피복 공간

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1. 개요

피복 공간은 위상 공간 B의 또 다른 위상 공간 E로의 피복 함수 π: E → B로 구성된 올다발이다. 피복 공간은 E가 B를 덮는 방식으로 B의 각 점에 대해 E의 올이 이산적으로 나타나는 구조를 갖는다. 피복 공간의 개념은 리만 곡면 연구에서 시작되었으며, 위상수학, 기하학, 그리고 응용 수학 분야에서 중요한 역할을 한다. 특히, 피복 공간은 공간의 연결성, 기본군, 그리고 올림 성질과 같은 위상적 특성을 연구하는 데 사용되며, 3차원 회전을 표현하는 데 사용되는 짐벌 락과 같은 현상을 이해하는 데에도 기여한다.

피복 공간

개요

종류	연속 함수
분야	위상수학
관련 항목	기본군, 올림 정리

정의

설명	위상 공간 사이의 연속 함수 $p: E o B$가 다음 조건을 만족하면 피복 공간(covering space)이라고 한다. $B$의 모든 점 $b$에 대해, $b$의 열린 근방 $U$가 존재하여 $p^{-1}(U)$는 $U$와 위상적으로 동형인 $E$의 열린 집합들의 서로소 합집합이 된다.

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2. 정의

위상 공간 $B$ 의 피복 공간, 피복 함수, 올, 피복 근방 등은 다음과 같이 정의된다.

* 피복 공간: 올이 이산 공간인 올다발이다.
* 피복 함수: 피복 공간 $(E, F, \pi)$ 에서 $\pi: E \to B$ 는 전사 연속 함수이다.
* 올(fiber^영어): 피복 함수 $\pi$ 에서, $F$ 는 이산 위상을 갖는 집합으로, 피복의 올이라고 불린다.
* 피복 근방: 임의의 $b \in B$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 $U \ni b$ 를 피복 근방이라고 한다.
* $\tilde U = \pi^{-1}(U)$ 에 부분 공간 위상을 주고, $F$ 에 이산 위상을 주면, 위상 동형 $\iota\colon U \times F \to \tilde U$ 가 존재하며, 또한 모든 $f \in F$ 에 대하여 $\pi|_{\iota(f \times U)}\colon \iota(f \times U) \to U$ 역시 위상 동형이다.

위상 공간 $X$ 가 주어졌을 때, 피복은 다음과 같은 연속 함수이다.
: $\pi : \tilde X \rightarrow X$

모든 $x \in X$ 에 대해, $x$ 의 열린 근방 $U_x$ 와 이산 공간 $D_x$ 가 존재하여, $\pi^{-1}(U_x)= \displaystyle \bigsqcup_{d \in D_x} V_d$ 이고 모든 $d \in D_x$ 에 대해 $\pi|_{V_d}:V_d \rightarrow U_x$ 가 위상 동형이다. 열린 집합 $V_{d}$ 는 시트라고 불리며, $U_x$ 가 연결되어 있으면 위상 동형까지 고유하게 결정된다. 각 $x \in X$ 에 대해 이산 집합 $\pi^{-1}(x)$ 는 $x$ 의 올이라고 불린다.

위상 공간 C에서 X로의 연속 전사 함수 p : C → X가 피복 사상이라는 것은, 모든 점 x ∈ X에 대해 x의 열린 근방 U가 존재하여, 역상 p^-1(U)가 공통 부분을 갖지 않는 C의 열린 집합의 합집합으로 표시되고, 각 열린 집합이 p의 제한 사상에 의해 U와 위상 동형임을 말한다. 이때 C를 피복 공간, X를 밑공간이라고 한다. 정의에 나타나는 점 x의 특별한 열린 근방 U를 균등 피복 근방이라고 한다. 균등 피복 근방은 공간 X의 열린 덮개가 된다. 균등 피복 근방 U의 C에서의 위상 동형 복사본을, U 상의 시트라고 한다.

만약 $X$ 가 연결되어 있고( $\tilde X$ 가 비어있지 않다면), $\pi$ 가 전사 함수이고, $D_x$ 의 기수는 모든 $x \in X$ 에 대해 동일하다. 이 값은 피복의 차수라고 불린다. X가 연결되어 있다면, 이산 공간 F가 존재하여 모든 x ∈ X에 대해, x 위의 파이버는 F에 준동형이며, 또한 모든 x ∈ X에 대해, x의 근방 U가 존재하고, 그 역상 p⁻¹(U)는 U × F와 위상 동형이다. 특히, x 위의 파이버의 농도 (점의 수)는 F의 농도와 같으며, 피복 사상 p : C → X의 차수라고 부른다. 모든 파이버가 n개의 원소를 가지면, n-중 피복이라고 부른다 (n = 1일 때는 자명한 피복이라고 하고, n = 2일 때는 이중 피복이라고 하며, n = 3일 때는 삼중 피복이라고 한다).

