리만-후르비츠 공식

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
- 3.1. 일반화
4. 성질
5. 예시
참조

1. 개요

리만-후르비츠 공식은 두 콤팩트 리만 곡면 사이의 정칙 함수에 대한 공식으로, 오일러 지표 사이의 관계를 나타낸다. 이 공식은 베른하르트 리만과 아돌프 후르비츠에 의해 증명되었으며, 분기점과 분기 지표를 사용하여 두 리만 곡면의 오일러 지표 간의 관계를 표현한다. 일반화된 공식인 제우텐의 정리와 오비폴드 덮개에 대한 리만-후르비츠 공식도 존재하며, 대수적 위상수학과 복소해석학에서 다양한 결과를 도출하는 데 사용된다. 바이어슈트라스 타원 함수와 리만 구면 위의 함수, 초타원 곡선의 종수를 계산하는 데에도 적용될 수 있다.

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리만-후르비츠 공식
리만-후르비츠 공식
분야
분야	대수기하학, 리만 곡면론
공식
공식	2g - 2 = n(2g' - 2) + Σ(e_P - 1)
g	덮개 공간의 종수
g'	밑 공간의 종수
n	덮개의 차수 (일반적으로 섬유의 점 개수)
P	덮개 공간의 점
e_P	P에서의 분기 지수
적용
적용	리만 곡면의 덮개

2. 역사

베른하르트 리만과 아돌프 후르비츠가 이 공식을 증명하였다.

3. 정의

두 콤팩트 리만 곡면 $S,T$ 사이에 정칙함수 $\pi\colon T\to S$ 가 존재한다고 하자. 함수 $\pi$ 가 $p\in T$ 에서 국소적으로 $z\mapsto z^n+O(z^{n+1})$ ( $n>1$ ) 꼴일 때, 점 $p$ 를 '''분기점'''(ramified point^영어)이라고 하고, $e_p=n$ 을 그 '''분기 지표'''(ramification index^영어)라고 한다.

$\pi$ 가 유한개의 분기점을 가지고, 분기점이 아닌 점에서는 국소 동형사상( $N$ 중 피복 공간)이라고 가정하면, 두 리만 곡면의 오일러 지표 사이에는 다음 관계가 성립한다.

: $\chi(T)=N\chi(S)-\sum_{p\in T}(e_p-1)$

여기서 $\sum_{p\in T}$ 는 $\pi$ 의 분기점들에 대한 합이다. 이 공식을 '''리만-후르비츠 공식'''이라고 한다.

이 공식에 따라서, 낮은 종수에서 높은 종수로 가는 분지 피복은 존재하지 않는다. 또한, 종수 0의 리만 곡면 위에는 분지점이 없는 피복은 존재하지 않는다.

3. 1. 일반화

곡선의 대응에 대한 일반화된 공식으로 '''제우텐의 정리'''(Zeuthen's theorem)가 있다. 이는 오일러 지표가 대응의 차수에 반비례한다는 근사에서 분기를 보정한다.

오비폴드 덮개에 대한 리만-후르비츠 공식도 성립한다. 오비폴드 표면 S'와 S 사이의 차수 N의 오비폴드 덮개는 분기 덮개이므로, 다음 공식을 얻는다.

:

\chi(S') = N\cdot\chi(S) \,

여기서

\chi \,

는 오비폴드 오일러 지수를 나타낸다.

4. 성질

낮은 종수에서 높은 종수로 가는 분지 피복은 존재하지 않는다. 또한, 종수 0의 리만 곡면 위에는 분지점이 없는 피복은 존재하지 않는다. 종수 0의 곡선은 오일러 지표가 2보다 커지기 때문에 모든 곳에서 비분기인 ''N'' > 1인 피복을 갖지 않는다.

5. 예시

바이어슈트라스 타원함수와 리만 구면 위의 함수를 통해 리만-후르비츠 공식을 적용하는 예시를 살펴볼 수 있다. 또한, 초타원 곡선의 종수를 계산하는 데에도 이 공식을 활용할 수 있다.

5. 1. 바이어슈트라스 타원함수

바이어슈트라스 타원함수 $\wp(\cdot,\Lambda)\colon\mathbb C/\Lambda\to\hat{\mathbb C}$는 타원곡선 $\mathbb C/\Lambda$에서 리만 구면으로 가는 정칙함수이다. 이는 2중 피복이며, 네 개의 분기 지표가 2인 분기점을 갖는다. 따라서 다음이 성립한다.

:

0=2\cdot 2-4\cdot(2-1)

바이어슈트라스 $\wp$-함수는 리만 구면을 값으로 갖는 유형 함수로, 타원 곡선(종수 1)에서 사영 직선(종수 0)으로의 사상을 생성한다. 이는 4개의 점(e = 2)에서만 분기가 있는 이중 덮개(N = 2)이다. 그러면 리만-후르비츠 공식은 다음과 같다.

:

0 = 2\cdot2 - 4\cdot(2 - 1)

(여기서 합산은 4개의 분기점을 통해 이루어진다.)

바이어슈트라스 $\wp$-함수는 리만 구면에 값을 갖는 유형 함수로 생각할 수 있으며, 타원 곡선(종수 1)에서 리만 구면(종수 0)으로의 사상이다. 이 사상은 이중 피복(N=2)이며, 4개의 점에서 분기를 가지고, 분기 지수는 e = 2이다. 리만-후르비츠 공식은 P의 4개의 값에 대한 합으로,

:

0 = 2\cdot2 - \Sigma\ 1

이 된다.

5. 2. 리만 구면 위의 함수

리만 구면 위의 정칙함수

\hat{\mathbb C}\to\hat{\mathbb C}

,

z\mapsto z^N

을 생각하자 (

N>1

). 그렇다면 이는

N

중 분지 피복이며, 그 분기점은 다음과 같다.

$z=0$ , 분지 지표 $n$
$z=\widehat\infty$ , 분지 지표 $n$

따라서 리만-후르비츠 공식은 다음과 같다.

:

2=N\cdot2-(n-1)-(n-1)

다른 예로, 함수

z^n

은 리만 면에서 자기 자신으로의 사상을 주며,

n>1

에 대해

z=0

에서 지수

n

의 분기를 갖는다. 그 외에는 무한원점만 분기할 수 있다. 등식

:

2 = n\cdot2 - (n - 1) - (e_\infty - 1)

을 만족하려면 무한원점의 분기 지수는

n

이어야 한다.

5. 3. 초타원 곡선

이 공식은 초타원 곡선의 종수를 계산하는 데 사용될 수 있다.

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