당김 (미분기하학)

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 코탄젠트 벡터와 1-형식의 당김
5. (공변) 텐서장의 당김
- 5.1. 미분 형식의 당김
6. 미분동형사상에 의한 당김
- 6.1. 자기동형사상에 의한 당김
7. 당김과 리 미분
8. 접속의 당김 (공변 미분)
참조

1. 개요

당김은 미분기하학에서 한 다양체에서 다른 다양체로의 미분가능한 함수와 관련된 개념으로, 텐서, 다발, 단면 등 다양한 수학적 객체에 적용된다. 함수, 다발, 다중 선형 형식, 코탄젠트 벡터, 텐서장, 미분 형식 등 다양한 대상에 대해 정의되며, 미분동형사상에 의해서는 벡터장 및 혼합 텐서장으로 확장된다. 당김은 텐서의 변환 속성을 설명하는 데 사용되며, 리 미분 및 접속(공변 미분)과도 관련된다.

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당김 (미분기하학)
개요
정의	매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수에 대한 공변 연산
분야	미분기하학
관련 개념	밂 (미분기하학) 벡터 다발 미분 형식 텐서장 접다발 접공간
상세 정보
대상	미분 형식 텐서장
연산	함수 합성 (역방향)
성질	공변성
역사
어원	"뒤로 당기다" (pull back)

2. 정의

$\phi\colon M\to N$ 을 미분가능한 함수라 하고, $\omega(v_1,\dots,v_k)$ 가 $k$ 차 공변 텐서( $k$ 개의 (반변) 벡터를 받는 함수)라고 하자. 이 데이터로부터 $M$ 위에 정의된 $k$ 차 텐서 $\phi^*\omega$ 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $(\phi^*\omega)(v_1,\dots,v_k ) = \omega _{\phi(p)} (d\phi_p(v_1), \dots,d\phi_p(v_k))$ .

여기서 $p\in M$ , $v_i\in T_pM$ (점 $p$ 에서의 접공간), $d\phi_p\colon T_pM\to T_{\phi(p)}N$ 은 점 $p$ 에서 $\phi$ 의 미분 사상이다.

스칼라 함수는 0차 공변 텐서이므로, 함수 $f$ 의 당김은 함수의 합성과 같다. 즉,

: $\phi^*f=f\circ\phi$

이다.

2. 1. 함수의 당김

다양체

M

과

N

에 대해,

\phi:M\to N

을 매끄러운 함수라고 하자.

f:N\to\R

이

N

위의 매끄러운 함수이면,

\phi

에 의한

f

의 '''당김'''은

M

위에

(\phi^*f)(x)=f(\phi(x))

로 정의된 매끄러운 함수

\phi^*f

이다.

f

가

N

의 열린 집합

U

위의 매끄러운 함수이면, 같은 공식은 열린 집합

\phi^{-1}(U)

위의 매끄러운 함수를 정의한다. (층의 언어로 표현하면, 당김은

N

위의 매끄러운 함수의 층에서

M

위의 매끄러운 함수의 층의

\phi

에 의한 직상으로 가는 사상을 정의한다.)

더 일반적으로,

f:N\to A

가

N

에서 다른 다양체

A

로의 매끄러운 사상이라면,

(\phi^*f)(x)=f(\phi(x))

는

M

에서

A

로의 매끄러운 사상이다.

2. 2. 다발과 단면의 당김

다양체

N

위에 벡터 다발(또는 섬유 다발)

E

가 있고, 매끄러운 함수

\phi:M\to N

가 주어졌을 때, '''당김 다발'''

\phi^*E

는

M

위의 벡터 다발(또는 섬유 다발)이다.

M

의 원소

x

에 대한 올은

(\phi^*E)_x=E_{\phi(x)}

로 정의된다.

이러한 설정을 통해,

E

의 단면에 대한 당김 연산을 정의할 수 있다. 만약

s

가

N

위의

E

의 단면이라면, '''당김 단면'''

\phi^*s=s\circ\phi

는

M

위의

\phi^*E

의 단면이 된다.

2. 3. 다중 선형 형식의 당김

벡터 공간 ''V''와 ''W'' 사이의 선형 사상 Φ: ''V'' → ''W''가 주어졌을 때 (Φ는 Hom(''V'', ''W'')로도 표시됨), ''W''에 대한 다중 선형 형식

F:W \times W \times \cdots \times W \rightarrow \mathbf{R}

(랭크 (0, ''s'')의 텐서. 여기서 ''s''는 곱에서 ''W''의 인수의 수)의 당김(pullback) Φ^∗''F''는 Φ로 ''F''를 미리 합성하여 정의되는 ''V''에 대한 다중 선형 형식이다. ''V''의 벡터 ''v''₁, ''v''₂, ..., ''v''_''s''가 주어졌을 때, Φ^∗''F''는 다음 공식에 의해 정의된다.

