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층 (수학)

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목차

1. 개요

층(Sheaf)은 위상 공간의 열린 집합 위에 정의되는 추상적인 대상으로, 국소적인 정보를 전역적인 정보로 연결하는 수학적 구조이다. 층은 준층, 분리 준층, 층의 세 단계를 거쳐 정의되며, 위상 공간의 열린 집합에 정보를 대응시키는 준층에서 시작하여 국소적 데이터의 일관성을 보장하는 분리 준층을 거쳐, 국소적인 정보를 이어 붙여 전역적인 정보를 얻을 수 있는 층으로 발전한다. 층은 연속 함수, 미분 가능 함수, 벡터장 등 다양한 수학적 구조를 국소화하는 데 사용되며, 층의 개념은 위상 공간, 대수 기하학, 복소 해석학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다. 층의 종류로는 단사층, 연접층, 가군층, 가역층, 상수층 등이 있으며, 층은 줄기와 에탈레 공간을 통해 기하학적으로 정의될 수 있다. 층화는 준층을 층으로 만드는 과정이며, 층의 직상, 역상, 콤팩트 지지 직상, 예외 역상 등 다양한 함자를 통해 층 사이의 관계를 나타낸다. 층 코호몰로지는 층의 단면 함자가 완전열을 보존하지 못하는 현상을 측정하는 도구이며, 층 이론은 코호몰로지 이론, 해석적 연속 개념과 밀접하게 관련되어 발전해왔다. 층 이론은 1930년대부터 시작되어 20세기 수학의 중요한 언어로 자리 잡았으며, 복소다양체, 복소해석기하학, 대수기하학 연구에 핵심적인 역할을 한다.

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층 (수학)
개요
분야수학
하위 분야대수적 위상수학, 미분기하학, 대수기하학
관련 항목층 코호몰로지, 토포스 이론
역사
주요 인물앙리 카르탕, 장-피에르 세르, 알렉산더 그로텐디크
정의
정의위상 공간의 열린 집합에 대수적 데이터를 체계적으로 연결하는 방법
핵심 아이디어국소적 정보를 전역적 정보로 연결
위상 공간의 각 점에서의 "줄기(stalk)"를 통해 점에서의 행동 분석
예시
예시실수 값 연속 함수들의 층
미분 가능한 함수들의 층
복소수 해석적 함수들의 층
벡터장의 층
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응용
응용 분야다양체의 연구
대수기하학
수론
미분방정식
물리학
관련 개념
관련 개념사전층
층화 공간
토포스
층 코호몰로지
참고 문헌
참고 문헌아키즈키 야스오(1970). 《層の研究》 (일본어). 요시오카 쇼텐. ISBN 978-4-13-063904-0.
외부 링크
외부 링크셰프 - nLab (영어)
셰프 - MathWorld (영어)

2. 정의

층은 위상 공간의 열린집합 위에 정의되는 추상적인 대상이다. 층의 정의는 보통 다음 세 단계로 이루어진다.


  • '''준층'''(presheaf): 위상 공간의 열린 부분집합에 정보를 대응시키는 구조다. 주어진 위상 공간 위의 국소적인 데이터를 나타낸다. 일반적인 준층에서는 대역적인 데이터가 국소적인 데이터로부터 결정되지 않을 수 있다.
  • '''분리 준층'''(separated presheaf): 준층 가운데, 대역적인 데이터가 국소적인 데이터로부터 결정되지만, 국소적인 데이터를 이어붙이는 충분 조건이 존재하지 않을 수 있다.
  • '''층'''(sheaf): 대역적인 데이터가 국소적인 데이터로부터 결정되며, 국소적인 데이터를 이어붙이는 충분 조건이 존재한다.


복소다양체, 복소해석기하학, 그리고 대수기하학의 scheme 이론을 연구하는 것은 층에 대한 역사적 동기 부여 중 하나가 되었다.[4] [5] 이는 이러한 분야에서 복소다양체, 복소해석 공간 또는 scheme의 구조를 제공하는 구조층 \mathcal{O}와 함께 위상 공간 X를 고려하기 때문이다.

2. 1. 준층

위상 공간 $X$ 위의 준층(準層, presheaf|프리시프영어)은 각 열린집합 $U$에 대해 어떤 집합 $\mathcal{F}(U)$를 대응시키고, 열린집합 사이의 포함 관계에 따라 제한 사상(restriction map)을 정의하는 구조이다. 준층은 국소적인 정보를 나타내지만, 이 정보들이 대역적으로 어떻게 연결되는지에 대한 제약은 없다.

범주 $\mathcal{X}$ 위의, 범주 $\mathcal{C}$의 값을 갖는 '''준층'''은 함자 $\mathcal{F} \colon \mathcal{X}^{\operatorname{op}} \to \mathcal{C}$이다. 여기서 $^{\operatorname{op}}$은 반대 범주를 뜻하므로, $\mathcal{F}$는 $\mathcal{X}$에서 $\mathcal{C}$로 가는 반변함자로 정의된다.

대상 $U \in \mathcal{X}$ 위에서의 준층 $\mathcal{F}$의 '''단면'''(斷面, section영어)들로 구성된 대상 $\Gamma(U, \mathcal{F}) \in \mathcal{C}$는 다음과 같이 정의된다.

:$\Gamma(U,\mathcal{F}) = \mathcal{F}(U) \in \mathcal{C}$

고전적인 예로 $\mathcal{X}$가 위상 공간 $X$의 열린집합들의 범주 $\mathcal{X} = \operatorname{Open}(X)$인 경우를 들 수 있다. 이 경우,

  • $\mathcal{X}$의 대상은 $X$의 열린집합이다.
  • 만약 두 열린집합 $U, V \in \operatorname{Open}(X)$에 대하여 $\hom(U,V)$은 $U \subseteq V$일 경우에는 한원소 집합 $\{\iota_{UV}\}$이며, 나머지 경우에는 $\hom(U,V) = \varnothing$이다. 여기서 $\iota_{UV} \colon U \to V$는 포함 함수이다.


