수(곱셈 기호 왼쪽의 숫자)에 따라 2단, 3단, …, 9단이라는 이름이 붙는다. 구구단을 외울 때에는 ‘2×1은 2, 2×2는 4, …, 2×9는 18’과 같이 차근차근 순서대로 외운다.

구구단 곱셈표에는 곱셈의 교환 법칙에 의해 같은 수를 곱하는 대각선을 기준으로 선대칭을 이루는 등 여러 대칭성이 존재한다. 더해서 10이 되는 수끼리 곱한 대각선에서도 완벽하지는 않지만 대칭성이 존재한다. ((10-a)×(10-b)=(10-a-b)×10+a×b)

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	10+8
3	3	6	9	12	15	18	21	10+14	20+7
4	4	8	12	16	20	24	10+18	20+12	30+6
5	5	10	15	20	25	10+20	20+15	30+10	40+5
6	6	12	18	24	10+20	20+16	30+12	40+8	50+4
7	7	14	21	10+18	20+15	30+12	40+9	50+6	60+3
8	8	16	10+14	20+12	30+10	40+8	50+6	60+4	70+2
9	9	10+8	20+7	30+6	40+5	50+4	60+3	70+2	80+1

3. 1. 구구단 표 (9단)

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

9단은 외우기 쉽고, 십의 자리와 일의 자리를 더하면 9가 된다 (예. 9+0=9, 1+8=9, 2+7=9, ...., 8+1=9). 9단의 경우 십의 자리는 1씩 커지고, 거꾸로 일의 자리는 1씩 작아진다. 이러한 패턴은 합동 산술을 통해 수학적으로 증명할 수 있다.

3. 2. 구구단의 패턴

구구단 표에는 여러 패턴이 나타난다. 예를 들어 9단은 다음과 같은 특징이 있다.

십의 자리는 1씩 커진다.
일의 자리는 1씩 작아진다.
각 자리 숫자의 합은 항상 9이다. (예: 9 + 0 = 9, 1 + 8 = 9, 2 + 7 = 9, ..., 8 + 1 = 9)

5단의 경우, 일의 자리가 항상 5 또는 0이다.

이러한 패턴은 합동 산술을 통해 수학적으로 증명할 수 있다.

3. 3. 추상 대수학에서의 곱셈표

표는 군, 체, 환 및 기타 대수 구조에서 이항 연산을 정의하는 데 사용된다. 이러한 맥락에서 그들은 케일리 표라고 불린다.

모든 자연수 ''n''에 대해, 법 ''n'' 정수 환인 '''Z_''n'''''에서의 덧셈과 곱셈은 ''n'' x ''n'' 표로 설명된다. (모듈러 산술 참조). 예를 들어, '''Z₅'''에 대한 표는 다음과 같다.

+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

×	1	2	3	4
0	0	0	0	0
1	1	2	3	4
2	2	4	1	3
3	3	1	4	2
4	4	3	2	1

다른 예는 군을 참조한다.

3. 4. 덧셈 및 뺄셈 구구 (일본)

에도 시대에는 데라코야 등에서 덧셈 구구와 뺄셈 구구를 가르쳤다.^[10]

메이지 시대의 교사용 지도서 "사범학교/개정 소학교수 방법"에도 "구구도"라는 표가 실려 있는 것을 확인할 수 있다.^[10]

덧셈 구구(가산 구구)는 다음과 같이 읽었다.

: "1에 1 더하기 2", "2에 9 더하기 11"

뺄셈 구구(감산 구구)는 다음과 같이 읽었다.

