사이클로이드

3. 정의 및 방정식

반지름이 ''r''인 원이 ''x''축 위를 양의 방향으로 구를 때, 원점을 지나는 사이클로이드는 다음과 같은 매개변수 방정식으로 표현된다.^[3]

:$\backslash begin\{align\}$

x &= r(t - \sin t) \\

y &= r(1 - \cos t),

\end{align}

여기서 ''t''는 원이 회전한 각도에 해당하는 실수 매개변수이다. 주어진 ''t''에 대해, 원의 중심은 (''rt'', ''r'')에 위치한다.

데카르트 좌표계 방정식은 ''y''에 대해 풀고, ''x'' 방정식에 대입하여 얻을 수 있다.

:$$x\; =\; r\; \backslash cos^\{-1\}\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{y\}\{r\}\backslash right)\; -\; \backslash sqrt\{y(2r\; -\; y)\},$$

''y''를 ''x''의 함수로 볼 때, 사이클로이드는 ''x''축의 뾰족점을 제외한 모든 곳에서 미분 가능한 함수이다. 뾰족점 근처(''y''=0인 곳)에서 도함수는 $\backslash infty$ 또는 $-\backslash infty$로 향한다.

점 $(x,y)$에서의 사이클로이드의 접선의 기울기는 $\backslash frac\{dy\}\{dx\}\; =\; \backslash cot(\backslash frac\{t\}\{2\})$로 주어진다.

한 뾰족점에서 다음 뾰족점까지의 사이클로이드 세그먼트를 사이클로이드의 아치라고 하며, 예를 들어 $0\; \backslash le\; t\; \backslash le\; 2\; \backslash pi$인 점들이 있다.

사이클로이드를 함수 $y\; =\; f(x)$의 그래프로 간주하면, 다음의 상미분 방정식을 만족한다.^[3]

:$\backslash left(\backslash frac\{dy\}\{dx\}\backslash right)^2\; =\; \backslash frac\{2r\}\{y\}\; -\; 1.$

4. 성질

사이클로이드는 다양한 기하학적, 물리적 성질을 갖는다. 정직선 위를 원이 미끄러지지 않고 회전할 때, 원둘레 위의 한 점이 그리는 궤적이 바로 사이클로이드이다. 사이클로이드는 트로코이드의 한 종류로 볼 수 있다.

원의 반지름을 r, 회전각을 θ라 하면, 사이클로이드의 매개변수 표시는 다음과 같다.

:$$\backslash begin\{cases\}$$

x = r(\theta - \sin \theta), \\

y = r (1 - \cos \theta).

\end{cases}

• $\backslash frac\{\backslash mathrm\; dy\}\{\backslash mathrm\; dx\}=\backslash frac\{\backslash mathrm\; dy/\backslash mathrm\; d\backslash theta\}\{\backslash mathrm\; dx/\backslash mathrm\; d\backslash theta\}=\backslash frac\{\backslash sin\; \backslash theta\}\{1\; -\; \backslash cos\; \backslash theta\}$

• $\backslash frac\{\backslash mathrm\; d^2\; y\}\{\backslash mathrm\; dx^2\}=\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dx\}\backslash frac\{\backslash mathrm\; dy\}\{\backslash mathrm\; dx\}=\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\backslash theta\}\{\backslash mathrm\; dx\}\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; d\backslash theta\}\backslash frac\{\backslash mathrm\; dy\}\{\backslash mathrm\; dx\}=-\backslash frac\{1\}\{r(1\; -\; \backslash cos\; \backslash theta)^2\}$

4. 1. 최단 강하 곡선 (Brachistochrone curve)

4. 2. 등시 곡선 (Tautochrone curve)

중력장 내에서 사이클로이드의 어느 위치에 물체를 놓더라도, 사이클로이드의 가장 낮은 지점까지 내려오는 시간은 동일하다. 이러한 성질을 나타내는 곡선을 등시 곡선이라고 한다.^[4]

17세기 네덜란드 수학자 크리스티안 호이겐스는 항해에 사용될 더 정확한 진자 시계를 설계하던 중 사이클로이드의 이러한 등시성을 발견하고 증명했다. 그는 이 성질을 이용하여 등시성을 갖는 사이클로이드 진자를 고안했다.^[4]

단순 진자가 뒤집힌 사이클로이드의 뾰족한 끝부분에 매달려 있고, 끈이 사이클로이드의 양옆 곡선에 접하도록 고정되어 있을 때, 진자의 길이 ''L''이 사이클로이드 곡선 길이의 절반과 같다면 (즉, 사이클로이드를 만드는 원의 지름의 두 배, ''L = 4r''), 진자의 추도 사이클로이드 경로를 따른다. 이러한 진자는 등시곡선이며 진폭에 관계없이 동일한 주기로 왕복 운동을 한다. 뾰족한 끝부분을 중심으로 하는 좌표계를 도입하면 운동 방정식은 다음과 같다.

$$\backslash begin\{align\}$$

x &= r[2\theta(t) + \sin 2\theta (t)] \\

y &= r[-3-\cos2\theta (t)],

\end{align}

여기서 $\backslash theta$는 끈의 직선 부분이 수직축과 이루는 각도이며, 다음과 같이 주어진다.

$$\backslash sin\backslash theta\; (t)\; =\; A\; \backslash cos(\backslash omega\; t),\backslash qquad\; \backslash omega^2\; =\; \backslash frac\{g\}\{L\}=\backslash frac\{g\}\{4r\},$$

여기서 A는 "진폭", $\backslash omega$는 진자의 라디안 주파수이고, ''g''는 중력 가속도이다.