이 경우, $\mathcal{X}$ 위의 $\mathcal{C}$ 값을 갖는 준층 $\mathcal{F}$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 모든 열린집합 $U \subset X$에 대하여, $\mathcal{F}(U) \in \mathcal{C}$
  • 모든 열린집합들 $V \subset U \subset X$에 대하여, $\mathcal{F}(\iota_{VU}) \colon \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)$


이들은 다음과 같은 함자의 공리들을 만족시켜야 한다. 임의의 열린집합들 $U \subset V \subset W \subset X$에 대하여,

  • $\mathcal{F}(\iota_{UU}) = \operatorname{id}_{\mathcal{F}(U)}$
  • $\mathcal{F}(\iota_{UV}) \circ \mathcal{F}(\iota_{VW}) = \mathcal{F}(\iota_{UW})$


$X$를 위상 공간이라고 할 때, $X$ 상의 ''집합의 프리셰프 $\mathcal{F}$''는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 각 열린 집합 $U \subseteq X$에 대해, 집합 $\mathcal{F}(U)$가 존재한다. ($\Gamma(U, \mathcal{F})$로도 표기)
  • 각 열린 집합의 포함 관계 $V \subseteq U$에 대해, 함수 $\operatorname{res}^{U}_{V} \colon \mathcal{F}(U) \rightarrow \mathcal{F}(V)$가 존재한다. ('''제한 사상'''이라고 불린다.)
  • 만약 $s \in \mathcal{F}(U)$라면, 그의 제한 $\operatorname{res}^{U}_{V}(s)$는 종종 함수의 제한과 유사하게 $s|_V$로 표기된다.


제한 사상은 두 가지 추가적인 (함자) 속성을 만족해야 한다.

  • $X$의 모든 열린 집합 $U$에 대해, 제한 사상 $\operatorname{res}^{U}_{U} \colon \mathcal{F}(U) \rightarrow \mathcal{F}(U)$는 $\mathcal{F}(U)$상의 항등 사상이다.
  • 만약 세 개의 열린 집합 $W \subseteq V \subseteq U$가 있다면, 합성 $\operatorname{res}^{V}_{W} \circ \operatorname{res}^{U}_{V} = \operatorname{res}^{U}_{W}$가 성립한다.


범주론의 용어로 표현하면, $X$의 열린 집합계 (이는 포함 관계에 관한 순서 집합이 된다) $T$를 범주로 볼 때, $X$ 위의 전층은 $T$에서 집합의 범주로의 반변함자라고 할 수 있다.

2. 2. 분리 준층

분리 준층은 준층 가운데, 대역적인 정보가 국소적인 정보로부터 유일하게 결정되는 조건을 만족시키는 것이다. 즉, 어떤 준층의 두 단면이 모든 점 근처에서 일치한다면, 두 단면은 실제로 같은 단면이다.[1]

이는 다음 조건을 통해 엄밀하게 정의할 수 있다. \mathcal X의 모든 대상 U 및 그 모든 덮개체 \mathcal S\in\mathfrak J(U)에 대하여 제약 함수

:\operatorname{res}_{\hom_{\mathcal X}(-,U),\mathcal S}\colon\hom_{\operatorname{PSh}(\mathcal X)}(\hom_{\mathcal X}(-,U),\mathcal F)\to\hom_{\operatorname{PSh}(\mathcal X)}(\mathcal S,\mathcal F)

가 단사 함수라면, \mathcal F는 분리 준층이다.[1]

분리 준층의 예는 다음과 같다.

  • X = \R을 실수선이라고 하고, F(U)를 U에서 유계 연속 함수의 집합이라고 하자. 이 F는 분리 준층이다.[1]

2. 3. 층

범주 \mathcal C의 값을 갖는 '''준층'''(準層, presheaf|프리시프영어, préfaisceau|프레페소프랑스어)은 함자 \mathcal F\colon\mathcal X^{\operatorname{op}}\to\mathcal C이다. 여기서 ^{\operatorname{op}}은 반대 범주를 뜻하므로, \mathcal F는 \mathcal X에서 \mathcal C로 가는 반변함자로 정의된다.

'''층'''(層, sheaf|셰프영어, faisceau|페소프랑스어)은 국소적인 정보들을 서로 '붙여' 대역적인 정보를 얻을 수 있는 준층이다. 즉, 서로 겹치는 부분에서 일치하는 국소적인 단면들이 주어지면, 이들을 이어 붙여 전체 열린집합에서의 단면을 만들 수 있다.

고전적인 예로 \mathcal X가 위상 공간 X의 열린집합들의 범주 \mathcal X=\operatorname{Open}(X)인 경우를 들 수 있다. 이 경우,

  • \mathcal X의 대상은 X의 열린집합이다.
  • 두 열린집합 U,V \in \operatorname{Open}(X)에 대하여 \hom(U,V)은 U\subseteq V일 경우에는 한원소 집합 \{\iota_{UV}\}이며, 나머지 경우에는 \hom(U,V)=\varnothing이다. 여기서 \iota_{UV}\colon U\to V는 포함 함수이다.

이 경우, \mathcal X 위의 \mathcal C 값을 갖는 준층 \mathcal F는 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 모든 열린집합 U\subset X에 대하여, \mathcal F(U)\in\mathcal C
  • 모든 열린집합들 V\subset U\subset X에 대하여, \mathcal F(\iota_{VU})\colon \mathcal F(U)\to \mathcal F(V)

이들은 다음과 같은 함자의 공리들을 만족시켜야 한다. 임의의 열린집합들 U\subset V\subset W\subset X에 대하여,

  • \mathcal F(\iota_{UU})=\operatorname{id}_{\mathcal F(U)}
  • \mathcal F(\iota_{UV})\circ\mathcal F(\iota_{VW})=\mathcal F(\iota_{UW})


\mathcal X 위에 그로텐디크 위상 \mathfrak J가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 대상 U\in\mathcal X에 대하여, 덮개체들의 집합 \mathfrak J(U)이 존재하며, 각 덮개체 \mathcal S\in\mathfrak J(U)는 \mathcal X 위의 준층을 이룬다.

덮개체 \mathcal S\in\mathfrak J(U)는 정의에 따라 \hom(-,U)의 부분 함자이므로, 자연스러운 제약 함수

:\operatorname{res}_{\hom_{\mathcal X}(-,U),\mathcal S}\colon\hom_{\operatorname{PSh}(\mathcal X)}(\hom_{\mathcal X}(-,U),\mathcal F)\to\hom_{\operatorname{PSh}(\mathcal X)}(\mathcal S,\mathcal F)

가 존재한다. 이 경우, 다음과 같은 정의를 내릴 수 있다.

