자유 변수와 종속 변수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 자유 변수
- 2.2. 종속 변수
3. 예시
4. 자연 언어에서의 변수
참조

1. 개요

자유 변수와 종속 변수는 수식에서 값의 변화가 가능한 변수와 특정 연산자에 의해 값이 고정되거나 제한되는 변수를 의미한다. 자유 변수는 수식에서 자유롭게 값을 가질 수 있는 반면, 종속 변수는 특정 연산자 내에서 나타나며, 전칭 기호, 존재 기호, 적분, 극한 등과 같은 연산자에 의해 값이 결정된다. 이러한 개념은 수학, 논리학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 사용되며, 람다 계산, 자연어의 대명사 사용 등에서도 나타난다.

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자유 변수와 종속 변수
수학적 개념
유형	수학 및 컴퓨터 과학에서의 개념
정의
자유 변수	식에서 특정 값을 할당받지 않은 변수
속박 변수	식에서 특정 값을 할당받았거나 범위가 제한된 변수
사용 예시
수학	미적분학 논리학
컴퓨터 과학	함수형 프로그래밍 논리 프로그래밍 수학적 논리
관련 개념
대수적 표현	변수
논리	양화사
프로그래밍 언어	스코프

2. 정의

어떤 수식에서 변수 $x$ 가 특정 연산자에 의해 값이 고정되거나 제한될 때, 그 위치의 $x$ 를 '''종속 변수'''라고 한다.^[4]^[5] 종속 변수가 아닌 변수는 '''자유 변수'''라고 한다.

종속 변수를 만드는 연산자에는 다음과 같은 것들이 있다.

$\forall x(\cdots)$ (전칭 기호)
$\exists x(\cdots)$ (존재 기호)
$\sum_x(\cdots)$ (급수)
$\int(\cdots)dx$ (적분)
$\lim_{x\to a}(\cdots)$ (극한)
기타 등등

\forall x

의

x

까지 종속 변수인지는 문맥에 따라 다르다.

2. 1. 자유 변수

자유 변수는 값이 자유롭게 변할 수 있는 변수이다. 변수 결합은 변수

v

, 식 내에서 그 변수가 나타나는 위치

a

,

Q(v,P)

로 형성되는 트리의 잎이 아닌 노드

n

과 관련된다. 변수는 잎 노드에 있다고 정의되므로, 결합은 노드

n

아래에서 일어난다.

수학에서 함수 정의식

(x_1, \ldots , x_n) \mapsto \operatorname{t}

에서

t

는 식이다.

t

에는

x_1, \dots, x_n

의 전부 또는 일부가 포함될 수 있으며, 다른 변수도 포함될 수 있다. 이 경우, 함수 정의가 변수

x_1, \dots, x_n

을 결합하고 있다고 말할 수 있다.

람다 계산에서

M = \lambda x.T

라는 람다식에서

x

는

M

에서는 결합 변수,

T

에서는 자유 변수이다.

T

에 람다식

\lambda x.U

가 포함되는 경우,

x

는 이 안에서 재결합된다. 중첩된 안쪽

x

의 결합은 바깥쪽 결합을 가린다.

U

에서의

x

의 출현은 새로운

x

의 자유로운 출현이다.

프로그램의 톱 레벨에서 결합된 변수는 기술적으로는 그것이 결합된 항 안에서는 자유 변수이지만, 고정 주소로 컴파일되므로 특별하게 취급되는 경우가 많다. 계산 가능 함수에 결합된 식별자도 비슷하게 그 본체 내에서는 자유 변수이지만 특별히 취급된다.

자유 변수를 전혀 포함하지 않는 항 또는 식을 '''닫힌 항'''(closed term^영어) 또는 '''닫힌 논리식'''(closed formula^영어) 또는 '''닫힌 식'''이라고 부른다.

2. 2. 종속 변수

어떤 수식의 변수

x

가 특정 연산자에 의해 값이 고정되거나 제한될 때, 그 위치의

x

를 '''종속 변수'''라고 한다.^[4]^[5] 종속 변수가 아닌 변수는 '''자유 변수'''라고 한다. 종속 변수를 만드는 연산자에는 다음과 같은 것들이 있다.

$\forall x(\cdots)$ (전칭 기호)
$\exists x(\cdots)$ (존재 기호)
$\sum_x(\cdots)$ (급수)
$\int(\cdots)dx$ (적분)
$\lim_{x\to a}(\cdots)$ (극한)
기타 등등

\forall x

의

x

까지 종속 변수인지는 문맥에 따라 다르다.