(\Phi^*F)(v_1,v_2,\ldots,v_s) = F(\Phi(v_1), \Phi(v_2), \ldots ,\Phi(v_s)),

이는 ''V''에 대한 다중 선형 형식이다. 따라서 Φ^∗는 ''W''에 대한 다중 선형 형식에서 ''V''에 대한 다중 선형 형식으로의 (선형) 연산자이다.

''F''가 ''W''에 대한 선형 형식 (또는 (0,1)-텐서)인 경우, 즉 ''F''가 ''W''^∗ (쌍대 공간)의 원소이면, Φ^∗''F''는 ''V''^∗의 원소이며, 따라서 Φ에 의한 당김은 선형 사상 Φ 자체와 반대 방향으로 작용하는 쌍대 공간 사이의 선형 사상을 정의한다.

\Phi\colon V\rightarrow W, \qquad \Phi^*\colon W^*\rightarrow V^*.

텐서 곱의 값을 취하는 ''W''에 대한 다중 선형 사상으로 당김의 개념을 확장할 수 있다. 그러나 텐서 곱의 원소는 자연스럽게 당겨지지 않는다. 대신 에서 로의 밀기(pushforward) 연산이 있으며, 다음과 같이 주어진다.

\Phi_*(v_1\otimes v_2\otimes\cdots\otimes v_r)=\Phi(v_1)\otimes \Phi(v_2)\otimes\cdots\otimes \Phi(v_r).

Φ가 가역적이라면, 역함수 Φ⁻¹에 의한 밀기를 사용하여 당김을 정의할 수 있다. 이 두 구성을 결합하면 모든 랭크의 텐서에 대한 가역 선형 사상을 따라 밀기 연산이 생성된다.

3. 성질

''f'' : '''R'''^''n'' → '''R'''^''m'', ''g'' : '''R'''^''p'' → '''R'''^''n''를 미분가능한 함수, α 와 β를 '''R'''^''m''에서의 ''k''-형식, ''γ'' : '''R'''^''m'' → '''R'''를 '''R'''^''m''에서의 0-형식이라 하자. 이 때, 다음이 성립한다.

$f^* (\alpha + \beta ) = f^* (\alpha) + f^* (\beta) \;$
$f^* (\gamma \alpha) = f^*(\gamma) f^*(\alpha) \;$
$f^* (\alpha_1 \wedge \cdots \wedge \alpha_k) = f^* (\alpha_1) \wedge \cdots \wedge f^* (\alpha_k) \;$
여기서 α₁, …, α_''k'' 가 '''R'''^''m''에서의 1-형식이고 ∧ 는 쐐기곱이다.
$f^* (\alpha \wedge \beta) = f^* (\alpha) \wedge f^* (\beta)$
여기서 α 와 β 가 같은 계수를 가질 필요는 없다.
$(f \circ g) ^* \alpha = g^* ( f^* \alpha)$

공변 텐서장의 당김의 특별히 중요한 경우는 미분 형식의 당김이다. 만약

\alpha

가 미분

k

-형식, 즉

TN

상의 (섬유별) 교대

k

-형식의 외대수 다발

\Lambda^k(T^*N)

의 단면이라면,

\alpha

의 당김은 이전 절과 동일한 공식으로 정의된

M

위의 미분

k

-형식이다.

:

(\phi^*\alpha)_x(X_1,\ldots, X_k) = \alpha_{\phi(x)}(d\phi_x(X_1),\ldots, d\phi_x(X_k))

여기서

x

는

M

에 속하고

X_j

는

T_xM

에 속한다.

미분 형식의 당김은 매우 유용하게 만드는 두 가지 속성이 있다.

# 미분 형식

\alpha

와

\beta

에 대해

\phi^*(\alpha \wedge \beta)=\phi^*\alpha \wedge \phi^*\beta

인 의미에서 쐐기곱과 호환된다.

# 외미분

d

와 호환된다: 만약

\alpha

가

N

위의 미분 형식이라면

\phi^*(d\alpha) = d(\phi^*\alpha)

이다.

4. 코탄젠트 벡터와 1-형식의 당김

$\phi\colon M\to N$ 을 미분가능한 함수라 하고, $\omega(v_1,\dots,v_k)$ 를 $k$ 차 공변 텐서( $k$ 개의 (반변) 벡터를 받는 함수)라 하자. 그러면 이 데이터로부터 $M$ 위에 정의된 $k$ 차 텐서 $\phi^*\omega$ 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $(\phi^*\omega)(v_1,\dots,v_k ) = \omega _{\phi(p)} (d\phi_p(v_1), \dots,d\phi_p(v_k))$ .