2.1. 피복 공간

위상 공간 $B$ 의 피복 공간 $(E,F,\pi)$ 는 다음 조건을 만족한다.

* $E$ 는 위상 공간이다.
* $\pi\colon E\to B$ 는 전사 연속 함수이다.
* $F$ 는 집합이며, 여기에 이산 위상을 부여하여 이산 공간으로 생각할 수 있다.

임의의 $b\in B$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 열린 근방 $U\ni b$ 가 존재해야 한다.

* $\tilde U=\pi^{-1}(U)$ 에 부분 공간 위상을 주고, $F$ 에 이산 위상을 주면, 위상 동형 $\iota\colon U\times F\to\tilde U$ 가 존재하며, 또한 모든 $f\in F$ 에 대하여 $\pi|_{\iota(f\times U)}\colon\iota(f\times U)\to U$ 역시 위상 동형이다.

이 경우, $\pi$ 를 피복 함수(被覆函數, covering function^영어)라고 하며, $F$ 를 피복의 올(fiber^영어)이라고 한다. 위 조건을 만족시키는 근방을 피복 근방(被覆近傍, covering neighborhood^영어)이라고 한다.

올이 $F$ 인 피복 공간을 $|F|$ 겹 피복 공간(^영어)이라고 한다. 여기서 $|F|$ 는 집합의 크기를 뜻한다.

만약 $E$ 가 단일 연결 공간이라면, $(E,F,\pi)$ 를 범피복 공간(凡被覆空間, universal covering space^영어)이라 한다.

피복 공간의 사상(morphism^영어)은 올다발 사상과 같다. 즉, $B$ 위의 두 피복 공간 $(F,E,\pi)$ 및 $(F',E',\pi')$ 사이의 사상은 다음 그림을 가환하게 만드는 연속 함수 $f\colon E\to E'$ 이다.

: $\begin{matrix}E&\xrightarrow f&E'\\{\scriptstyle\pi}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\pi'\\B&\xrightarrow[\operatorname{id}]{}&B\end{matrix}$

이에 따라, 주어진 위상 공간 $B$ 위의 피복 공간들은 범주 $\operatorname{TopCov}(B)$ 를 이룬다. 피복 공간의 자기 동형은 피복 변환(被覆變換, deck transformation^영어)이라고 한다. 이들이 이루는 군은 피복 변환군(被覆變換群, deck transformation group^영어)이라고 한다.

2.2. 피복 변환

위상 공간 B^영어 위의 두 피복 공간 $(F,E,\pi)$ 및 $(F',E',\pi')$ 사이의 사상은 다음 그림을 가환하게 만드는 연속 함수 $f\colon E\to E'$ 이다.

: $\begin{matrix}E&\xrightarrow f&E'\\{\scriptstyle\pi}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\pi'\\B&\xrightarrow[\operatorname{id}]{}&B\end{matrix}$

이에 따라, 주어진 위상 공간 B^영어 위의 피복 공간들은 범주 $\operatorname{TopCov}(B)$ 를 이룬다. 피복 공간의 자기 동형은 피복 변환(deck transformation^영어)이라고 한다. 이들이 이루는 군은 피복 변환군(deck transformation group^영어)이라고 한다.

$X$ 를 위상 공간, $p:E \rightarrow X$ 와 $p':E' \rightarrow X$ 를 피복이라고 하자. 두 피복이 동치라는 것은, 다음 그림

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이 가환이 되도록 하는 위상 동형 사상 $h:E \rightarrow E'$ 가 존재할 때를 말한다. 이러한 위상 동형 사상이 존재하면, 피복 공간 $E$ 와 $E'$ 는 동형이라고 부른다.

피복 사상 $p:E \rightarrow X$ 가 주어졌을 때, 데크 변환은 연속 사상의 다이어그램

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을 가환하게 하는 위상 동형 사상 $d:E \rightarrow E$ 이다. 사상의 합성과 함께 데크 변환의 집합은 군 $\operatorname{Deck}(p)$ 를 이루며, 이는 $\operatorname{Aut}(p)$ 와 동일하다.

이제 $p:C \to X$ 가 피복 사상이고, $C$ (그리고 따라서 $X$ 도)가 연결되어 있으며 국소적으로 경로 연결되어 있다고 가정하자. $\operatorname{Aut}(p)$ 의 각 올에 대한 작용은 자유 작용이다. 이 작용이 어떤 올에서 전이적이면 모든 올에서 전이적이며, 이 피복을 정규(또는 노름 또는 갈루아 피복)라고 부른다. 이러한 정규 피복은 모두 주 $G$ -다발이며, 여기서 $G = \operatorname{Aut}(p)$ 는 이산 위상군으로 간주된다.

모든 보편 피복 $p:D \to X$ 는 정규 피복이며, 데크 변환군은 기본군 $\pi_1(X)$ 와 동형이다.

