헨젤 환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 동치 조건
3. 성질
4. 대수기하학에서의 헨젤 환
5. 예시
6. 역사
참조

1. 개요

헨젤 환은 국소 가환환의 일종으로, 헨젤의 보조정리를 만족하는 환을 의미한다. 헨젤 환은 국소 가환환의 범주 내에서 충만한 부분 범주를 이루며, 헨젤 국소환의 잉여류체가 분해 가능 폐포이면 순 헨젤 국소환이라고 한다. 헨젤 환은 유한 개의 헨젤 국소환들의 직접곱과 동형인 가환환으로 정의된다. 헨젤 환은 국소환의 헨젤화, 대수기하학에서의 역할 등 여러 성질을 가지며, 체, 완비 국소환 등이 헨젤 환의 예시에 해당한다. 헨젤 환의 개념은 20세기 초 쿠르트 헨젤에 의해 p진 정수환에서 발견되었고, 아즈마야 고로에 의해 추상화되었다.

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헨젤 환
헨젤 환
정의
유형	환론
분야	가환대수학
정의	'헨젤의 보조정리가 성립하는 국소환'
성질
예시	완비환 대수적으로 닫힌 체의 형식멱급수환

2. 정의

국소 가환환 $(R, \mathfrak{m}, \kappa)$ (여기서 $\mathfrak{m}$은 $R$의 유일한 극대 아이디얼, $\kappa = R/\mathfrak{m}$은 그 잉여류체)가 주어졌을 때, 몫 사상 $R \to \kappa$으로 유도되는 다항식환 사이의 환 준동형 $\phi \colon R[x] \to \kappa[x]$가 존재한다.

이때, 헨젤의 보조정리가 성립하면 '''헨젤 국소환'''이라고 한다. 헨젤의 보조정리는 $\kappa$ 상에서 서로소인 일계수 다항식으로 인수분해되는 다항식 $p \in R[x]$가 $R[x]$ 상에서도 인수분해될 수 있음을 의미한다. 즉, $\phi(p)$가 $\kappa[x]$에서 일계수 기약 다항식들의 곱으로 표현될 때, 이 인수 분해가 $R[x]$에서 유래하는지 여부를 판단하는 것이다.

만약 헨젤 국소환 $(R, \mathfrak{m}, \kappa)$의 잉여류체 $\kappa$가 스스로의 분해 가능 폐포라면 ( $\kappa = \kappa^{\operatorname{sep}}$ ), $R$를 '''순 헨젤 국소환'''이라고 한다.

'''헨젤 환'''은 유한 개의 헨젤 국소환들의 직접곱과 동형인 가환환이다.

2. 1. 동치 조건

국소 가환환

(R,\mathfrak m,\kappa)

에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 가환환을 '''헨젤 국소환'''이라고 한다.

임의의 일계수 다항식 $p\in R[x]$ 및 $\phi(p)(\tilde a) = 0$ 이며 $(\mathrm d\phi(p)/\mathrm dx)(\tilde a)\ne 0$ 인 $\tilde a \in\kappa$ 에 대하여, $p(a) = 0$ 이자 $\phi(a) = \tilde a$ 인 $a \in R$ 가 존재한다.
임의의 일계수 다항식 $p\in R[x]$ 및 $\phi(p)(\tilde a) = 0$ 이며 $(\mathrm d\phi(p)/\mathrm dx)(\tilde a)\ne 0$ 인 $\tilde a \in\kappa$ 에 대하여, $p(a) = 0$ 이자 $\phi(a) = \tilde a$ 인 $a \in R$ 가 유일하게 존재한다.
임의의 일계수 다항식 $p\in R[x]$ 및 $\tilde q\tilde r = \phi(p)$ 인 $\tilde q,\tilde r \in \kappa[x]$ 에 대하여, 만약 $\textstyle\gcd_{\kappa[x]}\{\tilde q,\tilde r\} = 1$ 이라면, $\phi(q) = \tilde q$ , $\phi(r) = \tilde r$ , $p = qr$ 인 $q,r\in R[x]$ 가 존재한다.

극대 아이디얼 ''m''을 갖는 국소 환 ''R''은 헨젤의 보조정리가 성립할 때 '''헨젤'''(Henselian)이라고 불린다. 이는 ''P''가 ''R''[''x'']의 단항 다항식이면, (''R''/''m'')[''x'']에서 ''P''의 상의 서로소인 단항 다항식의 곱으로의 임의의 분해가 ''R''[''x'']에서의 분해로 올려질 수 있음을 의미한다.

국소 환이 헨젤인 것과 모든 유한 환 확대가 국소 환의 곱인 것은 동치이다.

3. 성질

헨젤 국소환의 범주 $\operatorname{HensLocRing}$ 는 국소 가환환과 국소환 준동형의 범주 $\operatorname{CLocRing}$ 의 충만한 부분 범주이자 반사 부분 범주를 이룬다. 즉, 포함 함자 $\operatorname{HensLocRing}\hookrightarrow\operatorname{CLocRing}$ 의 왼쪽 수반 함자

: $(-)^{\operatorname h}\colon\operatorname{CLocRing}\to\operatorname{HensLocRing}$

가 존재한다. 이를 국소 가환환의 '''헨젤화'''라고 한다. 국소 가환환 $R$ 의 헨젤화 $(R^{\operatorname h},\mathfrak m^{\operatorname h})$ 와 국소환 준동형

: $\operatorname h\colon R\to R^{\operatorname h}$

은 항상 존재하며, 다음 보편 성질을 만족시킨다.