다음은 변수를 묶는 몇 가지 흔한 '''변수 결합 연산자'''의 예시이다.

$\sum_{x\in S}$
$\prod_{x\in S}$
$\int_0^\infty \cdots \,dx$
$\lim_{x\to 0}$
$\forall x$
$\exists x$

이 연산자들은 각각 집합 '''S'''에 대해 변수 '''x'''를 묶는다. 이들 중 다수는 결합된 변수의 함수에 작용하는 연산자이다.

예를 들어, 함수 정의식

(x_1, \ldots , x_n) \mapsto \operatorname{t}

에서

t

는

x_1, \dots, x_n

의 전부 또는 일부를 포함할 수 있으며, 다른 변수도 포함될 수 있다. 이 경우, 함수 정의가 변수

x_1, \dots, x_n

을 결합한다고 한다.

3. 예시

자유 변수와 종속 변수의 정확한 정의에 앞서, 몇 가지 예시를 통해 두 개념을 명확히 이해할 수 있다.

다음 식에서

:

\sum_{k=1}^{10} f(k,n)

''n''은 자유 변수이고 ''k''는 종속 변수이다. 이 표현식의 값은 ''n''의 값에 따라 달라지지만, ''k''에는 의존하지 않는다.

다음 식에서

:

\int_0^\infty x^{y-1} e^{-x}\,dx,

''y''는 자유 변수이고 ''x''는 종속 변수이다. 이 표현식의 값은 ''y''의 값에 따라 달라지지만, ''x''에는 의존하지 않는다.

다음 식에서

:

\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},

''x''는 자유 변수이고 ''h''는 종속 변수이다. 이 표현식의 값은 ''x''의 값에 따라 달라지지만, ''h''에는 의존하지 않는다.

다음 표현식에서

:

\forall x\ \exists y\ \Big[\varphi(x,y,z)\Big],

''z''는 자유 변수이고, ''x''와 ''y''는 논리적 양화사와 관련된 종속 변수이다. 이 표현식의 논리값은 ''z''의 값에 따라 달라지지만, ''x''나 ''y''에는 의존하지 않는다.

더 일반적으로, 대부분의 증명에서는 종속 변수가 사용된다. 예를 들어, 다음 증명은 양의 짝수 정수의 제곱이 모두 $4$ 로 나누어 떨어진다는 것을 보여준다.

:

n

을 양의 짝수 정수라고 하자. 그러면

n=2k

를 만족하는 정수

k

가 존재한다.

n^2=4k^2

이므로

n^2

은

4

로 나누어 떨어진다.

증명에서 ''k''뿐만 아니라 ''n''도 전체적으로 종속 변수로 사용되었다.

3. 1. 수식에서의 예시

다음은 수식에서의 자유 변수와 종속 변수에 대한 예시이다.

급수 $\sum_{n=1}^{10}\frac mn$ 에서 $m$ 은 자유 변수, $n$ 는 종속 변수이다. 따라서 이 급수는 $m$ 의 함수이지만, $n$ 의 함수는 아니다.

적분 $\int_a^bf(x,y)dx$ 에서 $x$ 는 종속 변수, $y$ 는 자유 변수이다. 즉, 이 적분은 $y$ 의 함수이지만 $x$ 의 함수가 아니다.

변수에 상숫값을 대입할 때에는 반드시 자유 변수에만 대입해야 한다. 예를 들어, 급수 $n+\sum_{n=1}^{10}n$ 에서 첫째 $n$ 은 자유 변수, 둘째와 셋째 $n$ 은 종속 변수이다. $n=5$ 를 대입하려면 자유 변수인 첫째 변수에만 대입해야 정확한 결과 $5+\sum_{n=1}^{10}n=5+55=60$ 을 얻는다. 만일 $n=5$ 를 이 급수의 자유 변수와 종속 변수에 모두 대입하면 $5+\sum_{5=1}^{10}5$ 를 얻으며, 이는 무의미한 수식이다. 첫째와 셋째 $n$ 에만 대입하면 $5+\sum_{n=1}^{10}5=5+50=55$ 를 얻으며, 이 식의 값은 $n+55$ 에 $n=5$ 를 대입한 결과값과 다르다.

종속 변수를 다른 변수로 대신하여도 수식의 의미는 변하지 않는다. 예를 들어, 다음 세 급수는 완전히 같다.

