등시 곡선

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1. 개요
2. 등시 곡선 문제
- 2.1. 호이겐스의 증명
- 2.2. 사이클로이드 진자
3. 등시 곡선 문제의 해법
4. 최단강하곡선 문제와의 관계
5. 참고 문헌
참조

1. 개요

등시 곡선은 물체가 곡선을 따라 중력의 영향으로 움직일 때, 시작 지점에 관계없이 최하점에 도달하는 데 동일한 시간이 걸리는 곡선을 의미한다. 크리스티안 호이겐스는 1659년에 이 문제를 해결하고, 1673년에 사이클로이드가 등시 곡선임을 기하학적으로 증명했다. 이후 조제프루이 라그랑주와 레온하르트 오일러가 해석적인 해법을 제시했으며, "가상 중력" 개념과 아벨의 적분 방정식을 활용한 해법도 존재한다. 등시 곡선은 최단강하곡선 문제와 밀접한 관련이 있으며, 현대 과학 및 공학 분야에서 응용된다.

2. 등시 곡선 문제

크리스티안 호이겐스는 1659년에 등시 곡선 문제, 즉 등시 곡선이 어떤 곡선인지를 식별하는 문제를 해결했다. 그는 1673년에 출판된 저서 ''진동시계|Horologium Oscillatorium^la''에서 등시 곡선이 사이클로이드임을 기하학적으로 증명했다.^[1]

호이겐스는 진자가 원호를 따라 움직일 때 등시성을 갖지 않음을 발견하고, 이 문제를 해결하기 위해 사이클로이드 진자를 고안했다.

이후 이 해는 최속 강하 곡선 문제 해결에 활용되었다. 야코프 베르누이는 최속 강하 곡선 문제를 해석학을 사용하여 풀었고, 적분이라는 용어가 처음으로 사용된 논문 (''학술 행위|Acta Eruditorum^la'', 1690)에서 발표했다.^[3]

이후 조제프루이 라그랑주와 레온하르트 오일러가 이 문제를 해석적으로 풀었다.

2. 1. 호이겐스의 증명

크리스티안 호이겐스는 1659년에 등시 곡선 문제, 즉 이 곡선이 어떤 곡선인지를 밝혀냈다. 그는 1673년에 출판된 저서 ''진동시계, 또는 진자 운동에 관한 기하학적 증명''에서 이 곡선이 사이클로이드 곡선임을 기하학적으로 증명했다.^[1]

사이클로이드 곡선은 반지름

r

인 원 위의 점이 원이

x

축을 따라 굴러갈 때 그리는 곡선으로, 다음과 같이 표현된다.

\begin{align}

호이겐스는 또한 하강 시간이 사이클로이드 곡선을 생성하는 원의 지름과 같은 거리를 수직으로 낙하하는 데 걸리는 시간에

\pi / 2

를 곱한 것과 같다는 것을 증명했다. 현대 용어로는 하강 시간이

\pi \sqrt{r/g}

임을 의미하며, 여기서

r

은 사이클로이드 곡선을 생성하는 원의 반지름이고,

g

는 지구 중력, 또는 보다 정확하게는 지구의 중력 가속도이다.

2. 2. 사이클로이드 진자

크리스티안 호이겐스는 원 궤도를 따르는 진자가 등시성을 갖지 않아 진자 시계가 진자의 흔들림 정도에 따라 다른 시간을 나타낸다는 것을 알게 되었다. 그는 정확한 경로를 찾기 위해 줄을 사용하여 추를 매달고, 줄 상단 근처에 볼록한 면을 설치하여 경로를 등시 곡선으로 변경하는 진자 시계를 만들려고 시도했다. 그러나 이러한 시도는 다음과 같은 여러 가지 이유로 실용적이지 않았다.^[1]

줄의 굽힘은 마찰을 일으켜 진자의 운동 시간에 영향을 주었다.
등시 곡선을 따라 이동하는 것이 이론적으로는 진자의 운동 시간을 개선하지만, 실제로는 다른 더 큰 오차 요인들이 존재했다.
진자의 "원형 오차"는 흔들림의 길이가 감소함에 따라 감소하므로, 더 나은 시계 이탈 장치를 통해 이 오차를 크게 줄일 수 있었다.

