대수적 K이론

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1. 개요

대수적 K이론은 1956년 그로텐디크가 그로텐디크-리만-로흐 정리를 증명하면서 시작되었으며, 환에 대한 일련의 K군들을 연구하는 분야이다. K이론은 위상 K이론으로 발전하고, 0차, 1차 K군이 정의되었으며, 퀼런은 고차 K군의 올바른 정의를 발견했다. K₀, K₁, K₂와 같은 낮은 차수의 K군은 다양한 방법으로 정의되며, 마츠모토 정리는 체에 대한 K₂를 설명한다. 밀너 K이론은 체의 K₂에 대한 표현에서 비롯되었으며, 퀼런은 고차 K이론에 대한 +-구성 및 Q-구성을 제시했다. 대수적 K이론은 L-함수의 특수 값, 이와사와 이론, 고차 조절자 구성 등 다양한 분야에 응용되며, 파르신 추측, 배스의 추측과 같은 미해결 문제들이 존재한다.

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대수적 K이론
대수적 K-이론
분야	수학
세부 분야	대수학, 환론, 범주론, 위상수학
주목할 만한 인물	마이클 아티야, 프리드헬름 발트하우젠, 다니엘 퀼렌, 아르망 보렐, 막심 콘체비치, 알렉산더 빌린킨
역사적 맥락
기원	대수적 위상수학
발전 계기	알렉산더 그로텐디크의 가군 연구
주요 목표	가군의 구조 연구, 벡터 공간의 일반화
핵심 개념
K군 (K-group)	가군의 안정적 동형류를 이용하여 정의
퀼렌의 Q-범주 구성	아벨 범주의 K-이론 일반화
고차 K-이론	낮은 차수의 K-이론의 확장
스펙트럼	K-이론의 스펙트럼 표현
주요 결과
기초 정리	가군의 안정적 동형류 분류
모티빅 코호몰로지	대수적 K-이론과의 연결
응용 분야
대수기하학	교차 이론
수론	이와사와 이론
위상수학	지표 정리
끈 이론	D-브레인의 분류
관련 항목
관련 주제	환론, 가군, 범주론, 호몰로지 대수학, 대수적 위상수학
관련 이론	모티빅 코호몰로지, 블로흐-카토 추측
참고 문헌	"Algebraic K-Theory" by Allen E. Hatcher "K-Theory" by Michael Atiyah

2. 역사

알렉산더 그로텐디크는 1956년에 그로텐디크-리만-로흐 정리를 증명하면서 K이론의 역사가 시작되었다.^[169] 1950년대 말, 마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐는 위상 공간 위의 유한 차원 벡터 다발에 K이론을 적용하여 위상 K이론을 개발하였다. 세르-스완 정리에 따라, 가환환 위의 "유한 차원 벡터 다발"은 유한 생성 사영 가군에 대응된다.

1962년, 하이먼 배스와 스티븐 섀뉴얼은 환의 0차, 1차 K군을 엄밀히 정의하였다.^[170] 존 밀너는 1970년에 2차 K군을 정의하였다.^[171] 밀너는 이 구성을 고차 n에 대하여 일반화하였는데, 이를 밀너 K군이라고 한다. 하지만 고차 밀너 K군은 고차 K군과 일반적으로 다르다.

대니얼 퀼런은 1970년대 초에 고차 K군의 올바른 정의를 발견하였다. 퀼런은 플러스 구성^[172]^[173]^[174]과 Q-구성^[175]을 정의하였으며, 두 구성이 서로 일치함을 증명하였다. 1985년, 프리트헬름 발트하우젠은 퀼런 Q-구성을 호모토피 이론적으로 일반화한 S-구성을 발표하였다.^[176]

2. 1. 그로텐디크 군 K₀

알렉산더 그로텐디크는 1957년에 그로텐디크-리만-로흐 정리에 등장한 구성을 통해 K이론의 주제에 이름을 붙였다.^[2] K(''X'')는 현재 K₀(''X'')로 알려져 있다. 마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐는 그로텐디크의 구성을 빠르게 위상으로 옮겨 위상적 K-이론을 정의하는 데 사용했다.^[3]

19세기에 베른하르트 리만과 그의 제자 구스타프 로흐는 현재 리만-로흐 정리로 알려진 것을 증명했다. 20세기 중반, 프리드리히 히르체브루흐는 리만-로흐 정리를 모든 대수적 다양체로 일반화했다 (히르체브루흐-리만-로흐 정리).

