원주각

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1. 개요
2. 원주각 정리
3. 원주각 정리의 활용
4. 원주각 정리의 확장 (영어 위키백과 참고)
5. 역사
6. 유명인의 언급
참조

1. 개요

원주각 정리는 원에 내접하는 각의 크기가 같은 호에 대한 중심각의 크기의 절반과 같다는 기하학 정리이다. 원주각을 만드는 삼각형이 원의 중심을 포함하는 경우, 원주각은 중심각의 절반이 되며, 원의 중심을 포함하지 않는 경우에는 원주각의 보각이 중심각의 절반이 된다. 이 정리는 유클리드 기하학의 여러 증명에 활용되며, 탈레스의 정리, 원내접 사각형, 점의 멱 등과 관련이 있다. 원주각 정리는 타원, 쌍곡선, 포물선에서도 확장하여 적용할 수 있으며, 바빌로니아 수학에서 이미 지름에 대한 원주각이 직각이라는 사실이 알려져 있었다.

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원주각
정의
정의	원의 현이 원주 상의 한 점과 만나서 이루는 각
다른 이름	원둘레각
성질
중심각과의 관계	같은 호에 대한 원주각의 크기는 중심각의 크기의 1/2이다.
호에 대한 원주각	한 원에서 같은 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같다.
지름에 대한 원주각	반원에 대한 원주각은 직각이다.
원에 내접하는 사각형	원에 내접하는 사각형에서 한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같다.
활용
각의 이등분선	각의 이등분선은 원주각의 성질을 이용하여 작도할 수 있다.
원의 접선	원의 접선은 원주각의 성질을 이용하여 작도할 수 있다.

2. 원주각 정리

원주각 정리는 원 위의 한 호에 대한 원주각의 크기가 그 호에 대한 중심각의 크기의 절반과 같다는 정리이다.

2. 1. 원주각과 중심각

고정된 점 A와 B에 대해, ∠AMB가 α와 같은 평면 상의 점 M의 집합은 원의 호이다. 원의 중심이 O일 때 ∠AOB의 크기는 2α이다.

원주각 정리는 원에 내접하는 각 θ는 같은 호를 마주보는 중심각 2θ의 절반이라고 명시한다. 따라서 각의 꼭짓점이 원의 다른 위치로 이동해도 각은 변하지 않는다.

원주각을 만드는 삼각형이 원의 중심을 포함하는 경우, 원주각이 긴 호 위의 어디에 있든 그 크기는 변하지 않는다. 또한, 그 원주각은 중심각의 절반이 된다. 이것이 원주각의 정리이다.

원주각을 만드는 삼각형이 원의 중심을 포함하지 않는 경우, 원주각이 짧은 호 위의 어디에 있든 그 크기는 변하지 않는다. 또한, 그 원주각의 보각은 중심각의 절반이 된다. 이것 또한 원주각의 정리이다.

원주각이 긴 호 위에 있는 경우에 대해 증명하면 다음과 같다(오른쪽 그림). 긴 호의 양 끝 점을 A, B, 원주각이 있는 점을 C라고 한다. 원의 중심을 M이라고 한다. 점 M과 점 C를 지나는 직선과 선분 AB의 교점을 점 D라고 한다. 선분 AM과 선분 AC는 모두 원의 반지름이므로, 삼각형 AMC는 이등변삼각형이다. 따라서 각 ACM과 각 CAM은 같다. 또한 삼각형의 내각의 합이 180°라는 것과, 각 AMD가 각 AMC의 보각이라는 것으로부터, 각 AMD는 각 ACD의 2배가 된다. 마찬가지로, 각 BMD는 각 BCD의 2배가 된다. 따라서, 각 AMB(중심각)는 각 ACB(원주각)의 2배가 된다.

이 관계는 점 C가 원주상의 어디에 있든 성립하므로, 같은 호 AB에 대한 원주각은 항상 같게 된다.

2. 2. 원주각 정리의 내용

원주각 정리는 원에 내접하는 각 θ는 같은 호를 마주보는 중심각 2θ의 절반이라고 명시한다. 따라서 각의 꼭짓점이 원의 다른 위치로 이동해도 각은 변하지 않는다.