:

\sum_{m=1}^{10}m=\sum_{n=1}^{10}n=\sum_{k=1}^{10}k

다음 식 $\sum_{k=1}^{10} f(k,n)$ 에서 $n$ 은 자유 변수, $k$ 는 종속 변수이다. 결과적으로 이 식은 $n$ 의 값에 따라 변화하지만 $k$ 에는 의존하지 않는다.

다음 식 $\int_0^\infty x^{y-1} e^{-x}\,dx$ 에서 $y$ 는 자유 변수, $x$ 는 종속 변수이다. 마찬가지로 이 식의 값은 $y$ 의 값에 따라 변화하지만, $x$ 에는 의존하지 않는다.

다음 식 $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 에서 $x$ 는 자유 변수, $h$ 는 종속 변수이다. 마찬가지로 이 식의 값은 $x$ 의 값에 따라 변화하지만, $h$ 에는 의존하지 않는다.

다음 논리식 $\forall x\ \exists y\ \varphi(x,y,z)$ 에서 $z$ 는 자유 변항, $x$ 와 $y$ 는 논리적 양화사와 관련된 종속 변항이다. 이 논리식의 진리값은 $z$ 의 값에 따라 변화하지만, $x$ 와 $y$ 에는 의존하지 않는다.

3. 2. 술어 논리식에서의 예시

다음은 술어 논리식에서 자유 변수와 종속 변수를 구별하는 예시이다.

논리식

:

x>1\lor x<-1

에서,

x

는 자유 변수이다. 여기에 상숫값

x=3

을 대입하여 얻는

:

3>1\lor 3<-1

은 여전히 유의미한 논리식이다.

:

\exists x(x<0)

에서, 두

x

는 모두 종속 변수이다. 여기에 상숫값

x=3

을 대입하는 것은 원래의 논리식과 의미가 같다. 만일 두 번째

x

를 3으로 대신하면

:

\exists x(3<0)

을 얻는데, 이는 3이 음수라는 의미의 거짓 명제이지만, 원래의 논리식은 음수가 존재한다는 의미의 참인 명제이다. 바뀐 논리식의 변수

x

를 다른 변수로 치환하여도 의미가 변하지 않는다. 예를 들어,

:

\exists y(y<0)

는 원래의 논리식과 동치이다.

:

\forall x\ \exists y\ \varphi(x,y,z)

에서,

z

는 자유 변항,

x

와

y

는 논리적 양화사와 관련된 속박 변항이다. 이 논리식의 진리값은

z

의 값에 따라 변화하지만,

x

와

y

에는 의존하지 않는다.

3. 3. 프로그래밍에서의 예시

람다 대수에서 x는 항 M = λx. T에서 결합 변수이고 항 T에서 자유 변수이다. x는 M에서 결합되고 T에서 자유라고 말한다. T가 하위 항 λx. U를 포함하는 경우 x는 이 항에서 다시 결합된다. x의 이 중첩된 내부 결합은 외부 결합을 "섀도잉"한다고 한다. U에서 x의 발생은 새로운 x의 자유 발생이다.^[1]

프로그램의 최상위 수준에서 결합된 변수는 기술적으로 해당 변수가 결합된 항 내에서 자유 변수이지만, 고정 주소로 컴파일될 수 있으므로 특별히 취급되는 경우가 많다. 마찬가지로, 재귀 함수에 결합된 식별자도 기술적으로는 자체 본문 내에서 자유 변수이지만, 특별히 취급된다.^[2]

자유 변수를 포함하지 않는 항을 ''닫힌 항''이라고 부른다.^[3]

4. 자연 언어에서의 변수

형식 의미론으로 분석할 때, 자연어는 자유 변수와 묶인 변수를 갖는 것으로 볼 수 있다. 영어에서 'he', 'she', 'they' 등과 같은 인칭 대명사는 자유 변수 역할을 할 수 있다. 예를 들어,

: ''리사는 '''그녀'''의 책을 찾았다.''

라는 문장에서 소유 대명사 'her'는 자유 변수이다. 'her'는 이전에 언급된 '리사'를 지칭할 수도 있고, 다른 여성을 지칭할 수도 있다. 즉, 'her book'은 리사의 책(공지시의 한 예)일 수도 있고, 다른 여성(예: 제인)의 책일 수도 있다. 'her'의 지시 대상은 상황, 즉 화용론적 맥락에 따라 결정된다.