알렉산더 그로텐디크는 1957년 ''K''-이론이라는 주제를 구성하여 이름을 따왔다.^[2] ''X''를 매끄러운 대수적 다양체라고 할 때, ''X'' 위의 각 벡터 번들에 대해 그로텐디크는 불변량, 즉 그 ''클래스''를 연관시켰다. ''X'' 위의 모든 클래스의 집합은 독일어 ''Klasse''에서 유래하여 ''K''(''X'')라고 불렸다. 정의에 따르면, ''K''(''X'')는 ''X'' 위의 벡터 번들의 동형 클래스에 대한 자유 아벨 군의 몫군이므로 아벨 군이다. 벡터 번들 ''V''에 해당하는 기저 원소가 [''V'']로 표시되면, 벡터 번들의 각 짧은 완전열에 대해:

:

0 \to V' \to V \to V'' \to 0,

그로텐디크는 [''V''] = [''V′''] + [''V″''] 관계를 부과했다.

K(''X'')는 K₀(''X'')로 알려져 있다. 벡터 번들을 사영 가군으로 대체하면, K₀는 군 표현에 적용된 비가환환에 대해서도 정의되었다.

2. 2. K₀, K₁, K₂

알렉산더 그로텐디크는 1957년에 그로텐디크-리만-로흐 정리를 발표하면서 ''K''-이론이라는 주제를 구성하였다.^[2] 마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐는 이를 위상 공간 위의 유한 차원 벡터 다발에 적용하여 위상 K이론을 개발하였다.^[3]

하이먼 배스와 스티븐 섀뉴얼은 1962년에 환의 0차·1차 K군을 엄밀히 정의하였다.^[170] 2차 K군의 정의는 존 밀너가 1970년에 발견하였다.^[171]

하이먼 배스는 K₁(A)를 무한 일반선형군의 아벨화로 정의하였다.

:

K_1(A) = \operatorname{GL}(A)^{\mbox{ab}} = \operatorname{GL}(A) / [\operatorname{GL}(A),\operatorname{GL}(A)]

여기서,

:

\operatorname{GL}(A) = \operatorname{colim} \operatorname{GL}(n, A)

는 좌상단으로의 블록 행렬로서의 매립 GL(n) → GL(n + 1)의 귀납적 극한이며, [GL(A), GL(A)]는 그 교환자 부분군이다. 화이트헤드 보조정리에 의해 [GL(A), GL(A)]는 기본 행렬(대각 성분이 모두 1이고, 0이 아닌 비대각 성분을 단 하나 갖는 행렬)에서 생성되는 군 E(A) = [GL(A), GL(A)]와 일치한다.^[94]

존 밀너는 K₂의 올바른 정의를 발견했다. 밀너의 정의는 A의 슈테인베르크 군 St(A)의 중심이다.

이것은 사상

:

\varphi\colon\operatorname{St}(A)\to\mathrm{GL}(A),

또는 행렬의 기본 변형의 군의 슈어 승수의 핵으로 정의할 수 있다.

체에 대한 K₂는 슈테인베르크 기호에 의해 결정된다. 이 사실은 마츠모토의 정리를 이끌어낸다.

임의의 유한체에 대해 K₂가 0임을 계산할 수 있다.^[105]^[106] K₂('''Q''')의 계산은 복잡하다. 테이트는^[106]^[107],

:

K_2(\mathbf{Q}) = (\mathbf{Z}/4)^* \times \prod_{p \text{ odd prime}} (\mathbf{Z}/p)^* \

임을 증명했고, 제곱 잉여의 상호 법칙의 카를 프리드리히 가우스에 의한 첫 번째 증명을 따르는 점에 주목했다.^[108]^[109]

비아르키메데스적 국소체에 대해, 군 K₂(F)는 위수 m의 유한순환군의 직합이며, 이른바 가분군 K₂(F)^m이다.^[110]^[111]

K₂('''Z''') = '''Z'''/2를 얻는다.^[112] 수체의 정수환에 대해 일반적으로 K₂는 유한이다.^[113]

게다가, n이 4로 나누어 떨어지면 K₂('''Z'''/''n'') = '''Z'''/2이고, 그렇지 않은 경우에는 0임을 알 수 있다.^[114]

2. 3. 고차 K군

대니얼 퀼런은 1970년대 초에 고차 K군의 정의를 발견하였다.^[171] 퀼런은 플러스 구성^[172]^[173]^[174]과 Q-구성^[175]을 정의하였으며, 두 구성이 서로 일치함을 증명하였다.

