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라요 수

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목차

1. 개요

라요 수는 집합론의 언어로 표현할 수 있는 수보다 큰 가장 작은 수로 정의되는 매우 큰 수이다. 라요 수의 정의는 여러 번 수정되었으며, 2차 논리 공식을 사용하여 표현된다. 이 수는 구골 미만의 기호를 사용하여 표현되며, 형식 언어와 논리 기호, 집합론의 개념을 포함하는 복잡한 정의를 가지고 있다.

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라요 수
개요
"CH. Rayo's number"
명명자Agustín Rayo
명명일2007년 1월 26일
값
값정의를 통해서만 알 수 있음
정의가장 작은 수 x가 존재하고, 집합론의 언어로 크기보다 작은 집합을 지정하는 데 사용할 수 있는 포뮬라보다 작거나 같은 기수보다 큰 모든 유한 수보다 큼
크기
크기대부분의 다른 큰 수보다 훨씬 큼

2. 정의

라요 수는 집합론의 언어를 사용하여 정의되는 매우 큰 수이다. 그 핵심 아이디어는 "구골(10100)개 이하 또는 미만의 기호를 사용하여 1차 집합론의 언어로 명명하거나 표현할 수 있는 어떤 유한수보다 큰 가장 작은 수"라는 개념에 기반한다.[17][5][16][4]

이 정의는 처음 제시된 이후 명확성을 높이고 특정 규칙(예: '거대수 결투'의 규칙[12])을 준수하기 위해 몇 차례 수정되었다.[10] 처음에는 "구골 이하의 기호"를 사용하는 것으로 제시되었다가[5] "구골 미만의 기호"를 사용하는 것으로 수정되기도 했다.[10]

특히, '명명될 수 있는' 또는 '표현될 수 있는'이라는 표현의 의미를 더 엄밀하게 정의하기 위해, 2차 논리와 괴델 수 개념을 이용한 공식적인 정의가 도입되었다.[17][5][12] 이 공식적인 정의는 특정 조건을 만족하는 수학 공식(φ(x1))과 변수 할당을 통해 특정 수(m)를 유일하게 지정하는 방식으로 라요 수를 정의한다.

다만, 라요 수의 정의에 사용되는 공리계가 명시적으로 언급되지 않았기 때문에, 정의가 불완전하다는 지적도 있다.

2. 1. 초기 정의

라요 수의 정의는 특정 기준을 만족하는 모든 수보다 큰 가장 작은 수를 찾는 방식으로 이루어진다.[17][5]

나중에 확인된 바에 따르면, 라요 수의 초기 정의는 다음과 같았다.[16][4]

"구골(10100) 미만의 기호를 사용하여 1차 집합론의 언어로 명명될 수 있는 어떤 수보다 큰 가장 작은 수."

이 정의는 MIT에서 열린 '거대수 결투(Big Number Duel)'에서 처음 제시된 것으로 알려져 있다.[10] 당시 결투 과정에서 처음에는 "구골 이하의 기호"를 사용하는 것으로 제시되었다가[5] 곧 "구골 미만의 기호"를 사용하는 것으로 수정되었다고 한다.[10]

이 초기 정의에서 사용된 '명명될 수 있는'이라는 표현의 의미를 더 명확히 하기 위해, 이후 2차 논리와 괴델 수 개념을 이용한 더 엄밀한 공식적 정의가 제시되었다.[17][5][12] 하지만 이는 초기 정의의 기본적인 아이디어에서 더 발전된 형태이다.

2. 2. 수정된 정의

라요 수의 초기 정의는 "구골(10100)개 미만의 기호를 사용한 1차 집합론의 언어로 표현할 수 있는 어떤 수보다 큰 가장 작은 수"였다.[16][4] 이 정의는 '거대수 결투'에서 제시되었으나, "원시 의미론 어휘는 허용되지 않는다"는 규칙[12] 위반을 피하기 위해 수정되었다.