원주각을 만드는 삼각형이 원의 중심을 포함하는 경우, 원주각이 긴 호 위에 어디에 있든 그 크기는 변하지 않는다. 또한, 그 원주각은 중심각의 절반이 된다. 이것이 원주각의 정리이다.

원주각을 만드는 삼각형이 원의 중심을 포함하지 않는 경우, 원주각이 짧은 호 위에 어디에 있든 그 크기는 변하지 않는다. 또한, 그 원주각의 보각은 중심각의 절반이 된다. 이것 또한 원주각의 정리이다.

원주각이 긴 호 위에 있는 경우에 대해 증명하면 다음과 같다(오른쪽 그림). 긴 호의 양 끝 점을 A, B, 원주각이 있는 점을 C라고 한다. 원의 중심을 M이라고 한다. 점 M과 점 C를 지나는 직선과 선분 AB의 교점을 점 D라고 한다. 선분 AM과 선분 AC는 모두 원의 반지름이므로, 삼각형 AMC는 이등변삼각형이다. 따라서 각 ACM과 각 CAM은 같다. 또한 삼각형의 내각의 합이 180°라는 것과, 각 AMD가 각 AMC의 보각이라는 것으로부터, 각 AMD는 각 ACD의 2배가 된다. 마찬가지로, 각 BMD는 각 BCD의 2배가 된다. 따라서, 각 AMB(중심각)는 각 ACB(원주각)의 2배가 된다.

이 관계는 점 C가 원주 상의 어디에 있든 성립하므로, 같은 호 AB에 대한 원주각은 항상 같게 된다.

2. 3. 원주각 정리의 증명 (영어, 일본어 위키백과 참고)

원주각의 정리는 원주각을 만드는 삼각형이 원의 중심을 포함하는지 여부에 따라 두 가지 경우로 나눌 수 있다.

삼각형이 원의 중심을 포함하는 경우: 원주각이 긴 호 위에 어디에 있든 그 크기는 변하지 않으며, 중심각의 절반이 된다.
삼각형이 원의 중심을 포함하지 않는 경우: 원주각이 짧은 호 위에 있으면 그 크기는 어디에 있든 변하지 않으며, 그 원주각의 보각은 중심각의 절반이 된다.

긴 호 위에 있는 원주각의 경우를 예로 들어 증명할 수 있다(오른쪽 그림 참고). 긴 호의 양 끝 점을 A, B라 하고, 원주각이 있는 점을 C라고 하자. 원의 중심을 M이라고 하고, 점 M과 점 C를 지나는 직선과 선분 AB의 교점을 점 D라고 하자. 선분 AM과 선분 AC는 모두 원의 반지름이므로, 삼각형 AMC는 이등변삼각형이다. 따라서 각 ACM과 각 CAM은 같다. 또한 삼각형의 내각의 합이 180°라는 것과 각 AMD가 각 AMC의 보각이라는 것으로부터, 각 AMD는 각 ACD의 2배가 된다. 마찬가지로, 각 BMD는 각 BCD의 2배가 된다. 따라서, 각 AMB(중심각)는 각 ACB(원주각)의 2배가 된다.

이 관계는 점 C가 원주 상의 어디에 있든 성립하므로, 같은 호 AB에 대한 원주각은 항상 같다.

2. 3. 1. 현이 지름인 경우 (영어 위키백과 참고)

원의 중심을 O라 하자. 원 위의 두 점 V와 A를 잡고, 선 OV를 긋고 O를 지나 원과 점 B에서 만나도록 연장한다. 이때 점 B는 점 V와 대대칭이다. 꼭짓점이 V이고 변이 점 A, B를 지나는 각을 그린다.

선 OA를 긋는다. 각 BOA는 중심각이며, 이를 θ라 한다. 선 OV와 OA는 모두 원의 반지름이므로 길이가 같다. 따라서 삼각형 VOA는 이등변 삼각형이므로 각 BVA (원주각)와 각 VAO는 같다. 각각을 ψ로 나타내자.

