자연로그

1. 개요

자연로그는 지수 함수의 역함수이며, ln x, log_e x로 표기한다. 1649년 이전에 자연로그의 개념이 연구되었으며, 쌍곡선의 구적법과 관련이 있다. 자연로그는 지수 함수의 역함수로 정의되거나, 쌍곡선의 그래프 아래 면적으로 정의될 수 있다. 주요 성질로는 ln 1 = 0, ln e = 1, 곱의 법칙, 몫의 법칙, 거듭제곱의 법칙 등이 있다. 자연로그는 미분하면 1/x가 되며, 적분은 x ln x - x + C로 나타낼 수 있다. 테일러 급수와 연분수를 이용하여 값을 계산할 수 있으며, 복소수 범위로 확장될 수 있다.

2. 표기

x의 자연로그는 $\backslash ln\; x$ 또는 $\backslash log\_e\; x$로 표기한다. 밑을 명시하지 않은 $\backslash log\; x$는 수학에서 자연로그로 사용되지만, 다른 분야에서는 상용 로그로 사용되기도 한다.

3. 역사

자연로그의 개념은 1649년 이전에 그레고아르 드 생-뱅상과 알퐁스 안토니오 데 사라사에 의해 연구되었다. 이들의 연구는 방정식 xy = 1을 갖는 쌍곡선의 구적법과 쌍곡선 부채꼴의 면적을 결정하는 것과 관련이 있었다. 그들의 해는 현재 자연로그와 관련된 속성을 가진 "쌍곡 로그" 함수를 생성했다.

니콜라스 메르카토르는 1668년에 출판된 자신의 저서 Logarithmotechnia에서 자연로그에 대해 처음으로 언급했지만, 존 스페이델은 1619년에 이미 자연로그 표를 구성했다.

4. 정의

자연로그는 여러 가지 방법으로 정의할 수 있다.

가장 일반적인 정의는 지수 함수 $e^x$의 역함수이며, 이 경우 $e^\{\backslash ln(x)\}\; =\; x$이다. 지수 함수 $e^x$는 모든 실수 $x$에 대해 양수이고 가역적이므로, $\backslash ln(x)$는 모든 양수 $x$에 대해 잘 정의된다.

5. 성질

* $\backslash ln\; 1\; =\; 0$
* $\backslash ln\; e\; =\; 1$
* 곱의 법칙: $\backslash ln(xy)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; \backslash ln\; y\; \backslash quad\; \backslash text\{for\; \}\backslash ;\; x\; >\; 0\backslash ;\backslash text\{and\; \}\backslash ;\; y\; >\; 0$
* 몫의 법칙: $\backslash ln(x/y)\; =\; \backslash ln\; x\; -\; \backslash ln\; y\; \backslash quad\; \backslash text\{for\; \}\backslash ;\; x\; >\; 0\backslash ;\backslash text\{and\; \}\backslash ;\; y\; >\; 0$
* 거듭제곱의 법칙: $\backslash ln(x^y)\; =\; y\; \backslash ln\; x\; \backslash quad\; \backslash text\{for\; \}\backslash ;\; x\; >\; 0$
* $\backslash ln(\backslash sqrt[y]\{x\})\; =\; (\backslash ln\; x)\; /\; y\backslash quad\; \backslash text\{for\; \}\backslash ;\; x\; >\; 0\backslash ;\backslash text\{and\; \}\backslash ;\; y\; \backslash ne\; 0$
* 부등식:
* 극한: $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{\backslash ln(1+x)\}\{x\}\; =\; 1$
* $\backslash lim\_\{\backslash alpha\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{x^\backslash alpha-1\}\{\backslash alpha\}\; =\; \backslash ln\; x\backslash quad\; \backslash text\{for\; \}\backslash ;\; x\; >\; 0$
* $\backslash frac\{x-1\}\{x\}\; \backslash leq\; \backslash ln\; x\; \backslash leq\; x-1\; \backslash quad\backslash text\{for\}\backslash quad\; x\; >\; 0$
* $\backslash ln\{(\; 1+x^\backslash alpha\; )\}\; \backslash leq\; \backslash alpha\; x\; \backslash quad\backslash text\{for\}\backslash quad\; x\; \backslash ge\; 0\backslash ;\backslash text\{and\; \}\backslash ;\; \backslash alpha\; \backslash ge\; 1$