경로 연결 공간 $X$ 가 주어지고, $p:E \rightarrow X$ 가 연결된 덮개라고 하자. 덮개 변환 $d:E \rightarrow E$ 는 전단사이므로, $x \in X$ 에 대해 섬유 $p^{-1}(x)$ 의 원소를 순열하며, 단일점을 어디로 보내는지에 의해 고유하게 결정된다. 특히, 항등 사상만이 섬유 내의 점을 고정한다. 이러한 성질 때문에 모든 덮개 변환은 $E$ 에 대한 군 작용을 정의한다. 즉, $U \subset X$ 를 $x \in X$ 의 열린 근방으로, $\tilde U \subset E$ 를 $e \in p^{-1}(x)$ 의 열린 근방으로 둔다면, $\operatorname{Deck}(p) \times E \rightarrow E: (d,\tilde U)\mapsto d(\tilde U)$ 는 군 작용이다.

피복 $p:E \rightarrow X$ 가 정규라고 불리는 것은 $\operatorname{Deck}(p) \backslash E \cong X$ 일 경우이다. 이는 모든 $x \in X$ 와 임의의 두 $e_0,e_1 \in p^{-1}(x)$ 에 대해 $d(e_0)=e_1$ 을 만족하는 데크 변환 $d:E \rightarrow E$ 가 존재한다는 것을 의미한다.

경로 연결 공간 $X$ 가 있고, $p:E \rightarrow X$ 가 연결된 덮개라고 하자. $H=p_{\#}(\pi_1(E))$ 가 $\pi_1(X)$ 의 부분군일 때, $p$ 는 $H$ 가 $\pi_1(X)$ 의 정규 부분군일 필요충분조건이다.

만약 $p:E \rightarrow X$ 가 정규 덮개이고 $H=p_{\#}(\pi_1(E))$ 이면, $\operatorname{Deck}(p) \cong \pi_1(X)/H$ 이다.

만약 $p:E \rightarrow X$ 가 경로 연결 덮개이고 $H=p_{\#}(\pi_1(E))$ 이면, $\operatorname{Deck}(p) \cong N(H)/H$ 이며, 여기서 $N(H)$ 는 $H$ 의 정규화 부분군이다.

$E$ 를 위상 공간이라고 하자. 군 $\Gamma$ 가 $E$ 에 불연속적으로 작용한다는 것은, 모든 $e \in E$ 에 대해 $V \neq \empty$ 를 만족하는 열린 근방 $V \subset E$ 가 존재하여, 모든 $d_1, d_2 \in \Gamma$ 에 대해 $d_1 V \cap d_2 V \neq \empty$ 이면 $d_1 = d_2$ 를 만족하는 것을 의미한다.

만약 군 $\Gamma$ 가 위상 공간 $E$ 에 불연속적으로 작용한다면, 몫 사상 $q: E \rightarrow \Gamma \backslash E$ with $q(e)=\Gamma e$ 는 정규 덮개이다. 여기서 $\Gamma \backslash E = \{\Gamma e: e \in E\}$ 는 몫 공간이고, $\Gamma e = \{\gamma(e):\gamma \in \Gamma\}$ 는 군 작용의 궤도이다.

* 피복 $q : S^1 \to S^1$ with $q(z)=z^{n}$ 은 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 정규 피복이다.
* 모든 단일 연결 피복은 정규 피복이다.

Γ를 위상 공간 E에 불연속적으로 작용하는 군이라고 하고, q: E → Γ \ E를 정규 덮개라고 하자.

* 만약 E가 경로 연결되어 있다면, $\operatorname{Deck}(q) \cong \Gamma$ 이다.
* 만약 E가 단일 연결되어 있다면, $\operatorname{Deck}(q)\cong \pi_1(\Gamma \backslash E)$ 이다.

위상 공간 $X$ 가 주어졌을 때, 범주 $\boldsymbol{Cov(X)}$ 의 대상은 $X$ 의 피복 $p:E \rightarrow X$ 이며, 두 피복 $p:E \rightarrow X$ 와 $q:F\rightarrow X$ 사이의 사상은 다음 그림이

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가환이 되도록 하는 연속 함수 $f:E \rightarrow F$ 이다.

p₁ : C₁ → X 와 p₂ : C₂ → X 가 두 개의 피복이라고 하자.

(p₁, C₁) 과 (p₂, C₂) 는, 어떤 위상 동형 사상 p₂₁ : C₂ → C₁ 이 존재하여 p₂ = p₁op₂₁ 일 때, 동치라고 한다. 이것은 동치 관계이다. 피복의 동치류는 켤레류에 대응한다. p₂₁ 이 위상 동형 사상이 아닌 피복인 경우에는,

(p₂, C₂) 는 (p₁, C₁) 을 지배한다(dominate)고 한다. 여기서 p₂ = p₁op₂₁ 이다.