수정된 공식 정의는 다음의 2차 논리 공식을 이용한다. 여기서 [\phi]는 괴델 코드화된 공식이고 s는 변수 할당이다:[17][5][12]

: \begin{align}

& \mbox{모든 }R \ \{ \\

& \{ \mbox{임의의 (코드화된) 공식 } [\psi] \mbox{와 임의의 변수 할당 } t \mbox{에 대해} \\

& (R([\psi],t) \leftrightarrow \\

& (( [\psi] = \mbox{''}x_i \in x_j\mbox{''} \and t(x_i) \in t(x_j)) \ \or \\

& ( [\psi] = \mbox{''}x_i = x_j\mbox{''} \and t(x_i) = t(x_j)) \ \or \\

& ( [\psi] = \mbox{''}(\neg \theta)\mbox{''} \and \neg R([\theta],t)) \ \or \\

& ( [\psi] = \mbox{''}(\theta \and \xi)\mbox{''} \and R([\theta],t) \and R([\xi],t)) \ \or \\

& ( [\psi] = \mbox{''}\exists x_i \ (\theta)\mbox{''} and, for some an } x_i \mbox{-variant } t' \mbox{ of } t, R([\theta],t')) \\

& )\} \rightarrow \\

& R([\phi],s)\}

\end{align}

이 식(함수 Sat([\phi(x_1)],s)로 표현됨)을 사용하여 라요 수는 다음과 같이 정의된다:[17][5][12]

: 다음 속성을 가진 모든 유한수 m보다 큰 가장 작은 수: 일차 집합론의 언어(Sat의 정의에 제시된 대로)에서 구골 개 미만의 기호를 가지고 유일한 자유 변수로 x_1을 포함하는 공식 \phi(x_1)이 존재하며 다음 조건을 만족한다. (a) m을 x_1에 할당하여 Sat([\phi(x_1)],s)를 만족시키는 변수 할당 s가 존재한다. 그리고 (b) 임의의 변수 할당 t에 대해, 만약 Sat([\phi(x_1)],t)라면, t는 m을 x_1으로 할당한다.

엄밀히 말하면, 이 정의는 사용되는 공리계가 명시적으로 언급되지 않았기 때문에 불완전하다.

3. 설명

라요 수의 정의는 다음 정의의 변형이다:[17]

구골 이하의 기호를 사용한 집합론의 언어로 표현할 수 있는 어떤 수 보다 큰 가장 작은 수.


특히, 나중에 확인된 초기 버전의 정의에서는 "구골(10100) ''미만''의 기호를 사용한 ''1차'' 집합론의 언어로 표현할 수 있는 어떤 수보다 큰 가장 작은 수"라고 정의되어 있었다.[16]

이 수의 공식적인 설명은 다음의 2차 공식을 사용한다. 이 때, [φ]는 괴델수로 코딩된 공식이고 s는 변수 할당이다:[17]

∀R {
{어떤 (코딩된) 공식 [ψ]와 어떤 변수 할당 t에 대해서
(R( [ψ],t) ↔
( ([ψ] = `x_i ∈ x_j' ∧ t(x_1) ∈ t(x_j)) ∨
([ψ] = `x_i = x_j' ∧ t(x_1) = t(x_j)) ∨
([ψ] = `(∼θ)' ∧ ∼R([θ],t)) ∨
([ψ] = `(θ∧ξ)' ∧ R([θ],t) ∧ R([ξ],t)) ∨
([ψ] = `∃x_i (θ)' 이고, t의 xi-변수 t'에 대해서 R([θ],t'))
)} →
R([φ],s)}


이 식이 주어지면 라요수는 다음과 같이 정의된다:[17]

다음 특성을 가지는 모든 유한한 수 m보다 큰 가장 작은 수: 구골 미만의 기호를 사용하고 x1만을 자유변수로 가지며 다음을 만족하는 (`Sat'의 정의에서 표현되어 있듯이) 1차 집합론의 언어의 공식 φ(x1)이 있다: (a) m을 x1에 할당하여 Sat([φ(x1)],s)인 변수 할당 s가 있고, (b) 어떤 변수 할당 t에 대해서 Sat([φ(x1)],t)이면 t는 m을 x1으로 할당한다.

3. 1. 형식 언어

직관적으로, 라요 수는 다음과 같은 형식 언어로 정의된다.

  • "xi ∈ xj"와 "xi = xj"는 원자 논리식이다.
  • θ가 식일 때, "(¬θ)"는 식(θ의 부정)이다.
  • θ와 ξ가 식일 때, "(θ ∧ ξ)"는 식(θ와 ξ의 연언)이다.
  • θ가 식일 때, "∃xi(θ)"는 식(θ의 존재 양화)이다.