1960년대 말과 1970년대 초에 고차 K이론에 대한 몇 가지 다른 정의들이 제안되었다. 스완과 게르스텐은 각각 n에 대한 K_n의 정의를 제시했고, 게르스텐은 자신의 이론과 스완의 이론이 동등하다는 것을 증명했지만 두 이론 모두 모든 예상되는 성질을 만족시키지는 못했다.^[168] 노빌레와 빌라마요르 또한 고차 K군의 정의를 제안했다. 카루비와 빌라마요르는 모든 n에 대해 얌전한 K군을 정의했지만, K₁에 해당하는 군은 때때로 배스-섀뉴얼 K₁의 적절한 몫이었다. 존 밀너는 마츠모토의 정리에서 부분적으로 영감을 받아 체의 상위 K군에 대한 정의를 만들었다.^[171] 네스터렌코와 수슬린, 토타로는 밀너 K이론이 실제로 체의 진정한 K이론의 직접 요약이라는 것을 발견했다. 토마슨은 일반적인 다형체에 대한 밀너 K이론의 유사성이 없다는 것을 발견했다.

퀼런은 "Q-구성"이라는 새로운 장치를 사용하여 보조 범주를 구성하고, K이론에 대한 그의 두 가지 정의가 서로 일치한다는 "+ = Q" 정리를 증명했다.^[175] 퀼런은 완전 범주를 증명 도구로 사용하여 대수적 K이론의 많은 기본 정리를 증명할 수 있었다. K이론은 이제 환에 대한 호몰로지 이론과 다형체에 대한 코호몰로지 이론으로 나타났다. 퀼런은 G이론(또는 K'이론)이라는 관련 이론에 대한 국소화 완전열의 존재를 증명할 수 있었을 뿐만 아니라, 일반 환 또는 다형체의 경우 K이론이 G이론과 동일하므로 일반 다형체의 K이론이 국소화 완전열을 가짐을 증명할 수 있었다.

프리트헬름 발트하우젠은 1985년에 퀼런 Q-구성을 호모토피 이론적으로 일반화한 S-구성을 발표하였다.^[176]

3. 낮은 차수의 K군

하이먼 배스는 환의 단원군을 일반화하여 K₁(A)를 무한 일반 선형 군의 아벨화로 정의하였다.^[134]

: $K_1(A) = \operatorname{GL}(A)^{\mbox{ab}} = \operatorname{GL}(A) / [\operatorname{GL}(A),\operatorname{GL}(A)]$

여기서

: $\operatorname{GL}(A) = \operatorname{colim} \operatorname{GL}(n, A)$

는 $\operatorname{GL}(n+1)$ 에 좌상단 블록 행렬로서 포함되는 $\operatorname{GL}(n)$ 의 직접 극한이다. $[\operatorname{GL}(A), \operatorname{GL}(A)]$ 는 교환자 부분군이다.

기본 행렬을 항등 행렬과 단일 비대각 원소의 합으로 정의하면, 화이트헤드의 보조 정리에 따라 기본 행렬에 의해 생성된 군 $E(A)$ 는 교환자 부분 군 $[\operatorname{GL}(A), \operatorname{GL}(A)]$ 와 같다.^[134] 군 $\operatorname{GL}(A)/E(A)$ 는 화이트헤드에 의해 처음 정의되고 연구되었으며, 환 ''A''의 '''화이트헤드 군'''이라고 한다.^[52]

존 밀너는 환 ''A''의 스테인베르그 군 St(''A'')의 중심으로 2차 K군 K₂를 정의했다.^[153] 이는 다음과 같은 사상의 핵으로 정의할 수도 있다.

: $\varphi\colon\operatorname{St}(A)\to\mathrm{GL}(A),$

또는 기본 행렬 군의 슈어 승수로도 정의할 수 있다.

3. 1. K₀

(단위원을 가진) 환

R

에 대해, '''0차 K군'''

\operatorname K_0(R)

는

R

의 유한 생성 사영 가군들의 그로텐디크 군이다. 이는 세르-스완 정리에 따라서, 벡터 다발의 그로텐디크 군인 위상 K군에 대응한다.

유사환에 대해서도 K군을 정의할 수 있다. 포함 함자

\operatorname{Ring}\hookrightarrow\operatorname{Rng}

의 수반 함자를 사용해, 유사환

S

에 단위원을 추가해 환

R\cong S\oplus\mathbb Z

으로 만들 수 있다. 이에 따라 짧은 완전열

:

0\to S\to R\to0

이 존재한다. 그렇다면

S

의 K군

K_0(S)

는 이에 의하여 유도되는 군 준동형

:

K_0(R)\to K(\mathbb Z)\cong\mathbb Z

의 핵이다.

보다 일반적으로, 퀼런 완전 범주

\mathcal E

의 '''0차 K군'''

\operatorname K_0(\mathcal E)

는

\mathcal E

의 대상의 동형류들로 생성되는 자유 아벨 군으로부터, 모든 허용 확대

X\hookrightarrow Y\twoheadrightarrow Z

에 대하여

[X]-[Y]+[Z]

로 생성되는 부분군에 대한 몫군을 취한 것이다.