피복 p : C → X 의 피복 변환 또는 자기 동형은 p ∘ f = p 인 C 상의 자기 동형 사상 f : C → C 를 말한다. 피복 p의 피복 변환 전체는 사상 합성에 관하여 군을 이루며, 이를 피복 변환군이라고 부른다. 피복 변환은 데크 변환이라고도 불린다. 모든 피복 변환은 각 섬유의 원소를 치환한다. 이것은 각 섬유상에서 피복 변환의 군 작용을 정의한다. 리프트(올림)의 유일성에 의해, f가 항등 사상이 아니고 C가 호상 연결이면, f는 고정점을 갖지 않는다.

여기서, p : C → X 가 피복 사상이고, C가 연결이고 국소 호상 연결이라고 가정한다(따라서 X도 그러하다). 각 섬유 위에서의 Aut(p)의 작용은 자유이다. 이 작용이 어떤 섬유 위에서 추이적이면, 모든 섬유 위에서 추이적이며, 이 경우 피복을 정규(regular) 또는 정칙(normal), 갈루아적이라고 부른다. 모든 그러한 정규 피복은 주 G-다발이며, G = Aut(p)는 이산 위상군으로 간주된다.

모든 보편 피복 p : D → X 는 정규이며, 피복 변환군은 기본군 π₁(X) 에 동형이다.

위의 p(z) = zⁿ 의 예시 p : C^× → C^×는 정규 피복이며, 피복 변환은 1의 n-제곱근에 의한 곱셈이며, 따라서, 피복 변환군은 순환군 C_n에 동형이다.

다른 예로, 위의 p(z) = z^n! 의 예시 p : C* → C* 도 정규 피복이며, 변환군의 계층을 가지고 있다. 실제로, C_x! 는 1 ≤ x ≤ y ≤ n 에 대해 C_y! 의 부분군이다.

3. 성질

피복 공간 $(F,E,B,\pi)$ 의 사영 함수 $\pi$ 는 항상 열린 함수이다.

다양체의 가산 피복 공간은 역시 피복 공간이다. 리 군의 범피복 공간은 리 군을 이루며, 이를 범피복군(universal covering group^영어)이라고 한다.

3.1. 국소 위상 동형

피복 사상 $\pi:E \rightarrow X$ 는 국소 위상 동형 사상이다. 즉, $\pi^{-1}(U)$ 의 서로소인 열린 집합 각각을 $U$ 위로 위상 동형으로 사상한다. 다시 말해, $\pi$ 는 연속 함수이며 모든 $e \in E$ 에 대해 $e$ 의 열린 근방 $V \subset E$ 가 존재하여 $\pi|_V : V \rightarrow \pi(V)$ 는 위상 동형 사상이다.

따라서 피복 공간 $E$ 와 기저 공간 $X$ 는 국소적으로 동일한 성질을 공유한다. 임의의 피복 $p : C \rightarrow X$ 는 국소 동상이다. 즉, 모든 $c \in C$ 에 대해, $c$ 의 근방 $U \subseteq C$ 와 $p(c)$ 의 근방 $V \subseteq X$ 가 존재하여, $U$ 로의 $p$ 의 제한이 $U$ 에서 $V$ 로의 동상이 된다. 이것은 $C$ 와 $X$ 가 모든 국소적 성질을 공유한다는 것을 의미한다.

3.2. 올림 성질

모든 피복 공간은 올림 성질을 만족한다.

: $I$ 를 단위 구간이라고 하고, $p:E \rightarrow X$ 를 피복 사상이라고 하자. $F:Y \times I \rightarrow X$ 를 연속 함수라고 하고, $\tilde F_0:Y \times \{0\} \rightarrow E$ 를 $F|_{Y \times \{0\}}$ 의 올림이라고 하자. 즉, $p \circ \tilde F_0 = F|_{Y \times \{0\}}$ 를 만족하는 연속 함수이다. 그러면 $\tilde F(y,0) = \tilde F_0$ 이고 $F$ 의 올림, 즉 $p \circ \tilde F = F$ 를 만족하는 유일하게 결정되는 연속 함수 $\tilde F:Y \times I \rightarrow E$ 가 존재한다.

만약 $X$ 가 경로 연결 공간이면, $Y=\{0\}$ 에 대해 함수 $\tilde F$ 는 $X$ 에서의 경로의 올림이 되고, $Y=I$ 에 대해 $X$ 에서의 경로들의 호모토피의 올림이 된다.

결과적으로, 기본군 $\pi_{1}(S^1)$ 이 단위 원의 무한 순환군이며, 이는 $\gamma: I \rightarrow S^1$ 과 $\gamma (t) = (\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))$ 로 정의되는 고리의 호모토피 클래스에 의해 생성된다는 것을 보일 수 있다.

$X$ 를 경로 연결 공간이라고 하고, $p:E \rightarrow X$ 를 연결 피복 사상이라고 하자. $x,y \in X$ 를 경로 $\gamma$ 로 연결된 두 점이라고 하자. 즉, $\gamma(0)= x$ 이고 $\gamma(1)= y$ 이다. $\tilde \gamma$ 를 $\gamma$ 의 유일한 올림이라고 하면, 다음 함수는

: $L_{\gamma}:p^{-1}(x) \rightarrow p^{-1}(y)$ with $L_{\gamma}(\tilde \gamma (0))=\tilde \gamma (1)$

전단사이다.