: "2에 1 빼기 1", "10에 2 빼기 8"

덧셈 구구 표("가산 구구도"의 일례)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18

뺄셈 구구 표("감산 구구도"의 일례)
	0	1	2	3	4	5	6	7	8
2	1
3	2	1
4	3	2	1
5	4	3	2	1
6	5	4	3	2	1
7	6	5	4	3	2	1
8	7	6	5	4	3	2	1
9	8	7	6	5	4	3	2	1
10	9	8	7	6	5	4	3	2	1

4. 구구단 학습 방법 및 관련 자료

구구단 학습에는 다양한 방법이 활용될 수 있다. 곱셈을 쉽게 하기 위해 구구단 표를 보고 외우는 것이 일반적이다.^[24]

구구단을 쉽게 암기하기 위한 패턴을 활용할 수 있다. 아래 그림과 같이 1, 3, 7, 9의 배수(그림 1)와 2, 4, 6, 8의 배수(그림 2)는 전화 키패드와 유사한 패턴을 보인다. 5를 제외한 0부터 10까지 모든 숫자의 배수를 이 패턴으로 암기할 수 있다.

	4	5	6
→					→
↑	1	2	3	↓	↑	2		4	↓
	7	8	9			6		8
←					←
	0		5				0
그림 1: 홀수					그림 2: 짝수

곱하려는 숫자로 시작하여 화살표를 따라가며 숫자를 기억하는 방식이다. 예를 들어 7단을 외울 때, 그림 1에서 7로 시작하여 화살표 방향대로 4(14), 1(21), 8(28) 순으로 진행하며 암기할 수 있다.

과거에는 '구구'부터 외우는 방식이 일반적이었으나 현대에는 '일일'부터 외우는 '전구구' 방식이 주로 사용된다. 나눗셈 구구와 혼동을 피하기 위해 절반만 외우는 '반구구'가 사용되기도 했다.

주산에서는 곱셈 구구 외에 나눗셈 구구(팔산, 견일 등)도 사용한다. 나눗셈 구구는 주판의 구슬 움직임과 관련이 크며, 원나라 때 중국에서 발명되어 일본에도 전해졌다. 나눗셈 구구는 제수의 쪽을 단의 이름으로 한다.

나눗셈 구구의 규칙은 다음과 같다.

10의 배수를 한 자릿수로 나누는 유형
나누어 떨어지는 경우: (제수의 값)(피제수의 10의 자리 값)(천 또는 배)(작)(몫의 값)
나누어 떨어지지 않고, 피제수의 10의 자리와 몫이 일치하는 경우: (제수의 값)(피제수의 10의 자리 값)(하)(가)(나머지의 값)
나누어 떨어지지 않고, 피제수의 10의 자리와 몫이 일치하지 않는 경우: (제수의 값)(피제수의 10의 자리 값)(몫의 값)(십)(나머지의 값)
한 자릿수를 한 자릿수로 나누는 유형(나누어 떨어지는 경우만 존재): (피제수의 값)(진)(몫의 값)(십)

주산에 의한 나눗셈 방법은 곱셈 구구를 사용하는 상제법과 나눗셈 구구를 사용하는 귀제법이 있다. 쇼와 시대부터 상제법이 주가 되었고, 귀제법은 거의 사용하지 않게 되었다.

팔산은 제수가 2~9까지 8가지가 있다는 데에서 유래한다.

4. 1. 암기 요령

구구단은 곱셈을 쉽게 하기 위해 외우는 표이다. 구구단을 외우는 데는 여러 가지 요령이 있다.

패턴 활용: 1, 3, 7, 9의 배수와 2, 4, 6, 8의 배수는 각각 일정한 패턴을 가진다. 전화 키패드와 유사한 그림을 이용하여 이 패턴을 시각적으로 파악하면 암기 시간을 단축할 수 있다.

1, 3, 7, 9로 끝나는 정수의 배수(윗줄)와 2, 4, 6, 8(아랫줄)의 일의 자리 숫자의 순환을 나타낸 그림(전화 키패드)

예를 들어 7단을 외울 때는, 그림에서 7의 위치를 확인하고 화살표 방향으로 다음 숫자를 따라가면 된다. 7 다음은 4 (14), 그 다음은 1 (21), 8 (28) 순서로 진행된다.

전구구와 반구구: 과거에는 '구구'부터 외웠지만, 현대에는 '일일'부터 외우는 것이 일반적이다. '구구단'이라는 명칭은 과거의 흔적이다. 나눗셈 구구와 혼동을 피하기 위해 절반만 외우는 '반구구'가 사용되기도 했으나, 현재는 모든 단을 외우는 '전구구'가 주로 사용된다.