여기서 $p\in M$ , $v_i\in T_pM$ (점 $p$ 에서의 접공간), $d\phi_p\colon T_pM\to T_{\phi(p)}N$ 은 점 $p$ 에서 $\phi$ 의 미분 사상이다.

(스칼라) 함수는 0차 공변 텐서이다. 이 경우, 함수 $f$ 의 당김은 함수의 합성과 같다. 즉,

: $\phi^*f=f\circ\phi$

이다.

$\phi:M\to N$ 를 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수라 하자. 그러면 $\phi$ 의 미분은 $\phi_*$ , $d\phi$ 또는 $D\phi$ 로 표기하며, $M$ 의 접다발 $TM$ 에서 당김 다발 $\phi^*TN$ 로 가는 벡터 다발 사상( $M$ 위)이다. 따라서 $\phi_*$ 의 전치는 $\phi^*T^*N$ 에서 $M$ 의 코탄젠트 다발 $T^*M$ 로 가는 다발 사상이다.

이제 $\alpha$ 가 $T^*N$ 의 단면 (즉, $N$ 위의 1-형식)이라 하고, $\alpha$ 를 $\phi$ 와 함께 앞서 합성하여 $\phi^*T^*N$ 의 당김 단면을 얻는다고 가정하자. 위의 다발 사상을 이 단면에 (점별로) 적용하면 $\phi$ 에 의한 $\alpha$ 의 '''당김'''이 생성되는데, 이는 다음과 같이 정의되는 $M$ 위의 1-형식 $\phi^*\alpha$ 이다.

: $(\phi^*\alpha)_x(X) = \alpha_{\phi(x)}(d\phi_x(X))$

여기서 $x$ 는 $M$ 의 원소이고 $X$ 는 $T_xM$ 의 원소이다.

5. (공변) 텐서장의 당김

$\phi\colon M\to N$ 을 미분가능한 함수, $\omega(v_1,\dots,v_k)$ 를 $k$ 차 공변 텐서( $k$ 개의 (반변) 벡터를 받는 함수)라고 할 때, $M$ 위에 정의된 $k$ 차 텐서 $\phi^*\omega$ 를 정의할 수 있다. 이는 다중 선형 형식의 당김을 일반화하여 텐서장의 당김을 정의한 것이고, 미분 형식이 텐서장의 특별한 경우임을 보여준다.

임의의 자연수 $s$ 에 대해 텐서 다발 랭크 $(0,s)$ 로 일반화하면, 다양체 $N$ 위의 $(0,s)$ 텐서장은 $N$ 위의 텐서 다발의 단면으로, $N$ 의 $y$ 에서의 올은 다중 선형 $s$ -형식의 공간이다.

$F\colon T_y N\times\cdots \times T_y N\to \R.$

$M$ 에서 $N$ 으로의 매끄러운 사상 $\phi$ 의 (점별) 미분으로 다중 선형 형식의 당김은 단면의 당김과 결합되어 $M$ 위의 $(0,s)$ 텐서장을 생성한다. $S$ 가 $N$ 위의 $(0,s)$ -텐서장인 경우, $\phi$ 에 의한 $S$ 의 '''당김'''은 다음과 같다.

$(\phi^*S)_x(X_1,\ldots, X_s) = S_{\phi(x)}(d\phi_x(X_1),\ldots, d\phi_x(X_s))$

여기서 $x$ 는 $M$ 에 속하고 $X_j$ 는 $T_xM$ 에 속한다.

5. 1. 미분 형식의 당김

\phi\colon M\to N

을 미분가능한 함수라 하고,

\omega(v_1,\dots,v_k)

가

k

차 공변 텐서(

k

개의 (반변) 벡터를 받는 함수)라 하자. 그러면 이 데이터로부터

M

위에 정의된

k

차 텐서

\phi^*\omega

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

(\phi^*\omega)(v_1,\dots,v_k ) = \omega _{\phi(p)} (d\phi_p(v_1), \dots,d\phi_p(v_k))

.

여기서

p\in M

,

v_i\in T_pM

(점

p

에서의 접공간),

d\phi_p\colon T_pM\to T_{\phi(p)}N

은 점

p

에서

\phi

의 미분 사상이다.

(스칼라) 함수는 0차 공변 텐서이다. 이 경우, 함수

f

의 당김은 함수의 합성과 같다. 즉,

:

\phi^*f=f\circ\phi

이다.

''f'' : '''R'''^''n'' → '''R'''^''m'', ''g'' : '''R'''^''p'' → '''R'''^''n''를 미분가능한 함수, α 와 β를 '''R'''^''m''에서의 ''k''-형식, ''γ'' : '''R'''^''m'' → '''R'''를 '''R'''^''m''에서의 0-형식이라 하자. 이때, 다음이 성립한다.