결론적으로, 호이겐스의 사이클로이드 진자는 진자의 등시성을 확보하려는 시도였지만, 실제로는 큰 효과를 보지 못했다.

3. 등시 곡선 문제의 해법

등시 곡선 문제는 여러 수학자들에 의해 다양한 방법으로 해석되었다.

조제프루이 라그랑주는 라그랑주 역학을 이용하여 등시 곡선 문제를 해석적으로 해결했다. 그는 질점의 위치 에너지를 호의 길이 함수로 표현하고, 운동 에너지와 위치 에너지의 관계를 이용해 미분 방정식을 유도하여 사이클로이드 곡선의 매개변수 방정식을 얻었다.^[1]

"가상 중력" 해법에서는 90° 수직 경사면의 입자는 완전한 중력 가속도 g를 받지만, 수평면의 입자는 0의 중력 가속도를 받는다는 점을 이용했다. 여기서 g는 g^영어를 한국어로 번역한 것이다. 중간 각도에서 입자에 의한 "가상 중력"에 의한 가속도는 gsinθ^영어이며, 여기서 θ^영어는 곡선의 접선과 수평선 사이에서 측정되며, 수평선 위의 각도는 양의 각도로 취급된다.

닐스 헨리크 아벨은 등시 곡선 문제(''아벨의 역학 문제'')를 일반화하여, 주어진 시작 높이에 대해 총 하강 시간을 나타내는 함수 $T(y)$ 가 주어졌을 때, 이 함수에 대응하는 곡선의 방정식을 찾는 문제를 제시했다. 아벨의 해법은 에너지 보존 원리에 기반한다.

3. 1. 라그랑주의 해법

조제프루이 라그랑주는 라그랑주 역학을 이용하여 등시 곡선 문제를 해석적으로 해결했다. 질점의 위치 에너지를 호의 길이의 함수로 표현하고, 운동 에너지와 위치 에너지의 관계를 이용하여 미분 방정식을 유도했다. 이 미분 방정식을 풀어 사이클로이드 곡선의 매개변수 방정식을 얻었다.^[1]

먼저, 입자의 위치를 최저 지점으로부터의 호의 길이 ''s''(''t'')로 매개변수화하면, 운동 에너지는

\dot{s}^2

에 비례하고, 위치 에너지는 높이 ''h''(''s'')에 비례한다. 곡선이 등시성을 가지려면 라그랑지안이 단순 조화 진동자와 수학적으로 동일해야 한다. 즉, 곡선의 높이는 호의 길이의 제곱에 비례해야 한다.^[1]

:

h(s) = s^2/(8r)

여기서 비례 상수는

1/(8r)

이다. 라그랑지안과 비교하면, 등가 스프링 상수는

k=mg/(4r)

이고, 하강 시간은

T/4=\frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{m}{k}}=\pi \sqrt{\frac{r}{g}}

이다. 그러나 상수

r

의 물리적 의미는 곡선의 정확한 해석적 방정식을 결정할 때까지 명확하지 않다.^[1]

곡선의 해석적 방정식을 풀기 위해, 위 관계의 미분 형태는 다음과 같다.

:

\begin{align}dh &= s \,ds/(4r), \\dh^2 &= s^2 \,ds^2/(16r^2) = h \left(dx^2 + dh^2\right)/(2r),\\\left(\frac{dx}{dh}\right)^2&=\frac{2r}{h}-1\end{align}

여기서 ''s''가 제거되고, ''dx''와 ''dh''에 대한 미분 방정식이 남는다. 이는 수직 좌표 ''h''가 첨점 대신 꼭짓점(수평 접선이 있는 점)에서 계산될 때의 사이클로이드에 대한 미분 방정식이다.^[1]

해를 구하기 위해, ''h''에 대한 ''x''에 대해 적분한다.

