니스네비치 위상

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1. 개요

니스네비치 위상은 에탈 사상과 니스네비치 덮개를 사용하여 정의되는 위상으로, 대수적 K-이론, A¹ 호모토피 이론, 모티브 이론 등에서 중요한 역할을 한다. 니스네비치 위상은 자리스키 위상보다 섬세하고 에탈 위상보다 엉성하며, 체의 니스네비치 코호몰로지는 자명하다. 니스네비치 위상에서의 국소환은 헨젤 국소환이며, 스킴의 대수적 K-이론은 니스네비치 위상에 대해 내림을 만족한다. 니스네비치 위상은 예브세이 니스네비치에 의해 도입되었으며, 블라디미르 보예보츠키에 의해 A¹ 호모토피 이론과 모티브 이론에 응용되었다.

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니스네비치 위상
기본 정보
니스네비치 위상
분야	수학, 대수기하학
하위 분야	위상수학
명명	에브세이 니스네비치
기술적 세부 사항
대상	스킴
유형	스킴의 위상
속성
유형	그로텐디크 위상

2. 정의

니스네비치 덮개는 스킴의 범주 $\operatorname{Sch}$ 위에 그로텐디크 준위상을 이룬다. 니스네비치 위상을 부여한 스킴의 범주를 '''니스네비치 위치'''(Nisnevich site^영어)라고 하며, $\operatorname{Nis}$ 로 표기한다.

니스네비치 위상은 특이 다양체를 연구하는 데 적합하며, 특이점 해소나 더 약한 형태의 해소를 포함하는 여러 변형이 있다.

'''cdh 위상'''은 고유 쌍유리 사상을 덮개로 허용한다.
'''h 위상'''은 데 용(De Jong)의 변환을 덮개로 허용한다.
'''l′ 위상'''은 가버(Gabber)의 국소 균일화 정리의 결론과 같은 사상을 허용한다.

cdh와 l′ 위상은 에탈 위상과 비교할 수 없으며, h 위상은 에탈 위상보다 더 미세하다.

2. 1. 니스네비치 사상

'''니스네비치 사상'''(Нисневич寫像, Nisnevich morphism^영어)은 다음 조건을 만족시키는 에탈 사상

f\colon X\to Y

이다.

모든 $y\in Y$ 에 대하여, $f(x)=y$ 이자 유도 준동형 $f^*\colon \kappa(y)\to\kappa(x)$ 가 체 동형을 이루는 $x\in X$ 가 존재한다.

여기서

:

\kappa(x)=\frac{\mathcal O_{X,x}}{\mathfrak m(\mathcal O_{X,x})}

는 줄기 국소환의 잉여류체이다. 또한,

x

나

y

는 닫힌 점이 아닐 수 있다.

같은 공역을 갖는 스킴 사상들의 집합

\{f_i\colon X_i\to Y\}_{i\in I}

이 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 '''니스네비치 덮개'''(Нисневич-, Nisnevich cover^영어)라고 한다.

모든 $y\in Y$ 에 대하여, $f_i(x)=y$ 이자 유도 준동형 $f_i^*\colon\kappa(y)\to\kappa(x)$ 가 체 동형을 이루는 $i\in I$ 및 $x\in X_i$ 가 존재한다.

만약

I

가 유한 집합이라면, 이는

\textstyle\bigsqcup_{i\in I}f_i\colon\sqcup_{i\in I}X_i\to Y

가 니스네비치 사상인 것과 동치이다.

스킴 사상

f:Y \to X

가 모든 (닫혀있지 않을 수도 있는) 점 ''x'' ∈ ''X''에 대해, 잔류체 잔류체 사상 ''k''(''x'') → ''k''(''y'')가 동형사상이 되도록 하는 섬유 내의 점 ''y'' ∈ ''Y''가 존재하면 '''니스네비치 사상'''이라고 한다. 이는 동치적으로, ''f''는 평탄, 비분기, 국소적으로 유한 표현이며, 모든 점 ''x'' ∈ ''X''에 대해, ''k''(''x'') → ''k''(''y'')가 동형사상이 되도록 하는 섬유 내의 점 ''y''가 존재해야 한다.