구구단 표 (전구구)
×	1단	2단	3단	4단	5단	6단	7단	8단	9단
1	1×1 = 1	2×1 = 2	3×1 = 3	4×1 = 4	5×1 = 5	6×1 = 6	7×1 = 7	8×1 = 8	9×1 = 9
1	일이 가 일	이일 가 이	삼일 가 삼	사일 가 사	오일 가 오	육일 가 육	칠일 가 칠	팔일 가 팔	구일 가 구
2	1×2 = 2	2×2 = 4	3×2 = 6	4×2 = 8	5×2 = 10	6×2 = 12	7×2 = 14	8×2 = 16	9×2 = 18
2	일 이 이	이이 가 사	삼이 가 육	사이 가 팔	오이 십	육이 십이	칠이 십사	팔이 십육	구이 십팔
3	1×3 = 3	2×3 = 6	3×3 = 9	4×3 = 12	5×3 = 15	6×3 = 18	7×3 = 21	8×3 = 24	9×3 = 27
3	일삼 가 삼	이삼 가 육	삼삼 가 구	사삼 십이	오삼 십오	육삼 십팔	칠삼 이십일	팔삼 이십사	구삼 이십칠
4	1×4 = 4	2×4 = 8	3×4 = 12	4×4 = 16	5×4 = 20	6×4 = 24	7×4 = 28	8×4 = 32	9×4 = 36
4	일사 가 사	이사 가 팔	삼사 십이	사사 십육	오사 이십	육사 이십사	칠사 이십팔	팔사 삼십이	구사 삼십육
5	1×5 = 5	2×5 = 10	3×5 = 15	4×5 = 20	5×5 = 25	6×5 = 30	7×5 = 35	8×5 = 40	9×5 = 45
5	일오 가 오	이오 십	삼오 십오	사오 이십	오오 이십오	육오 삼십	칠오 삼십오	팔오 사십	구오 사십오
6	1×6 = 6	2×6 = 12	3×6 = 18	4×6 = 24	5×6 = 30	6×6 = 36	7×6 = 42	8×6 = 48	9×6 = 54
6	일육 가 육	이육 십이	삼육 십팔	사육 이십사	오육 삼십	육육 삼십육	칠육 사십이	팔육 사십팔	구육 오십사
7	1×7 = 7	2×7 = 14	3×7 = 21	4×7 = 28	5×7 = 35	6×7 = 42	7×7 = 49	8×7 = 56	9×7 = 63
7	일칠 가 칠	이칠 십사	삼칠 이십일	사칠 이십팔	오칠 삼십오	육칠 사십이	칠칠 사십구	팔칠 오십육	구칠 육십삼
8	1×8 = 8	2×8 = 16	3×8 = 24	4×8 = 32	5×8 = 40	6×8 = 48	7×8 = 56	8×8 = 64	9×8 = 72
8	일팔 가 팔	이팔 십육	삼팔 이십사	사팔 삼십이	오팔 사십	육팔 사십팔	칠팔 오십육	팔팔 육십사	구팔 칠십이
9	1×9 = 9	2×9 = 18	3×9 = 27	4×9 = 36	5×9 = 45	6×9 = 54	7×9 = 63	8×9 = 72	9×9 = 81
9	일구 가 구	이구 십팔	삼구 이십칠	사구 삼십육	오구 사십오	육구 오십사	칠구 육십삼	팔구 칠십이	구구 팔십일

수의 크기와 칸의 크기 대응: 곱셈 구구표의 가로, 세로 폭을 곱하는 수에 대응시키면, 곱셈 결과(수의 크기)와 표 칸의 크기가 대응된다. 타일 등을 활용하여 시각적으로 지도할 수 있다.

그 외에도 노래, 게임, 앱 등 다양한 매체를 활용하여 재미있게 구구단을 암기할 수 있다.

4. 2. 구구단 관련 노래 (한국)

여러 가수들이 구구단 노래를 발표했다. 다음은 그 예시이다.