함자 ''K''₀는 링 ''A''를 그로텐디크 군으로 보낸다. 이는 ''A''의 유한 생성 사영 가군들의 동형류 집합을 직합 아래의 모노이드로 간주한 것이다. 임의의 링 준동형 사상 ''A'' → ''B''는 (사영 ''A''-가군 ''M''의) 클래스를 ''M'' ⊗_''A'' ''B''로 매핑하여 ''K''₀(''A'') → ''K''₀(''B'')를 정의하며, 이로 인해 ''K''₀는 공변적 함자가 된다.

링 ''A''가 가환 링인 경우, 다음과 같은 집합으로 ''K''₀(''A'')의 부분군을 정의할 수 있다.

:

\tilde{K}_0\left(A\right) = \bigcap\limits_{\mathfrak p\text{ 소 아이디얼 of }A}\mathrm{Ker}\dim_{\mathfrak p},

여기서 :

:

\dim_{\mathfrak p}:K_0\left(A\right)\to \mathbf{Z}

는 (유한 생성 사영 ''A''-가군의) 모든 클래스를 자유

A_{\mathfrak p}

-가군

M_{\mathfrak p}

의 계수로 보내는 사상이다 (이 가군은 실제로 자유 가군인데, 국소 링 위의 모든 유한 생성 사영 가군은 자유 가군이기 때문이다). 이 부분군

\tilde{K}_0\left(A\right)

는 ''A''의 ''축소된 영차 K-이론''으로 알려져 있다.

''B''가 항등원을 갖지 않는 링이면, K₀의 정의를 확장할 수 있다. ''A'' = ''B''⊕'''Z'''를 항등원을 첨가하여 얻은 링으로의 ''B''의 확장(0,1)이라고 하자. 단사 완전열 ''B'' → ''A'' → '''Z'''가 존재하며, 이에 대응하는 사상 ''K''₀(''A'') → K₀('''Z''') = '''Z'''의 핵을 K₀(''B'')로 정의한다.^[45]

3. 1. 1. 예시

체 ''k'' 위의 (사영) 가군은 벡터 공간이며, 차원에 의해 ''K''₀(''k'')는 '''Z'''와 동형이다.
국소환 ''A'' 위의 유한 생성 사영 가군은 자유 가군이므로, 이 경우에도 ''K''₀(''A'')는 계수에 의해 '''Z'''와 동형이다.^[46]
''A''가 데데킨트 정역일 때, ''K''₀(''A'') = Pic(''A'') ⊕ '''Z'''이며, 여기서 Pic(''A'')는 ''A''의 피카르 군이다.^[47]

3. 1. 2. 상대적 K₀

''I''를 ''A''의 아이디얼로 정의하고, 데카르트 곱 ''A''×''A''의 부분환인 "double"을 다음과 같이 정의한다.^[130]

:

D(A,I) = \{ (x,y) \in A \times A : x-y \in I \} \ .

상대적 K군은 이 "double"을 사용하여 다음과 같이 정의된다.^[130]

:

K_0(A,I) = \ker \left({ K_0(D(A,I)) \rightarrow K_0(A) }\right) \ .

여기서 사상은 첫 번째 인자를 따라 사영하여 유도된다.

상대적

K_0(A,I)

는

K_0(I)

와 동형이며, ''

I

''는 항등원이 없는 환으로 간주한다. ''

A

''로부터의 독립성은 호몰로지의 절단 정리와 유사하다.^[131]

3. 1. 3. 환으로서 K₀

''A''가 가환환이면, 사영 가군의 텐서 곱은 다시 사영 가군이 된다. 따라서 텐서 곱은 K₀을 항등원으로 하는 동치류 ''

[A]

''를 갖는 가환환으로 만드는 곱셈을 유도한다.^[132]^[46] 외적은 비슷하게 λ-환 구조를 유도한다.^[133]^[46] 피카르 군은 단위 K₀(A)^*군의 부분군으로 포함된다.^[133]^[51]^[93]

3. 2. K₁

하이먼 배스는 환의 단원 군을 일반화하여 K₁(A)를 무한 일반 선형 군의 아벨화로 정의하였다.^[134]

:

K_1(A) = \operatorname{GL}(A)^{\mbox{ab}} = \operatorname{GL}(A) / [\operatorname{GL}(A),\operatorname{GL}(A)]

여기서

:

\operatorname{GL}(A) = \operatorname{colim} \operatorname{GL}(n, A)

는

\operatorname{GL}(n+1)

에 좌상단 블록 행렬로서 포함되는

\operatorname{GL}(n)

의 직접 극한이다.

[\operatorname{GL}(A), \operatorname{GL}(A)]

는 교환자 부분군이다.

