몽주 정리

2. 증명

몽주 정리는 다양한 방법으로 증명할 수 있다.

가장 단순한 증명은 3차원 유추를 이용하는 것이다.^[5] 세 원을 같은 반지름을 가진 세 구의 적도로 생각하고, 두 평면 사이에 이 구들을 끼워 넣는 방식으로 증명할 수 있다. 각 구 쌍은 두 구 모두에 외접하는 원뿔을 정의하며, 이 원뿔의 꼭짓점은 두 외부 닮음 중심의 교차점에 해당한다.^[1] 원뿔의 한 선은 각 평면에 놓여 있기 때문에, 각 원뿔의 꼭짓점은 두 평면 모두에 있어야 하며, 따라서 두 평면의 교선 위에 위치한다. 결과적으로 세 외부 닮음 중심은 한 직선 위에 놓이게 된다.^[2][3]

세 구가 두 평면 사이에 유일하게 끼워질 수 있다는 점이 자명하지 않은 경우, 별도의 증명을 통해 이를 보일 수 있다. 세 구에 동시에 외접하는 평면을 가정하면, 이 평면은 두 구에도 동시에 외접해야 하므로 두 구의 '닮음 중심'을 지나야 한다. 닮음 중심은 세 구 중 두 개를 고르는 경우의 수만큼 존재하며, 각 닮음 중심은 두 구의 중심을 이은 직선 상에, 즉 세 구의 중심을 지나는 평면에 존재한다. 세 구에 외접하는 평면은 세 닮음 중심을 모두 지나야 하는데, 만약 이들이 한 직선 위에 있지 않다면 세 점이 한 평면을 결정하여 세 구의 중심을 지나는 평면과 같아진다. 이는 외접 평면이 구의 중심을 지난다는 가정이 모순이므로, 닮음 중심은 한 직선 위에 있어야 한다.^[4]

데자르그 정리를 이용하여 몽주 정리를 증명할 수도 있다.^[4] 데자르그 정리는 두 삼각형의 대응점들을 연결한 직선들이 한 점에서 만나면, 대응 변들의 교점들은 한 직선 위에 있다는 내용이다. 3차원에서 평면의 교점을 생각하거나, 내닮중심이 이루는 삼각형을 생각함으로써 데자르그 정리에 의한 증명이 가능하다.^[4]

메넬라오스 정리를 사용하여 몽주 정리를 증명할 수도 있다.^[4] 메넬라오스 정리는 삼각형의 한 변을 지나는 직선이 다른 두 변(또는 그 연장선)과 만날 때, 각 선분의 길이 비율 사이에 특정한 관계가 성립한다는 정리이다. 이 정리에 주어진 값을 대입해보면 증명이 가능한데, 각 원의 지름으로 비율을 계산하면 순환되는 형태에 의해 약분되는 형태로 증명할 수 있다.^[2]

체바 정리나 사영 기하학을 이용해서도 몽주 정리를 증명할 수 있다.^[2][3][4]

2. 1. 3차원 유추를 통한 증명

2. 2. 데자르그 정리를 이용한 증명

2. 3. 메넬라오스 정리를 이용한 증명

2. 4. 기타 증명