사상 집합 {''u''_α : ''X''_α → ''X''}는 각 사상이 에탈이고 모든 (닫혀있지 않을 수도 있는) 점 ''x'' ∈ ''X''에 대해, ''u''_α(''y'') = ''x''이고, 유도된 잔류체 사상 ''k''(''x'') → ''k''(''y'')가 동형사상이 되도록 하는 ''α''와 점 ''y'' ∈ ''X''_α가 존재하면 '''니스네비치 덮개'''이다. 집합이 유한한 경우, 이는

\coprod X_\alpha

에서 ''X''로의 사상

\coprod u_\alpha

가 니스네비치 사상인 것과 동치이다.

2. 2. 니스네비치 덮개

같은 공역을 갖는 스킴 사상들의 집합

\{f_i\colon X_i\to Y\}_{i\in I}

이 다음 조건을 만족시킨다면, '''니스네비치 덮개'''(Nisnevich cover^영어)라고 한다.

모든 $y\in Y$ 에 대하여, $f_i(x)=y$ 이자 유도 준동형 $f_i^*\colon\kappa(y)\to\kappa(x)$ 가 체 동형을 이루는 $i\in I$ 및 $x\in X_i$ 가 존재한다.

만약

I

가 유한 집합이라면, 이는

\textstyle\bigsqcup_{i\in I}f_i\colon\sqcup_{i\in I}X_i\to Y

가 니스네비치 사상인 것과 동치이다.

사상 집합 {''u''_α : ''X''_α → ''X''}는 각 사상이 에탈이고 모든 (닫혀있지 않을 수도 있는) 점 ''x'' ∈ ''X''에 대해, ''u''_α(''y'') = ''x''이고, 유도된 잔류체 사상 ''k''(''x'') → ''k''(''y'')가 동형사상이 되도록 하는 ''α''와 점 ''y'' ∈ ''X''_α가 존재하면 '''니스네비치 덮개'''이다.^[1] 집합이 유한한 경우, 이는

\coprod X_\alpha

에서 ''X''로의 사상

\coprod u_\alpha

가 니스네비치 사상인 것과 동치이다.^[1]

2. 3. 니스네비치 위상

같은 공역을 갖는 스킴 사상들의 집합

:

\{f_i\colon X_i\to Y\}_{i\in I}

이 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 '''니스네비치 덮개'''(Nisnevich cover^영어)라고 한다.

모든 $y\in Y$ 에 대하여, $f_i(x)=y$ 이자 유도 준동형 $f_i^*\colon\kappa(y)\to\kappa(x)$ 가 체 동형을 이루는 $i\in I$ 및 $x\in X_i$ 가 존재한다.

만약

I

가 유한 집합이라면, 이는

\textstyle\bigsqcup_{i\in I}f_i\colon\sqcup_{i\in I}X_i\to Y

가 니스네비치 사상인 것과 동치이다.

니스네비치 덮개들은 스킴의 범주

\operatorname{Sch}

위의 그로텐디크 준위상을 이룬다. 니스네비치 위상을 부여한 스킴의 범주를 '''니스네비치 위치'''(Nisnevich site^영어)라고 하며,

\operatorname{Nis}

라고 표기한다.

사상 집합 {''u''_α : ''X''_α → ''X''}는 각 사상이 에탈이고 모든 (닫혀있지 않을 수도 있는) 점 ''x'' ∈ ''X''에 대해, ''u''_α(''y'') = ''x''이고, 유도된 잔류체 사상 ''k''(''x'') → ''k''(''y'')가 동형사상이 되도록 하는 ''α''와 점 ''y'' ∈ ''X''_α가 존재하면 '''니스네비치 덮개'''이다. 집합이 유한한 경우, 이는

\coprod X_\alpha

에서 ''X''로의 사상

\coprod u_\alpha

가 니스네비치 사상인 것과 동치이다. 니스네비치 덮개는 스킴과 스킴 사상의 범주에 대한 전위상의 덮개족이다. 이는 '''니스네비치 위상'''이라고 하는 위상을 생성한다. 니스네비치 위상을 가진 스킴 범주는 ''Nis''로 표기한다.^[1]

3. 니스네비치 위치

에탈 위상과 마찬가지로, 니스네비치 위치에는 작은 위치와 큰 위치가 있다.

스킴 사상 $f:Y \to X$ 가 모든 (닫혀있지 않을 수도 있는) 점 $x \in X$ 에 대해, 잔류체 사상 $k(x) \to k(y)$ 가 동형사상이 되도록 하는 섬유 $f^{-1}(x)$ 내의 점 $y \in Y$ 가 존재하면 '''니스네비치 사상'''이라고 한다. 이는 $f$ 가 평탄, 비분기, 국소적으로 유한 표현이며, 모든 점 $x \in X$ 에 대해, $k(x) \to k(y)$ 가 동형사상이 되도록 하는 섬유 $f^{-1}(x)$ 내의 점 $y$ 가 존재해야 한다는 것과 같다.

