브리앙숑 정리

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1. 개요
2. 정식화
3. 파스칼 정리와의 관계
4. 퇴화
- 4.1. 삼각형의 경우
5. 아핀 평면에서의 브리앙숑 정리
6. 증명
참조

1. 개요

브리앙숑 정리는 원뿔 곡선의 여섯 개의 접선으로 이루어진 육각형에서, 마주보는 꼭지점을 연결하는 세 개의 대각선이 한 점에서 만난다는 기하학적 정리이다. 이 정리는 파스칼 정리와 쌍대 관계에 있으며, 퇴화 형태를 통해 삼각형의 내접원에 대한 성질을 나타낸다. 브리앙숑 정리는 아핀 평면과 실수 투영 평면에서 모두 성립하며, 근축 또는 반전을 통해 증명할 수 있다.

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브리앙숑 정리
정리 정보
이름	브리앙숑 정리
분야	기하학
설명	원뿔 단면에 접하는 육각형의 세 개의 긴 대각선은 한 점에서 만난다.
역사적 배경
창시자	샤를 브리앙숑
발표년도	1806년
관련정리	파스칼의 정리 (쌍대 정리)
내용
명제	원뿔 곡선에 외접하는 임의의 육각형에서, 마주보는 꼭짓점을 연결하는 세 개의 대각선은 공점선이다. 즉, 한 점에서 만난다.
조건	육각형이 원뿔 곡선에 외접해야 한다.
기하학적 의미	원뿔 곡선과 육각형의 접점 위치에 관계없이 성립한다.
활용
응용 분야	사영 기하학, 대수 기하학
파스칼 정리와의 관계	파스칼 정리의 쌍대 정리로서, 점과 선의 역할을 바꾸어 얻을 수 있다.
참고 사항
특이 사례	육각형이 정육각형인 경우에도 성립한다.
일반화	더 일반적인 곡선에 대해서도 유사한 정리가 존재할 수 있다.

2. 정식화

육각형 $P_1P_2P_3P_4P_5P_6$ 가 원뿔 곡선의 여섯 개의 접선으로 이루어져 있다고 하자. 그러면 선 $\overline{P_1P_4},\; \overline{P_2P_5},\; \overline{P_3P_6}$ (각각 반대편 꼭짓점을 연결하는 연장된 대각선)는 단일 점 $B$ , 즉 '''브리앙숑 점'''에서 교차한다.^[1]^[2]

3. 파스칼 정리와의 관계

이 정리의 극 반전과 사영쌍대는 파스칼의 정리를 제공한다.^[1]

4. 퇴화

파스칼 정리와 마찬가지로 브리앙숑 정리에도 '퇴화'가 존재한다. 두 인접한 접선이 일치한다고 가정하면, 그 교차점은 원뿔 곡선의 점이 된다.

4. 1. 삼각형의 경우

파스칼 정리와 마찬가지로 브리앙숑 정리에도 ''퇴화''가 존재한다. 두 인접한 접선이 일치한다고 가정하면, 그 교차점은 원뿔 곡선의 점이 된다. 그림에서 세 쌍의 인접한 접선이 일치한다. 이 절차는 삼각형의 내접원에 대한 명제를 도출한다. 사영적 관점에서 두 삼각형

P_1P_3P_5

와

P_2P_4P_6

는 중심

B

를 기준으로 투시적으로 놓여 있다. 즉, 한 삼각형을 다른 삼각형에 매핑하는 중심 콜리네이션이 존재한다. 그러나 이 콜리네이션은 특별한 경우, 예를 들어 브리앙숑 점이 무게중심인 슈타이너 내접원인 경우에만 아핀 스케일링이다.