:

\begin{align}\frac{dx}{dh} &= -\frac{\sqrt{2r-h}}{\sqrt{h}}, \\x &= -4r\int \sqrt{1-u^2} \, du,\end{align}

여기서

u = \sqrt{h/(2r)}

이고, 입자가 앞으로 이동함에 따라 높이가 감소한다(

dx/dh<0

). 이 적분은 원 아래의 면적이며, 다른 치환

u=\cos (t/2)

을 사용하여 수행할 수 있으며, 다음을 생성한다.^[1]

:

\begin{align}x &=r(t - \sin t), \\h &=r(1 + \cos t).\end{align}

이것은

h=2r-y

인 사이클로이드의 표준 매개변수화이다. 호의 길이의 제곱이 높이 차이에 전체 아치 길이

8r

을 곱한 것과 같다.^[1]

3. 2. "가상 중력" 해법

90° 수직 경사면의 입자는 완전한 중력 가속도 g^영어를 받지만, 수평면의 입자는 0의 중력 가속도를 받는다. 중간 각도에서 입자에 의한 "가상 중력"에 의한 가속도는 gsinθ^영어이다. 여기서 θ^영어는 곡선의 접선과 수평선 사이에서 측정되며, 수평선 위의 각도는 양의 각도로 취급된다. 따라서 θ^영어는 -π/2^영어에서 π/2^영어까지 변화한다.

등시 곡선 s(t)^영어를 따라 측정된 질점의 위치는 다음 미분 방정식을 따라야 한다.

:

\frac{d^2s}{dt^2} = - \omega^2s

초기 조건 s(0)=s_0^영어 및 s'(0)=0^영어과 함께, 이 방정식의 해는 다음과 같다.

:

s(t) = s_0 \cos \omega t

이 해가 미분 방정식을 해결하고 입자가 임의의 시작 위치 s_0^영어에서 시간 π/2ω^영어에 s=0^영어에 도달한다는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 이제 위와 같은 운동을 질점이 따르게 할 곡선을 구성하는 문제가 남았다. 뉴턴의 운동 제2법칙은 중력의 힘과 질점의 가속도가 다음과 같이 관련되어 있음을 보여준다.

:

g \sin \theta = \frac{d^2s}{dt^2} = - \omega^2 s

거리 s^영어가 명시적으로 나타나는 것은 문제가 있지만, 더 관리하기 쉬운 형식을 얻기 위해 미분할 수 있다.

:

g \cos \theta d\theta = \omega^2 ds\Longrightarrow ds = \frac{g}{\omega^2} \cos \theta d\theta

이 방정식은 곡선의 각도 변화와 곡선을 따라 이동한 거리의 변화를 관련시킨다. 이제 삼각법을 사용하여 각도 θ^영어를 미분 길이 dx^영어, dy^영어 및 ds^영어와 관련시킨다.

:

ds = \frac{dx}{\cos \theta}ds = \frac{dy}{\sin \theta}

위 방정식에서 ds^영어를 dx^영어로 대체하면 x^영어를 θ^영어에 대한 식으로 풀 수 있다.

:

\begin{align}ds & = \frac{g}{\omega^2} \cos \theta d\theta\frac{dx}{\cos\theta} & = \frac{g}{\omega^2} \cos \theta d\thetadx & = \frac{g}{\omega^2} \cos^2 \theta d\theta& = \frac{g}{2 \omega^2} \left ( \cos 2 \theta + 1 \right ) d\thetax & = \frac{g}{4 \omega^2} \left ( \sin 2 \theta + 2 \theta \right ) + C_x\end{align}

마찬가지로, ds^영어를 dy^영어에 대한 식으로 표현하고 y^영어를 θ^영어에 대한 식으로 풀 수도 있다.