4. 3. 호의 길이 및 면적

한 뾰족점에서 다음 뾰족점까지의 사이클로이드 호의 길이는 8r이다. (원의 지름의 4배) 이것은 인볼루트를 묘사하는 와이어가 아치의 절반에서 완전히 풀렸을 때, 두 개의 지름을 따라 뻗어나가므로 길이가 4r이 된다는 것을 알아차리면 쉽게 구할 수 있다.^[1] 이것은 아치 길이의 절반과 같으므로, 완전한 아치의 길이는 8r이다.^[2]

사이클로이드 한 아치와 x축으로 둘러싸인 영역의 면적은 3πr²이다. (원 면적의 3배)^[3]

4. 4. 신개선과 축소선

사이클로이드의 신개선(involute)은 원래의 사이클로이드와 합동이다. 사이클로이드의 축소선(evolute) 역시 원래의 사이클로이드와 합동이다.

사이클로이드의 신개선은 원래의 사이클로이드 반 호에 놓인 와이어의 끝이 그리는 경로로 생각할 수 있다. 와이어의 끝은 원래의 사이클로이드에 접하면서 풀리면서 새로운 사이클로이드를 그리게 된다. (사이클로이드 진자 및 호의 길이 참조)

5. 응용

사이클로이드는 그 독특한 성질 때문에 여러 분야에서 응용된다. 대표적인 예는 다음과 같다.

• 사이클로이드 진자: 임의의 진폭에 대해 등시성을 보장하는 진자이다.
• 사이클로이드 기어: Cycloid gear^영어는 톱니 모양이 사이클로이드 곡선으로 이루어진 기어로, 부드럽게 동력을 전달하고 마모가 적은 특징을 갖는다.
• 건축: 루이스 칸은 텍사스주 포트워스에 있는 킴벨 미술관을 설계하면서 사이클로이드 아치를 사용했다. 월러스 K. 해리슨 또한 뉴햄프셔주 하노버에 있는 다트머스 대학교 홉킨스 예술 센터 설계에 사이클로이드 아치를 사용했다.^[21]

5. 1. 사이클로이드 진자

5. 2. 건축

5. 3. 기어 설계

6. 관련 곡선

사이클로이드와 관련된 곡선은 다음과 같다.

• 트로코이드: 사이클로이드를 일반화한 곡선으로, 원 위가 아닌 원 내부 또는 외부의 점이 그리는 궤적이다.
• 내접 사이클로이드: 한 원이 다른 원의 안쪽을 따라 구를 때 그려지는 곡선이다.
• 외접 사이클로이드: 한 원이 다른 원의 바깥쪽을 따라 구를 때 그려지는 곡선이다.
• 내접 트로코이드: 구르는 원의 가장자리에 있지 않은 점이 그리는 내접 사이클로이드의 일반화된 형태이다.
• 외접 트로코이드: 구르는 원의 가장자리에 있지 않은 점이 그리는 외접 사이클로이드의 일반화된 형태이다.

참조

_[1] 서적 A History of Mathematics Chelsea
_[2] 웹사이트 The Wondrous Connections Between Mathematics and Literature https://www.nytimes.[...] 2023-04-07
_[3] 서적 Elementary Differential Equations: Applications, Models, and Computing https://books.google[...] CRC Press
_[4] 간행물 The Pendulum Clock or Geometrical Demonstrations Concerning the Motion of Pendula (sic) as Applied to Clocks Iowa State University Press
_[5] 학술지 Curtate Cycloid Arching in Golden Age Cremonese Violin Family Instruments
_[6] 학술지 Comparison of Arching Profiles of Golden Age Cremonese Violins and Some Mathematically Generated Curves http://savartjournal[...] 2012-08-13
_[7] 간행물 Pascal's Wager: The Man Who Played Dice with God https://archive.org/[...] HarperCollins
_[8] 간행물 Opera geometrica
_[9] 간행물 Brachistochrone, Tautochrone, Cycloid—Apple of Discord 1967-05
_[10] 간행물 Vermischte untersuchungen zur geschichte der mathematischen wissenschaften Druck und Verlag Von B. G. Teubner
_[11] 학술지 An Extract of a Letter from Dr. Wallis, of May 4. 1697, Concerning the Cycloeid Known to Cardinal Cusanus, about the Year 1450; and to Carolus Bovillus about the Year 1500 https://zenodo.org/r[...]
_[12] 간행물 A History of Mathematics https://books.google[...] American Mathematical Soc.
_[13] 간행물 Introductio in geometriam ... Liber de quadratura circuli. Liber de cubicatione sphere. Perspectiva introductio.
_[14] 간행물 Charles de Bovelles, 1479-1553: An Intellectual Biography https://books.google[...] Librairie Droz
_[15] 학술지 The Helen of Geometry
_[16] 간행물 Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Bd. 2 https://archive.org/[...] B. G. Teubner
_[17] MS Cycloids and Paths http://www.web.pdx.e[...] Portland State University
_[18] 학술지 Some historical notes on the cycloid 1943-05
_[19] 학술지 Pour l'histoire des lignes et surfaces courbes dans l'antiquité https://archive.org/[...]
_[20] 간행물 A Study of Roberval's Traité des Indivisibles Columbia University
_[21] 간행물 101 Reasons to Love Dartmouth https://dartmouthalu[...] Dartmouth Alumni Magazine