  • 만약 \mathcal X의 모든 대상 U 및 그 모든 덮개체 \mathcal S\in\mathfrak J(U)에 대하여 \operatorname{res}_{\hom_{\mathcal X}(-,U),\mathcal S}가 전단사 함수라면, U의 덮개 \mathcal S에 임의의 (적절한) 단면들을 부여하여도 이들을 U 전체로 이어붙일 수 있다. 즉, 호환 조건을 만족시키는 모든 국소적 데이터를 대역적 데이터로 이어붙일 수 있다. 이 조건을 만족시키는 준층을 '''층'''이라고 한다.


\mathcal X의 그로텐디크 위상이 그로텐디크 준위상으로 주어진다면, 층의 정의를 더 구체적으로 서술할 수 있다. \mathcal X의 임의의 대상 U\in\mathcal X 및 덮개

:\{\iota_i\colon U_i\to U\}_{i\in I}\in\mathfrak D(u)

가 주어졌을 때, 임의의 i,j\in I에 대하여, 다음과 같은 사상들이 존재한다.

:

\begin{matrix}

&&&&U_i\times_UU_j\\

&&&{\scriptstyle\pi_1}\swarrow\\

U&\xleftarrow{\iota_i}&U_i\\

&&&{\scriptstyle\pi_2}\nwarrow\\

&&&&U_j\times_UU_i

\end{matrix}



위 도형에서 \mathcal F에 대한 상을 취하면 다음과 같다.

:

\begin{matrix}

&&&&\mathcal F(U_i\times_UU_j)\\

&&&{\scriptstyle\mathcal F(\pi_1)}\nearrow\\

\mathcal F(U)&\xrightarrow{\mathcal F(\iota_i)}&\mathcal F(U_i)\\

&&&{\scriptstyle\mathcal F(\pi_2)}\searrow\\

&&&&\mathcal F(U_j\times_UU_i)

\end{matrix}



이들에 대한 올곱을 취하면 다음과 같은 사상들을 얻는다.

:\mathcal F(U) \xrightarrow{\prod_{i\in I}^{F(U)}\mathcal F(\iota_i)}\prod_{i\in I}\mathcal F(U_i)

:\mathcal F(U_i)\xrightarrow{\prod_{j\in I}^{\mathcal F(U_i)}\mathcal F(\pi_1)}\prod_{j\in I}\mathcal F(U_i\times_UU_j)

:\mathcal F(U_i)\xrightarrow{\prod_{j\in I}^{\mathcal F(U_i)}\mathcal F(\pi_2)}\prod_{j\in I}\mathcal F(U_j\times_UU_i)

이제, 사상들의 곱을 취하면 다음과 같은 사상들을 얻는다.

:\mathcal F(U) \xrightarrow{\prod_{i\in I}^{F(U)}\mathcal F(\iota_i)}\prod_{i\in I}\mathcal F(U_i) {\xrightarrow{\prod_{i\in I}\prod_{j\in I}^{\mathcal F(U_i)}\mathcal F(\pi_1)}\atop\xrightarrow[\prod_{i\in I}\prod_{j\in I}^{\mathcal F(U_i)}\mathcal F(\pi_2)]{}}\prod_{i,j\in I}\mathcal F(U_i\times_UU_j)

왼쪽의 함수는 U의 단면 \mathcal F(U)를 U_i에 제한 한 것으로 해석 할 수 있으며, 오른쪽의 함수는 각 U_i의 단면 \mathcal F(U_i)를 U_j와 "겹치는 부분"에 대하여 제한 한 것으로 해석 할 수 있다. 만약 왼쪽의 함수가 오른쪽의 두 함수의 동등자를 이룬다면, \mathcal F는 '''층'''이다.

X를 위상 공간이라고 하자. X 상의 집합의 프리셰프 \mathcal{F}는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 각 열린 집합 U\subseteq X에 대해, 집합 \mathcal{F}(U)가 존재한다. 이 집합은 \Gamma(U, \mathcal{F})로도 표기한다. 이 집합의 원소는 U 위의 \mathcal{F}의 ''단면''이라고 한다.
  • 각 열린 집합의 포함 관계 V \subseteq U에 대해, 함수 \operatorname{res}^{U}_{V} \colon \mathcal{F}(U) \rightarrow \mathcal{F}(V)가 존재한다. 만약 s \in \mathcal{F}(U)라면, 그의 제한 \text{res}^{U}_{V}(s)는 s|_V로 표기된다.

제한 사상은 두 가지 추가적인 (함자) 속성을 만족해야 한다.

  • X의 모든 열린 집합 U에 대해, 제한 사상 \operatorname{res}^{U}_{U} \colon \mathcal{F}(U) \rightarrow \mathcal{F}(U)는 \mathcal{F}(U)상의 항등 사상이다.
  • 만약 세 개의 열린 집합 W \subseteq V \subseteq U가 있다면, 합성 \text{res}^{V}_{W}\circ\text{res}^{U}_{V}=\text{res}^{U}_{W}가 성립한다.


''층''은 다음 두 공리를 모두 만족하는 사전층이다.

# (''국소성'') s, t \in \mathcal{F}(U)가 단면이라고 가정하자. 만약 모든 i \in I에 대해 s|_{ U_i} = t|_{ U_i}라면, s = t이다.

# (''붙이기'') U가 열린 집합이고, \{ U_i \}_{i \in I}가 U의 열린 덮개이고, \{ s_i \in \mathcal{F}(U_i) \}_{i \in I}가 단면들의 모임이라고 가정하자. 만약 모든 단면 쌍이 그들의 정의역의 중첩에서 일치하면, 즉, 모든 i, j \in I에 대해 s_i|_{U_i\cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}라면, 모든 i \in I에 대해 s|_{U_i} = s_i인 s \in \mathcal{F}(U)인 단면 s가 존재한다.[1]

공리 2에 의해 존재성이 보장되는 단면 ''s''는 단면 s_i의 ''붙이기'', ''연결'', 또는 ''정돈''이라고 불린다. 공리 1에 의해 그것은 유일하다. 공리 2의 일치 전제 조건을 만족하는 단면 ''s_i''와 ''s_j''는 ''호환 가능''이라고 불린다. 따라서 공리 1과 2는 함께 ''쌍별로 호환 가능한 단면의 모든 모음은 고유하게 함께 붙일 수 있다''는 것을 나타낸다.