집합이 유한한 니스네비치 덮개의 경우, 이는 $\coprod X_\alpha$ 에서 $X$ 로의 사상 $\coprod u_\alpha$ 가 니스네비치 사상인 것과 동치이다. 니스네비치 덮개는 스킴과 스킴 사상의 범주에 대한 전위상의 덮개족이다. 이는 '''니스네비치 위상'''이라고 하는 위상을 생성한다. 니스네비치 위상을 가진 스킴 범주는 $Nis$ 로 표기한다.

니스네비치 위상은 특이 다양체를 연구하는 데 적합한 여러 변형이 있다. 이 위상의 덮개에는 특이점 해소 또는 더 약한 형태의 해소가 포함된다.

'''cdh 위상'''은 고유 쌍유리 사상을 덮개로 허용한다.
'''h 위상'''은 데 용(De Jong)의 변환을 덮개로 허용한다.
'''l′ 위상'''은 가버(Gabber)의 국소 균일화 정리의 결론과 같은 사상을 허용한다.

cdh와 l′ 위상은 에탈 위상과 비교할 수 없으며, h 위상은 에탈 위상보다 더 미세하다.

3. 1. 작은 니스네비치 위치

스킴

X

에 대하여, '''작은 니스네비치 위치'''( petit/small Nisnevich site^영어)

\operatorname{nis}/X

는

X

를 공역으로 하는 에탈 사상을 대상으로 하며, 이와 가환되는 스킴 사상을 사상으로 가지는 범주이다. 그 위의 그로텐디크 준위상은 니스네비치 덮개이다.

사상 집합 {''u''_α : ''X''_α → ''X''}에서 각 사상이 에탈이고 모든 (닫혀있지 않을 수도 있는) 점 ''x'' ∈ ''X''에 대해, ''u''_α(''y'') = ''x''이고, 유도된 잔류체 사상 ''k''(''x'') → ''k''(''y'')가 동형사상이 되도록 하는 ''α''와 점 ''y'' ∈ ''X''_α가 존재하면 '''니스네비치 덮개'''이다.

3. 2. 큰 니스네비치 위치

에탈 위상과 마찬가지로, 니스네비치 위치에도 작은 위치와 큰 위치가 있다. 스킴

X

에 대하여, '''큰 니스네비치 위치'''(-Нисневич位置, gros/big Nisnevich site^영어)

\operatorname{Nis}/X

는

X

에 대한 조각 범주이다.

X

의 큰 니스네비치 사이트는 기초 범주가

X

로의 고정된 사상을 가진 스킴이고, 사상은

X

-스킴의 사상이다. 위상은 니스네비치 사상에 의해 주어진다.

4. 성질

니스네비치 위상은 스킴의 대수적 K이론이 내림을 만족시키는 성질을 갖는다.^[8]

4. 1. 다른 위상과의 관계

그로텐디크 위상으로서, 니스네비치 위상은 자리스키 위상보다 더 섬세하지만 에탈 위상보다는 더 엉성하다.

\operatorname{Sch}

위의 그로텐디크 위상을 섬세한 순서대로 정렬하면 다음과 같다.

:비이산 위상 → 자리스키 위상 → 니스네비치 위상 → 에탈 위상 → fppf 위상 → fpqc 위상 → 표준 위상 → 이산 위상

체의 니스네비치 코호몰로지는 모두 자명하다. (반면, 체의 에탈 코호몰로지는 일반적으로 자명하지 않다.)

에탈 위상에서 "줄기"가 순 헨젤 국소환인 것처럼, 니스네비치 위상에서 "줄기"는 헨젤 국소환이다.

스킴의 대수적 K이론은 니스네비치 위상에 대하여 내림을 만족시키지만,^[8] 이는 더 섬세한 에탈 위상에 대하여 일반적으로 성립하지 않는다.

4. 2. 코호몰로지

체의 니스네비치 코호몰로지는 모두 자명하다. 반면 체의 에탈 코호몰로지는 일반적으로 자명하지 않다.^[8]

4. 3. 국소환

니스네비치 위상에서 "줄기"는 헨젤 국소환이다.