기본 행렬을 항등 행렬과 단일 비대각 원소의 합으로 정의하면, 화이트헤드의 보조 정리에 따라 기본 행렬에 의해 생성된 군

E(A)

는 교환자 부분 군

[\operatorname{GL}(A), \operatorname{GL}(A)]

와 같다.^[134] 군

\operatorname{GL}(A)/E(A)

는 화이트헤드에 의해 처음 정의되고 연구되었으며, 환 ''A''의 '''화이트헤드 군'''이라고 한다.^[52]

3. 2. 1. 상대적 K₁

상대적 K군은 "더블"을 사용하여 정의된다.^[135],^[53],^[96]

:

K_1(A,I) = \ker \left({ K_1(D(A,I)) \rightarrow K_1(A) }\right) \ .

다음과 같은 자연스러운 완전열이 존재한다.^[136],^[54],^[97]

:

K_1(A,I) \rightarrow K_1(A) \rightarrow K_1(A/I) \rightarrow K_0(A,I) \rightarrow K_0(A) \rightarrow K_0(A/I) \ .

3. 2. 2. 가환 환 및 체

가환환 ''A''에 대해, 행렬식 det: GL(''A'') → ''A*''를 정의할 수 있다. 여기서 ''A*''는 ''A''의 단원 군이다. 이는 E(''A'')에서 0이 되므로 det : ''K''₁(''A'') → ''A*'' 맵으로 축소된다. E(''A'') ◅ SL(''A'')이므로, '''특수 화이트헤드 군''' S''K''₁(''A'') := SL(''A'')/E(''A'')도 정의할 수 있다. 이 맵은 맵 ''A*'' → GL(1, ''A'') → ''K''₁(''A'') (왼쪽 위 모서리의 단위)를 통해 분할되므로, 분할 단사 완전열을 생성한다.

:

1 \to SK_1(A) \to K_1(A) \to A^* \to 1,

이는 특수 선형군을 정의하는 일반적인 분할 단사 완전열의 몫이다.

:

1 \to \operatorname{SL}(A) \to \operatorname{GL}(A) \to A^* \to 1.

행렬식은 단위군 ''A*'' = GL₁(''A'')를 일반 선형군 GL''(A)''에 포함시켜 분할되므로, ''K''₁(''A'')는 단위군의 직접 합과 특수 화이트헤드 군으로 분할된다: ''K''₁(''A'') ≅ ''A*'' ⊕ SK₁ (''A'').

''A''가 유클리드 정역(예: 체 또는 정수)일 때 S''K''₁(''A'')는 소멸되고, 행렬식 맵은 ''K''₁(''A'')에서 ''A''^∗로의 동형사상이다.^[137] 이는 PID에 대해서는 일반적으로 ''거짓''이므로, 유클리드 정역이 모든 PID로 일반화되지 않는 드문 수학적 특징 중 하나를 제공한다. SK₁이 0이 아닌 명시적인 PID는 1980년 Ischebeck과 1981년 Grayson에 의해 주어졌다. ''A''가 그의 몫 체가 대수적 수체(유리수의 유한 확장)인 데데킨트 정역이면 는 ''SK''₁(''A'')가 사라진다는 것을 보여준다.^[139]

''SK''₁의 소멸은

\operatorname{GL}

에서

\operatorname{GL}_1

의 상에 의해 ''K''₁가 생성된다는 의미로 해석될 수 있다. 이것이 실패하면 ''K''₁가

\operatorname{GL}_2

의 상에 의해 생성되는지 여부를 물을 수 있다. 데데킨트 정역이 이에 해당한다. 실제로 ''K''₁은

\operatorname{GL}

의

\operatorname{GL}_1

과

\operatorname{SL}_2

의 상에 의해 생성된다.^[138]

\operatorname{SL}_2

에 의해 생성된 ''SK''₁의 부분 군은 메니케 기호로 연구할 수 있다. 극대 이데알 유한에 의한 모든 몫을 갖는 데데킨트 정역의 경우 ''SK''₁은 비틀림 군이다.^[140]

비가환 환의 경우 행렬식를 일반적으로 정의할 수 없지만 사상

\operatorname{GL}(A)\rightarrow K_1(A)

는 행렬식의 일반화이다.