층을 지정하기 위해서는, 기본 공간의 위상의 기저의 열린 집합으로의 제한을 지정하는 것만으로 충분하다. 덮개의 열린 집합에 대해 층 공리를 검증하는 것으로도 충분하다. 이 관찰은 대수 기하학에서 중요한 준연접 층을 구성하는 데 사용된다. 여기서 문제의 위상 공간은 R이라는 가환환의 스펙트럼이며, 그 점은 R의 소 아이디얼 \mathfrak{p}이다. 열린 집합 D_f := \{ \mathfrak{p} \subseteq R, f \notin \mathfrak{p}\}는 이 공간의 자리스키 위상에 대한 기저를 형성한다. R-모듈 M이 주어지면, \operatorname{Spec}R에 대한 \tilde M으로 표시되는 층이 있으며, 이는 다음을 만족한다.

:\tilde M(D_f) := M[1/f], f에서의 M의 국소화.

사전층 \mathcal{F}는 모든 열린 U와 U의 모든 열린 덮개 \{U_a\}에 대해, \mathcal{F}(U)가 섬유 곱 \mathcal{F}(U)\cong\mathcal{F}(U_a)\times_{\mathcal{F}(U_a\cap U_b)}\mathcal{F}(U_b)일 때 층이다.

위상 공간의 연속 함수 f:Y\to X는 X 위의 층 \Gamma(Y/X)를 결정한다.

:\Gamma(Y/X)(U) = \{s: U \to Y, f \circ s = \operatorname{id}_U\}.

이러한 s는 ''f''의 단면이라고 불리며, 이 예는 \mathcal{F}(U)의 원소가 일반적으로 단면이라고 불리는 이유이다.

점 x와 아벨 군 S가 주어졌을 때, 마천루 층 S_x는 다음과 같이 정의된다. U가 x를 포함하는 열린 집합이면 S_x(U)=S이다. U가 x를 포함하지 않으면 S_x(U)=0이며, 이는 자명군이다. 제한 사상은 두 열린 집합 모두 x를 포함하는 경우 S 위의 항등 사상이거나, 그렇지 않으면 영 사상이다.

범주론의 용어로 표현하면, X의 열린 집합계 (포함 관계에 관한 순서 집합) T를 범주로 볼 때, X 위의 전층은 T에서 집합의 범주로의 반변함자라고 할 수 있다. 또한, 가환군의 (또는 가군의) 전층과 환의 전층은 T에서 가환군의 범주 또는 환의 범주로의 반변함자이며, T에서 적절한 범주 \mathcal{C}로의 반변함자로서 \mathcal{C}에 값을 갖는 전층이 정의된다. 두 전층을 함자로 보고 그 사이의 자연 변환이 되는 것을 '''전층의 사상''' 또는 전층의 준동형 사상이라고 부른다.

위상 공간 ''X'' 위의 전층이 그 절단이 국소적 절단의 풀기로 정의될 수 있을 때 '''층'''이라고 불린다. 정확히 말하면 ''X'' 위의 층은 전층 ''F'' = {''F''(''U'')} 이고, ''X''의 각 열린 집합 ''U''에 대해 열린 덮개

:U = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_\lambda

가 임의로 주어졌을 때, ''F''(''U'')의 원소 ''s'', ''t''가 임의의 λ에 대해

:s|_{U_\lambda} = t|_{U_\lambda}

를 만족하면 항상 ''s'' = ''t''가 성립(기약성 조건)하고, 또한 절단의 족 가 항상

:s_\lambda|_{U_\lambda \cap U_\mu} = s_\mu|_{U_\lambda \cap U_\mu}

를 만족하는 것이라면 항상, ''F''(''U'')의 원소 ''s''로

:s|_{U_\lambda} = s_\lambda

를 모든 에 대해 만족하는 것이 존재하는(닫힌 조건) 것을 말한다.

3. 종류

아벨 군 값을 갖는 층 코호몰로지를 다룰 때는 '''단사층''' 개념을 사용하며, 이보다 약한 개념으로 '''섬세층'''이나 '''비순환층''' 등이 있다.[1]

'''연접층'''은 유한 차원 벡터 다발의 단면층을 포함하는 가장 작은 아벨 범주의 원소이다. 만약 유한 차원 조건을 생략한다면, '''준연접층''' 개념을 얻는다.[1]

보통, 함수층의 경우 어떤 환의 층에 대한 가군을 이룬다. 이러한 층을 '''가군층'''이라고 한다. 마찬가지로, 어떤 다른 환의 층에 대한 아이디얼을 이루는 층을 '''아이디얼 층'''이라고 한다.[1]

기하학적으로, 선다발이나 인자에 대응하는 층을 '''가역층'''이라고 한다.[1]

가장 자명한, 모든 줄기가 같은 층을 '''상수층'''이라고 한다.[1]

4. 층 위의 구조

위상 공간 위의 층은 범주론적 접근 외에 기하학적으로도 정의할 수 있다. 어떤 주어진 점 근처에서 층이 가질 수 있는 값들의 집합을 그 층의 줄기라 하고, 이러한 줄기들의 집합을 에탈레 공간이라 한다. 층은 에탈레 공간의 단면들의 모임으로 정의할 수 있다.[6]

4. 1. 줄기(stalk)와 에탈레 공간(espace étalé)

위상 공간 위의 층은 범주론적 접근 대신, 기하학적으로도 정의할 수 있다. 주어진 점 x 근처에서 층 \mathcal F가 가질 수 있는 값들의 집합을 \mathcal F의 '''줄기'''라고 하고, 이러한 줄기들의 집합을 '''에탈레 공간'''이라고 한다. 층은 에탈레 공간의 단면들의 모임으로 정의할 수 있다.[6]

층 \mathcal{F}의 '''줄기'''(stalk) \mathcal{F}_x는 점 x \in X "주변"의 층의 성질을 포착한다. 여기서 "주변"은 개념적으로 그 점의 점점 더 작은 근방을 살펴보는 것을 의미한다. 어떤 단일 근방도 충분히 작지 않으므로 일종의 극한을 고려해야 한다.

줄기는 주어진 점 x를 포함하는 X의 모든 열린 집합에 대한 직접 극한으로 정의된다.