각 BOA와 각 AOV는 보각으로, 합이 평각 (180°)이므로 각 AOV의 크기는 180°-θ이다.

삼각형 VOA의 세 각은 180°가 되어야 하므로, 다음과 같이 표현할 수 있다.

(180^\circ - \theta) + \psi + \psi = 180^\circ

양변에

\theta - 180^\circ

를 더하면 다음과 같다.

2\psi = \theta

따라서 중심각은 원주각의 두 배이다.

2. 3. 2. 원의 중심이 원주각 내부에 있는 경우 (영어 위키백과 참고)

점 O를 중심으로 하는 원이 주어졌을 때, 원 위에 세 점 V, C, D를 잡는다. 선분 VC와 VD를 그리면 각 ∠DVC는 원주각이 된다. 이제 선분 OV를 그리고 점 O를 지나 원과 점 E에서 만나도록 연장한다. 각 ∠DVC는 원 위의 호 DC를 품는다.

이 호가 그 안에 점 E를 포함한다고 가정한다. 점 E는 점 V의 대각선 반대편에 있다. 각 ∠DVE, ∠EVC 또한 원주각이지만, 이 두 각은 모두 원의 중심을 통과하는 한 변을 가지고 있으므로, 앞선 정리에 의해 다음이 성립한다.

ψ0 = ∠DVC, ψ1 = ∠DVE, ψ2 = ∠EVC라고 하면,

ψ0 = ψ1 + ψ2 (1)

선분 OC와 OD를 그린다. 각 ∠DOC는 중심각이고, 각 ∠DOE와 ∠EOC도 중심각이다. 그리고,

θ0 = ∠DOC, θ1 = ∠DOE, θ2 = ∠EOC라고 하면,

θ0 = θ1 + θ2 (2)

앞선 정리에 의해 θ1 = 2ψ1 이고 θ2 = 2ψ2 임을 알고 있다. 이 결과를 식 (2)에 대입하면,

θ0 = 2ψ1 + 2ψ2 = 2(ψ1 + ψ2)

따라서, 식 (1)에 의해,

θ0 = 2ψ0

즉, 중심각의 크기는 원주각 크기의 두 배이다.

2. 3. 3. 원의 중심이 원주각 외부에 있는 경우 (영어 위키백과 참고)

중심이 점 O인 원이 주어졌을 때, 원 위에 세 점 V, C, D를 잡는다. 선분 VC와 VD를 그린다. ∠DVC는 원주각이다. 선분 OV를 그리고 점 O를 지나 원과 점 E에서 교차하도록 연장한다. 이때, ∠DVC는 원 위의 호 DC에 대응한다.

점 E는 호 DC에 포함되지 않는다고 가정한다. 점 E는 점 V와 대칭이다. ∠EVD와 ∠EVC도 원주각이지만, 이 두 각은 모두 원의 중심을 지나는 변이 있으므로 이전의 경우를 적용할 수 있다.

따라서 ∠DVC = ∠EVC - ∠EVD 이다.

\begin{align}\psi_0 &= \angle DVC, \\\psi_1 &= \angle EVD, \\\psi_2 &= \angle EVC,\end{align}

로 놓으면,

:

\psi_0 = \psi_2 - \psi_1 \qquad (3)

이다.

선분 OC와 OD를 그린다. ∠DOC는 중심각이며, ∠EOD와 ∠EOC도 마찬가지이다.

:

\angle DOC = \angle EOC - \angle EOD

다음과 같이 놓는다.

:

\begin{align}\theta_0 &= \angle DOC, \\\theta_1 &= \angle EOD, \\\theta_2 &= \angle EOC,\end{align}

따라서

:

\theta_0 = \theta_2 - \theta_1 \qquad (4)

이다.

이전의 경우에서

\theta_1 = 2 \psi_1

이고

\theta_2 = 2 \psi_2

임을 알고 있다. 이 결과를 식 (4)와 결합하면

:

\theta_0 = 2 \psi_2 - 2 \psi_1

이다.

따라서 식 (3)에 의해,

:

\theta_0 = 2 \psi_0

이다.