만약 ''x''가 스킴 ''X''의 점이라면, 니스네비치 위상에서의 ''x''의 국소환은 자리스키 위상에서의 ''x''의 국소환의 헨젤화이다. 이는 국소 환이 ''엄밀한'' 헨젤화인 에탈 위상과는 다르다. 두 경우의 중요한 차이점 중 하나는 국소 환

(R,\mathfrak{p})

과 잉여류체

\kappa

를 살펴볼 때 알 수 있다. 이 경우, 헨젤화와 엄밀한 헨젤화의 잉여류체는 다르다.^[4]

:

\begin{align}(R,\mathfrak{p})^h &\rightsquigarrow \kappa \\(R,\mathfrak{p})^{sh} &\rightsquigarrow \kappa^{sep}\end{align}

따라서 엄밀한 헨젤화의 잉여류체는 원래 잉여류체

\kappa

의 분리 폐포를 제공한다.

4. 4. 내림(Descent)

스킴의 대수적 K이론은 니스네비치 위상에 대하여 내림을 만족시키지만,^[8] 더 섬세한 에탈 위상에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

5. 니스네비치 덮개의 동치 조건

qcqs(준콤팩트 및 준분리) 스키마 위의 매끄러운 스키마 범주에서, 니스네비치 덮개^[1]는 다음과 같은 동치 조건들로 정의된다. 스키마 사상 $\{p_\alpha: U_\alpha \to X\}_{\alpha \in A}$ 의 패밀리가 니스네비치 덮개가 되기 위한 조건은 다음과 같다.

# 모든 $p_\alpha$ 는 에탈 사상이다.

# 모든 체 $k$ 에 대해, $k$ -점 수준에서, 모든 덮개 사상 $p_\alpha$ 의 (집합론적) 코프로덕트 $p_k: \coprod_{\alpha}U_\alpha(k) \to X(k)$ 는 전사이다.

니스네비치 덮개에 대한 또 다른 동치 조건은 다음과 같다. 니스네비치 위상은 에탈 사상의 모든 유한 패밀리 $\{p_\alpha: U_\alpha \to X\}_{\alpha \in A}$ 에 의해 생성되며, 여기서 유한 생성된 닫힌 부분 스키마의 유한 수열이 존재한다.

$\varnothing = Z_{n+1} \subseteq Z_n \subseteq \cdots \subseteq Z_1 \subseteq Z_0 = X$

그리고

0\leq m\leq n

에 대해,

$\coprod_{\alpha \in A} p_\alpha^{-1}(Z_m - Z_{m+1}) \to Z_m - Z_{m+1}$

는 단면을 허용한다.

이 사상을

S

-점에서 평가하면, 이 맵이 전사임을 의미한다. 반대로, 자명한 수열

Z_0 = X

를 사용하면 반대 방향의 결과가 나온다.

6. 니스네비치 위상의 동기

모티빅 코호몰로지에서 자리스키 열린 덮개 $\pi: U \to X$ 는 자리스키 층의 분해를 생성하지 않는다.^[3]

$\cdots \to \mathbf{Z}_{tr}(U\times_XU) \to \mathbf{Z}_{tr}(U) \to \mathbf{Z}_{tr}(X) \to 0$

여기서

\mathbf{Z}_{tr}(Y)(Z) := \text{Hom}_{cor}(Z,Y)

는 전송을 갖는 사전층 범주에 대한 표현 가능한 함자이다. 니스네비치 위상의 경우 국소 환은 헨젤 환이며, 헨젤 환의 유한 덮개는 헨젤 환들의 곱으로 주어져 정확성을 보여준다.

7. 니스네비치 위상에서의 국소환

만약 ''x''가 스킴 ''X''의 점이라면, 니스네비치 위상에서의 ''x''의 국소환은 자리스키 위상에서의 ''x''의 국소환의 헨젤화이다. 이는 국소환이 ''엄밀한'' 헨젤화인 에탈 위상과는 다르다.^[4] 두 경우의 중요한 차이점 중 하나는 국소환 $(R,\mathfrak{p})$ 과 잉여류체 $\kappa$ 를 살펴볼 때 알 수 있다. 이 경우, 헨젤화와 엄밀한 헨젤화의 잉여류체는 다르다.

$\begin{align}(R,\mathfrak{p})^h &\rightsquigarrow \kappa \\(R,\mathfrak{p})^{sh} &\rightsquigarrow \kappa^{sep}\end{align}$

따라서 엄밀한 헨젤화의 잉여류체는 원래 잉여류체

\kappa

의 분리 폐포를 제공한다.