:\mathcal{F}_x = \varinjlim_{U\ni x} \mathcal{F}(U),

즉, 줄기의 원소는 x의 어떤 열린 근방에서 정의된 단면에 의해 주어지며, 두 단면의 제한이 더 작은 근방에서 일치하는 경우 동일한 것으로 간주된다.

자연 사상 \mathcal{F}(U)\to \mathcal{F}_x는 \mathcal{F}(U)의 단면 s를 x에서의 '''씨앗''' s_x로 가져온다. 이는 씨앗의 일반적인 정의를 일반화한다.

많은 상황에서 층의 줄기를 아는 것만으로도 층 자체를 제어하기에 충분하다. 예를 들어, 층의 사상이 단사, 전사 또는 동형인지 여부는 줄기에서 테스트할 수 있다. 이런 의미에서 층은 국소 데이터인 줄기에 의해 결정된다.

"펼쳐진"이라는 대략적인 의미를 가진 프랑스어 단어 étalé에서 유래된 '''에탈레 공간'''은 위상 공간의 단면 층으로 나타낼 수 있다. 만약 F \in \text{Sh}(X)가 X에 대한 층이라면, F의 '''에탈레 공간'''은 국소 동형 사상 \pi: E \to X가 있는 위상 공간 E로, \pi의 단면 층 \Gamma(\pi, -)가 F이다. 공간 ''E''는 일반적으로 매우 이상하며, 층 ''F''가 자연스러운 위상적 상황에서 발생하더라도 ''E''는 명확한 위상적 해석이 없을 수 있다.

에탈레 공간 ''E''는 ''X''에 대한 ''F''의 줄기에서 구성된다. 집합으로, 그것들은 분리 집합이며 ''\pi''는 x \in X에 대한 F의 줄기에 값 x를 갖는 명백한 사상이다. ''E''의 위상은 다음과 같이 정의된다. 각 요소 s \in F(U) 및 각 x \in U에 대해, [s]_x 또는 s_x로 표시되는 x에서 s의 싹을 얻는다. 이 싹들은 ''E''의 점을 결정한다. 모든 U와 s \in F(U)에 대해, 이 점들 (모든 x \in U에 대해)의 합집합은 ''E''에서 열린 것으로 선언된다. 각 줄기가 부분 공간 위상으로 이산 위상을 갖는다는 점에 유의해야 한다.

4. 2. 층화(sheafification)

sheafification영어)는 준층이 주어졌을 때, 이로부터 층을 만들어내는 과정을 말한다. 층화는 준층에 '붙임 조건'을 추가하여 층으로 만드는 과정이다.[8]

\mathcal X 위의 층 사이의 사상은 준층으로서의 사상이다. X 위의 층들의 범주는 \operatorname{Sh}(X)라고 쓰며, 이는 \operatorname{PSh}(X)의 충만한 부분 범주이다. (작은) 위치 (\mathcal X,\mathfrak J) 위의 층의 범주와 준층의 범주 사이에는 자연스러운 포함 관계가 존재한다.

:I\colon\operatorname{Sh}(\mathcal X,\mathfrak J)\hookrightarrow\operatorname{PSh}(\mathcal X)

이 함자는 왼쪽 수반 함자 S를 가지는데, 이를 준층의 '''층화'''라고 한다.

:I\colon\operatorname{Sh}(\mathcal X,\mathfrak J)\hookrightarrow\operatorname{PSh}(\mathcal X)\colon S

프리층에 포함된 데이터를 사용하여 이를 층으로 표현하는 것은 종종 유용하다. 프리층 \mathcal{F}를 받아 ''층화'' 또는 ''프리층과 연관된 층'' a\mathcal{F}라는 새로운 층을 생성한다.[8] 예를 들어, 상수 프리층의 층화는 ''상수층''이라고 한다. 이름과는 달리, 그 단면은 ''국소'' 상수 함수이다.

층 a\mathcal{F}는 \mathcal{F}의 에탈 공간 E를 사용하여, 즉 다음 사상의 단면의 층으로 구성할 수 있다.

:E \to X.

층 a\mathcal{F}의 또 다른 구성은 프리층의 속성을 점차 개선하는 프리층에서 프리층으로의 함자 L을 사용하여 진행된다. 임의의 프리층 \mathcal{F}에 대해, L\mathcal{F}는 분리된 프리층이고, 임의의 분리된 프리층 \mathcal{F}에 대해, L\mathcal{F}는 층이다. 연관된 층 a\mathcal{F}는 LL\mathcal{F}로 주어진다.[8]

층 a\mathcal{F}가 층에 의한 \mathcal{F}의 최적 근사라는 아이디어는 다음 보편 성질을 사용하여 명확하게 표현된다. 즉, 임의의 층 \mathcal{G} 및 임의의 프리층 사상 f\colon \mathcal{F}\to \mathcal{G}에 대해, f = \tilde f i가 되도록 프리층 사상 i\colon \mathcal{F}\to a\mathcal{F}이 존재하며, 층 사상 \tilde f \colon a\mathcal{F} \rightarrow \mathcal{G}가 유일하게 존재한다. 실제로, a는 층 범주에서 프리층 범주로의 포함 함자(또는 망각 함자)의 왼쪽 수반 함자이며, i는 수반의 단위이다. 이러한 방식으로, 층 범주는 프리층의 지라드 부분 범주로 바뀐다.

전층 P에 대해, 그 층화 aP는 보편성 Hom(P, F) ≡ Hom(aP, F) (F는 임의의 층)를 만족하는 층으로 정의된다. 이 정의로부터, 특히 이미 층인 전층 P에 대해 층화 aP를 생각하면, P와 aP는 자연스럽게 동형이어야 한다. 집합의 전층에 대해서는 실제로 층화를 생각할 수 있으며, 가군이나 환의 전층 등 부가적인 구조를 부여한 경우에도 대부분 층화가 가능하다.

층화 구성에는 여러 가지 방법이 있다. 예를 들어 층에 부수하는 에탈 번들의 구성을 전층에 대해 마찬가지로 실행함으로써 에탈 번들을 얻을 수 있으며, 이 에탈 번들에 부수하는 층을 생각함으로써 층화를 얻을 수 있다.