2. 4. 따름정리 (영어 위키백과 참고)

현과 그 교차점 중 한 곳에서의 접선 사이의 각도는 그 현에 의해 가려지는 중심각의 절반과 같다.^[1] 원 접선도 참조하십시오.

3. 원주각 정리의 활용

원주각 정리는 초등 유클리드 기하학의 여러 증명에 사용된다. 이 정리의 특별한 경우는 탈레스의 정리로, 지름에 의해 만들어지는 각은 항상 90°(직각)이다. 또한 두 현이 원 안에서 교차할 때, 각 현의 분할된 길이의 곱이 같음을 증명할 수 있게 해준다.

원주각을 만드는 삼각형이 원의 중심을 포함하는 경우, 원주각이 긴 호 위에 있든 짧은 호 위에 있든 그 크기는 변하지 않으며, 중심각의 절반이 된다. 원의 중심을 포함하지 않는 경우에도 원주각의 크기는 변하지 않으며, 그 원주각의 보각은 중심각의 절반이 된다.

긴 호 위에 있는 경우에 대해 증명하면(오른쪽 그림), 긴 호의 양 끝 점을 A, B, 원주각이 있는 점을 C라 하고, 원의 중심을 M, 점 M과 점 C를 지나는 직선과 선분 AB의 교점을 점 D라고 한다. 삼각형 AMC는 이등변삼각형이므로 각 ACM과 각 CAM은 같다. 삼각형의 내각의 합이 180°라는 것과 각 AMD가 각 AMC의 보각이라는 것으로부터, 각 AMD는 각 ACD의 2배가 된다. 마찬가지로 각 BMD는 각 BCD의 2배가 된다. 따라서 각 AMB(중심각)는 각 ACB(원주각)의 2배가 된다.

이 관계는 점 C가 원주상의 어디에 있든 성립하므로, 같은 AB에 대한 원주각은 항상 같다.

3. 1. 탈레스의 정리

원주각이 직각인 경우에 대한 원주각의 정리는 바빌로니아인에 의해 발견된 것으로 보이지만, 기원전 5세기경에는 잊혀져 유명한 수학자 탈레스나 피타고라스의 발견으로 여겨졌다.^[2]^[3]

특히, 기원전 7세기부터 기원전 6세기의 인물 탈레스에 관해서는, 3세기의 역사가 디오게네스 라에르티오스가 저서에서 "1세기의 역사가 Pamphile of Epidaurus|에피다우로스의 팜필레^영어의 저작에 '탈레스는 원 안에 직각삼각형을 그린 최초의 인물이다'라고 쓰여 있다"라고 언급한 것이 알려져 있다.^[4]

그러나 현재는, 그리스에서 이러한 종류의 이론이 발달하는 것은 기원전 4세기 이후이며, "탈레스가 발견했다"라는 것은 당시의 추측에 지나지 않는다고 생각된다.^[5]

3. 2. 원에 내접하는 사각형

원주각 정리는 초등 유클리드 기하학의 많은 증명에 사용된다. 이 정리의 결과로, 원내접 사각형의 마주보는 각의 합은 180°가 된다. 반대로, 이 조건을 만족하는 모든 사각형은 원에 내접할 수 있다.

3. 3. 점의 멱

원주각 정리는 원에 대한 점의 멱과 관련된 여러 정리의 기초가 된다.^[1]

3. 4. 기타

원주각 정리는 초등 유클리드 기하학의 많은 증명에 사용된다. 이 정리의 특별한 경우는 탈레스의 정리로, 지름에 의해 만들어지는 각은 항상 90°, 즉 직각이라고 말한다.^[1] 이 정리의 결과로, 원내접 사각형의 마주보는 각의 합은 180°가 된다.^[1] 반대로, 이 조건을 만족하는 모든 사각형은 원에 내접할 수 있다. 또 다른 예로, 원주각 정리는 원에 대한 점의 멱과 관련된 여러 정리의 기초가 된다.^[1] 또한 두 현이 원 안에서 교차할 때, 각 현의 분할된 길이의 곱이 같음을 증명할 수 있게 해준다.^[1]

4. 원주각 정리의 확장 (영어 위키백과 참고)

원주각 정리는 타원, 쌍곡선, 포물선에도 확장될 수 있다. 이 경우 각 도형에 맞게 각도를 측정하는 방식에 차이가 있다.

