비어-람베르트 법칙

3. 공식

비어-람베르트 법칙은 물질의 흡광도, 투과율, 농도, 빛의 이동 거리 등의 관계를 나타내는 여러 가지 형태로 표현될 수 있다. 이 법칙은 측정량의 정확한 선택에 따라 여러 가지 동등한 공식으로 표현될 수 있으며, 모든 공식은 물리적 상태가 일정하게 유지되는 경우, 소광 과정이 방사선 세기와 방사능 활성 물질의 양에 대해 선형적이라는 것을 나타낸다. 이는 때때로 '''소광의 기본 법칙'''이라고 불린다.^[11]

자연로그 흡광도 는 로 주어지며, 다음을 만족한다.

:$$\backslash ln(I\_0/I)=\backslash tau=\backslash sigma\backslash ell\; n.$$

물질에 여러 종이 방사선과 상호 작용하는 경우, 그들의 흡광도는 더해진다. 따라서 약간 더 일반적인 공식은 다음과 같다.^[14]

:$$\backslash begin\{align\}$$

\tau &= \ell\sum_i \sigma_i n_i, \\[4pt]

A &= \ell\sum_i \varepsilon_i c_i,

\end{align}

여기서 합은 모든 가능한 방사선 상호 작용("반투명") 종에 대해 이루어지며, 는 해당 종을 나타내는 색인이다.

길이가 크게 변할 수 있는 상황에서는 흡광도가 때때로 감쇠 계수로 요약된다.

:$$\backslash begin\{alignat\}\{3\}$$

\mu_{10}&=\frac{A}{l}&&=\epsilon c \\

\mu&=\frac{\tau}{l}&&=\sigma n.

\end{alignat}

대기과학 및 방사선 차폐 응용 분야에서는 불균질 물질을 통과하는 감쇠 계수가 크게 달라질 수 있다. 이러한 상황에서 비어-람베르트 법칙의 가장 일반적인 형태는 총 감쇠를 빔라인의 작은 조각 에 대한 감쇠 계수를 적분하여 얻을 수 있음을 나타낸다.

:$$\backslash begin\{alignat\}\{3\}$$

A&=\int{\mu_{10}(z)\,dz}&&=\int{\sum_i{\epsilon_i(z)c_i(z)}\,dz}, \\

\tau&=\int{\mu(z)\,dz}&&=\int{\sum_i{\sigma_i(z)n_i(z)}\,dz}.

\end{alignat}

활성 종이 하나뿐이고 감쇠 계수가 일정한 경우 이러한 공식은 더 간단한 버전으로 축소된다.

단면적 를 가진 콜리메이트된 빔(직진 방사선)은 이동 중 평균적으로 개의 입자를 만난다. 그러나 이러한 입자들이 모두 빔과 상호 작용하는 것은 아니다. 상호 작용 경향은 재료 의존적 특성이며, 일반적으로 흡수율 ^[12] 또는 산란 단면적 로 요약된다.^[13] 이들은 거의 또 다른 아보가드로 유형의 관계를 나타낸다: . 인자는 물리학자는 자연 로그를, 화학자는 10을 밑으로 하는 로그를 사용하는 경향이 있기 때문이다.

빔 세기는 또한 여러 변수, 즉 세기 또는 복사속 로 설명될 수 있다. 콜리메이트된 빔의 경우, 이들은 로 관련되어 있지만, 는 종종 비콜리메이트된 상황에서 사용된다. 입사 세기(또는 속) 대 출력 세기(또는 속)의 비율은 때때로 투과율 계수 로 요약된다.

소광 법칙을 고려할 때, 차원 분석은 로그(비선형이므로)는 항상 무차원이어야 하므로 변수의 일관성을 확인하는 데 사용될 수 있다.

3. 1. 기본 공식

• $\backslash Phi\_\backslash mathrm\{e\}^\backslash mathrm\{t\}$는 투과하는 물질의 방사속이다.
• $\backslash Phi\_\backslash mathrm\{e\}^\backslash mathrm\{i\}$는 받는 물질의 방사속이다.