8. 니스네비치 덮개의 예시

다음과 같은 에탈 덮개를 고려해 볼 수 있다.

: $\text{Spec}(\mathbb{C}[x,t,t^{-1}]/(x^2 - t)) \to \text{Spec}(\mathbb{C}[t,t^{-1}])$

밑의 일반점에 대한 연관된 잉여류체의 사상을 살펴보면, 이는 2차 확대임을 알 수 있다.

: $\mathbb{C}(t) \to \frac{\mathbb{C}(t)[x]}{(x^2 - t)}$

이것은 이 에탈 덮개가 니스네비치 덮개가 아님을 의미한다. 아핀 직선( $\mathbb{A}^1$ )-{0}의 일반점에 대한 점들의 동형 사상이 존재하므로, 니스네비치 덮개를 얻기 위해 에탈 사상 아핀 직선( $\mathbb{A}^1$ ) - {0,1} → 아핀 직선( $\mathbb{A}^1$ ) - {0}를 추가할 수 있다.

8. 1. 조건부 덮개

k^영어 위의 스킴으로 을 취하면, 다음으로 주어진 덮개가 있다.^[1]

>

i^영어: }}
f^영어: }}

여기서 i^영어는 포함 관계이고 f(x) = x^k^영어이면, 이 덮개는 x^k = a^영어가 k^영어 위에서 해를 가질 때에만 니스네비치 덮개가 된다. 그렇지 않으면 덮개는 k^영어-점에 대한 전사 함수가 될 수 없다. 이 경우, 덮개는 에탈 덮개일 뿐이다.

8. 2. 자리스키 덮개

모든 자리스키 덮개^[1]는 니스네비치 덮개이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.^[5] 이는 잔여체들이 자리스키 덮개와 무관하게 항상 동형이 되며, 정의에 의해 자리스키 덮개는 점들에 대한 전사 사상을 제공하므로 어떤 정의를 사용하든 쉽게 증명할 수 있기 때문이다. 또한, 자리스키 포함은 항상 에탈 사상이다.

9. 응용

니스네비치 위상은 대수적 K-이론, A¹ 호모토피 이론, 모티브 이론 등에서 중요한 역할을 한다.^[1]

9. 1. 대수적 K이론

니스네비치는 아핀 군 스킴의 클래스 집합에 대한 코호몰로지적 해석을 제공하기 위해 니스네비치 위상을 도입했으며, 이는 원래 아델릭 용어로 정의되었다. 그는 이것을 사용하여 정수 정규 뇌터 기저 스킴 위의 환원 군 스킴 아래의 유리적으로 자명한 torsor가 자리스키 위상에서 국소적으로 자명하다는 알렉산더 그로텐딕과 장 피에르 세르의 추측을 부분적으로 증명했다.

니스네비치 위상은 대수적 K-이론에서 중요한 응용 분야를 찾았다. 니스네비치 위상의 주요 속성 중 하나는 강하 스펙트럼 열의 존재이다. ''X''를 유한 크룰 차원의 뇌터 스킴이라고 하고, ''G''_''n''(''X'')를 ''X'' 위의 연관된 층의 범주의 퀼렌 K-군이라고 하자. 만약

\tilde G_n^{\,\text{cd}}(X)

가 니스네비치 위상에 대한 이러한 군의 층화라면, 다음과 같은 수렴하는 스펙트럼 열이 존재한다.

:

E^{p,q}_2 = H^p(X_\text{cd}, \tilde G_q^{\,\text{cd}}) \Rightarrow G_{q-p}(X)

위 식은 , , 에 대해 성립한다. 만약

\ell

이 ''X''의 표수와 같지 않은 소수라면,

\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}

의 계수를 갖는 K-군에 대한 유사한 수렴 스펙트럼 열이 존재한다.

9. 2. A¹ 호모토피 이론

니스네비치 위상은 대수적 K-이론, A¹ 호모토피 이론, 모티브 이론에서 중요한 응용 분야를 찾았다.^[1]

9. 3. 모티브 이론

니스네비치 위상은 대수적 K-이론, A¹ 호모토피 이론, 모티브 이론에서 중요한 응용 분야를 갖는다.^[1]

9. 4. 코호몰로지적 해석

니스네비치는 아핀 군 스킴의 클래스 집합에 대한 코호몰로지적 해석을 제공하기 위해 그의 위상을 도입했으며, 이는 원래 아델릭 용어로 정의되었다.^[1] 그는 이것을 사용하여 정수 정규 뇌터 기저 스킴 위의 환원 군 스킴 아래의 유리적으로 자명한 torsor가 자리스키 위상에서 국소적으로 자명하다는 알렉산더 그로텐딕과 장 피에르 세르의 추측을 부분적으로 증명했다.^[1]