4. 3. 층의 함자

위상 공간 사이의 연속 함수가 주어지면, 그 위에 존재하는 층들의 사상을 유도할 수 있으며, 이는 함자를 이룬다. 구체적으로, 위상 공간 사이의 연속 함수 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하고, 위상 공간 X 위의 아벨 군 값을 가진 층과 층 사상들의 범주를 \operatorname{Sh}(X)라고 하면, 다음과 같은 함자들이 존재한다.

  • 직상(直像, direct image영어) f_*\colon\operatorname{Sh}(X)\to\operatorname{Sh}(Y)
  • 역상(逆像, inverse image영어) f^*\colon\operatorname{Sh}(Y)\to\operatorname{Sh}(X)
  • 콤팩트 지지 직상(direct image with compact support영어) f_!\colon\operatorname{Sh}(X)\to\operatorname{Sh}(Y)
  • 예외 역상(exceptional inverse image영어) Rf^!\colon D\operatorname{Sh}(X)\to D\operatorname{Sh}(Y)


이 함자들은 서로 수반 함자 관계를 갖는다. 여기서 D는 유도 범주, R은 오른쪽 유도 함자를 나타낸다.

  • f^*\leftrightarrows f_*는 각각 왼쪽·오른쪽 수반 함자이다.
  • \operatorname Rf_!\leftrightarrows\operatorname Rf^!는 각각 왼쪽·오른쪽 수반 함자이다.

직상 함자 f_*는 다음과 같이 정의된다. F\in\operatorname{Sh}(X)에 대해, 열린집합 V\subset Y에 대하여,

:f_*F(V)=F(f^{-1}(V))

이다.
역상 함자 f^*는 다음과 같이 정의된다. G\in\operatorname{Sh}(Y)에 대해, X 위에 다음과 같은 준층을 정의할 수 있다. U\subset X에 대하여,

:U\mapsto\varinjlim_{V\supseteq f(U)}G(V)

여기서 \varinjlim은 귀납적 극한이다. 이 준층에 층화(sheafification영어)를 가한 층이 역상 함자 f^*이다.
콤팩트 지지 직상 f_!\mathcal F는 다음과 같이 정의된다. 모든 열린집합 U\subseteq Y에 대하여,

:f_!\mathcal F(U)=\{s\in\mathcal F(f^{-1}(U))\colon f|_{\operatorname{supp}s}\text{ is proper}\}

여기서 f|_{\operatorname{supp}s}\text{ is proper}라는 것은

:f\colon\colon\operatorname{supp}s\to U

가 고유 함수임을 뜻한다. 콤팩트 지지 직상은 직상의 부분 함자이며, f가 고유 함수라면 콤팩트 지지 직상과 직상은 일치한다.

콤팩트 지지 직상 함자 f_!\colon\operatorname{Sh}(X)\to\operatorname{Sh}(Y)는 왼쪽 완전 함자이며, 그 오른쪽 전유도 함자(right total derived functor영어)

:\operatorname Rf_!\colon\operatorname D(\operatorname{Sh}(X))\to\operatorname D(\operatorname{Sh}(Y))

를 취할 수 있다. 여기서 \operatorname D(-)는 유도 범주를 뜻한다.

이 함자는 오른쪽 수반 함자를 가지며, 이를 예외 역상(exceptional inverse image영어)

:\operatorname Rf^!\colon\operatorname D(\operatorname{Sh}(Y))\to\operatorname D(\operatorname{Sh}(X))

이라고 한다. 표기와는 달리, 예외 역상 함자를 오른쪽 전유도 함자로 하는 함자 f^!\colon\operatorname{Sh}(Y)\to\operatorname{Sh}(X)는 일반적으로 존재하지 않는다.

4. 4. 층 코호몰로지

층 코호몰로지는 층의 단면 함자가 완전열을 보존하지 않는 현상을 측정하는 도구이다. 층 코호몰로지는 아벨 범주에서 유도 함자를 이용하여 정의되며, 층들의 완전열에 대응하는 긴 완전열이 존재한다.

단면 함자 \Gamma(U,-)는 전사 사상을 보존하지 않는데, 이는 층 코호몰로지를 통해 측정할 수 있다. 층의 전사 사상 \mathcal F \to \mathcal G에서 임의의 단면 g \in \mathcal G(U)에 대해, g를 적절한 열린 부분 집합으로 제한하면 \mathcal F(U_i)의 상에 속하지만, g 자체는 \mathcal F(U)의 상에 속할 필요는 없다. 이러한 현상은 정칙 함수와 0이 아닌 정칙 함수 사이의 지수 사상 \mathcal O \stackrel{\exp} \to \mathcal O^\times에서 구체적으로 나타난다.

가군층의 완전열 0 \to \mathcal F_1 \to \mathcal F_2 \to \mathcal F_3 \to 0에 대해, 긴 완전열

0 \to \Gamma(U, \mathcal F_1) \to \Gamma(U, \mathcal F_2) \to \Gamma(U, \mathcal F_3) \to H^1(U, \mathcal F_1) \to H^1(U, \mathcal F_2) \to H^1(U, \mathcal F_3) \to H^2(U, \mathcal F_1) \to \dots

이 존재한다. 여기서 첫 번째 코호몰로지 군 H^1(U, \mathcal F_1)은 \mathcal F_2와 \mathcal F_3의 단면 사이의 사상의 비 전사성을 측정한다.

층 코호몰로지는 그로텐디크가 \Gamma의 유도 함자로 정의하였으며, 주사 분해에 기반하여 이론적으로는 유용하지만 실제 계산에는 거의 사용되지 않는다. Godement 분해는 또 다른 방법이지만 실제로는 접근하기 어렵다.

다양체 위 층의 경우, 부드러운 층, 세밀한 층, 플래비 층에 의한 분해를 사용하여 층 코호몰로지를 계산할 수 있다. 예를 들어, 단위 분할 논증은 다양체 위 매끄러운 함수 층이 부드럽다는 것을 보여준다. 부드러운 층의 경우 i > 0에 대해 고차 코호몰로지 군 H^i(U, \mathcal F)은 사라지며, 이는 다른 층의 코호몰로지를 계산하는 방법을 제공한다. 드람 코호몰로지는 상수 층 \underline{\mathbf{R}}의 분해이므로, \underline{\mathbf{R}}의 층 코호몰로지는 드람 코호몰로지와 같다.