6. 미분

$y(x)\; =\; \backslash ln\; x$이면 $y$의 $x$에 대한 미분은 $\{dy\; \backslash over\; dx\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\}$이다. 증명은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
{dy \over dx}
& = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\ln (x+\Delta x) - \ln x}{\Delta x} \\
& = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \ln \frac{x+\Delta x}{x} \\
& = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \ln (1+\frac{\Delta x}{x}) \\
& = \lim_{\Delta x \to 0} \ln {(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{1}{\Delta x}}} \\
\end{align}

$u\; =\; \backslash frac\{\backslash Delta\; x\}\{x\}$로 두면, $\backslash Delta\; x\; \backslash to\; 0$일 때 $u\; \backslash to\; 0$이다. 따라서

:$\backslash begin\{align\}$
{dy \over dx}
& = \lim_{u \to 0} \ln {(1+u)^{\frac{1}{u x}}} \\
& = \lim_{u \to 0} \frac{1}{x} \ln {(1+u)^{\frac{1}{u}}} \\
& = \frac{1}{x} \lim_{u \to 0} \ln {(1+u)^{\frac{1}{u}}} \\
& = \frac{1}{x} \ln e = \frac{1}{x} \\
\end{align}

양의 실수에 대한 실수 값 함수로서의 자연로그의 미분은 다음과 같이 주어진다.
$$\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash ln\; x\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\}.$$

만약 자연로그가 다음과 같은 적분으로 정의된다면
$$\backslash ln\; x\; =\; \backslash int\_1^x\; \backslash frac\{1\}\{t\}\backslash ,dt,$$
그러면 미분은 미적분학의 기본 정리의 첫 번째 부분에서 즉시 유도된다.

반면에, 자연로그가 (자연) 지수 함수의 역함수로 정의된다면, $x\; >\; 0$ 에 대해 미분은 로그의 성질과 지수 함수의 정의를 사용하여 구할 수 있다.

수 $e\; =\; \backslash lim\_\{u\backslash to\; 0\}(1+u)^\{1/u\}$의 정의로부터, 지수 함수는 다음과 같이 정의될 수 있다.
$$e^x\; =\; \backslash lim\_\{u\backslash to\; 0\}\; (1+u)^\{x/u\}\; =\; \backslash lim\_\{h\backslash to\; 0\}(1\; +\; hx)^\{1/h\}\; ,$$ 여기서 $u=hx,\; h=\backslash frac\{u\}\{x\}.$

그런 다음 미분은 기본적인 원리로부터 구할 수 있다.
$$\backslash begin\{align\}$$
\frac{d}{dx} \ln x &= \lim_{h\to 0} \frac{\ln(x+h) - \ln x}{h} \\
&= \lim_{h\to 0}\left[ \frac{1}{h} \ln\left(\frac{x+h}{x}\right)\right] \\
&= \lim_{h\to 0}\left[ \ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right]\quad &&\text{로그의 성질에 의함}\\
&= \ln \left[ \lim_{h\to 0}\left(1 + \frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\right]\quad &&\text{로그의 연속성에 의함} \\
&= \ln e^{1/x} \quad &&\text{ } e^x = \lim_{h\to 0}(1 + hx)^{1/h}의 정의에 의함\\
&= \frac{1}{x} \quad &&\text{역함수로서의 ln의 정의에 의함.}
\end{align}

또한 다음과 같다.
$$\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash ln\; ax\; =\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\; (\backslash ln\; a\; +\; \backslash ln\; x)\; =\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash ln\; a\; +\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash ln\; x\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\}.$$

따라서 역함수 $e^\{ax\}$와는 달리, 함수 내의 상수는 미분을 변경하지 않는다.

7. 적분

부분 적분법을 사용하여 자연로그를 적분하면 다음과 같다:

:$\backslash int\; \backslash ln\; x\; \backslash ,dx\; =\; x\; \backslash ln\; x\; -\; x\; +\; C$

여기서 C는 적분 상수이다.

유도 과정은 다음과 같다.

:$u\; =\; \backslash ln\; x\; \backslash Rightarrow\; du\; =\; \backslash frac\{dx\}\{x\}$
:$dv\; =\; dx\; \backslash Rightarrow\; v\; =\; x$
:$$
\begin{align}
\int \ln x \,dx & = x \ln x - \int \frac{x}{x} \,dx \\
& = x \ln x - \int 1 \,dx \\
& = x \ln x - x + C
\end{align}


$g(x)\; =\; \backslash frac\{f\text{'}(x)\}\{f(x)\}$ 형태의 함수의 부정적분은 $\backslash ln\; (|f(x)|)$로 주어진다. 이는 연쇄 법칙과 다음 사실 때문이다:

:$\backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash ln\; \backslash left|\; x\; \backslash right|\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\},\; \backslash \; \backslash \; x\; \backslash ne\; 0$