육각형을 삼각형으로 퇴화시키면 원뿔 곡선은 그 삼각형의 내접원뿔곡선이 된다. 특히 타원의 경우 내접 타원이 된다. 이 때

P_1P_4

,

P_2P_5

,

P_3P_6

의 교점은 브리앙숑 점 또는 핵심이라고 불린다.^[17]

5. 아핀 평면에서의 브리앙숑 정리

브리앙숑 정리는 아핀 평면과 실수 투영 평면 모두에서 성립한다. 그러나 아핀 평면에서의 명제는 어떤 의미에서는 덜 유익하고 투영 평면에서의 명제보다 더 복잡하다. 예를 들어, 포물선에 접하는 다섯 개의 접선을 생각해 보자. 이들은 여섯 번째 변이 무한대 선인 육각형의 변으로 간주될 수 있지만, 아핀 평면에는 무한대 선이 없다. 두 경우에서 (존재하지 않는) 꼭짓점에서 반대쪽 꼭짓점까지의 선은 다섯 개의 접선 중 하나와 "평행한" 선이 될 것이다. 따라서 아핀 평면에 대해서만 명시된 브리앙숑 정리는 그러한 상황에서 다르게 진술되어야 할 것이다.^[1]

브리앙숑 정리의 투영 쌍대는 아핀 평면에서는 예외가 있지만 투영 평면에서는 예외가 없다.^[1]

6. 증명

근축 또는 반전에 의해 증명될 수 있다.^[18]

이를 증명하기 위해 임의의 길이를 취하여 접점에서 시작하는 접선에 옮긴다. PL = RJ = QH = MN 등. 육각형의 반대편에 있는 접점 (H,W), (J,V) 및 (L,Y)에서 각각 원 a, b, c를 그린다. 세 개의 원을 쌍으로 취했을 때, 교차하는 선이 각각 세 원의 근축 ab, bc, ca와 일치한다는 것을 쉽게 알 수 있다. 따라서 O는 이 세 원의 근심과 일치한다.

이 정리는 외접 가능한 오각형의 경우, 예를 들어 R과 Q가 F와 일치하는 경향이 있을 때, 즉 AFE가 F에서의 접선으로 변환되는 경우에 특수한 형태를 띤다. 그런 다음 T, C 및 U 지점을 유사하게 식별하면 사각형에 대한 해당 정리를 얻을 수 있다.

원의 경우 브리앙숑 정리는 근축을 응용하여 증명된다.^[18] 임의의 길이의 선분을 접점을 기점으로 접선상에 취한다. 이때 접점이 아닌 쪽의 선분 끝과 반대쪽 접선의, 접점이 아닌 쪽의 선분 끝에서 접선에 접하는 원을 그린다. 이렇게 해서 만들어진 3개의 원의 근축은 피토의 정리로부터 육각형의 꼭짓점과 반대편 점을 연결한 직선이라는 것을 알 수 있다. 근축 정리에 의해 이 3개의 선은 한 점(근심)에서 교차한다.

참조

_[1] 서적 Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions http://www.forgotten[...] Forgotten Books 2012
_[2] 서적 Projective Geometry Springer-Verlag
_[3] 웹사이트 平面幾何の美しい定理4つ https://manabitimes.[...] 2024-06-30
_[4] 웹사이트 Brianchon's Theorem https://mathworld.wo[...] 2024-06-30
_[5] 웹사이트 brianchon's theorem https://www.bing.com[...] 2024-06-30
_[6] 웹사이트 ブリアンションの定理とは？意味や使い方 https://kotobank.jp/[...] 2024-06-30
_[7] 웹사이트 Brianchon theorem - Encyclopedia of Mathematics https://encyclopedia[...] 2024-06-30
_[8] 서적 The Penguin dictionary of curious and interesting geometry http://archive.org/d[...]
_[9] 서적 Introduction To Higher Geometry http://archive.org/d[...] 1920
_[10] 서적 A sequel to the first six books of the Elements of Euclid, containing an easy introduction to modern geometry, with numerous examples http://archive.org/d[...] Dublin : Hodges, Figgis & co. 1886
_[11] 서적 The Ruler In Geometrical Constructions (Popular Lectures In Mathematics Vol. 5) http://archive.org/d[...] 1961
_[12] 간행물 An Extension of Pascal's Theorem https://www.jstor.or[...] 1929
_[13] 웹사이트 Modern geometry; an elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle https://hdl.handle.n[...] 2024-06-30
_[14] 서적 Excursions in geometry http://archive.org/d[...] New York : Dover Publications 1990
_[15] 웹사이트 Geometry Revisited https://www.cambridg[...] 2024-06-30
_[16] 서적 Gesammelte Werke http://archive.org/d[...] Leipzig: S. Hirzel 1885
_[17] 서적 重心座標による幾何学 현대수학사 2014
_[18] 웹사이트 Brianchon http://users.math.uo[...] 2024-06-30

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