로그함수 적분표
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2. 로그함수만 포함하는 함수의 적분
로그함수는 직접적인 기본 적분 공식이 존재하지 않아 주로 부분적분법을 이용하여 적분한다. 이 섹션에서는 밑이 다른 로그함수, 자연로그 함수와 그 변형, 그리고 함수 형태의 로그함수 등 순수하게 로그함수만 포함하는 다양한 형태의 부정적분 공식을 소개한다. 구체적인 공식은 아래 하위 섹션에서 다룬다.
2. 1. 밑이 a인 로그함수
\int\log_a x\,dx = x\log_a x - \frac{x}{\ln a} = \frac{x\ln x - x}{\ln a} 2. 2. 자연로그함수
: \int\ln(ax)\,dx = x\ln(ax) - x \int\ln (ax + b)\,dx = \frac{(ax+b)\ln(ax+b) - (ax+b)}{a} \int (\ln x)^2\,dx = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x \int (\ln x)^n\,dx = x\sum^{n}_{k=0}(-1)^{n-k} \frac{n!}{k!}(\ln x)^k \int \frac{dx}{\ln x} = \ln|\ln x| + \ln x + \sum^\infty_{k=2}\frac{(\ln x)^k}{k\cdot k!} \int \frac{dx}{\ln x} = \operatorname{li}(x) (\operatorname{li}(x) 는 로그 적분 함수 )\int \frac{dx}{(\ln x)^n} = -\frac{x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} + \frac{1}{n-1}\int\frac{dx}{(\ln x)^{n-1}} \qquad\mbox{(}n\neq 1\mbox{)} \int \ln f(x)\,dx = x\ln f(x) - \int x\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx \qquad\mbox{(}f\mbox{가 미분가능하고 } f(x) > 0\mbox{일 때)} \int (\ln x)^x\; dx = (\ln x)^{x-1} + \left(\ln (\ln x) \right)(\ln x)^x 2. 3. 일반적인 형태
\int \ln f(x)\,dx = x\ln f(x) - \int x\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx \qquad\mbox{(}f\mbox{가 미분 가능하고 } f(x) > 0\mbox{일 때)}
3. 로그함수와 다른 함수를 포함하는 함수의 적분
이 섹션에서는 로그함수가 거듭제곱 함수, 삼각함수, 지수함수 등 다른 종류의 함수와 결합된 형태의 부정적분 에 대한 공식들을 다룬다. 자세한 공식은 아래의 하위 섹션들을 참고하라.
3. 1. 로그함수와 거듭제곱 함수
: \int x^m\ln x\,dx = x^{m+1}\left(\frac{\ln x}{m+1}-\frac{1}{(m+1)^2}\right) \qquad\mbox{(}m\neq -1\mbox{)} \int x^m (\ln x)^n\,dx = \frac{x^{m+1}(\ln x)^n}{m+1} - \frac{n}{m+1}\int x^m (\ln x)^{n-1} dx \qquad\mbox{(}m\neq -1\mbox{)} \int \frac{(\ln x)^n\,dx}{x} = \frac{(\ln x)^{n+1}}{n+1} \qquad\mbox{(}n\neq -1\mbox{)} \int \frac{\ln{x^n}\;dx}{x} = \frac{ \left(\ln{x^n} \right)^2}{2n} \qquad\mbox{(}n\neq 0\mbox{)} \int \frac{\ln x\,dx}{x^m} = -\frac{\ln x}{(m-1)x^{m-1}}-\frac{1}{(m-1)^2 x^{m-1}} \qquad\mbox{(}m\neq 1\mbox{)} \int \frac{(\ln x)^n\,dx}{x^m} = -\frac{(\ln x)^n}{(m-1)x^{m-1}} + \frac{n}{m-1}\int\frac{(\ln x)^{n-1} dx}{x^m} \qquad\mbox{(}m\neq 1\mbox{)} \int \frac{x^m\,dx}{(\ln x)^n} = -\frac{x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} + \frac{m+1}{n-1}\int\frac{x^m dx}{(\ln x)^{n-1}} \qquad\mbox{(}n\neq 1\mbox{)} \int \frac{dx}{x \ln x} = \ln \left|\ln x\right| \int \frac{dx}{x \ln x \ln \ln x} = \ln \left|\ln \left|\ln x\right| \right| \int \frac{dx}{x\ln \ln x} = \operatorname{li}(\ln x) (로그 적분 함수 참조)\int \frac{dx}{x^n\ln x} = \ln \left|\ln x\right| + \sum^\infty_{k=1} (-1)^k\frac{(n-1)^k(\ln x)^k}{k\cdot k!} \int \frac{dx}{x(\ln x)^n} = -\frac{1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} \qquad\mbox{(}n\neq 1\mbox{)} \int \ln(x^2+a^2)\,dx = x\ln(x^2+a^2)-2x+2a\arctan \frac{x}{a} \int \frac{x}{x^2+a^2}\ln(x^2+a^2)\,dx = \frac{1}{4} \ln^2(x^2+a^2) 3. 2. 로그함수와 삼각함수
: \int \sin (\ln x)\,dx = \frac{x}{2}(\sin (\ln x) - \cos (\ln x)) \int \cos (\ln x)\,dx = \frac{x}{2}(\sin (\ln x) + \cos (\ln x)) 3. 3. 로그함수와 지수함수
: \int e^x \left(x \ln x - x - \frac{1}{x}\right)\,dx = e^x (x \ln x - x - \ln x) \int \frac{1}{e^x} \left( \frac{1}{x}-\ln x \right)\,dx = \frac{\ln x}{e^x} \int e^x \left( \frac{1}{\ln x}- \frac{1}{x(\ln x)^2} \right)\,dx = \frac{e^x}{\ln x}
4. 연속 적분
로그함수를 한 번 적분 하면 다음과 같다.\int\ln x\,dx = x(\ln x - 1) +C_{0} 적분 하면 다음 공식이 성립한다.\int\dotsi\int\ln x\,dx\dotsm dx = \frac{x^{n}}{n!}\left(\ln\,x-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right)+ \sum_{k=0}^{n-1} C_{k} \frac{x^{k}}{k!}
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