바나흐 고정점 정리

3. 증명

임의의 $x\_0\; \backslash in\; X$를 잡고, $x\_n\; =\; T(x\_\{n-1\})$로 정의되는 수열 $(x\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}$을 정의하자. 먼저 모든 $n\; \backslash in\; \backslash N$에 대해 다음 부등식이 성립함을 주목한다.

:$d(x\_\{n+1\},\; x\_n)\; \backslash le\; q^n\; d(x\_1,\; x\_0).$

이것은 $T$가 수축 사상이라는 사실을 사용하여 $n$에 대한 귀납법으로 증명된다. 그런 다음 $(x\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}$이 코시 수열임을 보일 수 있다. 특히 $m,\; n\; \backslash in\; \backslash N$에 대해 $m\; >\; n$인 경우:

: $\backslash begin\{align\}$

d(x_m, x_n) & \leq d(x_m, x_{m-1}) + d(x_{m-1}, x_{m-2}) + \cdots + d(x_{n+1}, x_n) \\[5pt]

& \leq q^{m-1}d(x_1, x_0) + q^{m-2}d(x_1, x_0) + \cdots + q^nd(x_1, x_0) \\[5pt]

& = q^n d(x_1, x_0) \sum_{k=0}^{m-n-1} q^k \\[5pt]

& \leq q^n d(x_1, x_0) \sum_{k=0}^\infty q^k \\[5pt]

& = q^n d(x_1, x_0) \left ( \frac{1}{1-q} \right ).

\end{align}

임의의 $\backslash varepsilon\; >\; 0$을 잡자. $q\; \backslash in\; [0,1)$이므로 다음을 만족하는 큰 $N\; \backslash in\; \backslash N$을 찾을 수 있다.

:

따라서 $m$과 $n$을 $N$보다 크게 선택하면 다음을 쓸 수 있다.

:

이것은 수열 $(x\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\; N\}$이 코시 수열임을 증명한다. $(X,\; d)$의 완비성에 의해 수열은 극한 $x^*\; \backslash in\; X$를 가진다. 또한 $x^*$는 $T$의 고정점이어야 한다.

:$x^*=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; x\_n\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; T(x\_\{n-1\})\; =\; T\backslash left(\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; x\_\{n-1\}\; \backslash right)\; =\; T(x^*).$

수축 사상으로서 $T$는 연속이므로 극한을 $T$ 안으로 가져오는 것이 정당화되었다. 마지막으로 $T$는 $(X,\; d)$에서 두 개 이상의 고정점을 가질 수 없는데, 왜냐하면 서로 다른 두 고정점 $p\_1$과 $p\_2$는 $T$의 수축에 모순되기 때문이다.

:$d(T(p\_1),T(p\_2))\; =\; d(p\_1,p\_2)\; >\; q\; d(p\_1,\; p\_2).$

임의의 ''x''₀ ∈ (''X'', ''d'')에 대해 수열 {''x_n''}을 ''x_n'' = ''T''(''x''_''n''−1)로 정의한다. 바나흐의 원래 증명은 몇 가지 보조 정리를 제시함으로써 완성된다.

> '''보조 정리 1''' 모든 ''n'' ∈ '''N'''에 대해, ''d''(''x''_''n''+1, ''x_n'') ≤ ''qⁿd''(''x''₁, ''x''₀)가 성립한다.

''증명'' 귀납법에 의해 증명된다. 기본 단계인 ''n=1''의 경우,

:$d(x\_\{1+1\},\; x\_1)\; =\; d(x\_2,\; x\_1)\; =\; d(T(x\_1),\; T(x\_0))\; \backslash leq\; qd(x\_1,\; x\_0)$

에서 유도된다. 어떤 ''k'' ∈ '''N'''에 대해 성립한다고 가정하면, 다음이 성립한다.

:$\backslash begin\{align\}$

d(x_{(k + 1) + 1}, x_{k + 1}) &= d(x_{k + 2}, x_{k + 1}) \\

&= d(T(x_{k + 1}), T(x_k)) \\

&\leq q d(x_{k + 1}, x_k) \\

&\leq q q^kd(x_1, x_0) & \text{귀납법 가정}\\

& = q^{k + 1}d(x_1, x_0).

