초타원 곡선

3. 분류

종수 $g$의 초타원 곡선 $(C,f)$는 특정 방정식 꼴로 표현될 수 있다.

== 방정식 표현 ==

종수 $g$의 초타원 곡선 $(C,f)$는 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있다. 우선, $\backslash mathbb\; P^1\_K\; =\; \backslash operatorname\{Proj\}(x\_0,x\_1)$에서 아핀 좌표

:$x\; =\; x\_1/x\_0$

:$\backslash tilde\; x\; =\; x\_0/x\_1\; =\; 1/x$

를 고른다.

만약 $\backslash operatorname\{char\}K\; \backslash ne\; 2$인 경우, $f$는 두 아핀 열린집합에서 다음과 같은 꼴이다.

:$\backslash phi\; \backslash colon\; K[x]\; \backslash to\; K[x,y]/(y^2\; -\; P(x))$

:$\backslash tilde\backslash phi\; \backslash colon\; K[\backslash tilde\; x]\; \backslash to\; K[\backslash tilde\; x,\backslash tilde\; y]\; /\; (\backslash tilde\; y^2\; -\; \backslash tilde\; P(\backslash tilde\; x))$

:$\backslash tilde\; P(\backslash tilde\; x)\; =\; \backslash tilde\; x^\{2g+2\}P(1/\backslash tilde\; x)$

:$P(x)\; =\; x^\{2g+2\}\backslash tilde\; P(1/x)$

:$P\; \backslash ne\; 0$

:$\backslash deg\; P\; \backslash in\; \backslash \{2g+1,2g+2\backslash \}$

이 경우 $C$를 구성하는 두 아핀 열린집합은 $y\; =\; x^\{g+1\}\backslash tilde\; y$, $\backslash tilde\; y=\; \backslash tilde\; x^\{g+1\}y$ 와 같이 붙여진다.

표수가 2인 경우, $f$는 두 아핀 열린집합에서 다음과 같은 꼴이다.

:$\backslash phi\; \backslash colon\; K[x]\; \backslash to\; K[x,y]/(y^2\; -\; Q(x)y\; -\; P(x))$

:$\backslash tilde\backslash phi\; \backslash colon\; K[\backslash tilde\; x]\; \backslash to\; K[\backslash tilde\; x,\backslash tilde\; y]\; /\; (\backslash tilde\; y^2\; -\; \backslash tilde\; Q(\backslash tilde\; x)\backslash tilde\; y\; -\; \backslash tilde\; P(\backslash tilde\; x))$

:$\backslash tilde\; P(\backslash tilde\; x)\; =\; \backslash tilde\; x^\{2g+2\}P(1/\backslash tilde\; x)$

:$P(x)\; =\; x^\{2g+2\}\backslash tilde\; P(1/x)$

:$\backslash tilde\; Q(\backslash tilde\; x)\; =\; \backslash tilde\; x^\{g+1\}Q(1/\backslash tilde\; x)$

:$Q(x)\; =\; x^\{g+1\}\backslash tilde\; Q(1/x)$

:$\backslash \{P,Q\backslash \}\; \backslash ne\; \backslash \{0\backslash \}$

:$\backslash max\backslash \{\backslash deg\; P,\; 2\backslash deg\; Q\backslash \}\; \backslash in\; \backslash \{2g+1,2g+2\backslash \}$

이 경우 $C$를 구성하는 두 아핀 열린집합은 $y\; =\; x^\{g+1\}\backslash tilde\; y$, $\backslash tilde\; y=\; \backslash tilde\; x^\{g+1\}y$ 와 같이 붙여진다.

표수가 2가 아닌 경우, 항상

:$y\; \backslash mapsto\; y\; +\; Q(x)/2$

를 통해 $Q\; =\; \backslash tilde\; Q\; =\; 0$으로 놓을 수 있다.

이 경우, 다음과 같은 변환을 하더라도 이로서 정의되는 초타원 곡선은 동형이다.

:$\backslash operatorname\{char\}K\backslash ne\; 2$: $P\; \backslash mapsto\; \backslash lambda^2\; P\backslash qquad(\backslash lambda\backslash in\; K^\backslash times)$

:$\backslash operatorname\{char\}K=2$: $(P,Q)\; \backslash mapsto\; (\backslash lambda^2P,\backslash lambda\; Q)$, $(P,Q)\backslash mapsto\; (P+f^2+Qf,Q)\backslash qquad(f\backslash in\; K[x],\backslash ;\backslash deg\; f\; \backslash le\; g+1)$

즉, 이 경우 가중 사영 공간

:$\backslash mathbb\; P\_K(1,g+1,1)\; =\; \backslash mathbb\; P^1\_K[s,t,u]$

속에서 부분 대수다양체

:$t^2\; =\; Q(u/s)s^\{g+1\}t\; +\; P(u/s)s^\{2g+2\}$

를 이룬다. 이 경우 $f$는

:$C\; \backslash to\; \backslash mathbb\; P^1\_K\; =\; \backslash operatorname\{Proj\}K[s,u]$

:$[s:t:u]\; \backslash mapsto\; [s:u]$

이다.

== 분지점 ==

표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체에서, 초타원 곡선은 짝수 개의 분지점을 갖는다. 분지점은 P의 근 또는 대합의 고정점으로 해석될 수 있다.