니스네비치 위상의 주요 속성 중 하나는 강하 스펙트럼 열의 존재이다.^[1] ''X''를 유한 크룰 차원의 뇌터 스킴이라고 하고, ''G''_''n''(''X'')를 ''X'' 위의 연관된 층의 범주의 퀼렌 K-군이라고 하자.^[1] 만약

\tilde G_n^{\,\text{cd}}(X)

가 니스네비치 위상에 대한 이러한 군의 층화라면, 다음과 같은 수렴하는 스펙트럼 열이 존재한다.^[1]

:

E^{p,q}_2 = H^p(X_\text{cd}, \tilde G_q^{\,\text{cd}}) \Rightarrow G_{q-p}(X)

여기서 p ≥ 0, q ≥ 0, p - q ≥ 0이다.^[1] 만약

\ell

이 ''X''의 표수와 같지 않은 소수라면,

\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}

의 계수를 갖는 K-군에 대한 유사한 수렴 스펙트럼 열이 존재한다.^[1]

9. 5. 그로텐딕-세르 추측

니스네비치는 아핀 군 스킴의 클래스 집합에 대한 코호몰로지적 해석을 제공하기 위해 그의 위상을 도입했으며, 이는 원래 아델릭 용어로 정의되었다. 그는 이것을 사용하여 정수 정규 뇌터 기저 스킴 위의 환원 군 스킴 아래의 유리적으로 자명한 torsor가 자리스키 위상에서 국소적으로 자명하다는 알렉산더 그로텐딕과 장 피에르 세르의 추측을 부분적으로 증명했다.

9. 6. 강하 스펙트럼 열

''X''를 유한 크룰 차원의 뇌터 스킴이라 하고, ''G''_''n''(''X'')를 ''X'' 위의 연관된 층의 범주의 퀼렌 K-군이라고 하자. 만약

\tilde G_n^{\,\text{cd}}(X)

가 니스네비치 위상에 대한 이러한 군의 층화라면, 다음과 같은 수렴하는 스펙트럼 열이 존재한다.

:

E^{p,q}_2 = H^p(X_\text{cd}, \tilde G_q^{\,\text{cd}}) \Rightarrow G_{q-p}(X)

p ≥ 0, q ≥ 0, p - q ≥ 0에 대해. 만약

\ell

이 ''X''의 표수와 같지 않은 소수라면,

\mathbf{Z}/\ell\mathbf{Z}

의 계수를 갖는 K-군에 대한 유사한 수렴 스펙트럼 열이 존재한다.

10. 역사

Евсей А. Нисневич|예브세이 니스네비치^ru가 대수적 K이론을 위해 도입하였다.^[8] 이후 블라디미르 보예보츠키가 A1 호모토피 이론 및 모티브 이론에 응용하였다.^[9]

10. 1. 예브세이 니스네비치

Евсей А. Нисневич|예브세이 니스네비치^ru가 대수적 K이론에 사용하기 위하여 도입하였다.^[8] 이후 이는 블라디미르 보예보츠키에 의하여

\mathbb A^1

호모토피 이론^[9] 및 모티브 이론에 응용되었다.

10. 2. 블라디미르 보예보츠키

블라디미르 보예보츠키는 A¹ 호모토피 이론 및 모티브 이론에 니스네비치 위상을 응용하였다.^[9]

참조

_[1] arXiv A primer for unstable motivic homotopy theory 2016-11-07
_[2] 서적 Lectures on Algebraic Cycles Cambridge
_[3] 서적 Lecture Notes on Motivic Cohomology
_[4] 웹사이트 Section 10.154 (0BSK): Henselization and strict henselization—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2021-01-25
_[5] 웹사이트 counterexamples - A Nisnevich cover which is not Zariski https://mathoverflow[...] 2021-01-25
_[6] 저널 Triangulated categories of motives over a field k https://faculty.math[...]
_[7] 웹사이트 Nisnevich Topology http://www-bcf.usc.e[...]
_[8] 서적 Algebraic K-theory: connections with geometry and topology. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute held in Lake Louise, Alberta, December 7–11, 1987 Kluwer 1989
_[9] 저널 "'''A'''¹-homotopy theory of schemes" http://archive.numda[...]

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