줄기 (수학)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 싹
- 2.2. 에탈레 공간
3. 성질
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

줄기(stalk)는 위상 공간 위의 준층의 한 점에서의 귀납적 극한으로, 그 점의 모든 열린 근방에 대해 정의된다. 싹(germ)은 줄기의 원소로, 함수의 국소적인 정보를 담고 있으며, 에탈레 공간은 모든 줄기들의 분리합집합으로 구성된 위상 공간이다. 줄기는 층의 국소적인 거동을 포착하며, 상수층, 해석 함수 층, 매끄러운 함수 층, 준연접층, 마천루층 등 다양한 예시를 통해 이해할 수 있다. 줄기의 개념은 1950년 카르탕 세미나에서 처음 등장했으며, 에탈레 공간이라는 용어는 로제 고드망에 의해 처음 사용되었다.

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토포스는 유한 완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주이며 부분 대상 분류자를 갖는 특정한 조건을 만족하는 범주로서, 일계 논리 또는 일계 정의가 있는 대상의 부분 대상 개념을 갖는 데카르트 닫힌 범주로 이해될 수 있고, 위상 공간의 일반화이자 집합론에 대한 범주론적 일반화로서 수학의 공리적 기초를 제공한다.
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층은 위상 공간의 열린 부분집합에 정보를 대응시켜 국소적 데이터를 전역적으로 다루는 구조로, 준층, 분리 준층, 층의 세 단계로 정의되며, 대역적 데이터가 국소적 데이터로부터 결정되고 국소적 데이터를 이어붙이는 조건까지 갖춘 수학적 도구이다.

줄기 (수학)
정의
정의	수학에서, 한 점에서의 줄기(stalk) 또는 섬유(fiber)는 그 점 근처에서의 함수의 동작에 대한 정보를 담고 있다. 줄기는 층(sheaf)의 개념에서 중요한 구성 요소이다.
동기
배경	함수 f가 점 x에서 0이 아니라면, x의 일부 이웃에서도 0이 아니다.
국소화	함수 f가 점 x에서 0이라면, x의 모든 이웃에서 0일 필요는 없다. f가 x에서 0이 되는 "정도"를 추적하기 위해 줄기라는 개념이 사용된다.
환	함수가 환 R에서 값을 취할 때, 줄기는 R의 국소화이다.
형식적인 정의
층	X를 위상 공간이라 하고, F를 X 위의 층이라 하자.
점	X의 점 x를 고정하자.
필터	x를 포함하는 X의 모든 열린 집합의 필터를 I라고 하자.
직접 극한	F의 줄기는 x에서 I에 대한 F(U)의 직접 극한으로 정의된다.
표기법	F_x로 표기한다.
사상	F(U) → F_x는 제한 사상이다.
원소	F_x의 원소는 x에서의 F의 싹(germ)이라고 불린다.
예시
연속 함수	X를 위상 공간이라 하고, F를 X 위의 실수 값 연속 함수의 층이라 하자.
줄기	F의 줄기는 x에서 x에서의 연속 함수 싹의 환이다.
제약	x에서 동일한 값을 갖는 두 함수는 x의 일부 이웃에서 동일하다면 동일한 싹을 결정한다.
성질
완전 수열	0 → F' → F → F → 0이 층의 완전 수열이면, 모든 x ∈ X에 대해, 수열 0 → F'_x → F_x → F_x → 0 또한 완전하다.
층 사상	F → G가 층 사상이라면, 그것이 줄기의 동형사상을 유도하는 것은 전사적 또는 단사적이기 위한 필요충분조건이다.
전역 단면	F → G가 줄기의 동형사상을 유도한다면, 전역 단면 사이의 사상 Γ(F) → Γ(G)는 반드시 전사적이거나 단사적일 필요는 없다.