• $A$는 흡광도를 의미한다.
• $\backslash varepsilon$는 매질의 몰 흡광계수 또는 흡수율을 의미한다.
• $\backslash ell$는 매질 내에서 빛의 이동 거리를 의미하며, 센티미터(cm) 단위로 적는다.
• $c$는 매질의 농도를 의미한다.

3. 2. 여러 매질을 통과하는 경우

• 는 번째 매질의 단면적당 감쇠율을 의미한다.
• 는 번째 매질의 개수밀도를 의미한다.
• 는 번째 매질의 몰 흡광계수 또는 흡수율을 의미한다.
• 는 번째 매질의 몰 농도를 의미한다.
• 은 번째 매질 속에서 빛이 이동한 거리를 의미한다.

4. 유도

빛살이 물질 시료에 들어올 때, 빛살의 방향과 평행한 축을 z로 정의하고, 빛살에 수직으로 물질 시료를 두께 dz의 얇은 조각들로 나눈다. 이때 두께는 z 방향으로 볼 때 한 조각 안의 입자가 같은 조각 안의 다른 입자를 가릴 수 없을 만큼 충분히 작아야 한다.^[15] 조각을 통과한 빛의 복사속은 들어온 빛에 비해 $\backslash mathrm\{d\backslash Phi\_e\}(z)\; =\; -\backslash mu(z)\backslash Phi\_\backslash mathrm\{e\}(z)\; \backslash mathrm\{d\}z,$ 만큼 감소한다. 여기서 μ는 (네이피어) 감쇠 계수이며, 다음과 같은 1차 선형, 상미분 방정식을 얻는다.$$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\backslash Phi\_\backslash mathrm\{e\}(z)\}\{\backslash mathrm\{d\}z\}\; =\; -\backslash mu(z)\backslash Phi\_\backslash mathrm\{e\}(z).$$

감쇠는 산란 또는 흡수 때문에 조각의 반대쪽에 도달하지 못한 광자들에 의해 발생한다. 이 미분 방정식의 해는 적분 인자$$\backslash exp\backslash left(\backslash int\_0^z\; \backslash mu(z\text{'})\backslash mathrm\{d\}z\text{'}\; \backslash right)$$를 전체에 곱하여 얻는다.$$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\backslash Phi\_\backslash mathrm\{e\}(z)\}\{\backslash mathrm\{d\}z\}\backslash ,\; \backslash exp\backslash left(\backslash int\_0^z\; \backslash mu(z\text{'})\backslash mathrm\{d\}z\text{'}\; \backslash right)\; +\; \backslash mu(z)\backslash Phi\_\backslash mathrm\{e\}(z)\backslash ,\; \backslash exp\backslash left(\backslash int\_0^z\; \backslash mu(z\text{'})\backslash mathrm\{d\}z\text{'}\; \backslash right)\; =\; 0,$$이는 곱의 법칙 (역으로 적용)에 따라$$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\}\{\backslash mathrm\{d\}z\}\backslash left[\backslash Phi\_\backslash mathrm\{e\}(z)\; \backslash exp\backslash left(\backslash int\_0^z\; \backslash mu(z\text{'})\backslash mathrm\{d\}z\text{'}\; \backslash right)\backslash right]\; =\; 0.$$으로 간소화된다.

양변을 적분하고 실제 두께 ℓ의 물질에 대해 Φ_e에 대해 풀면, 입사 복사속을 $\backslash mathrm\{\backslash Phi\_e^i\}\; =\; \backslash mathrm\{\backslash Phi\_e\}(0)$, 투과 복사속을 $\backslash mathrm\{\backslash Phi\_e^t\}\; =\; \backslash mathrm\{\backslash Phi\_e\}(\backslash ell)$로 하면$$\backslash mathrm\{\backslash Phi\_e^t\}\; =\; \backslash mathrm\{\backslash Phi\_e^i\}\; \backslash exp\backslash left(-\backslash int\_0^\backslash ell\; \backslash mu(z)\backslash mathrm\{d\}z\; \backslash right),$$그리고$$T\; =\; \backslash mathrm\{\backslash frac\{\backslash Phi\_e^t\}\{\backslash Phi\_e^i\}\}\; =\; \backslash exp\backslash left(-\backslash int\_0^\backslash ell\; \backslash mu(z)\backslash mathrm\{d\}z\; \backslash right).$$을 얻는다.