만약 $X$ 가 경로 연결 공간이고 $p: E \rightarrow X$ 가 연결 피복 사상이라면, 유도된 군 준동형 사상

: $p_{\#}: \pi_{1}(E) \rightarrow \pi_{1}(X)$ with $p_{\#}([\gamma])=[p \circ \gamma]$ ,

는 단사이고 $\pi_1(X)$ 의 부분군 $p_{\#}(\pi_1(E))$ 는 $X$ 에서 올림이 $E$ 에서 고리가 되는 고리들의 호모토피 클래스로 구성된다.

3.3. 분지 피복

$f: X \rightarrow Y$ 가 연속 함수일 때, 조밀 집합의 폐포 $E \subset Y$ 가 존재하여 $f_{|X \smallsetminus f^{-1}(E)}:X \smallsetminus f^{-1}(E) \rightarrow Y \smallsetminus E$ 가 피복이면 $f$ 를 분지 피복이라고 한다.

* $n \in \mathbb{N}$ 이고 $n \geq 2$ 일 때, $f(z)=z^n$ 으로 정의된 $f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ 는 차수 $n$ 의 분지 피복이며, $z=0$ 은 분지점이다.
* 콤팩트 리만 곡면 사이의 모든 비상수, 정칙 사상 $f: X \rightarrow Y$ 는 차수 $d$ 의 분지 피복이다.

4. 분류

피복 공간은 연결 공간과 연결 공간이 아닌 경우로 나누어 분류할 수 있다.

연결 공간인 경우, 기본군을 이용하여 범주의 동치를 설명할 수 있다. 연결 공간이 아닌 경우에는 기본 준군을 이용하여 범주의 동치를 설명하고, 범피복 공간의 존재성과 유일성을 다룬다.

만약 $p_1:E \rightarrow X$ 와 $p_2: E' \rightarrow X$ 가 두 개의 경로 연결 덮개라면, 이들은 부분군 $H = p_{1\#}(\pi_1(E))$ 와 $H'=p_{2\#}(\pi_1(E'))$ 가 서로 켤레 관계에 있을 때 동치이다.

$X$ 가 연결 공간이자 국소 단일 연결 공간이라고 하면, 덮개의 동치 관계를 무시했을 때, 다음과 같은 일대일 대응이 존재한다.

👆

좌우로 밀어서 보기

기본군 $\pi_1(X)$ 의 부분군	경로 연결 덮개 $p:E \rightarrow X$
$H$	$\alpha:X_H \rightarrow X$
$p_\#(\pi_1(E))$	$p$
기본군 $\pi_1(X)$ 의 정규 부분군	정규 덮개 $p:E \rightarrow X$

부분군의 수열

\displaystyle \{\text{e}\} \subset H \subset G \subset \pi_1(X)

에 대해, 덮개의 수열

\tilde X \longrightarrow X_H \cong H \backslash \tilde X \longrightarrow X_G \cong G \backslash \tilde X \longrightarrow X\cong \pi_1(X) \backslash \tilde X

를 얻는다. 지수가

\displaystyle[\pi_1(X):H] = d

인 부분군

H \subset \pi_1(X)

에 대해, 덮개

\alpha:X_H \rightarrow X

는 차수

d

를 갖는다.

4.1. 연결 공간의 경우

점을 가진 공간 $(B,\bullet_B)$ 가 주어졌을 때, 다음과 같은 함자가 존재한다.

: $F\colon\operatorname{Cov}(B)\to\operatorname{Set}_{\pi_1(B,\bullet_B)}$

여기서 $\operatorname{Cov}(B)$ 는 $B$ 의 피복 공간들의 범주이며, $\operatorname{Set}_{\pi_1(B,\bullet_B)}$ 는 기본군 $\pi_1(B,\bullet_B)$ 의 작용을 갖춘 집합의 범주이다. 이 함자는 구체적으로 다음과 같다.

: $F\colon(\pi\colon E\twoheadrightarrow B)\mapsto \pi^{-1}(\bullet_B)$

기본군 $\pi_1(B,\bullet_B)$ 의 $\pi^{-1}(\bullet_B)$ 위의 작용은 호모토피 올림 성질에 의하여 주어진다.

만약 $B$ 가 연결 국소 경로 연결 반국소 단일 연결 공간이라면 이는 범주의 동치를 이룬다. 연결되고 국소적으로 단일 연결된 공간 $X$ 와 점 $x \in X$ 에 대해, $G = \pi_1(X,x)$ 를 $X$ 의 기본군이라고 하자. $G$ 는 경로의 올림과 올림의 끝점에서 평가함으로써 덮개의 올에 대한 군 작용을 정의하므로, 함자 $F:\boldsymbol{Cov(X)} \longrightarrow \boldsymbol{G-Set}: p \mapsto p^{-1}(x)$ 는 범주 동치이다.