2. 정의

위상 공간 $X$ 위의 준층 $\mathcal F$ 가 주어졌을 때, 점 $x\in X$ 에서의 '''줄기''' $\mathcal F_x$ 는 $x$ 를 포함하는 모든 열린 근방에 대하여 취한 귀납적 극한이다.

: $\mathcal F_x=\varinjlim_{U\ni x}\Gamma(U;\mathcal F)$

이는 집합의 범주, 아벨 군의 범주, 가환환의 범주와 같이 일반적으로 많이 쓰이는 경우 항상 존재한다.

정의에 따라, 점 $x$ 의 임의의 열린 근방 $U\ni x$ 에 대하여, 자연스러운 사상

: $\phi_{U,x}\colon \Gamma(U;\mathcal F)\to\mathcal F_x$

가 존재한다.

점 $x$ 를 포함하는 충분히 작은 근방에서의 층 $\mathcal{F}$ 의 동작은 그 점에서의 $\mathcal{F}$ 의 동작과 같아야 한다. $\mathcal{F}$ 의 $x$ 에서의 줄기는 다음과 같이 정의된다.

: $\mathcal{F}_x := \varinjlim_{U\ni x} \mathcal{F}(U).$

여기서 직접 극한은 $x$ 를 포함하는 모든 열린 집합에 대해 정의되며, 순서 관계는 역포함( $U\supset V$ 일 때 $U$ < $V$ )으로 정의된다.

2. 1. 싹

\mathcal C

가 구체적 범주라고 하자. 임의의 단면

s\in\Gamma(U;\mathcal F)

에 대하여,

\phi_{U,x}(s)\in\mathcal F_x

를

s

의

x

에서의 '''싹'''(germ^영어)이라고 한다. 이는 수학의 다른 분야에서 쓰이는 싹의 개념을 일반화한 것이다.

s_x

는

s

의

x

에서의 국소적 정보를 담는다.

2. 2. 에탈레 공간

위상 공간

X

및 그 위의 집합 값을 갖는 준층

\mathcal F

에 대하여,

\mathcal F

의 '''에탈레 공간'''은 다음 성질을 만족시키는 위상 공간

E_{\mathcal F}

이다.

국소 위상동형사상 $\pi_{\mathcal F}\colon E_{\mathcal F}\to X$ 이 있다.
$\mathcal F$ 의 층화는 $\pi_{\mathcal F}$ 의 단면들의 층과 동형이다. 여기서 "단면"이란 $\pi_{\mathcal F}\circ s=\operatorname{id}_X$ 인 연속 함수 $s\colon X\to E_{\mathcal F}$ 이다.

여기서, "에탈레"(étalé^프랑스어)는 에탈 코호몰로지, 에탈 사상, 에탈 기본군 등의 "에탈"(étale^프랑스어)과는 관계없는 개념이다.

구체적으로,

\mathcal F

의 에탈레 공간은 집합으로서 모든 줄기들의 분리합집합이다.

:

E_{\mathcal F}=\bigsqcup_{x\in X}\mathcal F_x

이 위에 다음과 같은 위상을 준다. 임의의 열린집합

U\subseteq X

및 단면

s\in\Gamma(U;\mathcal F)

에 대하여,

:

U_s=\{s_x\in E\colon x\in U\}\subseteq E_{\mathcal F}

를 정의하자. 이는 위상 공간의 기저의 공리들을 만족시키며, 따라서, 이를 기저로 하는 위상을 줄 수 있다.

3. 성질

에탈레 공간에서, 각 줄기는 이산 공간을 이룬다.

층의 사상은 모든 줄기에 유도된 사상이 동형 사상, 전사상, 또는 단사상일 때 각각 같은 성질을 갖는다. 그러나 줄기가 모두 동형인 두 층이 동형인 것은 아닌데, 이는 문제의 층 사이에 사상이 없을 수 있기 때문이다.

특히, 층이 0이 되는 것과 층의 모든 줄기가 소멸하는 것은 동치이다. (군의 층을 다룰 때) 따라서, 주어진 함자의 완전성은 줄기에서 테스트할 수 있으며, 이는 더 작고 작은 이웃으로 이동할 수 있으므로 종종 더 쉽다.