$f^* (\alpha + \beta ) = f^* (\alpha) + f^* (\beta) \;$
$f^* (\gamma \alpha) = f^*(\gamma) f^*(\alpha) \;$
$f^* (\alpha_1 \wedge \cdots \wedge \alpha_k) = f^* (\alpha_1) \wedge \cdots \wedge f^* (\alpha_k) \;$

:여기서 α₁, …, α_''k'' 가 '''R'''^''m''에서의 1-형식이고 ∧는 쐐기곱이다.

$f^* (\alpha \wedge \beta) = f^* (\alpha) \wedge f^* (\beta)$

:여기선 α 와 β 가 같은 계수를 가질 필요는 없다.

$(f \circ g) ^* \alpha = g^* ( f^* \alpha)$

미분 형식의 당김은 공변 텐서장의 당김의 특별한 경우이다.

\alpha

가 미분

k

-형식, 즉

TN

상의 (섬유별) 교대

k

-형식의 외대수 다발

\Lambda^k(T^*N)

의 단면이라면,

\alpha

의 당김은 이전과 동일한 공식으로 정의된

M

위의 미분

k

-형식이다.

(\phi^*\alpha)_x(X_1,\ldots, X_k) = \alpha_{\phi(x)}(d\phi_x(X_1),\ldots, d\phi_x(X_k))

여기서

x

는

M

에 속하고

X_j

는

T_xM

에 속한다.

미분 형식의 당김은 쐐기곱 및 외미분과 다음과 같은 호환성을 갖는다.

# 미분 형식

\alpha

와

\beta

에 대해

\phi^*(\alpha \wedge \beta)=\phi^*\alpha \wedge \phi^*\beta

이다. (쐐기곱과 호환)

# 외미분

d

와 호환된다: 만약

\alpha

가

N

위의 미분 형식이라면

\phi^*(d\alpha) = d(\phi^*\alpha)

이다.

6. 미분동형사상에 의한 당김

미분동형사상 $\phi$ 가 다양체 간의 사상일 때, 당김은 1-형식뿐만 아니라 벡터장에도 정의될 수 있으며, 따라서 다양체 위의 임의의 혼합 텐서장에 대해서도 정의될 수 있다. 선형 사상

$\Phi = d\phi_x \in \operatorname{GL}\left(T_x M, T_{\phi(x)}N\right)$

는 다음과 같이 역함수를 갖는다.

$\Phi^{-1} = \left({d\phi_x}\right)^{-1} \in \operatorname{GL}\left(T_{\phi(x)}N, T_x M\right).$

일반적인 혼합 텐서장은 $\Phi$ 와 $\Phi^{-1}$ 을 사용하여 텐서 다발을 $TN$ 과 $T^*N$ 의 복사본으로 텐서곱 분해에 따라 변환된다. $M=N$ 일 때, 당김과 밀기는 다양체 $M$ 위의 텐서의 변환 속성을 설명한다. 전통적인 용어로, 당김은 텐서의 공변성 지수의 변환 속성을 설명하고, 대조적으로 반변성 지수의 변환은 밀기에 의해 주어진다.

6. 1. 자기동형사상에 의한 당김

이전 절의 구성은

\phi

가 매끄러운 다양체

M

에서 자신으로의 미분 동형사상일 때 표현론적 해석을 갖는다. 이 경우 미분

d\phi

는

\operatorname{GM}(TM,\phi^*TM)

의 단면이다. 이는

\operatorname{GM}(m)

의 프레임 다발과

M

의 일반 선형군

\operatorname{GM}(m)

(여기서

m = \dim M

)의 표현에 의해 연관된 모든 다발의 단면에 대한 당김 작용을 유도한다.

7. 당김과 리 미분

리 미분을 참고하면 된다. 앞서 언급한 아이디어를 $M$ 위의 벡터장으로 정의된 국소 1-매개변수 미분 동형 사상 그룹에 적용하고 매개변수에 대해 미분하면, 임의의 관련 다발에 대한 리 미분 개념이 얻어진다.

8. 접속의 당김 (공변 미분)

접속(또는 공변 미분) $\nabla$ 가 $N$ 위의 벡터 다발 $E$ 에 대하여 존재하고, $\phi$ 가 $M$ 에서 $N$ 으로의 매끄러운 사상이라면, $M$ 위의 $\phi^*E$ 에 대한 '''당김 접속''' $\phi^*\nabla$ 가 존재하며, 이는 다음 조건을 만족하도록 고유하게 결정된다.

: $\left(\phi^*\nabla\right)_X\left(\phi^*s\right) = \phi^*\left(\nabla_{d\phi(X)} s\right).$

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