3. 2. 3. 중심 단순 대수

체 ''F''에 대한 중심 단순 대수 ''A''의 경우, 축소 노름은 사상 ''K''₁(''A'') → ''F''^*를 정의하며, ''SK''₁(''A'')는 그 핵으로 정의될 수 있는 행렬식의 일반화를 제공한다. '''왕의 정리'''는 ''A''가 소수 차수이면 ''SK''₁(''A'')는 사소하고,^[141] 이것은 제곱 없는 차수로 확장될 수 있다고 말한다.^[142] 왕은 또한 ''SK''₁(''A'')가 수체에 대한 모든 중심 단순 대수에 대해 사소함을 보였지만,^[143] 플라토노프는 ''SK''₁(''A'')가 중요하지 않은 소수 제곱 정도의 대수에 대한 예를 제공했다.^[142]

3. 3. K₂

존 밀너는 2차 K군 K₂의 올바른 정의를 제시했다. 이는 환 ''A''의 스테인베르그 군 St(''A'')의 중심이다.

이는 다음과 같은 사상의 핵으로 정의할 수도 있다.

:

\varphi\colon\operatorname{St}(A)\to\mathrm{GL}(A),

또는 기본 행렬 군의 슈어 승수로도 정의할 수 있다.

체의 경우 K₂는 슈테인베르크 기호에 의해 결정된다.

유한체에 대해 K₂는 0이다.^[144]^[145] K₂('''Q''')의 계산은 복잡하며, 테이트는 다음을 증명했다.^[145]^[146]

:

K_2(\mathbf{Q}) = (\mathbf{Z}/4)^* \times \prod_{p \text{ odd prime}} (\mathbf{Z}/p)^* \

이 증명은 가우스의 이차 상호 법칙에 대한 첫 번째 증명을 따랐다고 한다.^[147]^[148]

아르키메데스 국소체가 아닌 경우, 군 K₂(''F'')는 차수가 ''m''인 유한 순환군과 나눗셈 군 K₂(''F'')^''m''의 직합이다.^[149]

K₂( '''Z''') = '''Z'''/2이며,^[150] 일반적으로 K₂는 수체의 정수환에 대해 유한하다.^[151]

또한 ''n''이 4로 나누어지면 K₂('''Z'''/''n'') = '''Z'''/2이고, 그렇지 않으면 0이다.^[152]

3. 3. 1. 마츠모토 정리

'''마츠모토 정리'''^[153]에 따르면 체 ''k''에 대한 두 번째 ''K''군은 다음과 같다.^[154]^[155]

:

K_2(k) = k^\times\otimes_{\mathbf Z} k^\times/\langle a\otimes(1-a)\mid a\not=0,1\rangle.

마츠모토의 원래 정리는 더 일반적이다. 모든 근계에 대해 불안정한 ''K''이론에 대한 표현을 제공한다. 이 표현은 사교 근계에 대해서만 여기에 제공된 것과 다르다. 비사교 근계의 경우, 근계에 대한 불안정한 두 번째 ''K''군은 정확히

\operatorname{GL}(A)

에 대한 안정적인 ''K''군이다. 불안정한 두 번째 ''K''군(이 문맥에서)은 주어진 근계에 대한 보편 유형의 셰발리 군의 보편 중심 확대의 핵을 취함으로써 정의된다. 이 구조는 근계 ''A_n'' (n>1)에 대한 스타인버그 확장의 핵을 생성하며, 극한에서는 안정적인 두 번째 ''K''군이 된다.

3. 3. 2. 긴 완전열

A^영어가 분수체 F^영어의 체를 갖는 데데킨트 정역이면 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다.^[156]

:

K_2F \rightarrow \oplus_{\mathbf p} K_1 A/{\mathbf p} \rightarrow K_1 A \rightarrow K_1 F \rightarrow \oplus_{\mathbf p} K_0 A/{\mathbf p} \rightarrow K_0 A \rightarrow K_0 F \rightarrow 0 \

여기서 '''

{\mathbf p}

'''는 A^영어의 모든 주 아이디얼을 의미한다.^[156]

상대적 K₁^영어와 K₀^영어에 대한 완전열의 확장도 존재한다.^[157]

:

K_2(A) \rightarrow K_2(A/I) \rightarrow K_1(A,I) \rightarrow K_1(A) \cdots \ .

4. 밀너 K 이론

체 ''k''의 ''K₂''에 대한 표현은 밀너가 다음과 같은 "고차" ''K''군의 정의를 제시하도록 이끌었다.

: $K^M_*(k) := T^*(k^\times)/(a\otimes (1-a)),$

이는 곱셈군 ''k''^×의 텐서 대수를 $\left \{a\otimes(1-a): \ a \neq 0,1 \right \}$ 로 생성되는 양쪽 이데알로 나눈 몫의 등급이 매겨진 부분으로서 정의된다.

''n'' = 0, 1, 2 인 경우, 이들은 알려진 K군과 일치하지만, ''n'' ≥ 3 인 경우에는 일반적으로 다르다.^[160] 예를 들어 ''n'' ≥ 2 에 대해 K_n^M(''F''_q) = 0 이지만, 홀수 ''n''에 대해서는 K_n(''F''_q)는 0이 아니다.

