로그 적분 함수

1. 개요

로그 적분 함수는 정적분을 이용하여 정의되는 특수 함수이다. 유럽식 정의와 미국식 정의가 존재하며, 오프셋 로그 적분 또는 오일러 로그 적분이라고도 불린다. 로그 적분 함수는 소수의 밀도를 추정하는 데 사용되며, 소수 정리에서 소수 계량 함수와 관련되어 나타난다. 또한 지수 적분 함수와 밀접한 관련이 있으며, 급수 표현과 역함수 미분 관계를 갖는다. 로그 적분 함수는 라마누잔-솔드너 상수를 영점으로 가지며, li(2)와 같은 특수 값을 갖는다.

2. 정의

로그 적분 함수는 일반적으로 두 가지 형태로 정의된다.

로그 적분 함수 li^영어(x)는 모든 양의 실수 x ≠ 1에 대해 다음과 같이 정의되는 적분 표현을 갖는다.

:$\backslash operatorname\{li\}(x)\; =\; \backslash int\_0^x\; \backslash frac\{dt\}\{\backslash ln\; t\}.$

여기서 ln은 자연로그를 나타낸다. 함수 1/(ln t)는 t = 1에서 수학적 특이점을 가지며, x > 1에 대한 적분은 코시 주치로 해석된다.

:$\backslash operatorname\{li\}(x)\; =\; \backslash lim\_\{\backslash varepsilon\; \backslash to\; 0+\}\; \backslash left(\; \backslash int\_0^\{1-\backslash varepsilon\}\; \backslash frac\{dt\}\{\backslash ln\; t\}\; +\; \backslash int\_\{1+\backslash varepsilon\}^x\; \backslash frac\{dt\}\{\backslash ln\; t\}\; \backslash right).$

2.1. 미국식 정의

로그 적분 함수는 정적분을 사용하여 다음과 같이 정의된다.

:$\{\backslash rm\; li\}\; (x)\; =\; \backslash int\_0^x\; \backslash frac\{dt\}\{\backslash ln\; t\}\; \backslash ;$

여기서 $\{\backslash ln\}\; \backslash ;$은 자연로그를 의미한다. 함수 $\backslash frac\{1\}\{\backslash ln\; t\}$는 $t\; =\; 1$에서 수학적 특이점을 가지며, $x\; >\; 1$에 대한 적분은 코시 주치로 해석된다.

:$\backslash operatorname\{li\}(x)\; =\; \backslash lim\_\{\backslash varepsilon\; \backslash to\; 0+\}\; \backslash left(\; \backslash int\_0^\{1-\backslash varepsilon\}\; \backslash frac\{dt\}\{\backslash ln\; t\}\; +\; \backslash int\_\{1+\backslash varepsilon\}^x\; \backslash frac\{dt\}\{\backslash ln\; t\}\; \backslash right).$

2.2. 유럽식 정의 (오프셋 로그 적분)

오프셋 로그 적분 또는 오일러 로그 적분은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash operatorname\{Li\}(x)\; =\; \backslash int\_2^x\; \backslash frac\{dt\}\{\backslash ln\; t\}\; =\; \backslash operatorname\{li\}(x)\; -\; \backslash operatorname\{li\}(2).$

이와 같이 적분 표현은 적분 영역 내에서 특이점을 피할 수 있다는 장점이 있다.

동등하게는,

:$\backslash operatorname\{li\}(x)\; =\; \backslash int\_0^x\; \backslash frac\{dt\}\{\backslash ln\; t\}\; =\; \backslash operatorname\{Li\}(x)\; +\; \backslash operatorname\{li\}(2).$

3. 성질

x^영어 → ∞ 일 때, li(x)^영어는 (x/ln x)로 근사한다. 여기서 O는 점근 표기법을 의미한다.

x^영어가 충분히 클 때, li(x)^영어를 x/ln x로 근사할 수 있으며, 더 정밀한 점근 전개도 가능하다.

:

:

이는 다음과 같은 더 정확한 점근적 거동을 제공한다.

:

이 급수는 발산 급수이며, 유한한 수의 항에서 급수를 잘랐을 때, 그리고 큰 값의 x^영어를 사용할 때만 합리적인 근사이다.

로그 적분 함수는 소수의 밀도를 추정하는 데 사용되며, 소수 정리 등에 등장한다.

:

여기서 π(x)는 x 이하의 소수의 개수를 나타내는 소수 계량 함수이다. Li(x)는 수정 로그 적분 함수이며, 오일러의 로그 적분이라고도 불린다.

:

는 적분 영역의 특이점을 회피하며, 보다 더 잘 근사한다.

함수 li(x)^영어와 지수 적분 Ei(x)^영어 사이에는 다음 관계가 성립한다.

:

(단, 인 모든 양의 정수)

4. 급수 표현

로그 적분 함수는 지수 적분 함수 Ei(x)와 다음과 같은 관계를 가진다.

:li(x)^영어 = Ei(ln x)^영어

이 식은 x > 0에서 성립한다. 지수 적분 함수를 급수로 표현하면 다음과 같다.

:li (e^t)^영어 = Ei(t)^영어 = γ + ln ^영어} (t ≠ 0)

따라서 로그 적분 함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:li (x)^영어 = Ei(ln x)^영어 = γ + ln ln x + ∑_k=1^∞ {(ln x)^k / k · k!}^영어} (x ≠ 1)

라마누잔이 제시한 더 빠르게 수렴하는 급수는 다음과 같다.