위의 두 명제는 모두 준층에 대해서는 거짓이다. 그러나 층과 준층의 줄기는 밀접하게 연결되어 있다.

준층 $\mathcal{P}$ 과 그 층화 $\mathcal{F} =\mathcal{P}^{+}$ 가 주어지면, $\mathcal{P}$ 와 $\mathcal{F}$ 의 줄기는 일치한다. 이는 층 $\mathcal{F} =\mathcal{P}^{+}$ 가 좌-수반 $(-)^{+}:\mathbf{Set}^{\mathcal{O}(X)^{op}} \to Sh(X)$ 를 통해 $\mathcal{P}$ 의 이미지라는 사실에서 비롯된다. (층화 함자가 포함 함자 $Sh(X) \to \mathbf{Set}^{\mathcal{O}(X)^{op}}$ 에 대한 좌-수반이기 때문) 및 좌-수반이 코극한을 보존한다는 사실에서 비롯된다.

4. 예

해석 함수의 싹은 그 점 주변에서의 함수의 행동을 완벽하게 결정하는데, 이는 복소해석학의 테일러 급수에 관한 정리에서 쉽게 알 수 있다. 반면, 매끄러운 함수의 싹은 어떤 열린 근방에서도 함수를 재구성하기에 충분하지 않다. 예를 들어, 콤팩트 지지집합을 갖는 함수는 지지집합 밖에서의 싹만으로는 전혀 알 수 없다.

싹은 어떤 층에 대해서는 다른 층보다 더 유용하다. 몇 가지 예를 들면 다음과 같다.

'''상수층''': 모든 점에서 같은 집합 또는 군을 줄기로 갖는다.
'''해석 함수 층''': 해석적 다양체 위 해석 함수 층에서 한 점에서의 함수 싹은 그 점의 작은 근방에서 함수를 결정한다.
'''매끄러운 함수 층''': 매끄러운 다양체 위의 매끄러운 함수의 층의 경우, 싹은 몇 가지 국소적 정보를 담고 있지만, 어떤 열린 근방에서도 함수를 재구성하기에는 충분하지 않다.
'''준연접층''': 아핀 스킴 위의 준연접층은 특정 가군에 대응되며, 이 가군의 국소화가 줄기가 된다.
'''마천루층''': 특정 닫힌 점을 제외한 모든 점에서 0의 줄기를 갖고, 닫힌 점에서는 주어진 군 또는 환과 같은 줄기를 갖는다.

4. 1. 상수층

상수층

\underline S

는 모든 점에서 같은 집합 또는 군을 줄기로 갖는다. 임의의 점

x

에 대해 열린 연결 근방을 선택하면, 연결 열린 집합 상의

\underline S

의 절단은

S

와 같고 제한 사상은 항등 사상이다. 따라서 직접 극한은 붕괴되어 줄기로서

S

를 생성한다.

4. 2. 해석 함수 층

해석 함수의 싹은 그 점 주변에서의 함수의 행동을 완벽하게 결정한다. 이는 복소해석학의 테일러 급수에 관한 정리에서 쉽게 알 수 있다. 해석적 다양체 위 해석 함수 층에서 한 점에서의 함수 싹은 그 점의 작은 근방에서 함수를 결정한다. 왜냐하면 싹이 함수의 멱급수 전개를 기록하고, 모든 해석 함수는 정의상 국소적으로 멱급수와 같기 때문이다. 해석적 연속을 사용하면, 한 점에서의 싹이 함수가 어디에서나 정의될 수 있는 연결된 열린 집합에서 함수를 결정한다는 것을 알 수 있다.