임의의 헨젤 국소환 $(R',\mathfrak m')$ 및 국소환 준동형 $f\colon R\to R'$ 에 대하여, $f=g\circ\operatorname h$ 인 국소환 준동형 $g\colon R^{\operatorname h}\to R'$ 이 유일하게 존재한다.

순 헨젤 국소환의 범주는 반사 부분 범주를 이루지 않는다. 임의의 국소 가환환의 '''순 헨젤화'''를 정의할 수 있지만, 이는 자기 동형을 가지므로 보편 성질을 만족시키지 않는다.

헨젤 환

(K, v)

에 대해 다음이 성립한다.

$K$ 의 모든 대수적 확대는 헨젤 환이다.
$\alpha$ 가 $K$ 에 대해 대수적이면, $\alpha$ 의 모든 켤레 $\alpha'$ 에 대해 $v(\alpha') = v(\alpha)$ 이다.^[1]

임의의 국소환 ''A''의 '''헨젤화'''는 ''A''에서 헨젤환으로의 임의의 국소 사상이 ''B''로 유일하게 확장될 수 있는 보편적인 헨젤환 ''B''이며, 나가타 마사요시(Nagata Masayoshi|나가타 마사요시^영어)에 의해 도입되었다. ''A''의 헨젤화는 ''A''와 같은 완비화와 잉여체를 가지며, ''A'' 위 평탄 가군이다. ''A''가 네터, 환원, 정규, 정칙, 또는 우수이면, 그 헨젤화도 그러하다.

''A''의 '''강헨젤화'''는 강헨젤환이며, 유일하지 않은 동형을 제외하고 유일하다. 강헨젤화는 ''A'' 잉여체의 분리 대수적 폐포 선택에 의존하며, 이 분리 대수적 폐포의 자기 동형은 대응하는 강헨젤화의 자기 동형에 대응한다.

'''예'''. 다항식환 ''k''[''x'',''y'',...]의, 점 (0,0,...)에서 국소화된 헨젤화는 대수적 형식적 멱급수(대수 방정식을 만족하는 형식적 멱급수)의 환이다.

'''예'''. ''p''진수체의 강헨젤화는 ''p''와 소인 위수의 1의 모든 멱근에 의해 생성되는 극대 불분지 확대에 의해 주어지며, 비자명한 자기 동형을 가진다.

4. 대수기하학에서의 헨젤 환

대수기하학에서, 국소환이 자리스키 위상에서의 줄기환인 것처럼, 니스네비치 위상에서의 "국소환"은 헨젤 국소환이며, 에탈 위상에서의 "국소환"은 순 헨젤 국소환이다. 헨젤 환은 니스네비치 위상에 관해 "점"의 국소환이며, 따라서 이들 환의 스펙트럼은 니스네비치 위상에 관해 비자명한 연결 피복을 갖지 않는다. 마찬가지로, strict 헨젤 환은 에탈 위상에서 기하학적 점의 국소환이다.

헨젤 환은 만약 ''R''이 헨젤 국소환이고, {''U''_''i'' → ''X''}가 ''X'' = Spec(''R'')의 니스네비치 위상 덮개라면, ''U''_''i'' → ''X'' 중 하나가 동형 사상이 된다는 의미에서 니스네비치 위상에 대한 국소환이다. 이는 국소환 ''R''의 스펙트럼 ''X'' = Spec(''R'')의 자리스키 열린 덮개 {''U''_''i'' → ''X''}에 대해, ''U''_''i'' → ''X'' 중 하나가 동형 사상이라는 사실과 비교해 볼 수 있다. 사실, 이 성질은 헨젤 환, 즉 국소환의 특징을 나타낸다.

마찬가지로 엄밀 헨젤 환은 에탈 위상에서 기하학적 점들의 국소환이다.

5. 예시

다음은 헨젤 환의 예시이다.

체
완비 국소환
$p$ 진 정수환 $\mathbb Z_p$
체 $K$ 에 대한 형식적 멱급수환 $Kx$
실수체나 복소수체 위의 수렴하는 거듭제곱 급수 환
p진 정수환 $\mathbb Z_p$ 는 국소 가환환이며, 극대 아이디얼은 $(p)$ 이고, 잉여류체는 유한체 $\mathbb F_p$ 이다. 헨젤 보조 정리에 따르면, 임의의 일계수 다항식이 $\mathbb F_p$ 계수에서 근을 가지며, 이 근에서 기울기가 0이 아니라면, 이 근은 $\mathbb Z_p$ 계수의 근으로 올릴 수 있다.

:

\mathbb Z_p = \varprojlim_{n\to\infty} \mathbb F_{p^n}

이므로, 이는 임의의

n\in\mathbb Z^+

에 대하여

\mathbb F_{p^n}

계수의 근을 갖는다는 것과 동치이다.