다시 말해, $x=0$을 포함하지 않는 실수 선상의 구간에 대해 적분하면,

:$\backslash int\; \backslash frac\{1\}\{x\}\; \backslash ,dx\; =\; \backslash ln|x|\; +\; C$

마찬가지로, 적분이 $f(x)\; \backslash ne\; 0$인 구간에 걸쳐 있을 때,

:$\backslash int\; \{\; \backslash frac\{f\text{'}(x)\}\{f(x)\}\backslash ,dx\}\; =\; \backslash ln|f(x)|\; +\; C$

예를 들어, $\backslash tan\; (x)$가 무한대가 되는 점을 포함하지 않는 구간에서 $\backslash tan\; (x)$의 적분은 다음과 같다.

:$\backslash int\; \backslash tan\; x\; \backslash ,dx\; =\; \backslash int\; \backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{\backslash cos\; x\}\; \backslash ,dx\; =\; -\backslash int\; \backslash frac\{\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash cos\; x\}\{\backslash cos\; x\}\; \backslash ,dx\; =\; -\backslash ln\; \backslash left|\; \backslash cos\; x\; \backslash right|\; +\; C\; =\; \backslash ln\; \backslash left|\; \backslash sec\; x\; \backslash right|\; +\; C$

8. 급수 전개

9. 복소수에서의 자연로그

오일러 공식을 이용하면 로그 함수를 복소수 범위까지 확장할 수 있다. 오일러 공식은 다음과 같다.

:$re^\{ix\}\; =\; r(\backslash cos\; x\; +\; i\backslash sin\; x)$

양변에 자연로그를 취하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

:$\backslash ln\; r(\backslash cos\; x\; +\; i\backslash sin\; x)\; =\; ix\; +\; \backslash ln\; r$

지수 함수는 임의의 복소수 z에 대해 $e^z$ 형태로 확장할 수 있으며, 무한 급수를 사용하여 복소 로그를 정의할 수 있다. 하지만 여기에는 두 가지 어려움이 있다.

* x에 대해 $e^x\; =\; 0$을 만족하는 해는 존재하지 않는다.
* $e^\{2i\backslash pi\}\; =\; 1\; =\; e^0$이다.

복소 지수 함수는 곱셈 속성을 유지하므로, 모든 복소수 z와 정수 k에 대해 $e^z\; =\; e^\{z+2ki\backslash pi\}$가 성립한다.

이러한 성질 때문에 복소 로그 함수는 다중값 함수가 된다. 즉, 하나의 복소수에 대해 여러 개의 로그 값을 가질 수 있다. 예를 들어, $\backslash ln\; i\; =\; \backslash frac\{i\backslash pi\}\{2\}$ 또는 $\backslash frac\{5i\backslash pi\}\{2\}$ 또는 $-\backslash frac\{3i\backslash pi\}\{2\}$ 등등 무수히 많은 값을 가질 수 있다.

이러한 다중값 문제를 해결하기 위해 주치를 사용한다. 복소수 z를 극좌표 형식으로 표현하면 $z\; =\; re^\{i\backslash theta\}$ (r>0)이다. 이때 편각 θ의 범위를 로 제한하면, 로그 함수를 단일값 함수로 정의할 수 있다. 이 함수를 로그 함수의 주치라고 하며, $\backslash operatorname\{Log\}\; z$로 표기한다.

복소 로그 함수의 주치는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash operatorname\{Log\}\; z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\backslash theta$ (단, )

복소 로그 함수는 자른 평면에서 단일 값을 가지며, 실수 함수에서의 로그 함수가 만족하는 항등식을 만족하지 않을 수 있다.

10. 계산

1에 가까운 값의 자연로그는 1을 중심으로 하는 테일러 급수의 수렴 속도가 빠르다는 점을 이용하여 계산할 수 있다. 로그와 관련된 항등식을 활용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash ln\; 123.456\; =\; \backslash ln(1.23456\; \backslash cdot\; 10^2)\; =\; \backslash ln\; 1.23456\; +\; 2\; \backslash ln\; 10\; \backslash approx\; \backslash ln\; 1.23456\; +\; 2\; \backslash cdot\; 2.3025851.$

이러한 방법은 계산기가 없던 시절, 수치표를 참조하여 계산할 때 사용되었다. 10의 자연로그는 약 2.30258509이며, 과학적 표기법으로 표시된 숫자의 자연로그를 계산할 때 사용된다.

:$\backslash ln(a\backslash cdot\; 10^n)\; =\; \backslash ln\; a\; +\; n\; \backslash ln\; 10.$

이는 작은 소수 집합의 로그를 사용하여 매우 크거나 작은 크기의 숫자의 로그를 효과적으로 계산할 수 있음을 의미한다.