:

\begin{align}ds & = \frac{g}{\omega^2} \cos \theta d\theta\frac{dy}{\sin\theta} & = \frac{g}{\omega^2} \cos \theta d\thetady & = \frac{g}{\omega^2} \sin \theta \cos \theta d\theta& = \frac{g}{2\omega^2} \sin 2 \theta d\thetay & = -\frac{g}{4\omega^2} \cos 2 \theta + C_y\end{align}

ϕ = 2θ^영어 및 }로 치환하면, x^영어와 y^영어에 대한 이러한 매개변수 방정식이 수평선에서 굴러가는 반지름 r^영어의 원 위의 점의 방정식임을 알 수 있다(사이클로이드). 원의 중심은 좌표 (C_x + rϕ, C_y)^영어에 있다.

:

\begin{align}x & = r \left( \sin \phi + \phi \right) + C_xy & = -r \cos \phi + C_y\end{align}

ϕ^영어의 범위는 -π ≤ ϕ ≤ π^영어이다. 곡선의 가장 낮은 점이 원점과 일치하도록 C_x = 0^영어 및 C_y = r^영어로 설정하는 것이 일반적이다. 따라서 다음과 같다.

:

\begin{align}x & = r \left( \phi + \sin \phi\right)y & = r \left( 1 - \cos \phi\right)\end{align}

ω^영어에 대해 풀고 }가 하강에 필요한 시간이며 전체 사이클의 4분의 1임을 기억하면, 반지름 r^영어에 대한 하강 시간을 구할 수 있다.

:

\begin{align}r & = \frac{g}{4\omega^2}\omega & = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{g}{r}}T & = \pi \sqrt{\frac{r}{g}}\end{align}

3. 3. 아벨의 해법

닐스 헨리크 아벨은 등시 곡선 문제(''아벨의 역학 문제'')를 일반화하여, 주어진 시작 높이에 대해 총 하강 시간을 나타내는 함수

T(y)

가 주어졌을 때, 이 함수에 대응하는 곡선의 방정식을 찾는 문제를 제시했다. 등시 곡선 문제는

T(y)

가 상수 함수일 때의 특수한 경우이다.

아벨의 해법은 에너지 보존 원리에 기반한다. 마찰이 없으므로 열로 손실되는 에너지가 없고, 운동 에너지와 중력 위치 에너지의 합은 항상 초기 위치 에너지와 같다.^[1] 운동 에너지는

\frac{1}{2} mv^2

로 표현되고, 질점은 곡선을 따라 움직이도록 제한되므로 속도는

{d\ell}/{dt}

(여기서

\ell

은 곡선을 따라 측정한 거리)로 쓸 수 있다.^[1] 초기 높이

y_0

에서 높이

y

까지 낙하했을 때 중력 위치 에너지의 변화는

mg(y_0 - y)

이므로, 다음 식이 성립한다.^[1]

:

\begin{align}\frac{1}{2} m \left ( \frac{d\ell}{dt} \right ) ^2 & = mg(y_0-y) \\\frac{d\ell}{dt} & = \pm \sqrt{2g(y_0-y)} \\dt & = \pm \frac{d\ell}{\sqrt{2g(y_0-y)}} \\dt & = - \frac{1}{\sqrt{2g(y_0-y)}} \frac{d\ell}{dy} \,dy\end{align}

마지막 식에서 곡선을 따라 남은 거리가 높이의 함수(

\ell(y))

로 표현될 수 있고, 시간이 지남에 따라 감소하므로 음의 부호를 사용한다.^[2] 또한, 연쇄 법칙을 이용했다.^[2]

y = y_0

에서

y = 0

까지 적분하면 총 하강 시간을 얻는다.^[3]

:

T(y_0) = \int_{y=y_0}^{y=0} \, dt = \frac{1}{\sqrt{2g}} \int_0^{y_0} \frac{1}{\sqrt{y_0-y}} \frac{d\ell}{dy} \, dy

이것을 '''아벨 적분 방정식'''이라고 한다. 이 식을 통해 주어진 곡선에서

{d\ell}/{dy}

를 계산하여 총 하강 시간을 구할 수 있다. 반대로, 아벨의 역학 문제에서는

T(y_0)

가 주어졌을 때

f(y) = {d\ell}/{dy}

를 구하고자 한다. 이를 위해 우변을

{d\ell}/{dy}

와

{1}/{\sqrt{y}}

의 컨볼루션으로 보고, 양변에 라플라스 변환을 적용한다.

:

\mathcal{L}[T(y_0)] = \frac{1}{\sqrt{2g}} \mathcal{L} \left [ \frac{1}{\sqrt{y}} \right ]F(s)

여기서

F(s) = \mathcal{L} {\left[ {d\ell}/{dy} \right ]}

이다.

\mathcal{L} {\left[ {1}/{\sqrt{y}} \right]} = \sqrt

이므로,

{d\ell}/{dy}

의 라플라스 변환을

T(y_0)

의 라플라스 변환으로 표현할 수 있다.

:

\mathcal{L}\left [ \frac{d\ell}{dy} \right ] = \sqrt{\frac{2g}{\pi}} s^{\frac{1}{2}} \mathcal{L}[T(y_0)]

T(y_0)

가 주어지면, 라플라스 변환을 계산하고,

{d\ell}/{dy}

의 라플라스 변환을 구한 후, 역변환을 통해

{d\ell}/{dy}

를 찾는다.

등시 곡선 문제의 경우,

T(y_0) = T_0

(상수)이다. 1의 라플라스 변환은

{1}/{s}

이므로,

\mathcal{L}[T(y_0)] = {T_0}/{s}

이다. 따라서,

:

\begin{align}F(s) = \mathcal{L} {\left [ \frac{d\ell}{dy} \right ]}& = \sqrt{\frac{2g}{\pi}} s^{\frac{1}{2}} \mathcal{L}[T_0] \\& = \sqrt{\frac{2g}{\pi}} T_0 s^{-\frac{1}{2}}\end{align}

위 식에 라플라스 역변환을 적용하면,

:

\frac{d\ell}{dy} = T_0 \frac{\sqrt{2g}}{\pi}\frac{1}{\sqrt{y}}

를 얻는다. 사이클로이드가 이 방정식을 만족한다는 것을 보일 수 있다.

4. 최단강하곡선 문제와의 관계

요한 베르누이는 최단강하곡선 문제를 해결하면서 등시 곡선의 개념을 활용했다. 최단강하곡선 역시 사이클로이드 곡선이다.^[1]

5. 참고 문헌

주어진 원본 소스는 허용되지 않는 템플릿인 을 사용하고 있습니다. 이 템플릿은 제거해야 합니다. 원본 소스에 제공된 정보를 바탕으로 참고 문헌 섹션 내용을 다음과 같이 구성할 수 있습니다.

Simmons, George. 《응용 및 역사적 설명을 곁들인 미분 방정식》. 맥그로-힐, 1972. ISBN 0-07-057540-1.
Proctor, Richard Anthony. 《사이클로이드 및 모든 형태의 사이클로이드 곡선에 관한 논문, 그리고 행성, 혜성 등의 움직임과 태양에서 투사된 물질을 다루는 데 있어 이러한 곡선의 사용에 관하여》. 1878. https://books.google.com/books?id=6UIZBvs0diIC

참조

_[1] 서적 Christiaan Huygens' The Pendulum Clock Iowa State University Press 1986
_[2] 서적 Christiaan Huygens' The Pendulum Clock Iowa State University Press 1986
_[3] 웹사이트 Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (I) http://jeff560.tripo[...] 2010-07-20

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