1986년에는 MOKO가 "99의 노래"를 불렀다. 2010년에는 MOKO가 새롭게 녹음한 음원이 음악 배포로 발매되는 등^[24] 롱 셀러 작품이 되었다.
애니메이션 『도라에몽』에서는 오야마 노부요가 "도라에몽 구구단 노래"를 불렀고, 미즈타 와사비가 "new 도라에몽 구구단 노래"를 불렀다.
1990년에는 『가면라이더 BLACK RX』와 『마법사 샐리』 기획으로, 미즈키 이치로가 "가면라이더 99의 노래"를, 야마모토 유리코가 "마법사 샐리 99의 노래"를 불렀다.
1999년에는 아키요시 히데미가 "에이미 짱의 렛츠 고! 구구단"을 싱글 CD로 발매했다.

4. 3. 주산과 구구단

주산에서는 곱셈 구구 외에 나눗셈 구구(팔산, 견일 등)도 사용한다. 나눗셈 구구는 주판의 구슬 움직임과 관련이 크며, 원나라 때 중국에서 발명되어 일본에도 전해졌다. 모리 시게요시의 할산서 등에 의해 널리 퍼졌다. 주판의 보급과 나눗셈 구구의 보급은 크게 관련되어 있다.

곱셈 구구는 피승수의 값을 단의 이름으로 하지만, '''나눗셈 구구'''는 피제수가 아닌 '''제수의 쪽을 단의 이름'''으로 한다.

규칙은 다음과 같다.

10의 배수를 한 자릿수로 나누는 유형은 반드시 한자 5자로 표기된다.
나누어 떨어지는 경우
(제수의 값)(피제수의 10의 자리 값)(천 또는 배)(작)(몫의 값)
3번째 문자는, 5의 단의 경우에는 배이고 그 외에는 천이 된다
예: 이일천작오, 오일배작이
주판의 조작법으로는, 피제수의 계산 자릿수를 몫의 값으로 바꾼다
나누어 떨어지지 않고, 피제수의 10의 자리와 몫이 일치하는 경우
(제수의 값)(피제수의 10의 자리 값)(하)(가)(나머지의 값)
예: 육일하가사
주판의 조작법으로는, 피제수의 계산 자릿수는 바꾸지 않고 그대로, 아래 자리에 나머지 값을 더한다
나누어 떨어지지 않고, 피제수의 10의 자리와 몫이 일치하지 않는 경우
(제수의 값)(피제수의 10의 자리 값)(몫의 값)(십)(나머지의 값)
예: 삼일삼십일
주판의 조작법으로는, 피제수의 계산 자릿수를 몫의 값으로 바꾼 다음, 아래 자리에 나머지 값을 더한다
한 자릿수를 한 자릿수로 나누는 유형은 나누어 떨어지는 것밖에 존재하지 않고, 한자 4자로 다음과 같이 표기된다
(피제수의 값)(진)(몫의 값)(십)
예: 이진일십, 사진이십
주판의 조작법으로는, 피제수의 값을 털어내고 윗자리에 몫의 값을 놓는다
몫이 1이 되는 식 이외에는 첫 번째 한자 숫자와 단이 일치하지 않으므로 주의가 필요하다
예를 들어 "사진이십"은 2의 단이고 4의 단이 아니다

주산에 의한 나눗셈 방법은, 곱셈 구구를 사용하는 '''상제법'''과, 나눗셈 구구를 사용하는 '''귀제법'''이 있다. 쇼와 시대부터 상제법이 주가 되었고, 귀제법(즉 나눗셈 구구)은 거의 사용하지 않게 되었다.

; 팔산

: 팔산이라는 호칭은 제수가 2~9까지 8가지가 있다는 데에서 유래한다. 중국에서는 제수가 1인 경우도 포함하여 9가지라는 의미로 구귀법이라고 부르지만, 일본에서는 1로 나눌 경우에는 값이 변하지 않는다는 이유로 일의 단을 제외하고 팔산으로 했다.

: 구구단과 마찬가지로 이일천작오로 팔산 전체를 나타내기도 한다.