체흐 코호몰로지는 층에 대해 개발된 최초의 코호몰로지 이론으로, 복소 사영 공간 \mathbb{P}^n의 가환 층 코호몰로지 계산 등에 유용하다.[11] 대부분 체흐 코호몰로지는 도출된 함자 코호몰로지와 동일한 코호몰로지 군을 계산하지만, 일부 병적인 공간의 경우 더 높은 코호몰로지 군은 부정확하다. 장 루이 베르디에는 이를 해결하기 위해 하이퍼피복을 개발했다.

사영 평면 곡선의 가환 층 코호몰로지는 주변 공간에 대한 알려진 층 코호몰로지 군을 이용하여 쉽게 찾을 수 있다. 들리뉴가 증명한 호지 분해는 층 코호몰로지 군과 관련된 스펙트럴 열을 사용한다.[12][13]

보렐-보트-와일 정리는 깃발 다양체 위 일부 선다발의 코호몰로지 군을 리 군의 기약 표현으로 식별하여, 사영 공간과 그라스만 다양체의 모든 선다발의 코호몰로지 군을 쉽게 계산할 수 있게 한다.

푸앵카레 쌍대성을 일반화하는 층에 대한 쌍대성 이론 (그로텐디크 쌍대성, 베르디에 쌍대성)도 존재한다.

어떤 공간 ''X'' 위 아벨 군 층 범주의 유도 범주 D(X)에서 다음 관계가 성립한다.

:H^n(X, \mathcal F) = \operatorname{Hom}_{D(X)}(\mathbf Z, \mathcal F[n]).

유도 함자 Rf_*는 f: X \to \{*\}에 대해 H^n(X, \mathcal F) = R^n f_* \mathcal F이므로 층 코호몰로지의 개념을 포함한다.

컴팩트 지지 집합을 갖는 직접 이미지 f_!도 유도될 수 있으며, R f_! \mathcal{F}는 f의 섬유의 컴팩트 지지 코호몰로지를 매개변수화한다.

:(R^i f_! \mathcal F)_y = H^i_c(f^{-1}(y), \mathcal F).[14]

꼬인 역 이미지 함자 f^!는 일반적으로 유도 범주 수준에서만 정의된다. ''X''가 차원 ''n''의 매끄러운 가향 다양체라면,

:f^! \underline \mathbf R \cong \underline \mathbf R [n].[15]

이 계산은 푸앵카레 쌍대성에 대한 설명을 얻는 데 사용될 수 있다.

괴층은 특이점의 기하학을 연구하는 중요한 도구이다.[16]

스킴 X 위 코히어런 층의 유도 범주 D_{Coh}(X)는 교차 이론[17] 개발에 사용되며, 부분 스킴 Y_1, Y_2의 교차 곱은 K-이론에서 다음과 같이 표현된다.

:[Y_1]\cdot[Y_2] = [\mathcal{O}_{Y_1}\otimes_{\mathcal{O}_X}^{\mathbf{L}}\mathcal{O}_{Y_2}] \in K(\text{Coh(X)})

5. 예시

위상 공간 ''X'' 위의 실수 연속 함수의 층, 매끄러운 다양체 ''M'' 위의 매끄러운 함수들의 층, 벡터장들의 층은 층의 예시이다. 올다발의 단면들은 층을 이룬다. 유계 연속 함수는 준층을 이루지만, 층은 아니다.

위상 공간 X의 각 열린집합 U\subset X에 대하여 \mathcal C(U)를 실수 연속 함수의 집합이라고 하면, \mathcal C는 \operatorname{Open}(X) 위에 층을 이룬다. 이 경우, 값을 가지는 범주는 집합의 범주 \operatorname{Set}, 아벨 군의 범주 \operatorname{Ab}, 또는 실수 벡터 공간의 범주 \operatorname{\mathbb R-Vect}일 수 있다.

매끄러운 다양체 M 위에 층 \mathcal C^\infty는 다음과 같이 정의된다. 열린 부분집합 U\in\operatorname{Open}(M)에 대해 \mathcal C^\infty(U)는 모든 실수값 매끄러운 함수들의 집합이다. 이는 아벨 군 또는 실수 벡터 공간 값을 갖는 층을 이룬다.

:\mathcal C^\infty\in\operatorname{Sh}(M,\operatorname{Ab})

:\mathcal C^\infty\in\operatorname{Sh}(M,\mathbb R\text{-Vect})

위상 공간 E,X 사이의 연속 함수 \pi\colon E\to X가 주어졌을 때 (예를 들어, E는 X 위의 올다발일 수 있다), 층 \mathcal F를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:\mathcal F(U)=\{f\in\mathcal C(U,E)|\pi\circ f=\operatorname{id}_U\}

이러한 f를 \pi의 '''단면'''이라고 한다. \mathcal F는 (아벨 군 또는 실수 벡터 공간 값을 갖는) 층이며, \mathcal F의 에탈레 공간은 E이다.

국소 콤팩트하지만 콤팩트하지 않은 공간 X 위에, 유계 연속 함수들의 준층 \mathcal C_\text{bounded}을 생각하면, 이는 준층을 이루지만, 일반적으로 층을 이루지 못한다. 예를 들어, X 위의 비유계 연속 함수 f\colon X\to\mathbb R를 생각할 때, X에, 폐포가 모두 콤팩트한 열린 덮개 \{U_\alpha\}를 잡으면, f|_{U_\alpha}는 (콤팩트 공간 \bar U_\alpha 위의 연속 함수이므로) 유계 함수이지만, 이들을 이어붙인 함수 f는 유계함수가 아니다.

위상 공간 X (예: 미분 가능 다양체) 위에 정의된 여러 구조는 열린 집합 U \subseteq X로 "국소화"되거나 "제한"될 수 있다. 일반적인 예로는 연속 함수인 실수 또는 복소수 값을 갖는 함수, n번 미분 가능 함수 (실수 또는 복소수 값을 갖는) 함수, 유계 함수인 실수 값을 갖는 함수, 벡터장, 그리고 공간에 대한 임의의 벡터 다발의 단면이 있다.

복소다양체, 복소해석기하학, 그리고 scheme 이론을 연구하는 것은 층에 대한 역사적 동기 부여 중 하나가 되었다.[4] [5] 이는 앞서 언급한 모든 경우에서, 복소다양체, 복소해석 공간 또는 scheme의 구조를 제공하는 구조층 \mathcal{O}와 함께 위상 공간 X를 고려하기 때문이다.