4.2. 연결 공간이 아닌 경우

연결 공간이 아닌 경우, 기본군 대신 기본 준군을 사용하여 범주의 동치를 얻어야 한다.

두 준군 $E$ , $B$ 사이의 피복 사상 $\pi\colon E\to B$ 은 호모토피 올림 성질을 만족시키는 준군 사상으로 정의된다. 이는 임의의 $E$ 의 대상 $\tilde x\in\operatorname{Ob}(E)$ 및 $B$ 의 사상 $g\colon p(x)\to y$ 에 대하여, $\pi(\tilde y)=y$ 이며 $\pi(\tilde g)=g$ 인 대상 $\tilde e\in\operatorname{Ob}(E)$ 및 사상 $\tilde g\colon\tilde x\to\tilde y$ 가 유일하게 존재함을 의미한다.

$B$ 가 국소 경로 연결 반국소 단일 연결 공간이라면, 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.

: $\operatorname{Cov}(B)\simeq\operatorname{GpdCov}(\Pi_1B)$

여기서
* $\Pi_1B$ 는 $B$ 의 기본 준군이다.
* $\operatorname{GpdCov}(\Pi_1B)$ 는 $\Pi_1B$ 위의 준군 피복 사상들의 범주이다.

특히, 다음이 성립한다.
* $B$ 위의 피복 공간(들의 동치류)들은 기본군 $\Pi_1(B)$ 의 부분군들의 켤레 동치류들과 일대일 대응한다.
* $B$ 의 범피복 공간이 존재하며, (동치 아래) 유일하다.

5. 예시

* 모든 위상 공간 $X$ 에 대해, 항등 사상 $\operatorname{id}:X \rightarrow X$ 는 피복 사상이다. 마찬가지로 모든 이산 공간 $D$ 에 대해, $(x, i) \mapsto x$ 를 만족하는 사영 $\pi:X \times D \rightarrow X$ 는 피복 사상이다. 이러한 유형의 피복 사상을 자명한 피복 사상이라고 부르며, 만약 $D$ 가 유한 개의 (예를 들어 $k$ 개) 원소를 가지고 있다면, 해당 피복 사상을 $X$ 의 자명한 $k$ 겹 피복 사상이라고 부른다.

* 국소 동형 사상이지만 단위 원의 피복 사상이 아닌 사상은 $p : \mathbb{R_{+}} \to S^1$ 로, $p(t)=(\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))$ 로 정의된다. $(1,0)$ 의 열린 근방의 시트가 있는데, 이는 $U$ 위로 동형 사상으로 매핑되지 않는다.

* n-차원 구 Sⁿ은, 실수 사영 공간의 이중 피복이며, n > 1인 경우에는 보편 피복이다.

* 모든 다양체는 연결인 것과 방향성을 가질 수 없는 것이 동치인 방향 가능 이중 피복을 가지고 있다.

* 일의화 정리는 모든 단일 연결 리만 면은 리만 구, 복소 평면, 단위 원판에 등각 동치라는 정리이다.

* 콤팩트 다양체의 동일 차원의 다양체에의 매립은 항상 매립의 상의 피복이다.

* 유한군의 아벨적인 무한 분기 피복 그래프는 결정 구조의 추상화된 것으로 간주할 수 있다.

5.1. 단위 원의 피복 공간

r : \mathbb{R} \to S^1

로 정의되는 사상, 즉

r(t)=(\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))

는 단위 원

S^1

의 피복 사상이다. 피복의 밑공간은

S^1

이고, 피복 공간은

\mathbb{R}

이다.
* 단위 원의 또 다른 피복 사상은

n \in \mathbb{N}

에 대해

q(z)=z^{n}

으로 정의되는 사상

q : S^1 \to S^1

이다.
*

r : \mathbb{R} \to S^1

가 피복

r(t)=(\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))

라고 하면,

k \in \mathbb{Z}

에 대해 사상

d_k:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : t \mapsto t + k

는 데크 변환이며

\operatorname{Deck}(r)\cong \mathbb{Z}

이다.
*

q : S^1 \to S^1

가 어떤

n \in \mathbb{N}

에 대해 피복

q(z)=z^{n}

이라고 하면,

k \in \mathbb{Z}

에 대해 사상

d_k:S^1 \rightarrow S^1 : z \mapsto z \, e^{2\pi ik/n}

는 데크 변환이며

\operatorname{Deck}(q)\cong \mathbb{Z}/ n\mathbb{Z}

이다.
* 복소 평면 상의 단위원을 S¹이라고 하면,
::

p(z) = z^n

:에 의해, 사상 p : S¹ → S¹는 n중 피복이 된다.

*

\mathbb{R}

은 단위원 S¹의 보편 피복이다. 지수 사상
::p(t) = exp(2πit)
:에 의해, 사상 p : R → S¹는 피복이며, S¹의 각 점은 무한 번 피복된다.