십진 감쇠 계수 μ₁₀는 (네이피어) 감쇠 계수와 $\backslash mu\_\{10\}\; =\; \backslash tfrac\{\backslash mu\}\{\backslash ln\; 10\},$의 관계가 있으므로 다음을 얻는다.$$\backslash begin\{align\}$$

T &= \exp\left(-\int_0^\ell \ln(10)\,\mu_{10}(z)\mathrm{d}z \right) \\[4pt]

&= 10^{\;\!\wedge} \!\! \left( -\int_0^\ell \mu_{10}(z)\mathrm{d}z \right).

\end{align}

물질 시료의 감쇠 종의 수밀도 n_i와 무관한 방식으로 감쇠 계수를 설명하기 위해 감쇠 단면적 $\backslash sigma\_i\; =\; \backslash tfrac\{\backslash mu\_i(z)\}\{n\_i(z)\}.$를 도입한다. σ_i는 면적의 차원을 가지며, 빛살의 입자와 물질 시료 내 종 i의 입자 간 상호 작용의 가능성을 나타낸다.$$T\; =\; \backslash exp\backslash left(-\backslash sum\_\{i\; =\; 1\}^N\; \backslash sigma\_i\; \backslash int\_0^\backslash ell\; n\_i(z)\backslash mathrm\{d\}z\; \backslash right).$$

물질 시료의 감쇠 종의 몰 농도 c_i(z) = n_i(z) / N_A와 무관한 방식으로 감쇠 계수를 설명하기 위해 몰 흡광 계수 $\backslash varepsilon\_i\; =\; \backslash tfrac\{\backslash mathrm\{N\_A\}\}\{\backslash ln\; 10\}\backslash sigma\_i,$를 사용할 수도 있다. 여기서 N_A는 아보가드로 상수이다.$$\backslash begin\{align\}$$

T &= \exp\left(-\sum_{i = 1}^N \frac{\ln(10)}{\mathrm{N_A}}\varepsilon_i \int_0^\ell n_i(z)\mathrm{d}z \right) \\[4pt]

&= \exp\left(-\sum_{i = 1}^N \varepsilon_i \int_0^\ell \frac{n_i(z)}{\mathrm{N_A}}\mathrm{d}z\right)^{\ln(10)} \\[4pt]

&= 10^{\;\!\wedge} \!\! \left(-\sum_{i = 1}^N \varepsilon_i \int_0^\ell c_i(z)\mathrm{d}z \right).

\end{align}

5. 유효 조건

비어-람베르트 법칙이 유효하려면 다음 여섯 가지 조건이 충족되어야 한다.^[16]

# 감쇠 물질은 서로 독립적으로 작용해야 한다.

# 감쇠 매질은 상호 작용 부피 내에서 균질해야 한다.

# 감쇠 매질은 방사선을 산란시켜서는 안 된다(즉, 탁도가 없어야 함). 단, DOAS에서처럼 이것이 고려되지 않는 경우는 예외이다.

# 입사 방사선은 평행 광선으로 구성되어야 하며, 각 광선은 흡수 매질에서 동일한 길이를 통과해야 한다.

# 입사 방사선은 바람직하게는 단색광이어야 하거나, 적어도 감쇠 천이보다 폭이 좁아야 한다. 그렇지 않으면 광 다이오드 대신 파장을 구별할 수 있는 분광기를 검출기로 사용해야 한다.

# 입사 플럭스는 원자 또는 분자에 영향을 미치지 않아야 한다. 연구 대상 종의 비침습적 탐침 역할만 해야 한다. 특히, 빛이 광 포화 또는 광 펌핑을 일으켜서는 안 된다. 이러한 효과는 낮은 준위를 고갈시키고 자극 방출을 일으킬 수 있기 때문이다.