층을 도입한 주요 역사적 동기 중 하나는 복소다양체에서 정칙 함수를 추적하는 장치를 구성하는 것이었다. 예를 들어, 콤팩트 공간과 같은 콤팩트 복소다양체 X (또는 복소 사영 공간 또는 동차 다항식의 사영 공간에서 영점 궤적)에서 ''유일한'' 정칙 함수는 상수 함수이다.[6][7]

복소다양체 X에서 정칙 함수 고리를 고려할 때 또 다른 복잡성은 충분히 작은 열린 집합 U \subseteq X가 주어지면, 정칙 함수가 \mathcal{H}(U) \cong \mathcal{H}(\C^n)과 동형이 된다는 것이다. 층은 X의 기본 위상 공간에 대한 정칙 구조를 임의의 열린 부분 집합 U \subseteq X에서 추적할 수 있게 해주기 때문에, 이러한 복잡성을 다루는 직접적인 도구이다.

복소수 부분다양체 Y \hookrightarrow X를 고려하여 층의 또 다른 일반적인 예를 구성할 수 있다. 열린 부분집합 U \subseteq X를 가져와 U \cap Y에서 정칙 함수의 환을 제공하는 연관된 층 \mathcal{O}_Y가 있다.

국소 동형 사상 E \to X는 X 위의 에탈 묶음이라고 불린다. X 위의 층과 X 위의 에탈 묶음 사이에는 자연스러운 대응이 있다.

에탈 묶음 E에 대응하는 층 F_E는 각 열린 집합 U에 대해 그 위의 E로의 단면 공간 \Gamma(U,E)를 주고, 열린 집합의 포함 관계에 대해 단면의 제한 사상을 대응시키는 것으로 정의된다. X의 점 x에 대해, 줄기 F_{E,x}는 E에서의 x의 역상과 자연스럽게 대응한다.

반대로, 층 F에 대응하는 에탈 묶음 E_F는 F의 줄기의 합집합 \cup_{x \in X} F_x에, 다음과 같이 위상을 부여함으로써 구성된다(사영 E_F \to X는 F_x \to x의 모음으로 만들어진다). 임의의 열린 집합 U와 F(U)의 임의의 원소 s에 대해 O(U;s) = \{ s_y \in F_y \mid y \in U \} (s_y는 줄기 F_y에서의 s의 싹)라고 놓고, O(U;s)의 형태로 나타낼 수 있는 집합 전부로 생성되는 열린 집합계를 E_F 위에서 생각한다.

6. 역사

코호몰로지 이론의 발전과 함께 시작된 층 이론은, 제2차 세계 대전 중 장 르레가 포로 수용소에서 기초를 마련했다.[19] 앙리 카르탕은 층 이론을 체계화하고 발전시켰으며, 앙드레 베유에게 보낸 편지에서 층 이론을 이용한 드람 정리의 새로운 증명 방법을 제시했다.

1950년 카르탕 세미나에서는 층 이론이 에탈레 공간을 사용하여 재정의되었고, 줄기 및 지지집합을 가진 코호몰로지가 최초로 등장했다.

다변수 복소해석학에서 오카 기요시는 아이디얼들의 층을 정의하였고, 이는 카르탕 정리를 증명하는 데 중요한 역할을 했다. 장피에르 세르는 연접층을 도입하고, 해석적 연접층의 층 코호몰로지의 유한성 정리를 증명했으며, 세르 쌍대성을 증명했다. 1954년 세르는 대수기하학에서 쓸 수 있는 층 이론을 처음으로 소개했다.[27]

알렉산더 그로텐디크는 범주론 및 호몰로지 대수학적인 기법으로 층의 개념을 재정의하고, 층 코호몰로지를 유도 함자를 통해 정의했다. 로제 고드망의 층 이론 교재[29] 출판 이후, 층 이론은 현대 수학의 주요 언어가 되었다.

층 이론은 토포스 이론으로 발전되었으며, 이는 내부적 논리학을 가지는 범주로서, 크립키-주아얄 의미론을 통해 의미론을 부여할 수 있다.

참조

[1] 서적 The Geometry of Schemes Springer 2006-04-06
[2] 서적 Sheaf theory Cambridge University Press
[3] 문서
[4] 웹사이트 Complex Analytic and Differential Geometry https://www-fourier.[...]
[5] 웹사이트 Variétés analytiques complexes et cohomologie http://www.inp.nsk.s[...]
[6] 웹사이트 differential geometry - Holomorphic functions on a complex compact manifold are only constants https://math.stackex[...] 2020-10-07
[7] 학술지 A Theorem on Compact Complex Manifolds
[8] 문서 SGA 4
[9] 문서
[10] 문서
[11] 문서
[12] 학술지 Théorie de Hodge : II http://www.numdam.or[...] 1971
[13] 학술지 Théorie de Hodge : III http://www.numdam.or[...] 1974
[14] 문서
[15] 문서
[16] 문서
[17] 웹사이트 Formalisme des intersections sur les schema algebriques propres http://library.msri.[...]
[18] 학술지 Homology with Local Coefficients
[19] 서적 A history of algebraic and differential topology 1900–1960 Birkhäuser
[20] 학술지 Un théorème de finitude concernant les variétés analytiques compactes https://gallica.bnf.[...]
[21] 학술지 Faisceaux algébriques cohérents http://www.mat.uniro[...]
[22] 학술지 Scientific report on the second summer institute, several complex variables. Part III. Algebraic sheaf theory
[23] 학술지 Sur quelques points d'algèbre homologique
[24] 문서 英語で麦類の穂束、書類の束、矢の束などを意味する
[25] 서적 P191 第7章 層 数学原論 斎藤毅著 東京大学出版会 2020年4月10日
[26] 문서
[27] 학술지 Faisceaux algébriques cohérents
[28] 학술지 Scientific report on the second summer institute, several complex variables. Part III. Algebraic sheaf theory 1956
[29] 서적 Topologie algébrique et théorie des faisceaux Hermann
[30] 학술지 L'anneau d'homologie d'une representation https://gallica.bnf.[...] 1946-05-27
[31] 학술지 Integrals of the Second Kind on an Algebraic Variety https://www.jstor.or[...] 1955-07
[32] 서적 輓近代数学の展望 1970


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