팔산(일의 단도 포함)의 표
÷	제수
↓피제수	일의 단	2의 단	3의 단	4의 단	5의 단	6의 단	7의 단	8의 단	9의 단
10 (1)	일진일십	이일천작오	삼일삼십일	사일이십이	오일배작이	육일하가사	칠일하가삼	팔일하가이	구일하가일
	잇신노 이치쥬	니이치 텐사쿠노고	사이치 삼쥬노이치	시이치 니쥬노니	고이치 바이사쿠노니	로쿠이치 하가시	시치이치 하가삼	하치이치 하가니	쿠이치 하가이치
	1/1	10/2	10/3	10/4	10/5	10/6	10/7	10/8	10/9
20 (2)	이진이십	이진일십	삼이육십이	사이천작오	오이배작사	육이삼십이	칠이하가육	팔이하가사	구이하가이
	닛신노 니쥬	닛신노 이치쥬	산니 로쿠쥬노니	시니 텐사쿠노고	고니 바이사쿠노시	로쿠니 삼쥬노니	시치니 하가로쿠	하치니 하가시	쿠니 하가니
	2/1	2/2	20/3	20/4	20/5	20/6	20/7	20/8	20/9
30 (3)	삼진삼십		삼진일십	사삼칠십이	오삼배작육	육삼천작오	칠삼사십이	팔삼하가육	구삼하가삼
	삼신노 삼쥬		삼신노 이치쥬	시산 시치쥬노니	고산 바이사쿠노로쿠	로쿠산 텐사쿠노고	시치산 사쥬노니	하치산 하가로쿠	쿠산 하가삼
	3/1		3/3	30/4	30/5	30/6	30/7	30/8	30/9
40 (4)	사진사십	사진이십		사진일십	오사배작팔	육사육십사	칠사오십오	팔사천작오	구사하가사
	시신노 시쥬	시신노 니쥬		시신노 이치쥬	고시 바이사쿠노하치	로쿠시 로쿠쥬노시	시치시 오쥬노고	하치시 텐사쿠노고	쿠시 하가시
	4/1	4/2		4/4	40/5	40/6	40/7	40/8	40/9
50 (5)	오진오십				오진일십	육오팔십이	칠오칠십일	팔오육십이	구오하가오
	고신노 고쥬				고신노 이치쥬	로쿠고 하치쥬노니	시치고 시치쥬노이치	하치고 로쿠쥬노니	쿠고 하가고
	5/1				5/5	50/6	50/7	50/8	50/9
60 (6)	육진육십	육진삼십	육진이십			육진일십	칠륙팔십사	팔륙칠십사	구륙하가육
	로쿠신노 로쿠쥬	로쿠신노 삼쥬	로쿠신노 니쥬			로쿠신노 이치쥬	시치로쿠 하치쥬노시	하치로쿠 시치쥬노시	쿠로쿠 하가로쿠
	6/1	6/2	6/3			6/6	60/7	60/8	60/9
70 (7)	칠진칠십						칠진일십	팔칠팔십육	구칠하가칠
	시치신노 시치쥬						시치신노 이치쥬	하치시치 하치쥬노로쿠	쿠시치 하가시치
	7/1						7/7	70/8	70/9
80 (8)	팔진팔십	팔진사십		팔진이십				팔진일십	구팔하가팔
	핫신노 하치쥬	핫신노 시쥬		핫신노 니쥬				핫신노 이치쥬	쿠하치 하가하치
	8/1	8/2		8/4				8/8	80/9
90 (9)	구진구십		구진삼십						구진일십
	쿠신노 쿠쥬		쿠신노 산쥬						쿠신노 이치쥬
	9/1		9/3						9/9

5. 기타

구구단은 여러 분야에서 활용되거나 응용된다. 한국에서는 19단이 유행하기도 했다. 나이나 시간을 나타낼 때 구구단을 사용하기도 하는데, 예를 들어 15세를 삼오, 16세를 이팔청춘으로 표현하는 것이 있다.^[14]

