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등각 벡터장

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목차

1. 개요

등각 벡터장은 일반화 리만 다양체 위에서 작용하는 벡터장과 스칼라장의 순서쌍으로, 리만 계량을 특정 방식으로 변화시키는 벡터장이다. 등각 벡터장 (X, \phi)은 리 대수 \mathcal L_X g = \phi g를 만족하며, 여기서 \phi는 등각 인자라고 불린다. 등각 벡터장은 킬링 벡터장과 닮음 벡터장을 일반화한 개념이며, 킬링 벡터장, 닮음 벡터장, 등각 벡터장의 관계는 포함 관계를 갖는다. 등각 인자가 되기 위한 필요충분 조건은 특정 미분 방정식을 만족하는 것이며, 2차원에서는 등각 인자가 조화 함수인 것과 동치이다.

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등각 벡터장

2. 정의

일반화 리만 다양체 (M,g) 위에서 닮음 벡터장과 등각 벡터장은 다음과 같이 정의된다.


  • 닮음 벡터장: 벡터장 X\in\Gamma(\mathrm TM)과 실수 c\in\mathbb R의 순서쌍 (X,\phi)으로 표현된다.
  • 등각 벡터장: 벡터장 X\in\Gamma(\mathrm TM)과 스칼라장 \phi\in\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)의 순서쌍 (X,\phi)으로 표현된다.[1]


c=0인 경우, 즉 \phi가 상수 함수인 경우 X는 킬링 벡터장이 된다. 따라서 등각 벡터장은 킬링 벡터장과 닮음 벡터장을 일반화한 것이다.

2. 1. 닮음 벡터장

일반화 리만 다양체 (M,g) 위의 '''닮음 벡터장'''(homothetic vector field영어) (X,\phi)는 벡터장 X\in\Gamma(\mathrm TM)과 실수 c\in\mathbb R의 순서쌍으로, 다음을 만족시킨다.

:\mathcal L_Xg=cg

:\nabla_\mu X_\nu+\nabla_\nu X_\mu=cg_{\mu\nu}

만약 c=0인 경우 X는 킬링 벡터장이 되므로, 닮음 벡터장은 킬링 벡터장을 일반화한 것이다.

2. 2. 등각 벡터장

일반화 리만 다양체 (M,g) 위의 '''등각 벡터장'''(conformal vector field영어) (X,\phi)는 벡터장 X\in\Gamma(\mathrm TM)과 스칼라장 \phi\in\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)의 순서쌍으로, 다음을 만족시킨다.[1]

:\mathcal L_Xg=\phi g

:\nabla_\mu X_\nu+\nabla_\nu X_\mu=\phi g_{\mu\nu}

여기서 스칼라장 \phi는 '''등각 인자'''(等角因子, conformal factor영어)라고 불린다. 만약 \phi가 상수 함수인 경우는 X는 닮음 벡터장이므로, 등각 킬링 벡터장은 킬링 벡터장과 닮음 벡터장을 일반화한 것이다.

3. 성질

킬링 벡터장, 닮음 벡터장, 등각 벡터장은 서로 포함 관계를 가진다.[1]

3. 1. 벡터장 간의 관계

개념킬링 벡터장⇒닮음 벡터장⇒등각 벡터장⇒벡터장
등각 킬링 인자가 …0상수 함수임의의 스칼라 함수(없음)


3. 2. 등각 인자의 조건

d차원 일반화 리만 다양체에서 어떤 스칼라장 \phi가 등각 인자가 될 필요충분조건은 다음과 같다.[1]

:\left((d-2)\nabla_\mu\nabla_\nu+g_{\mu\nu}g^{\rho\sigma}\nabla_\rho\nabla_\sigma\right)\phi=0

위 조건을 g^{\mu\nu}로 축약시키면, 모든 차원에서 등각 인자들은 라플라스-벨트라미 연산자 g^{\mu\nu}\nabla_\mu\nabla_\nu에 대한 조화 함수인 것을 알 수 있다. d=2인 경우에는 이 조건이 필요충분조건이다. 즉, 등각 인자일 조건은 조화 함수인 조건과 동치이다.


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