4. 1. 타원

원주각 정리는 타원에서도 존재하며, 각의 측정 방식을 수정하여 적용할 수 있다.

4. 2. 쌍곡선

쌍곡선에서도 각의 측정 방식을 수정하여 원주각 정리를 적용할 수 있다.

4. 3. 포물선

포물선에서도 각의 측정 방식을 수정하여 원주각 정리를 적용할 수 있다.

5. 역사

원주각의 정리에 대한 연구는 고대부터 이루어졌다. 기원전 20세기부터 17세기경까지 바빌로니아 수학에서는 지름에 대한 원주각이 직각이라는 사실(탈레스의 정리)이 알려져 있었다.^[1]

고대 그리스에서는 기원전부터 원주각의 정리에 대한 연구가 진행되었다. 유클리드 원론(기원전 4세기경) 제3권에서는 원의 중심각과 원주각의 관계, 같은 호에 대한 원주각의 크기, 반원에 대한 원주각 등에 대한 내용이 설명되어 있다.^[6]

원주각이 직각인 경우에 대한 정리는 바빌로니아에서 발견되었지만, 기원전 5세기경에는 잊혀져 탈레스나 피타고라스의 발견으로 여겨지기도 했다.^[2]^[3] 3세기의 역사가 디오게네스 라에르티오스는 탈레스가 원 안에 직각삼각형을 그린 최초의 인물이라고 언급했다.^[4] 그러나 현대에는 이러한 이론이 기원전 4세기 이후 그리스에서 발달한 것으로 보아, 탈레스의 발견은 당시의 추측으로 여겨진다.^[5]

이슬람권의 수학자들도 원주각에 대한 연구를 진행했다. 11세기 이슬람권의 수학자 이븐 알하이삼(라틴어: 알하젠)은 원과 관련된 알하젠의 정리를 발견했다.

5. 1. 바빌로니아 수학 (일본어 위키백과 참고)

기원전 20세기부터 기원전 17세기경까지 바빌로니아 수학에서는 지름에 대한 원주각이 직각이라는 사실(탈레스의 정리)이 알려져 있었다.^[1]

5. 2. 고대 그리스 (일본어 위키백과 참고)

고대 그리스에서는 원주각의 정리에 대한 연구가 기원전부터 이루어졌다.

유클리드 원론(기원전 4세기경) 제3권 명제 20에서는 원의 중심각과 원주각의 관계를 다음과 같이 설명하고 있다.^[6]

점 ABC를 지나는 원의 중심을 E라고 할 때, 각 BEC는 각 BAC의 2배가 된다.

명제 21에서는 같은 호에 대한 원주각의 크기가 같음을 설명하고 있다.

원주상의 점 ABDE에 대해, 각 BAD와 각 BED는 같다.

명제 31에서는 반원에 대한 원주각이 직각임을 설명하고 있다.

5. 2. 1. 탈레스 (일본어 위키백과 참고)

원주각이 직각인 경우에 대한 원주각의 정리는 바빌로니아인에 의해 발견된 것으로 보이지만, 기원전 5세기경에는 잊혀져 탈레스나 피타고라스의 발견으로 여겨졌다.^[2]^[3]

기원전 7세기부터 기원전 6세기까지 활동한 탈레스에 관해서는, 3세기의 역사가 디오게네스 라에르티오스가 "1세기의 역사가 Pamphile of Epidaurus|에피다우로스의 팜필레^영어의 저작에 '탈레스는 원 안에 직각삼각형을 그린 최초의 인물이다'라고 쓰여 있다"라고 언급한 것이 알려져 있다.^[4]

그러나 현재는 그리스에서 이러한 종류의 이론이 발달한 것은 기원전 4세기 이후이며, "탈레스가 발견했다"라는 것은 당시의 추측에 지나지 않는다고 생각된다.^[5]

5. 2. 2. 유클리드 원론 (일본어 위키백과 참고)

유클리드 원론(기원전 4세기경) 제3권의 명제 20에서는 다음과 같이 언급하고 있다^[6]。

> 점 ABC를 지나는 원의 중심을 E라고 할 때, 각 BEC는 각 BAC의 2배가 된다.