:li (x)^영어 = γ + ln ln x + √x ∑_n=1^∞ {(-1)^n-1 (ln x)ⁿ / n! 2^n-1 ∑_k=0^{⌊ (n-1)/2 ⌋} {1 / (2k+1)^영어|γ + ln ln x + √x ∑n=1부터 ∞까지 {(-1)^n-1 (ln x)ⁿ / n! 2^n-1 ∑k=0부터 ⌊ (n-1)/2 ⌋까지 {1 / (2k+1)}}|오일러-마스케로니 상수 + ln ln x + √x 급수의 합 (n=1 부터 ∞까지) {(-1)^n-1 (ln x)ⁿ / n! 2^n-1 급수의 합 (k=0 부터 ⌊ (n-1)/2 ⌋) {1 / (2k+1)}}}}

여기서 γ ≈ 0.57721 56649 01532...는 오일러-마스케로니 상수이다.

5. 소수와의 관계

로그 적분 함수는 수론에서 매우 중요한데, 어떤 수 이하의 소수 개수를 어림하는 데 쓰이기 때문이다. 소수 정리에 따르면 다음이 성립한다.

:\(\pi(x)\sim\operatorname{li}(x)\)

여기서 \(\pi(x)\)은 소수 계량 함수이다.

작은 \(x\)에 대해서는 \(\operatorname{li}(x)\)가 \(\pi(x)\)보다 항상 약간 더 크지만, 스큐스 수에서 \(\pi(x)\)가 \(\operatorname{li}(x)\)보다 더 커지고, 이후에는 무한히 대소 순서가 바뀐다는 것이 알려져 있다.

리만 가설을 가정하면 다음이 성립한다.

:\(|\operatorname{li}(x)-\pi(x)| = O(\sqrt{x}\log x)\)

이는 리만 가설과 동치이다.

:\(|\operatorname{li}(x)-\pi(x)| = O(x^{1/2+a})\) (단, \(a>0\)).

작은 \(x\)에 대해, \(\operatorname{li}(x)>\pi(x)\) 이지만, 그 차이는 \(x\)가 증가함에 따라 무한히 많은 횟수로 부호가 바뀌며, 이 현상이 처음 발생하는 지점은 10¹⁹과 1.4×10³¹⁶ 사이 어딘가에 있다.

6. 특수값

함수 li(x)는 하나의 양의 영점을 가지며, 이 영점은 x ≈ 1.45136...에서 발생한다. 이 숫자는 라마누잔-솔드너 상수로 알려져 있다.

li(2) ≈ 1.04516...

이 값은 -(Γ(0, -ln 2) + iπ)이며, 여기서 Γ(a, x)는 불완전 감마 함수이다. 이 값은 함수의 코시 주치로 이해해야 한다.

7. 지수 적분 함수와의 관계

로그 적분 함수는 모든 양의 실수 x ≠ 1에 대해 다음과 같은 적분 표현을 갖는다.

:$\backslash operatorname\{li\}(x)\; =\; \backslash int\_0^x\; \backslash frac\{dt\}\{\backslash ln\; t\}.$

여기서 ln은 자연 로그를 나타낸다. 함수 1/(ln t)는 t = 1에서 수학적 특이점을 가지며, x > 1에 대한 적분은 코시 주치로 해석된다.

:$\backslash operatorname\{li\}(x)\; =\; \backslash lim\_\{\backslash varepsilon\; \backslash to\; 0+\}\; \backslash left(\; \backslash int\_0^\{1-\backslash varepsilon\}\; \backslash frac\{dt\}\{\backslash ln\; t\}\; +\; \backslash int\_\{1+\backslash varepsilon\}^x\; \backslash frac\{dt\}\{\backslash ln\; t\}\; \backslash right).$

이 함수는 다음 방정식을 통해 지수 적분 함수 Ei(x)와 관련이 있다.

:$\backslash operatorname\{li\}(x)=\backslash operatorname\{Ei\}(\backslash ln\; x)\; ,\; \backslash ,\backslash !$

이것은 x > 0에 대해 유효하다. 이 항등식은 li(x)의 급수 표현을 다음과 같이 제공한다.

:$\backslash operatorname\{li\}(e^u)\; =\; \backslash operatorname\{Ei\}(u)\; =$
\gamma + \ln |u| + \sum_{n=1}^\infty {u^{n}\over n \cdot n!}
\quad \text{ for } u \ne 0 \; ,

여기서 γ ≈ 0.57721 56649 01532 ...는 오일러-마스케로니 상수이다.

7.1. 관계식

로그 적분 함수는 지수 적분 함수 Ei(x)와 다음과 같은 관계를 가진다.

:li^영어(x) = Ei^영어(ln x)

이 식은 x > 0인 모든 x에 대하여 성립한다.

라마누잔이 제시한 더 빠르게 수렴하는 급수는 다음과 같다.

:li^영어(x) = γ + ln ln x + √x ∑_n=1^∞ (-1)^n-1 (ln x)ⁿ / {n! 2^n-1} ∑_k=0^{⌊ (n-1)/2 ⌋} {1 / {2k+1}}

여기서 γ ≈ 0.57721 56649 01532 ... 는 오일러-마스케로니 상수이다.

7.2. 역함수

지수 적분 함수와 밀접한 연관이 있다. 가장 간단한 예로는 li^영어(x)= Ei^영어(\ln x)라는 관계가 있다. 또한, 음함수 미분법을 이용하여 로그 적분 함수의 역함수를 미분해 보면 지수 적분 함수의 역함수가 나온다. 즉, 역함수를 함수 위에 -1을 위첨자로 쓴 형태로 표기한다면 $\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash operatorname\{li\}^\{-1\}(x)=\backslash operatorname\{Ei\}^\{-1\}(x)$이라고 쓸 수 있다.