이러한 조건 중 하나라도 충족되지 않으면 비어-람베르트 법칙에서 편차가 발생한다.^[16]

이 법칙은 특히 물질이 고도로 산란되는 경우 매우 높은 농도에서 무너지는 경향이 있다. 비어-람베르트 법칙의 선형성을 유지하기 위해서는 0.2~0.5 범위의 흡광도가 이상적이다. 방사선이 특히 강하면 비선형 광학적 과정도 변화를 일으킬 수 있다. 그러나 주된 이유는 농도 의존성이 일반적으로 비선형적이기 때문이다. 강한 발진기와 고농도에서는 편차가 더 커진다. 분자가 서로 가까이 있으면 상호 작용이 시작될 수 있다. 이러한 상호 작용은 대략 물리적 상호 작용과 화학적 상호 작용으로 나눌 수 있다. 물리적 상호 작용은 분자의 분극률을 변경하지 않지만, 전자기 결합을 통해 감쇠 단면적이 가산적이지 않게 만든다. 반대로 화학적 상호 작용은 분극률을 변경하여 흡수를 변화시킨다.^[17]

6. 응용

비어-람베르트 법칙은 분광 광도법을 이용한 혼합물 분석, 혈장 시료에서 빌리루빈 정량, 적외선 분광법과 근적외선 분광법을 이용한 폴리머 열화 및 산화 분석, 식품 시료에서 다양한 화합물의 농도 측정 등 다양한 분야에서 활용된다. 또한 태양 또는 항성 복사가 대기를 통과할 때의 감쇠 현상을 설명하는 데도 사용된다.

6. 1. 화학 분석

6. 2. 대기 과학

• τ_a는 에어로졸(흡수 및 산란)을 나타낸다.
• τ_g는 균일하게 혼합된 기체(주로 이산화탄소(CO₂)와 분자 산소(O₂)로, 흡수만 한다)이다.
• τ_NO₂는 주로 도시 오염으로 인한 이산화질소(흡수만)이다.
• τ_RS는 대기에서 라만 산란으로 인한 효과이다.
• τ_w는 수증기 흡수이다.
• τ_O₃는 오존(흡수만)이다.
• τ_r는 분자 산소(O₂)와 질소(N₂)로부터의 레일리 산란(하늘의 파란색을 담당)이다.
• 고려해야 할 감쇠 물질의 선택은 파장 범위에 따라 달라지며 사산소, HONO, 포름알데히드, 글리옥살, 일련의 할로겐 라디칼 등을 포함할 수 있다.

6. 3. 플라스마 물리학

참조

_[1] 서적 Essai d'optique sur la gradation de la lumière https://archive.org/[...] Claude Jombert 1729
_[2] 학술지 La photométrie: les sources de l'Essai d'Optique sur la gradation de la lumière de Pierre Bouguer, 1729
_[3] 서적 Photometria sive de mensura et gradibus luminis, colorum et umbrae https://archive.org/[...] Eberhardt Klett 1760
_[4] 웹사이트 Bouguer-Lambert-Beer Absorption Law - Lumipedia http://www.lumipedia[...] 2023-04-25
_[5] 학술지 Bestimmung der Absorption des rothen Lichts in farbigen Flüssigkeiten https://books.google[...]
_[6] 서적 Light Scattering by Small Particles John Wiley & Sons, Inc.
_[7] 문서 Beer's Law Note
_[8] 학술지 The Origins of Beer's Law 1951
_[9] 서적 Spectrochemical Analysis Prentice Hall
_[10] 학술지 The Bouguer–Beer–Lambert Law: Shining Light on the Obscure 2020
_[11] 웹사이트 The Beer–Bouguer–Lambert law. Concepts of extinction (scattering plus absorption) and emission. http://irina.eas.gat[...] 2009
_[12] 웹사이트 Definition of ABSORPTIVITY https://www.merriam-[...] 2023-05-17
_[13] 학술지 Absorption and Extinction Cross Sections and Photon Streamlines in the Optical Near-field 2017-11-13
_[14] GoldBook Beer–Lambert law 2015-03-15
_[15] 학술지 Speaking Theoretically ... ... Things Nobody Knows but Me http://journals.sage[...] 2010
_[16] 학술지 Beer–Lambert law for optical tissue diagnostics: current state of the art and the main limitations 2021-10-28
_[17] 서적 Optical Properties of Solids https://global.oup.c[...] Oxford University Press 2010
_[18] 서적 Surfaces Oxford Chemistry Primers 1998
_[19] GoldBook Beer–Lambert law (or Beer–Lambert–Bouguer law)
_[20] 서적 アトキンス 物理化学 東京化学同人