나눗셈환

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1. 개요

나눗셈환은 환의 모든 0이 아닌 원소가 가역원이며 자명환이 아닌 환을 의미한다. 나눗셈환은 왼쪽 아이디얼, 오른쪽 아이디얼, 양쪽 아이디얼의 개수가 각각 두 개인 환과 동치이며, 모든 가군이 자유 가군이다. 모든 가환 나눗셈환은 체이며, 유한 나눗셈환은 유한체이다. 나눗셈환의 중심은 체를 이루며, 체, 나눗셈환, 단순환, 국소환, 환의 포함 관계를 갖는다. 나눗셈환은 아르틴 환과 뇌터 환이며, 가우스 소거법을 적용할 수 있다. 웨더번 소정리에 따르면 모든 유한 나눗셈환은 유한체이며, 프로베니우스 정리에 의해 실수에 대한 유한 차원 결합 나눗셈 대수는 실수, 복소수, 사원수뿐이다. 브라우어 군은 나눗셈환을 분류하는 데 사용된다.

나눗셈환

수학적 속성

정의	0이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 갖는 환
영어 명칭	Division ring
독일어 명칭	Divisionsring, Schiefkörper
프랑스어 명칭	Corps, Corps Gauche
관련 개념	체 (가환 나눗셈환)

예시

사원수	사원수 체 (해밀턴이 발견)
유한체	모든 유한체는 웨더번의 작은 정리에 의해 가환체임
복소수체	복소수는 가환 나눗셈환 (체)임

성질

가환성	곱셈의 가환성이 성립하면 체가 됨
중심	나눗셈환의 중심은 체가 됨
유한 차원	체 위의 유한 차원 나눗셈환은 아르틴-웨더번 정리에 따라 행렬환과 동형임

연산

나눗셈	나눗셈이 자유롭게 가능함 (0으로 나누는 경우 제외)
곱셈 역원	0이 아닌 모든 원소는 곱셈에 대한 역원을 가짐

역사

어원	나눗셈이 자유롭게 가능하다는 의미에서 유래

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 화뤄겅 정리
4. 분류
- 4.1. 브라우어 군
5. 예시
6. 역사
7. 한국 수학계의 관점

2. 정의

환 $R$ 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 나눗셈환이라고 한다.

* $R$ 의 모든 0이 아닌 원소는 가역원이며, $R$ 는 자명환이 아니다.
* $R$ 는 정확히 두 개의 왼쪽 아이디얼을 갖는다.
* $R$ 는 정확히 두 개의 오른쪽 아이디얼을 갖는다.
* $R$ 는 정확히 두 개의 양쪽 아이디얼을 갖는다.
* $R$ 위의 모든 왼쪽 가군이 자유 가군이며, $R$ 는 자명환이 아니다.
* $R$ 위의 모든 오른쪽 가군이 자유 가군이며, $R$ 는 자명환이 아니다.

3. 성질

모든 가환 나눗셈환은 체이다. 웨더번 정리에 따라, 모든 유한 나눗셈환은 유한체이다. 나눗셈환의 중심은 체를 이룬다. 나눗셈환에 대한 가군은 모두 자유 가군이며, 선형대수학으로 완전히 다룰 수 있다.

나눗셈환에서는 왼쪽 아이디얼, 오른쪽 아이디얼, 양쪽 아이디얼의 개념이 일치하며, 영 아이디얼과 전체 아이디얼밖에 없다.

3.1. 화뤄겅 정리

나눗셈환 $D$ 속의 두 가역원 $a,b\in D\setminus\{0,1\}$ 에 대하여, 화뤄겅 항등식(Hua’s identity^영어)은 다음과 같다.
: $a-\frac1{1/a+(1/b-a)^{-1}}=aba$
이를 사용하여, 다음과 같은 화뤄겅 정리(Hua’s theorem^영어)를 증명할 수 있다. 두 나눗셈환 사이의 함수 $f\colon D\to D'$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $f$ 는 환 준동형 $D\to D'$ 또는 환 준동형 $D\to D'^{\operatorname{op}}$ 을 정의한다. (여기서 $(-)^{\operatorname{op}}$ 는 반대환을 뜻한다.)
* $f$ 는 다음 세 조건들을 만족시킨다.
$f(a+b)=f(a)+f(b)$
$f(1)=1$
** $f(a^{-1})=f(a)^{-1}\qquad\forall a\ne0$

4. 분류

아르틴 나눗셈환(즉, 중심 위의 유한 차원 단위 결합 대수를 이루는 나눗셈환)은 아르틴-웨더번 정리와 브라우어 군을 통해 분류할 수 있다. 아르틴-웨더번 정리에 따르면, $K$ 위의 단위 결합 대수 $A$ 는 표준적으로 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

: $A\cong\operatorname{Mat}(n;D)$

여기서 $n\in\mathbb N$ 은 자연수이며, $D$ 는 $K$ 위의 유한 차원 단위 결합 대수인 나눗셈환이다.

사체 D의 중심
: $C(D) := \{ x \in D \mid xy = yx \mbox{ for all } y \in D\}$
는 가환체를 이루며, D는 중심 C(D) 위의 다항환이 된다.