구체적으로, 표수가 2가 아닌 경우, 분지점은 다음과 같이 결정된다.

• `\deg P = 2g+2`라면, 분지점은 P의 `2g+2`개의 근이다.
• `\deg P = 2g+1`라면, 분지점은 P의 `2g+1`개의 근 및 `\infty`이다.

3. 1. 방정식 표현

3. 2. 분지점

• `\deg P = 2g+2`라면, 분지점은 P의 `2g+2`개의 근이다.
• `\deg P = 2g+1`라면, 분지점은 P의 `2g+1`개의 근 및 `\infty`이다.

3. 3. 모듈러스 공간

4. 역사

초타원 함수는 19세기 아돌프 괴펠(Adolph Göpel)과 요한 G. 로젠하인(Johann G. Rosenhain)의 연구에서 비롯되었다. 괴펠은 1847년 Journal für die reine und angewandte Mathematik에 "Abelsche Transcendenten erster Ordnung"(제1종 아벨 초월 함수)을 발표하며 초타원 함수를 처음 소개했다. 로젠하인은 1851년 "Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung"(제1종 초타원 적분의 역)을 발표하며 독자적으로 이 문제에 대한 연구를 진행했다.

5. 리만-휘르비츠 공식

리만-휘르비츠 공식을 사용하면 종수 ''g''인 초타원 곡선이 차수 ''n'' = 2''g'' + 2인 방정식으로 정의됨을 유도할 수 있다. ''f'' : ''X'' → P¹이 분기 덮개이고 분기 차수가 ''2''이며, 여기서 ''X''는 종수 ''g''인 곡선이고 P¹은 리만 구라고 가정한다. ''g''₁ = ''g''이고 P¹의 종수 ''g''₀ ( = 0 )이라고 하면, 리만-휘르비츠 공식은 다음과 같다.

:$2-2g\_1\; =2(2-2g\_0)-\backslash sum\_\{s\; \backslash in\; X\}(e\_s-1)$

여기서 ''s''는 ''X''의 모든 분기점을 의미한다. 분기점의 수는 ''n''이고, 각 분기점 ''s''에서 ''e_s'' = 2이므로, 공식을 다음과 같이 정리할 수 있다.

:$2-2\backslash times\; g\; =2(2-2\backslash times0)-n\backslash times(2-1)$

따라서 ''n'' = 2''g'' + 2이다.

6. 응용

초타원 곡선은 이산 로그 문제를 기반으로 하는 암호 시스템인 초타원 곡선 암호에 사용될 수 있다.^[2]

정수론의 중요한 문제 중 하나는 초타원 곡선 위의 정수점과 유리점에 대한 연구이다.^[1]

비특이 초타원 곡선은 종수가 2 이상이므로, 정수점에 대한 지겔의 정리에 따라 정수점 (일반적으로 임의의 주어진 정수환 위의 점)은 유한 개만 존재한다.^[1] 또한, 베이커의 정리로부터 정수점의 크기에 대한 상계를 실제로 구할 수 있다.^[1]

팔팅스의 정리에 의해 유리점 (일반적으로 임의의 주어진 대수체 위의 점)도 유한 개만 존재한다.^[1] 그러나 유리점의 개수에 대한 구체적인 상한을 구하는 것은 가능하지만, 유리점의 크기에 대한 상계를 얻을 수는 없다.^[1] 따라서, 이 정리를 사용하여 유리점을 모두 구할 수는 없다.^[1]

샤보티(Chabauty)와 콜먼(Coleman)의 방법은 특정 경우에 유리점의 개수 상계를 구하거나 유리점을 모두 결정하는 데 사용될 수 있다.^[1] 예를 들어, 샤보티(1941a, 1941b)는 초타원 곡선의 야코비 다양체의 계수가 작을 때 유리점의 개수의 상계를 구하는 방법을 개발했고, 콜먼(1985)은 실제로 몇몇 경우에 구체적인 상계를 얻었다. 더 나아가 경우에 따라서는 그 방법을 사용하여 유리점을 모두 결정할 수 있다. 예를 들어, Grant(1994)는 방정식

:y²=x(x-1)(x-2)(x-5)(x-6)

의 유리점이 (''x'', ''y'') = (0, 0), (1, 0), (2, 0), (5, 0), (6, 0), (3, ±6), (10, ±120)뿐임을 밝혔다.^[1]

초타원 곡선은 또한 아벨 미분 모듈러스 공간의 특정 층의 전체 연결 성분을 구성하는 데에도 나타난다.^[2]

종수 2 곡선의 초타원성은 그로모프의 채움 면적 추측을 종수 = 1의 채움의 경우에 증명하는 데 사용되었다.

6. 1. 암호학

6. 2. 정수점 및 유리점

7. 예시

볼차 곡면은 초타원 곡선의 한 예시이다.

8. 추가 설명

8. 1. 종수

8. 2. 모델 선택

참조

_[1] 논문 Schottky's form and the hyperelliptic locus
_[2] 논문 Connected components of the moduli spaces of Abelian differentials with prescribed singularities
_[3] 서적 Algebraic Aspects of Cryptography Springer-Verlag 2019-01-28
_[4] 서적 Algebraic geometry and arithmetic curves http://www.math.u-bo[...] Oxford University Press 2019-01-28