5. 1. 19단 및 확장된 구구단

한국, 인도 등 일부 국가에서는 9단까지의 구구단뿐만 아니라 19단, 20단, 심지어 99단까지 외우는 교육 방식이 있다. 독일에서는 대구구(großes Einmaleins^de)라고 불리는 20×20 곱셈표도 있다.^[16] 인도에서는 지역이나 학교에 따라 가르치는 범위가 다르지만, 최소 1×1~20×20, 최대 1×1~99×99까지 배우기도 한다. 인도의 영향을 받아 중국과 한국에서도 두 자리 구구단(1×1~20×20)이 유행했다.^[16]

5. 2. 곱셈 알고리즘

곱셈 알고리즘은 큰 수의 곱셈을 효율적으로 계산하는 방법이다. 9단이 끝이지만 19단으로 넓힌 19단이 있다.

5. 3. 구구단의 활용

나이나 시간을 나타낼 때 구구단을 사용하는 경우가 있다. 예를 들어 삼오(15세), 이팔청춘(16세)과 같이 표현할 수 있다.^[14]

참조

_[1] 간행물 The Multiplication Table: To Be Memorized or Mastered!
_[2] 뉴스 Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips http://www.nature.co[...] 2014-01-07
_[3] 문서 Wikisource:Page:Popular Science Monthly Volume 26.djvu/467
_[4] 서적 An Elementary Treatise on Arithmetic https://archive.org/[...]
_[5] 서적 History of Mathematics, Volume I: General Survey of the History of Elementary Mathematics Dover Publications
_[6] 논문 Literary evidence for Roman arithmetic with fractions 2001-10
_[7] 서적 The Philosophy of Arithmetic; Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of Calculation, with Tables for the Multiplication of Numbers as Far as One Thousand Abernethy & Walker
_[8] 웹사이트 「九九」は中国伝来...平城宮跡から木簡出土 https://www.yomiuri.[...] Yomiuri Shimbun 2010-12-04
_[9] 뉴스 The 2,300-year-old matrix is the world's oldest decimal multiplication table http://www.nature.co[...]
_[10] 웹사이트 近代書誌・近代画像データベース師範学校／改正小学教授方法 https://school.nijl.[...] 近代書誌・近代画像データベース 2022-05-18
_[11] 웹사이트 近代書誌・近代画像データベース師範学校／改正小学教授方法 https://school.nijl.[...] 近代書誌・近代画像データベース 2022-05-18
_[12] 웹사이트 近代書誌・近代画像データベース師範学校／改正小学教授方法 https://school.nijl.[...] 近代書誌・近代画像データベース 2022-05-18
_[13] 문서 小学校学習指導要領（平成29年告示）解説算数編 p.113 https://www.mext.go.[...]
_[14] 서적 『週刊朝日百科日本の歴史103』近代-1-(4)「学校と試験」朝日新聞社 1988-04-10
_[15] 서적 社会人のための英語百科大修館書店
_[16] 웹사이트 神奈川県和算研究会事務局日本の数学文化 in 神奈川＜和算かながわ＞　日本の数学 http://www9.ocn.ne.j[...]
_[17] 문서 「如」は「同一」の意味。
_[18] 뉴스 『「九九」は中国伝来…平城宮跡から木簡出土』 http://www.yomiuri.c[...] 読売新聞 2010-12-04
_[19] 웹사이트 奈良時代の「九九」早見表、木簡が出土…役所で使用か「字が丁寧で計算間違いもない」 https://www.yomiuri.[...] 2022-07-26
_[20] 웹사이트 第14回万葉集の戯書 https://japanknowled[...] ジャパンナレッジ 2020-01-31
_[21] 웹사이트 近代書誌・近代画像データベース師範学校／改正小学教授方法 https://school.nijl.[...] 近代書誌・近代画像データベース 2022-05-18
_[22] 웹사이트 近代書誌・近代画像データベース師範学校／改正小学教授方法 https://school.nijl.[...] 近代書誌・近代画像データベース 2022-05-18
_[23] 웹사이트 「「99のうた」着ムービー」 https://web.archive.[...] ケー・プロデュース・ジャパン 2010-03-08
_[24] 웹사이트 「本家!かけ算「99のうた」」 https://web.archive.[...] ケー・プロデュース・ジャパン 2010-01-07

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