텐서 대수의 텐서 곱은 곱 $K_m \times K_n \rightarrow K_{m+n}$ 을 유도하고 등급 환 $K^M_*(F)$ 을 만든다. 이 환은 등급 가환이다.^[160]

$K^M_n(k)$ 에서 원소 $a_1 \otimes \cdots \otimes a_n$ 의 상은 ''기호'' $\{a_1,\ldots,a_n\}$ 라고 불린다. ''k''에서 가역적인 정수 ''m''에 대해, 다음 사상이 존재한다.

: $\partial : k^* \rightarrow H^1(k,\mu_m)$

여기서 $\mu_m$ 는 ''k''의 분리 가능한 확장에서 ''m'' 번째 단위 근의 군을 나타낸다. 이것은 다음으로 확장된다.

: $\partial^n : k^* \times \cdots \times k^* \rightarrow H^n\left({k,\mu_m^{\otimes n}}\right) \$

이는 밀너 ''K''군의 정의 관계를 만족시킨다. 따라서 $\partial^n$ 는 $K^M_n(k)$ 에 대한 사상으로 볼 수 있으며, 이를 갈루아 기호 사상이라고 한다.^[161]

블라디미르 보예보츠키에 의해 입증된 밀너 추측은 체의 에탈(또는 갈루아) 코호몰로지와 2를 법으로 하는 밀너 K-이론 사이의 관계이다. 홀수 소수에 대한 비슷한 진술은 블로흐-가토 추측이며, 보예보츠키, 로스트 등에 의해 증명되었다.

5. 고차 K 이론

고차 ''K'' 군에 대한 일반적인 정의는 다니엘 퀼렌^[162]이 제시했으며, 그 이전에는 여러 가지 정의들이 제안되었지만 서로 일관성이 없었다. 퀼렌의 목표는 ''R'' ⇒ '''K'''(''R'') 및 (''R'',''I'') ⇒ '''K'''(''R'',''I'')가 공간의 호모토피 범주로의 함자가 되도록, 분류 공간의 관점에서 '''K'''(''R'') 및 '''K'''(''R'',''I'')의 정의를 찾는 것이었다. 또한 상대 K-군에 대한 긴 완전열이 올화 '''K'''(''R'',''I'') → '''K'''(''R'') → '''K'''(''R''/''I'')의 긴 호모토피 완전열로 나타나도록 하는 것이었다.^[162]

퀼런은 "+-구성"과 "''Q''-구성" 두 가지 구성을 제시했으며, 두 구성 모두 동일한 ''K''군을 생성한다.^[163]^[164]

알렉산더 그로텐디크는 리만-로흐 정리를 일반화하기 위한 프레임워크로 K-이론을 발견했고, 마이클 아티야와 프리드리히 힐체브루흐는 위상적 K-이론을 고안했다. K-군은 다양체의 수술 이론 등에서 응용되었으며, 작용소 대수 분야에서 작용소 K-이론 및 KK-이론으로 발전했다. K-이론은 대수 기하학에서 대수적 사이클 이론과 관련이 있으며, 고차 K-군은 고차 여차원의 현상과 관련되어 연구가 어렵다.

존 윌라드 밀너는 환 A의 군 K₂(A)를 정의했으며, 체 k의 경우 K₂(k)는 특정 관계식을 가지는 군에 동형이다. 퀼런은 플러스 구성과 Q-구성을 통해 임의의 음이 아닌 n에 대해 K_n(A)의 정의를 제시했다. 퀼런의 대수적 K-이론은 대수기하학, 대수적 위상수학의 다양한 측면에 대한 통찰력을 제공하지만, K-군은 계산하기 어려운 경우가 많다.

유한체의 경우, 고차 대수적 K-군은 다음과 같이 계산된다.

K₀(F_q)	K_2i(F_q) (i ≥ 1)	K_2i–1(F_q) (i ≥ 1)
Z	0	Z/(qⁱ – 1)Z

5. 1. +-구조

환

R

가 주어졌을 때, 그 일반선형군

\operatorname{GL}(n;R)

들의 귀납적 극한

:

\operatorname{GL}(\infty;R)=\varinjlim_{n\to\infty}\operatorname{GL}(n;R)

을 취한다. 이는 위상군을 이루며, 이 위상군의 분류 공간

\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))

을 생각할 수 있다.