가환체 F 위의 유한 차수(즉, 벡터 공간으로서 유한 차원)가 되는 사체 D의 F 위의 차원은 제곱수 n²이며, 이 n을 D의 F 위의 차수라고 부른다. 차수 n은 D에서 F를 포함하는 극대 가환체 L의 F 위의 차원으로 얻어진다.

어떤 종류의 사체는 아르틴 환의 극소 아이디얼 위의 자기 준동형 사상환으로 얻어진다. 일반적으로 임의의 환 위의 기약 가군의 자기 준동형 사상환이 사체를 이룬다는 것을 확인할 수 있으며, 이를 슈어의 보조정리라고 부른다.

4.1. 브라우어 군

체 $K$ 위의 중심 단순 대수들의 브라우어 동치류는 브라우어 군(Brauer group^영어) $\operatorname{Br}(K)$ 을 이룬다.

$K$ 위의 단위 결합 대수 $A\cong\operatorname{Mat}(m;D)$ , $B\cong\operatorname{Mat}(n;D)$ 가 같은 나눗셈환 위의 행렬환이라면 서로 브라우어 동치(Brauer-equivalent^영어)라고 한다. 모든 브라우어 동치류는 정확히 하나의 나눗셈환을 포함하며, 따라서 브라우어 동치류는 $K$ -중심 단순 대수인 나눗셈환과 일대일 대응한다.

브라우어 동치 관계는 $K$ -텐서곱 구조를 보존하며, 따라서 브라우어 동치류들은 모노이드를 이룬다. 이 모노이드는 항상 군을 이룬다. 브라우어 군에서의 역원은 반대환 $D^{-1}=D^{\operatorname{op}}$ 이며, 항등원은 $K$ 자체이다.

5. 예시

모든 체(실수체, 복소수체, p진수체, 유한체 등)는 나눗셈환이다. 사원수는 비가환 나눗셈환의 예이다. 사원수를 구성할 때 실수 계수 대신 유리수 계수만 사용하면 또 다른 나눗셈환을 얻을 수 있다.

대표적인 체 위의 브라우어 군은 다음과 같다.

👆

좌우로 밀어서 보기

K>\| 브라우어 군 $\operatorname{Br}K$
대수적으로 닫힌 체	자명군
유한체 $\mathbb F_{p^n}$	자명군
실수체 $\mathbb R$	2차 순환군 $\operatorname{Cyc}(2)$
p진수체 $\mathbb Q_p$	덧셈군 $\mathbb Q/\mathbb Z$
유리수체 $\mathbb Q$	$\operatorname{Br}(\mathbb R)\oplus\bigoplus_{p=2,3,5,\dots}\operatorname{Br}(\mathbb Q_p)$ 의 몫군

5.1. 실수체 위의 나눗셈환

프로베니우스 정리에 따르면, 실수체 위의 아르틴 나눗셈 대수는 실수체, 복소수체, 사원수환 세 개뿐이다.

5.2. p진수체 위의 나눗셈환

소수 $p$ 에 대하여, p진수체 $\mathbb Q_p$ 의 브라우어 군은 $\mathbb Q/\mathbb Z$ 와 동형이다. (이는 유체론을 사용하여 계산할 수 있다.) 즉, $\mathbb Q_p$ 를 중심으로 하는 유한 차원 나눗셈환들은 가산 무한 개이다. $[1/n]\in\mathbb Q/\mathbb Z$ 에 대응하는 나눗셈환의 차원은 $n^2$ 이다.

5.3. 유한체 위의 나눗셈환

웨더번 소정리(Wedderburn小定理, Wedderburn’s little theorem^영어)에 따르면, 유한환인 나눗셈환은 모두 유한체이다. 사실, 유한환인 영역은 모두 유한체이다. 이는 영역 $R$ 에서 임의의 0이 아닌 원소 $r\in R\setminus\{0\}$ 가 단사 함수 $r\cdot\colon D\setminus\{0\}\to D\setminus\{0\}$ 를 정의하며, $D$ 가 유한 집합일 경우 이는 전단사 함수가 되기 때문이다.

(가환일 필요는 없는) 유한 정역은 가환체이다(웨더번의 소정리).

6. 역사

1878년에 독일의 수학자 페르디난트 게오르크 프로베니우스가 프로베니우스 정리를 증명하였다.

1905년에 스코틀랜드의 수학자 조지프 웨더번이 웨더번 소정리의 증명을 발표하였으나, 이 증명에는 결함이 있었다. 미국의 수학자 레너드 유진 딕슨이 최초로 올바른 증명을 발표하였다.

리하르트 브라우어는 1920~1930년대에 브라우어 군을 정의하였다.

7. 한국 수학계의 관점

한국에서 나눗셈환은 '사체'라고 불리며, 이는 비가환체를 의미하기도 한다. 웨더번 소정리에 의해 모든 유한 나눗셈환은 유한체, 즉 가환체이므로, 한국에서는 "유한체"라는 용어를 더 일반적으로 사용한다. 비가환 나눗셈환의 대표적인 예시로는 사원수환이 있으며, 이는 한국의 대수학 교과 과정에서도 중요하게 다루어진다.