높은 정밀도의 자연로그 계산에는 테일러 급수보다 할리 방법이나 뉴턴 방법을 사용하여 지수 함수를 역함수로 사용하는 것이 효율적이다. 할리 방법을 사용하면 $\backslash ln\; (x)$에 대해 3차 수렴하는 다음 식을 얻을 수 있다.

:$y\_\{n+1\}\; =\; y\_n\; +\; 2\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\; x\; -\; \backslash exp\; (\; y\_n\; )\; \}\{\; x\; +\; \backslash exp\; (\; y\_n\; )\; \}$

극도로 높은 정밀도를 위해서는 다음 공식을 사용할 수 있다.

:$\backslash ln\; x\; \backslash approx\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\; M(1,4/s)\}\; -\; m\; \backslash ln\; 2,$

여기서 M은 1과 4/s의 산술-기하 평균이고, $s\; =\; x\; 2^m\; >\; 2^\{p/2\}$이며, m은 p 비트의 정밀도를 얻도록 선택한다. 또는 다음 공식을 사용할 수도 있다.

:$\backslash ln\; x\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{M\backslash left(\backslash theta\_2^2(1/x),\backslash theta\_3^2(1/x)\backslash right)\},\backslash quad\; x\backslash in\; (1,\backslash infty)$

여기서 $$
\theta_2(x) = \sum_{n\in\Z} x^{(n+1/2)^2},
\quad
\theta_3(x) = \sum_{n\in\Z} x^{n^2}
은 야코비 세타 함수이다.

1979년 휴렛 팩커드 (HP-41C) 계산기에서 처음 구현된 LNP1 또는 log1p 함수는 0에 가까운 값에 대한 자연로그를 더 정확하게 계산하기 위해 사용된다. 이 함수는 log1p(x) 값을 반환하는 대신, 1에 가까운 값 y를 ln(y)를 반환하는 함수에 전달한다. 이는 부동 소수점 연산에서 발생하는 반올림 오차를 줄여준다.

expm1", "expm" 또는 "exp1m"이라는 유사한 역함수도 존재한다.

역쌍곡 탄젠트를 이용한 다음 항등식은 log1p(x)를 구현하지 않는 시스템에서 작은 x 값에 대해 높은 정밀도를 제공한다.

:$\backslash mathrm\{log1p\}(x)\; =\; \backslash log(1+x)\; =\; 2\; ~\; \backslash mathrm\{artanh\}\backslash left(\backslash frac\{x\}\{2+x\}\backslash right)\backslash ,,$

산술-기하 평균을 사용하여 자연 로그를 계산하는 계산 복잡도는 $\backslash text\{O\}\backslash bigl(M(n)\; \backslash ln\; n\; \backslash bigr)$이다. 여기서 n은 정밀도의 자릿수이고, M(n)은 두 n 자릿수 숫자를 곱하는 계산 복잡도이다.

11. 연분수

단순한 연분수는 없지만, 다음과 같은 여러 일반화된 연분수가 존재한다.

:ln^영어(1+x) = frac^영어-frac^영어+frac^영어-frac^영어+frac^영어-⋯

: = cfrac^영어}}

:ln^영어(Big^영어+frac^영어) = cfrac^영어}}

: = cfrac^영어}}

이러한 연분수, 특히 마지막 연분수는 1에 가까운 값에 대해 빠르게 수렴한다. 그러나 훨씬 더 큰 수의 자연 로그는 더 작은 수의 자연 로그를 반복적으로 더하여 유사하게 빠르게 수렴하도록 쉽게 계산할 수 있다.

예를 들어, 2 = 1.25³ × 1.024 이므로, 2의 자연로그는 다음과 같이 계산할 수 있다.

:ln^영어 2 = 3 ln^영어(Big^영어+frac^영어) + ln^영어(Big^영어+frac^영어)

: = cfrac^영어}} + cfrac^영어}}}

또한, 10 = 1.25¹⁰ × 1.024³ 이므로, 10의 자연 로그도 유사하게 계산할 수 있다.

:ln^영어 10 = 10 ln^영어(Big^영어+frac^영어) + 3ln^영어(Big^영어+frac^영어)

: = cfrac^영어}} + cfrac^영어}}}

자연 로그의 역수도 다음과 같이 쓸 수 있다.

:frac^영어 = frac^영어sqrt^영어sqrt^영어…

예를 들어:

:frac^영어 = frac^영어sqrt^영어 sqrt^영어 …