이 위상 공간

\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))

위에 '''플러스 구성'''

\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+

을 적용하면, 호모토피 군은 바뀌지만 호몰로지 군은 바뀌지 않는다. 구체적으로,

\operatorname{GL}(\infty;R)\cong\pi_1(\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R)))

의 정규 부분군

E\triangleleft \operatorname{GL}(\infty;R)

는 하나의 성분을 제외한 모든 성분이 무한 단위 행렬인 원소들로 생성된다. 기본군의 정규 부분군

E

를 소거하는 플러스 연산을 통해 위상 공간

\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+

을 얻는다.

i>0

에 대하여

i

차 '''K군'''

\operatorname K_i(R)

은

\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+

의

i

차 호모토피 군으로 정의된다.

:

\operatorname K_i(R)=\pi_i(\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+)\qquad(i>0)

i=0

일 경우에는 위 공식이 성립하지 않는데, 이는

\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+

가 항상 경로 연결 공간이기 때문이다. 환의 0차 K군

\operatorname K_0(R)

는 독립적으로 간단히 정의되며, 이 경우

:

\pi_i(R)=\pi_i\left(\operatorname B(\operatorname{GL}(\infty;R))^+\times\operatorname K_0(R)\right)

로 정의할 수 있다. 여기서

\operatorname K_0(R)

는 이산 위상을 갖는 위상군이다.

고등 대수 K환 이론의 한 가지 정의는 다니엘 퀼렌에 의해 제공되었다.^[165]^[85]

:

K_n(R) = \pi_n(B\operatorname{GL}(R)^+),

여기서 ''

\pi_n

''은 호모토피 군이고,

\operatorname{GL}(R)

은 행렬 크기가 무한대로 갈 때 ''

R

''에 대한 일반선형군의 직접 극한이며, ''

B

''는 호모토피 이론의 분류 공간 구성이고, ⁺는 퀼런의 플러스 구성이다.

이 정의는 ''

n>0

''에만 적용되므로, 고차 대수적 ''

K

''이론을 다음과 같이 정의하기도 한다.

:

K_n(R) = \pi_n(B\operatorname{GL}(R)^+\times K_0(R))

B\operatorname{GL}(R)^+

는 경로 연결이고

K_0(R)

는 이산적이므로, 이 정의는 고차에서도 다르지 않으며 ''

n=0

''에도 적용된다.

5. 2. Q 구조

''Q''-구조는 +-구조와 동일한 결과를 제공하지만, 더 일반적인 상황에 적용된다. 게다가, ''Q''-구성을 통해 정의된 ''K''-군은 정의에 의해 함자성을 가지는데, 이는 +-구조에서는 자동적으로 성립하지 않는 사실이다.

완전 범주

P

가 주어졌을 때,

P

에 연관된 새로운 범주

QP

가 정의된다.

QP

의 대상은

P

의 대상과 같다.

M'

에서

M''

로 가는 사상은 다음과 같은 다이어그램의 동형사상 동치류이다.

:

M'\longleftarrow N\longrightarrow M''

여기서 첫 번째 화살표는 허용 가능한 전사 사상이고, 두 번째 화살표는 허용 가능한 단사 사상이다.

이 범주는 분류 공간 구성

BQP

를 사용하여 위상 공간으로 바뀔 수 있으며, 이는

QP

의 신경의 기하학적 실현으로 정의된다.

완전 범주

P

의 i번째 '''''K''-군'''은 고정된 영 대상

0

과 함께 다음과 같이 정의된다.

:

K_i(P)=\pi_{i+1}(\mathrm{BQ}P,0)

준군

B\mathcal{G}

의 공간 분류는 호모토피 군을 1차 위로 옮기므로,

K_i

의 차수는 공간의

\pi_{i+1}

과 같다.

이 정의는 ''

K_0(P)

''의 정의와 일치한다. ''

P

''가 유한 생성 사영 ''R''-가군의 범주인 경우, 이 정의는 모든 ''n''에 대해

K_n(R)

의

B\operatorname{GL}^+

정의와 일치한다.

5. 3. S-구성

K이론 군의 세 번째 구성은 발트하우젠의 ''S''-구성이다.^[86] 이는 여올화가 있는 범주(발트하우젠 범주)에 적용된다. 이것은 완전 범주보다 더 일반적인 개념이다.^[126]

6. 응용과 미해결 문제

대수 K군은 L-함수의 특수한 값에 대한 추측과 이와사와 이론의 비가환 주주장 공식화 및 고차 조절자 구성에 사용된다.^[167]

파르신 추측은 유한 체 위의 매끄러운 대수다양체의 고차 대수적 K군에 관한 것이며, 이 경우 군이 꼬임까지 사라진다고 말한다.

하이먼 배스의 또 다른 근본적인 추측(배스의 추측)은 A가 유한 생성 Z-대수일 때 모든 군 G_n(A)가 유한 생성된다고 말한다. (군 G_n(A)는 유한 생성 A-가군 범주의 K군이다.)^[88]

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