합동 산술을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다. 임의의 정수 계수 다항식 $q\in \mathbb Z[x]$ 가 주어졌고, 어떤 정수 $\tilde a\in \mathbb Z$ 에 대하여

:

q(\tilde a) \equiv 0\pmod p

:

\frac{\mathrm dq}{\mathrm dx}(\tilde a) \not\equiv 0\pmod p

라면, 임의의

n\in\mathbb Z^+

에 대하여,

:

q(a_n) \equiv 0 \pmod{p^k}

인

a_n \in \mathbb Z

가 존재한다.

$p$ 진 정수의 경우, 헨젤 보조 정리는 뉴턴 방법과 유사하다.

:

q(a_k) \equiv 0 \pmod{p^k}

:

(\mathrm dq/\mathrm dx)(a_k) \not\equiv 0\pmod{p^k}

인

a_k\in\mathbb Z

가 주어졌다면

:

a_{k+1} = a_k - \frac{q(a_k)}{(\mathrm dq/\mathrm dx)(a_k)}

로 놓는다. 이는 일반적으로 정수가 아니지만, 가정에 의하여

((\mathrm dq/\mathrm dx)(a_k))^{-1}

는

p

진 정수이며, 따라서

a_{k+1}

은

p

진 정수로 존재한다. 매클로린 급수에 따라서

:

q(a_k) \equiv a_k + \frac{\mathrm dq}{\mathrm dx}(a_k)\pmod{p^{k+1}}

이 된다. 이 과정을 반복하면 어떤 유일한

p

진 정수

a_\infty

로 수렴하는 수열

a_1,a_2,\dotsc

을 얻는다.

극대 아이디얼 ''m''을 갖는 국소환 ''R''은 헨젤의 보조정리가 성립하면 '''헨젤 환'''이다. 즉, ''P''가 ''R''[''x'']에서 모닉 다항식이면, (''R''/''m'')[''x'']에서 ''P''의 이미지가 서로소 모닉 다항식의 곱으로 인수분해되는 경우, 이를 ''R''[''x'']에서 인수분해로 올릴 수 있다.
국소환이 헨젤 환인 것은 모든 유한 환 확대가 국소환의 곱인 경우와 동치이다.
헨젤 국소환은 잉여류체가 분리 폐포이면 '''엄밀 헨젤 환'''이다.
체 $K$ 와 값 매김 $v$ 가 주어질 때, 그 값 매김 환이 헨젤 환이면 헨젤적이라고 한다. 이는 $v$ 가 $K$ 의 모든 유한 확대(각각 $K$ 의 모든 유한 분리 확대, 각각 $K^{alg}$ , 각각 $K^{sep}$ )로 유일하게 확장될 경우에만 해당된다.
환이 헨젤 환인 것은 유한 개의 헨젤 국소환의 직접곱일 경우이다.
(0,0,...)에서 다항식 환 ''k''[''x'',''y'',...]을 국소화한 헨젤화는 대수적 형식적 멱급수의 환(대수 방정식을 만족하는 형식적 멱급수)이다. 이는 완비화의 "대수적" 부분으로 생각할 수 있다.
p-진수체의 순 헨젤화는 ''p''와 서로 소인 모든 단위근에 의해 생성된 최대 비분지 확장에 의해 주어진다. 이는 자명한 자기 동형 사상이 아닌 자기 동형 사상을 가지므로 "보편적"이지 않다.
하우스도르프 국소환의 완비화 (예: ''p''-진 정수 환, 체 위의 형식적 멱급수 환)는 헨젤환이다.
체 위의 대수적 멱급수의 환은 헨젤환이다.
헨젤환 위에 정수적인 국소환은 헨젤환이다.
국소환의 헨젤화는 헨젤 국소환이다.
헨젤환의 모든 몫은 헨젤환이다.
환 ''A''는 연관된 축소된 환 ''A''_red가 헨젤환일 때에만 헨젤환이다(이는 ''A''를 멱영원 이상으로 나눈 몫이다).
''A''가 단 하나의 소 아이디얼만을 갖는다면, ''A''_red가 체이므로 헨젤환이다.

6. 역사

쿠르트 헨젤이 20세기 초에 (현대적인 용어로는) p진 정수환 $\mathbb Z_p$ 가 헨젤 국소환임을 증명하였다.^[2]^[3] 1951년에 아즈마야 고로가 이를 추상화하여 헨젤 환의 개념을 도입하였다.^[4]

나가타 마사요시가 1953년에 헨젤화의 존재를 증명하였다.^[5]

참조

_[1] 서적 Valued fields Springer monographs of mathematics 2005
_[2] 저널 Neue Grundlagen der Arithmetik http://resolver.sub.[...] 1904
_[3] 서적 Theorie der algebraischen Zahlen. Erster Band https://archive.org/[...] Druck und Verlag von B. G. Teubner 1908
_[4] 저널 On maximally central algebras http://projecteuclid[...]
_[5] 저널 On the theory of Henselian rings http://projecteuclid[...]

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