명제 21에서는 다음과 같이 언급하고 있다.

> 원주상의 점 ABDE에 대해, 각 BAD와 각 BED는 같다. 원의 중심을 F라고 한다. 먼저 선분 BAED가 반원보다 커질 때, 각 BFD는 각 BAD의 2배이다. 마찬가지로 각 BFD는 각 BED의 2배이다. 따라서 각 BAD는 각 BED와 같다. 다음에 BAED가 반원보다 작을 때, AF를 지나는 선분과 원의 교점을 C로 한다. 사각형 BAEC는 반원보다 크므로 각 BAC는 각 BEC와 같다. 마찬가지로 사각형 CAED는 반원보다 크므로, 각 CAD와 각 CED는 같다. 따라서 각 BAD는 각 BED와 같다.

명제 31에서는 다음과 같이 언급하고 있다.

> 원주상의 점 ABCD에 대해, 중심을 E로 한다. 선분 BC로 원을 자르면 반원이 되는 경우, 각 BAC는 직각이 되고, 각 ABC는 직각보다 작아지며, 각 ADC는 직각보다 커야 한다. 선분 EA는 EB와 같으므로, 각 EAB는 각 EBA와 같다. 또한, 선분 EA는 EC와 같으므로, 각 EAC는 각 ECA와 같다. 따라서 각 BAC는 각 ABC와 ACB의 합이 된다. 한편 삼각형 ABC의 외각 FAC는, 각 ABC와 ACB의 합과 같다. 따라서 각 BAC는 각 FAC와 같다. 따라서, 각각 직각이다. 따라서, 각 BAC는 직각이다.

5. 3. 이슬람 수학 (일본어 위키백과 참고)

이슬람권의 수학자들은 원주각과 관련된 연구를 진행했다. 11세기 이슬람권에서 활동한 수학자 이븐 알하이삼(라틴어: 알하젠)은 원과 관련된 알하젠의 정리를 발견했다.

5. 3. 1. 알하젠의 정리 (일본어 위키백과 참고)

11세기 이슬람권에서 활동한 수학자 이븐 알하이삼(라틴어: 알하젠)은 원 밖의 점 E와 원주 위에 있는 점 A, B에 대해, 삼각형 ABE가 원의 중심 Q를 포함할 때, 선분 AE와 원의 교점을 C, 선분 BE와 원의 교점을 D, 선분 AD와 BC의 교점을 P라고 하면, 각 AEB = 각 ADB - 각 CBD가 성립함을 발견했다.

6. 유명인의 언급

단테의 『신곡』 천국편 제13곡 100 - 102행의 기술, 및 롱펠로우의 영문 번역

단테가 14세기에 쓴 서사시 『신곡』 천국편 제13곡에는 "만약 반원 안에 직각을 가지지 않는 삼각형을 그릴 수 있다면"이라는, 탈레스의 정리를 전제로 한 구절이 있다.^[7]^[8]

참조

_[1] 서적 History of Humanity: Scientific and Cultural Development UNESCO 1996
_[2] 논문 Thales
_[3] 웹사이트 Thales of Miletus http://www.math.tamu[...] 2000
_[4] 논문 The Theorem of Thales: A Study of the Naming of Theorems in School Geometry Textbooks http://journals.tc-l[...] 2006-01
_[5] 서적 The Cambridge History of Science: Vol. 1, Ancient Science Cambridge University Press
_[6] 문서 The_Elements_of_Euclid_for_the_Use_of_Schools_and_Colleges/Book_III
_[7] 논문 ダンテ『神曲』の幾何学的構成について 2009-02-15
_[8] 문서 Divine_Comedy_(Longfellow_1867)/Volume_3/Canto_13
_[9] 서적 중학교 수학 3 https://textbook.vis[...] 비상

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