4. 3. 매끄러운 함수 층

매끄러운 다양체 위의 매끄러운 함수의 층의 경우, 싹은 몇 가지 국소적 정보를 담고 있지만, 어떤 열린 근방에서도 함수를 재구성하기에는 충분하지 않다. 예를 들어,

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

을 원점 근방에서 항등적으로 1이고 원점에서 멀리 떨어진 곳에서는 항등적으로 0인 범프 함수라고 하자. 원점을 포함하는 충분히 작은 근방에서

f

는 항등적으로 1이므로, 원점에서 값 1을 갖는 상수 함수와 동일한 싹을 갖는다.

싹으로부터

f

를 재구성하려 한다고 가정해 보자.

f

가 범프 함수라는 것을 미리 알고 있더라도, 싹은 범프가 얼마나 큰지 알려주지 않는다. 싹이 알려주는 정보로부터, 범프는 무한히 넓을 수 있다. 즉,

f

는 값 1을 갖는 상수 함수와 같을 수 있다. 원점을 포함하는 작은 열린 근방

U

에서조차

f

를 재구성할 수 없다. 왜냐하면

f

의 범프가

U

안에 완전히 들어맞는지, 아니면 너무 커서

f

가

U

에서 항등적으로 1인지 알 수 없기 때문이다.

반면에, 매끄러운 함수의 싹은 값 1을 갖는 상수 함수와 함수

1 + e^{-1/x^2}

를 구별할 수 있다. 후자의 함수는 원점의 어떤 근방에서도 항등적으로 1이 아니기 때문이다. 이 예는 싹이 함수의 [멱급수 전개]보다 더 많은 정보를 담고 있다는 것을 보여준다. 왜냐하면

1 + e^{-1/x^2}

의 멱급수는 항등적으로 1이기 때문이다. (이 추가 정보는 원점에서 매끄러운 함수의 층의 줄기가 뇌터 환이 아니라는 사실과 관련이 있다. 크룰 교차 정리에 따르면 뇌터 환의 경우 이러한 일이 발생할 수 없다.)

4. 4. 준연접층

아핀 스킴

\operatorname{Spec}R

위의 준연접층은

R

-가군에 대응한다.

R

-가군

M

에 대응하는 준연접층의, 소 아이디얼

\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R

에서의 줄기는 국소화

M_{\mathfrak p}

이다.

아핀 스킴

X = \mathrm{Spec}(A)

에서, 소수 아이디얼

p

에 해당하는 점

x

에서의

A

-모듈

M

에 해당하는 준연접층

\mathcal{F}

의 줄기는 단순히 국소화

M_p

M_p

이다.

4. 5. 마천루층

마천루층은 특정 닫힌 점을 제외한 모든 점에서 0의 줄기를 갖고, 닫힌 점에서는 주어진 군 또는 환과 같은 줄기를 갖는다. 이러한 특성 때문에 마천루라는 이름이 붙었다. 이는 어떤 공간에서 아래 공간으로 매핑하는 함수를 시각화하는 일반적인 방법을 통해 더 쉽게 이해할 수 있다. 이 시각화 방법을 사용하면

G \to x

를 매핑하는 모든 함수는

G

가

x

바로 위에 위치하게 된다.

이러한 특성은 문제의 위상 공간이 T₁ 공간일 경우 모든 점

x

에 적용되는데, T₁ 공간의 모든 점이 닫혀 있기 때문이다. 이 성질은 예를 들어 대수기하학에서 함자의 단사 분해를 얻기 위해 사용되는 고드망 분해의 구성의 기초가 된다.

5. 역사

줄기의 개념은 1950년대 카르탕 세미나에서 등장하였다.

"에탈레 공간"이라는 용어는 로제 고드망이 호몰로지 대수학에 대한 책과 층 이론에 대한 책 《대수적 위상수학과 층론》(Topologie álgebrique et théorie des faisceaux^프랑스어)에서 처음으로 사용하였다. 고드망은 층을 에탈레 공간의 단면으로 정의하였으며, 준층을 사용하는 층의 현대적인 정의는 비교적 최근에 등장하였다.

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