계수

1. 개요

계수는 수학, 물리학, 화학 등 다양한 분야에서 사용되는 개념으로, 식의 특정 항에 곱해지는 상수 또는 매개변수를 의미한다. 수학에서는 다항식, 급수, 식 등에서 항의 곱셈 인자를 지칭하며, 최고차 계수, 주계수, 푸리에 계수 등이 있다. 선형대수학에서는 선형 방정식계의 계수 행렬이나 기약행사다리꼴 행렬의 최고차 계수를 다룬다. 물리학에서는 만유인력 상수, 반발 계수 등, 화학에서는 반응 속도 상수 등 다양한 물리량 간의 관계를 나타내는 데 사용된다.

2. 수학에서의 계수

수학에서 계수는 다항식, 급수 또는 임의의 식에서 항의 곱셈 인자이다. 예를 들어, 변수 $x$와 $y$를 갖는 다항식
$$7x^2-3xy+1.5+y,$$
에서 처음 두 항의 계수는 7과 −3이다. 세 번째 항 1.5는 상수 계수이다. 마지막 항의 계수는 1이며 명시적으로 쓰이지 않는다.

많은 경우 계수는 숫자이지만, 문제의 매개변수 또는 이러한 매개변수의 표현식일 수 있다. 이러한 경우 변수를 나타내는 기호와 매개변수를 나타내는 기호를 명확하게 구분해야 한다. 르네 데카르트를 따라 변수는 종종 $x$, $y$, ...로 표시되고 매개변수는 $a$, $b$, $c$, ...로 표시되지만 항상 그런 것은 아니다. 예를 들어, 위 식에서 $y$가 매개변수로 간주되면 $x$의 계수는 $-3y$가 되고 ($x$에 대한) 상수 계수는 $1.5\; +\; y$가 된다.

다음과 같이 작성할 때
$$ax^2+bx+c,$$
일반적으로 $x$가 유일한 변수이고 $a$, $b$ 및 $c$가 매개변수로 가정된다. 따라서 이 경우 상수 계수는 $c$이다.

변수 x와 상수 2가 곱셈에 의해 결합된 항 2x를 생각할 때, 상수에 해당하는 2가 이 항의 계수이다.

두 개의 변수 a, b에 대해, 이항식 a + b의 거듭제곱을 전개하여 얻어지는 다항식
:$(a+b)^n\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{n\}\; \{n\; \backslash choose\; k\}a^\{n-k\}b^k$
의 계수로 이항 계수가 정의된다.

2.1. 다항식의 계수

다항식 p(X) = a_k X^k + … + a₁ X + a₀에서, 수 a₀ … a_k는 p의 계수라고 불린다. 또한, 최고차항의 계수 a_k는 p의 주계수 (leading coefficient)라고도 불린다. 멱급수에 대해서도 마찬가지로 그 계수를 생각할 수 있다. 반대로, 주어진 수열에 대해 그것을 계수로 하는 다항식이나 멱급수는 그 수열의 생성 함수라고 불린다. 생성 함수가 만족하는 다양한 함수 등식은 원래 수열의 규칙성을 반영한다.

단일 변수 x의 모든 다항식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $$a\_k\; x^k\; +\; \backslash dotsb\; +\; a\_1\; x^1\; +\; a\_0$$

여기서 $k$는 음이 아닌 정수이고 $a\_k,\; \backslash dotsc,\; a\_1,\; a\_0$는 계수이다. 여기에는 일부 항의 계수가 0일 가능성이 포함된다. 예를 들어, $x^3\; -\; 2x\; +\; 1$에서 $x^2$의 계수는 0이고 항 $0x^2$는 명시적으로 나타나지 않는다. $a\_i\; \backslash ne\; 0$인 가장 큰 $i$에 대해 (있는 경우), $a\_i$는 다항식의 최고차 계수라고 한다. 예를 들어, 다항식

: $$4x^5\; +\; x^3\; +\; 2x^2$$

의 최고차 계수는 4이다. 이는 단항식 순서에 따라 다변수 다항식으로 일반화될 수 있다.

2.2. 선형대수학에서의 계수

선형 대수학에서, 기약행사다리꼴 행의 최고차 계수는 행에서 0이 아닌 첫 번째 값이다. 때때로, 선행 계수 또는 피벗(pivot)으로 부른다.

예를 들어, 주어진 행렬