지시 대상의 정체성은 아래 첨자를 사용하여 나타낼 수 있다. 'i'는 하나의 지시 대상을, 'j'는 'i'와 다른 두 번째 지시 대상을 나타낸다. 따라서 ''리사는 그녀의 책을 찾았다''는 문장은 다음과 같은 해석을 가질 수 있다.

: ''리사_'''i'''는 그녀_'''i'''의 책을 찾았다.'' (해석 #1: '그녀' = '리사')

: ''리사_'''i'''는 그녀_'''j'''의 책을 찾았다.'' (해석 #2: '그녀' = 리사가 아닌 여성)

노르웨이어와 스웨덴어에서는 'her_'''i''''와 'her_'''j''''에 대해 다른 형태를 사용한다. 동일 지시 대상인 'her_'''i''''는 'sin'으로, 상이한 지시 대상인 'her_'''j''''는 'hennes'로 번역된다.

영어에서는 동일 지시 대상 지정을 허용하지만, 두 가지 해석 모두 가능하다(문법에 맞지 않는 해석은 별표(*)로 표시).

: ''리사_'''i'''는 '''자기''' 책을 찾았다.'' (해석 #1: '그녀' = '리사')

: *''리사_'''i'''는 그녀_'''j'''의 '''자기''' 책을 찾았다.'' (해석 #2: '그녀' = 리사가 아닌 여성)

반면, 'himself', 'herself', 'themselves' 등과 같은 재귀 대명사와 'each other'와 같은 상호 대명사는 묶인 변수 역할을 한다. 예를 들어,

: ''제인은 '''자신'''을 다치게 했다.''

라는 문장에서 재귀 대명사 'herself'는 이전에 언급된 선행사인 '제인'만을 지칭할 수 있으며, 다른 여성을 지칭할 수 없다. 이 예에서 'herself'는 주어 위치에 있는 명사 '제인'에 묶여 있다. 공지시를 표시하면 다음과 같다.

: ''제인_'''i'''은 자신_'''i'''을 다치게 했다.'' (해석 #1: '자신' = '제인')

: *''제인_'''i'''은 자신_'''j'''을 다치게 했다.'' (해석 #2: '자신' = 제인이 아닌 여성)

동일 지시 대상 묶음은 람다 표현식으로 나타낼 수 있다. 재귀 대명사를 포함하는 문장은 다음과 같이 표현할 수 있다.

: (λ''x''.''x''는 ''x''를 다치게 했다)제인

여기서 '제인'은 주어 지시 대상 논항이고, 'λx.x는 x를 다치게 했다'는 술어 함수(람다 추상화)이다. 람다 표기법과 'x'는 문장의 의미론적 주어와 의미론적 객체를 모두 묶는 것을 나타낸다. 이는 '제인이 제인을 다치게 했다'는 의미론적 해석을 낳는다.

대명사는 다른 방식으로도 기능할 수 있다. 예를 들어,

: ''애슐리는 '''그녀'''를 때렸다.''

라는 문장에서 대명사 'her'는 애슐리가 아닌 여성만을 지칭할 수 있다. 즉, '애슐리는 자신을 때렸다'와 같은 재귀적 의미를 가질 수 없다. 문법적 해석과 비문법적 해석은 다음과 같다.

: *''애슐리_'''i'''는 그녀_'''i'''를 때렸다.'' (해석 #1: '그녀' = '애슐리')

: ''애슐리_'''i'''는 그녀_'''j'''를 때렸다.'' (해석 #2: '그녀' = 애슐리가 아닌 여성)

첫 번째 해석은 불가능하며, 문법적으로 두 번째 해석만 허용된다.

결론적으로, 재귀 대명사와 상호 대명사는 묶인 변수(환자어라고도 함)인 반면, 일반적인 대명사는 일부 문법 구조에서는 자유 변수이지만 다른 문법 구조에서는 묶일 수 없는 변수이다. 자연어의 묶음 현상은 구문론적 지배 결속 이론에서 중요하게 다루어진다.

참조

_[1] 서적 Mathematical Logic Harvard University Press 1981
_[2] 서적 A Tour through Mathematical Logic 2005
_[3] 서적 Successful Lisp: How to Understand and Use Common Lisp bookfix.com 2004-12-08
_[4] 서적 Logic for Mathematicians https://archive.org/[...] Cambridge University Press 1988
_[5] 서적 A Course in Mathematical Logic https://archive.org/[...] North-Holland 1977

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