5.2. 리 군의 피복 공간

* $\mathrm{SO}(3)$ (특수 직교군)의 경우, 사상 $f : \mathrm{SU}(2) \rightarrow \mathrm{SO}(3) \cong \mathbb{Z_2} \backslash \mathrm{SU}(2)$ 는 정규 피복이고, $\mathrm{SU}(2) \cong S^3$ 이므로 보편 피복이며, 따라서 $\operatorname{Deck}(f) \cong \mathbb{Z/2Z} \cong \pi_1(\mathrm{SO}(3))$ 이다.
* 스핀 군 Spin(n)은 특수 직교 군의 이중 피복이며, n > 2일 때는 보편 피복이다. 리 군의 exceptional isomorphism^영어은 저차원의 스핀 군과 고전 리 군 간의 동형을 제공한다.
* 유니타리 군 U(n)은 보편 피복 SU(n) × R을 갖는다.

5.3. 그래프의 피복 공간

그래프의 피복 공간은 다음과 같이 설명할 수 있다.

* n개 원의 웨지의 보편 피복은 n개 생성자를 갖는 자유군의 케일리 그래프(Cayley graph)이다. 즉, 베테 격자이다.
* 모든 그래프는 이분 이중 피복(bipartite double cover)이다. 모든 그래프는 원의 웨지와 호모토피 동치이므로, 보편 피복은 케일리 그래프가 된다.
* 토러스는 클라인 병의 이중 피복이다.
* 유한군의 아벨적인 무한 분기 피복 그래프는 결정 구조의 추상화된 것으로 간주할 수 있다。 예를 들어, 추상 그래프로서의 다이아몬드 결정 구조(diamond cubic)는 쌍극자 그래프(dipole graph) D₄의 아벨적인 최대 피복 그래프이다.

6. 응용

피복 공간은 수학의 여러 분야 및 항해, 해양 공학, 항공우주 공학과 같은 현실 문제 해결에 다양하게 응용된다.

X가 n ≥ 2일 때 호모토피 군 π_n(X) = 0을 만족하는 연결된 cell complex^영어라고 가정하자. 이때 X의 보편 피복 공간 T는 화이트헤드 정리에 의해 가축(contractible) 공간이 된다. 이는 X가 G = π₁(X)에 대한 분류 공간 K(G, 1)임을 의미한다.

모든 n ≥ 0에 대해, n-세포에 의해 T 안에 주어진 기저를 갖는 자유 아벨 군인 세포 n-사슬체 C_n(T)는 자연스럽게 ZG-가군 구조를 갖는다. T의 n-세포 σ와 G의 원소 g에 대해, 세포 gσ는 정확히 g에 대응하는 T의 피복 변화에 의한 σ의 변환과 일치한다. C_n(T)는 T의 n-세포의 G-궤도의 표현에 의한 자유 ZG-기저를 갖는 자유 ZG-가군이다.

이때 ε를 증강 사상으로 하는 표준적인 위상적 사슬 복합체는 Z의 자유 ZG-분해가 된다. (여기서 Z는 자명한 ZG-가군 구조를 가지며, 모든 g ∈ G와 모든 m ∈ Z에 대해 gm = m이다.) 이 분해는 임의의 계수를 갖는 G의 군 코호몰로지 계산에 사용될 수 있다.

군의 분해 및 호몰로지 대수의 다른 계산을 위한 그레이엄 엘리스(Graham Ellis)의 방법은 보편 피복의 수축하는 호모토피로서, 동시에 귀납적으로 K(G)의 보편 피복을 구성하는 방법을 제공한다.

6.1. 짐벌 락

--

회전 그룹 SO(3)은 3차원 회전을 나타내는 그룹으로, 항해, 해양 공학, 항공우주 공학 등 다양한 분야에서 널리 사용된다. 위상적으로 SO(3)은 기본 그룹이 Z/2인 실사영 공간 RP³이며, 유일한 (자명하지 않은) 덮개 공간은 초구 S³이다. S³은 Spin(3)이며, 단위 사원수로 표현된다. 따라서 사원수는 공간 회전을 표현하는 데 선호되는 방법이다.

하지만, 평면 회전에 익숙한 사람에게는 세 개의 짐벌 조합으로 3차원 회전을 생성할 수 있기 때문에 회전을 오일러 각으로 표현하는 것이 더 직관적일 수 있다. 위상적으로 오일러 각은 세 각도의 3-토러스 T³에서 회전의 실사영 공간 RP³으로의 맵에 해당한다. 그러나 이 맵은 덮개 맵이 될 수 없기 때문에 특정 지점에서 국소적 동형사상이 되지 못하는 짐벌 락 현상이 발생한다. 짐벌 락은 맵의 랭크가 3이 아닌 2가 되는 지점에서 발생하며, 이 때 해당 지점에서 각도를 변경하여 2차원 회전만 가능하다.

