데자르그 정리
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1. 개요
데자르그 정리는 동일 평면에 있지 않은 두 삼각형의 대응 변 연장선들이 한 점에서 만날 때, 대응하는 꼭짓점을 연결한 세 직선 또한 한 점에서 만난다는 기하학 정리이다. 이 정리는 제라르 데자르그의 제자인 아브라함 보스가 1648년에 출판한 책에 수록되었으며, 3차원 이상의 사영 공간에서는 항상 성립한다. 2차원 사영 기하학에서는 데자르그 정리가 성립하는 데자르그 평면과 성립하지 않는 비데자르그 평면이 존재한다. 데자르그 정리는 파푸스 정리와 밀접한 관련이 있으며, 자기 쌍대성을 갖는 특징이 있다.
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| 데자르그 정리 | |
|---|---|
| 데자르그 정리 | |
 | |
| 분야 | 사영 기하학 |
| 이름의 유래 | 제라르 데자르그 |
| 설명 | |
| 내용 | 두 삼각형이 축 방향으로 투영되는 것과 중심 방향으로 투영되는 것은 동치이다. |
| 관련 개념 | |
| 쌍대 정리 | 데자르그 쌍대 정리 |
2. 내용
동일 평면상에 있지 않은 두 개의 삼각형, △ABC와 △abc에 대해, Aa와 Bb와 Cc가 한 점에서 만날 때, 직선 AB와 직선 ab, 직선 BC와 직선 bc, 직선 CA와 직선 ca의 교점을 각각 X, Y, Z라고 하면, X, Y, Z는 동일 직선상에 있다.[9]
데자르그 정리는 제라르 데자르그가 직접 발표하지는 않았지만, 그의 친구이자 제자인 아브라함 보스(1602–1676)가 1648년에 출판한 원근법 관련 서적의 부록에 "원근법 실습을 위한 M. 데자르그의 보편적인 방법"("Manière universelle de M. Desargues pour practiquer la perspective")이라는 제목으로 수록되었다.
데자르그 정리는 임의의 체 또는 사환체 위에서 정의된 임의 차원의 사영 공간에서 성립하며, 3차원 이상의 추상 사영 공간에서도 성립한다. 2차원에서 데자르그 정리가 성립하는 평면을 데자르그 평면이라고 하며, 이는 사환체 위에서 좌표를 부여할 수 있는 평면과 같다. 또한, 데자르그 정리가 성립하지 않는 비데자르그 평면도 많이 존재한다.
3. 역사
4. 증명
4. 1. 3차원 증명
두 삼각형이 동일 평면에 있지 않은 경우, 데자르그 정리는 다음과 같이 증명될 수 있다.
만약 두 삼각형이 동일 평면에 있다면, 평면에 없는 점을 선택하고, 이를 사용하여 삼각형을 평면에서 들어 올려 위와 같은 논리가 작동하도록 한 다음, 다시 평면으로 투영하여 증명할 수 있다.
이 증명의 마지막 단계는 사영 공간의 차원이 3보다 작은 경우 실패한다. 이 경우 평면에 없는 점을 찾을 수 없기 때문이다.
몽주 정리 또한 세 점이 한 선 위에 있다는 것을 주장하며, 이는 2차원보다는 3차원으로 고려하고 선을 두 평면의 교차점으로 표현하는 동일한 아이디어를 사용하여 증명할 수 있다.
4. 2. 2차원 증명
3차원 이상의 사영 공간에서는 데자르그 정리가 항상 성립한다. 하지만 2차원 사영기하학의 공리는 2차원 데자르그 정리와 독립적이므로, 2차원에서 데자르그 정리가 성립하지 않는 비데자르그 기하학(Non-Desarguesian geometry)을 구성할 수도 있고, 그러한 사영 평면을 비데자르그 평면(Non-Desarguesian plane)이라 한다. 반대로, 데자르그 정리가 성립하는 사영 평면을 데자르그 평면(Desarguesian plane)이라 한다. 대표적인 예로, 실수 사영 평면은 데자르그 평면이다.