괄호를 생략하는 것은 허용되지 않는다는 점에 유의해야 한다. 예를 들어, "∃xi(¬θ)"가 아니라 "∃xi((¬θ))"로 써야 한다.

누락된 논리 연결사를 이 언어로 표현하는 것이 가능하다. 예를 들어:

  • 논리합: "(θ ∨ ξ)"는 "(¬((¬θ) ∧ (¬ξ)))"와 동등하다.
  • 논리 함의 (함의): "(θ ⇒ ξ)"는 "(¬(θ ∧ (¬ξ)))"와 동등하다.
  • 쌍조건문: "(θ ⇔ ξ)"는 "(¬((¬(θ ∧ ξ)) ∧ (¬((¬θ) ∧ (¬ξ)))))"와 동등하다.
  • 전칭 기호: "∀xi(θ)"는 "(¬∃xi((¬θ)))"와 동등하다.

3. 2. 논리 연결사 표현

라요 수를 정의하는 데 사용되는 형식 언어는 기본적인 논리 연산자인 부정(~), 논리곱(∧), 존재 기호(∃)만을 사용한다. 하지만 이 기본 연산자들을 조합하여 다른 주요 논리 연결사들도 표현할 수 있다.

  • 논리합(∨): "(θ∨ξ)"는 "(~((~θ)∧(~ξ)))"와 같이 표현할 수 있다.
  • 논리 함의(⇒): "(θ⇒ξ)"는 "(~(θ∧(~ξ)))"와 같이 표현할 수 있다.
  • 쌍조건문(⇔): "(θ⇔ξ)"는 "((~(θ∧ξ))∧(~((~θ)∧(~ξ))))"와 같이 표현할 수 있다.
  • 전칭 기호(∀): "∀xi(θ)"는 "(~∃xi((~θ)))"와 같이 표현할 수 있다.


이처럼 기본적인 연산자만으로도 다양한 논리적 표현을 구성하는 것이 가능하다.

3. 3. 라요 명명 가능성

이 정의는 라요 수를 정의하는 데 사용되는 형식 언어에서 자유 변수가 x1 하나만 있는 식과 관련된다.

어떤 식이 사용하는 기호의 개수가 n개이고, 그 식이 'x1 = k'라는 명제와 동치가 성립하는데, 이때 k가 유한한 폰 노이만 순서수라면, 이 식을 k에 대한 "라요 문자열"이라고 부른다. 또한, 이러한 k를 n개의 기호로 "라요 명명 가능"하다고 말한다.

참조

[1] 웹사이트 CH. Rayo's Number http://mathfactor.ua[...] The Math Factor Podcast 2014-03-24
[2] 웹사이트 Name the biggest number contest http://joshkerr.com/[...] 2013-12-07
[3] 웹사이트 Large Number Championship http://web.mit.edu/p[...] 2014-03-24
[4] 뉴스 Profs Duke It Out in Big Number Duel http://tech.mit.edu/[...] 2007-01-31
[5] 웹사이트 Big Number Duel http://web.mit.edu/a[...] 2014-03-24
[6] 웹사이트 CH. Rayo's Number http://mathfactor.ua[...] The Math Factor Podcast 2017-11-29
[7] 웹사이트 Name the biggest number contest http://joshkerr.com/[...] 2013-12-07
[8] 웹사이트 Large Number Championship "//web.mit.edu/philo[...] 2014-03-24
[9] 웹사이트 Large Number Championship http://web.mit.edu/p[...] MIT 2007-01-23
[10] 뉴스 Profs Duke It Out in Big Number Duel http://tech.mit.edu/[...] 2007-01-31
[11] 서적 巨大数論 第2版 http://gyafun.jp/ln/ インプレス R&D
[12] 웹사이트 Big Number Duel http://web.mit.edu/a[...] 2017-11-29
[13] 웹인용 CH. Rayo's Number http://mathfactor.ua[...] The Math Factor Podcast 2014-03-24
[14] 웹인용 Name the biggest number contest http://joshkerr.com/[...] 2013-12-07
[15] 웹인용 Large Number Championship http://web.mit.edu/p[...] 2014-03-24
[16] 뉴스 Profs Duke It Out in Big Number Duel http://tech.mit.edu/[...] 2007-01-31
[17] 웹인용 Big Number Duel http://web.mit.edu/a[...] 2014-03-24


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