6.2. 회전 그룹 SO(3)

--

덮개 공간은 회전 그룹 SO(3)에서 중요하게 활용된다. 회전 그룹은 3차원 회전이 항해, 해양 공학, 항공우주 공학 등 다양한 분야에서 널리 사용되기 때문에 엔지니어링 분야에서 널리 사용된다. 위상적으로 SO(3)은 기본 그룹이 Z/2인 실사영 공간 RP³이며, 유일한 (자명하지 않은) 덮개 공간은 초구 S³이다. S³은 Spin(3)이며, 단위 사원수로 표현된다. 따라서 사원수는 공간 회전을 표현하는 데 선호되는 방법이다. (사원수와 공간 회전 참조)

오일러 각(다양한 변형)이라고 하는 세 개의 숫자로 회전을 표현하는 것이 바람직 할 수도 있다. 위상적으로 이것은 세 각도의 3-토러스 T³에서 회전의 실사영 공간 RP³으로의 맵에 해당하며, 결과 맵은 이 맵이 덮개 맵이 될 수 없기 때문에 결함을 갖는다. 구체적으로, 특정 지점에서 맵이 국소적 동형사상이 되지 못하는 것은 짐벌 락이라고 하며, 일부 지점(축이 공면일 때)에서 맵의 랭크는 3이 아닌 2가 되므로 해당 지점에서 각도를 변경하여 2차원 회전만 실현할 수 있다. 이것은 응용 분야에서 문제를 일으키며 덮개 공간의 개념으로 공식화된다.

6.3. 기타 응용 분야

X를 임의의 n ≥ 2에 대한 호모토피 군 π_n(X) = 0을 갖는 연결된 cell complex^영어라고 하자. X의 보편 피복 공간 T는 화이트헤드 정리를 적용하면 가축임을 알 수 있다. 이 경우 X는 분류 공간이며, G = π₁(X)에 대해 K(G, 1)이다.

모든 n ≥ 0에 대해 세포 n-사슬체 C_n(T) (즉, n-세포에 의해 T 안에 주어진 기저를 갖는 자유 아벨 군)는 자연스럽게 ZG-가군 구조를 갖는다. 여기서 T의 n-세포 σ와 G의 원소 g에 대해, 세포 gσ는 정확히 g에 대응하는 T의 피복 변화에 의한 σ의 변환과 일치한다. 또한, C_n(T)는 T의 n-세포의 G-궤도의 표현에 의한 자유 ZG-기저를 갖는 자유 ZG-가군이다. 이 경우, ε를 증강 사상으로 하여, 표준적인 위상적 사슬 복합체

: $\cdots \overset{\partial}{\to} C_n(T)\overset{\partial}{\to} C_{n-1}(T)\overset{\partial}{\to} \cdots \overset{\partial}{\to} C_0(T)\overset{\varepsilon}{\to} \mathbf Z$

는 Z의 자유 ZG-분해이다(여기서 Z는 자명한 ZG-가군 구조를 가지며, 모든 g ∈ G와 모든 m ∈ Z에 대해 gm = m이 된다). 이 분해는 임의의 계수를 갖는 G의 군 코호몰로지의 계산에 사용할 수 있다.

군의 분해를 계산하거나 호몰로지 대수의 다른 계산을 하는 그레이엄 엘리스(Graham Ellis)의 방법은 J. Symbolic Comp.의 그의 논문이나 아래에 언급된 웹페이지에 나타나 있듯이, 보편 피복의 수축하는 호모토피로서, 동시에 귀납적으로 K(G)의 보편 피복을 구성하는 방법이다. 이 후자가 계산 가능한 방법을 제공한다.

7. 역사

피복 공간의 개념은 베른하르트 리만이 복소함수의 모노드로미를 리만 곡면으로 다루면서 발생하였다. 장 디외도네는 다음과 같이 적었다.

: 리만 이전에는 그 누구도 "평면의 같은 부분을 여러 번 덮는 여러 장들"로 구성된 곡면을 고려하지 않았던 것처럼 보인다. 리만이 이를 복소수 변수의 해석 함수에 응용한 것을 보면, 리만은 현대적인 용어로는 구 S₂ 속의 열린집합 X의 분지 피복을 생각한 것으로 보인다.

이후 앙리 푸앵카레는 1883년에 리만 곡면의 범피복 공간에 대하여 서술하였다.

1932년에 헤르베르트 자이페르트는 올다발의 개념을 공리적으로 정의하면서, 이에 대한 특수한 경우로 "피복 공간"(Überlagerungsraum^독일어)의 개념을 정의하였다. 여기서 자이페르트는 피복 변환을 Deckbewegung^독일어 또는 Decktransformation^독일어이라고 표현하였다. 이는 Decke^독일어 (피복) + Bewegung^독일어 (운동) 또는 Transformation^독일어 (변환)에서 유래하였다. 이후 이를 영어로 번역하는 과정에서, 독일어 용어가 deck transformation^영어으로 오역되게 되었다.