데자르그 정리가 성립하지 않는 비데자르그 사영 평면이 존재하므로,[5] 이를 증명하기 위해서는 몇 가지 추가적인 조건이 충족되어야 한다. 이러한 조건들은 일반적으로 특정 유형의 충분히 많은 콜리네이션의 존재를 가정하는 형태로 나타나며, 이는 결국 기본적인 대수 좌표계가 나눗셈환(사체)이어야 함을 보여주는 것으로 이어진다.[6]
5. 자기 쌍대성
평면 사영 기하학의 표준 쌍대성(점↔선, 점의 공선성↔선의 공점성)에서 데자르그 정리의 명제는 자기 쌍대적이다.[3] 즉, 중심 사영성은 축 사영성으로 변환되고, 그 반대도 성립한다. 데자르그 구성은 자기 쌍대적 구성이다.[3]
역사적으로는 "사영 공간에서 중심 사영 삼각형 쌍은 축 사영이다"라고 표현되었으며, 이 명제의 쌍대는 데자르그 정리의 역으로 불렸다.[4]
6. 파푸스 정리와의 관계
헤센베르크(Hessenberg)는 데자르그 정리가 파푸스 육각형 정리의 세 번의 적용으로 유도될 수 있음을 보였다.[7][8] 그러나 그 역은 성립하지 않는데, 즉 모든 데자르그 평면이 파피안(Pappian) 평면(파푸스 정리가 항상 성립하는 평면)은 아니다. 파푸스 정리를 만족시키는 것은 기본 좌표계가 가환이라는 것과 동치이다. 비가환 나눗셈환(체(field)가 아닌 나눗셈환)에 정의된 평면은 데자르그 평면이지만 파피안 평면은 아니다. 그러나 웨더번의 작은 정리에 의해 모든 ''유한'' 데자르그 평면은 파피안 평면이다. 밤베르크(Bamberg)와 펜틸라(Penttila)는 웨더번의 작은 정리의 전체 강도가 아닌 "기본적인" 대수적 사실만 사용하는 증명을 제시했지만, 이 사실에 대한 알려진 완전한 기하학적 증명은 없다.
7. 데자르그 구성
데자르그 정리에 관련된 10개의 직선(삼각형의 여섯 변, 세 개의 직선 Aa|에이에이영어, Bb|비비영어, Cc|시시영어, 투시 축)과 10개의 점(6개의 꼭짓점, 투시 축 상의 세 개의 교점 및 투시 중심)은 10개의 직선 각각이 10개의 점 중 3개를 지나고, 10개의 점 각각이 10개의 직선 중 3개 위에 놓이도록 배열된다. 이 10개의 점과 10개의 직선은 데자르그 구성을 이루며, 이는 사영 기하학적 구성의 한 예이다. 데자르그 정리는 이 10개의 직선과 점에 대해 서로 다른 역할을 부여하지만, 데자르그 구성 자체는 더 대칭적이다. 즉, 10개의 점 중 ''어떤 점''이라도 투시 중심이 될 수 있으며, 이 선택에 따라 어떤 6개의 점이 삼각형의 꼭짓점이 되고 어떤 직선이 투시 축이 될지가 결정된다.
8. 작은 데자르그 정리
두 삼각형이 주어진 직선에서 한 점에서 관점을 공유하고, 대응하는 두 쌍의 변이 또한 이 직선에서 만난다면, 대응하는 세 번째 쌍의 변도 마찬가지로 이 직선에서 만난다는 정리이다. 이는 관점 중심이 관점 축 위에 놓이는 경우에 대한 데자르그 정리의 특수한 경우이다.
무팡 평면은 작은 데자르그 정리가 모든 직선에 대해 유효한 사영 평면이다.
9. 비데자르그 평면
3차원 이상의 사영 공간에서는 데자르그 정리가 항상 성립한다. 하지만 2차원 사영기하학의 공리는 2차원 데자르그 정리와 독립적이므로, 2차원에서 데자르그 정리가 성립하지 않는 비데자르그 기하학(Non-Desarguesian geometry)을 구성할 수 있다. 이러한 사영 평면을 비데자르그 평면(Non-Desarguesian plane)이라 한다.[5] 반대로, 데자르그 정리가 성립하는 사영 평면을 데자르그 평면(Desarguesian plane)이라 한다. 실수 사영 평면은 데자르그 평면의 대표적인 예이다.
2차원에서 데자르그 정리가 성립하는 평면은 데자르그 평면이며, 이는 사환체 위에서 좌표를 부여할 수 있는 평면과 같다. 데자르그 정리는 임의의 체 또는 사환체 위의 임의 차원 사영 공간과 차원이 3 이상인 추상 사영 공간에 대해 성립한다. 한편, 데자르그 정리가 성립하지 않는 많은 비데자르그 평면들이 존재한다.
공간의 차원이 2인 평면 사영 기하학에서는 사영 기하학의 공리와 데자르그 정리가 독립적인 명제이므로, 데자르그 정리가 성립하지 않는 비데자르그 기하(non-Desarguesian geometry)를 구성할 수 있다.
10. 좌표화
데자르그 정리를 만족하는 사영 공간은 체 또는 나눗셈환 위에서 정의된 사영 공간과 동형이다.[1] 이는 데자르그 정리가 추상적인 사영 기하학에서 중요한 이유 중 하나이다.[1] 3차원 이상의 사영 기하학은 어떤 체 ''D'' 상의 선형 공간의 1차원 부분 공간 전체가 만드는 통상의 사영 공간 '''P'''(''D'')와 같은 "계수를 갖는" 기하학임을 나타낸다.[1]
참조
[1]
harvtxt
[2]
harvtxt
[3]
harv
[4]
harv
[5]
harvnb
[6]
harv
[7]
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[8]
harvnb
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서적
晩年の思想
岩波文庫
[10]
서적
해석기하학과 사영기하학
교우사
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