\end{align}

수학적 귀납법에 의해, 모든 ''n'' ∈ '''N'''에 대해 보조 정리가 증명된다.

> '''보조 정리 2''' {''x_n''}은 (''X'', ''d'')에서의 코시 수열이며, ''X'' 내의 어떤 극한 ''x*''로 수렴한다.

''증명'' ''m'', ''n'' ∈ '''N'''을 ''m'' > ''n''을 만족하는 것으로 한다. 이때 다음이 성립한다.

:$\backslash begin\{align\}$

d(x_m, x_n) &\leq d(x_m, x_{m-1}) + d(x_{m-1}, x_{m-2}) + \dots + d(x_{n+1}, x_n) & \text{삼각 부등식} \\

& \leq q^{m-1}d(x_1, x_0) + q^{m-2}d(x_1, x_0) + \dots + q^nd(x_1, x_0) & \text{보조 정리 1}\\

&= q^n d(x_1, x_0) \sum_{k=0}^{m-n-1} q^k \\

&\leq q^n d(x_1, x_0) \sum_{k=0}^\infty q^k \\

& = q^n d(x_1, x_0) \left ( \frac{1}{1-q} \right ) & \text{기하 급수}

\end{align}

ε > 0을 임의로 한다. ''q'' ∈ [0, 1)이므로, 충분히 큰 ''N'' ∈ '''N'''에 대해 다음이 성립한다.

:

따라서 ''m'', ''n''을 충분히 큰 수로 하면, 다음을 얻는다.

:

ε > 0이 임의의 값이라는 사실로부터, 수열 {''x_n''}은 코시 수열임을 알 수 있다.

> '''보조 정리 3''' ''x*''는 ''T''의 부동점이다.

''증명'' 재귀적인 관계 ''x_n'' = ''T''(''x''_''n''−1'')의 양변에 극한을 취한다.

:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; x\_n\; =\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; T(x\_\{n-1\})$

''T''는 축소 사상이므로, 연속이다. 따라서 극한을 사상 내부에서 취할 수 있다.

:$\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; x\_n\; =\; T\backslash left(\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; x\_\{n-1\}\; \backslash right).$

따라서, ''x*'' = ''T''(''x*'')이다.

> '''보조 정리 4''' ''x*''는 ''T''의 (''X'', ''d'') 내 유일한 부동점이다.

''증명'' ''y''도 ''T''(''y'') = ''y''를 만족하는 부동점이라고 가정한다. 이때

:$0\; \backslash leq\; d(x^*,\; y)\; =\; d(T(x^*),\; T(y))\; \backslash leq\; q\; d(x^*,\; y)$

가 성립한다. ''q'' ∈ [0, 1)임에 유의하면, 이 부등식은 0 ≤ (1−''q'')''d''(''x*'', ''y'') ≤ 0을 의미한다. 따라서 ''d''(''x*'', ''y'') = 0이며, 양의 정부호성으로부터 ''x*'' = ''y''가 성립한다.

다음은 최근 Journal of Fixed Point Theory and its Applications에 게재된 더 간단한 증명이다(참고 문헌 참조).

삼각 부등식에서, ''X'' 내의 모든 ''x'', ''y''에 대해 다음이 성립한다.

:$\backslash begin\{align\}$

d(x,y) &\le d(x,T(x)) + d(T(x),T(y)) + d(T(y),y) \\

&\le d(x,T(x)) + q d(x,y) + d(T(y),y).

\end{align}

이것을 ''d''(''x'', ''y'')에 대해 풀면 다음과 같은 "기본 수축 부등식"(Fundamental Contraction Inequality)이 얻어진다.

:$d(x,y)\; \backslash le\; \backslash frac\{d(T(x),\; x)\; +\; d(T(y),y)\}\{1-q\}.$

''x''와 ''y''가 모두 고정점이라면, 이 부등식은 ''d''(''x'', ''y'') = 0, 즉 ''x'' = ''y''를 의미하며, ''T''는 기껏해야 하나의 고정점만을 가짐을 알 수 있다. ''T''를 자기 자신과 ''n''번 합성하여 사상 ''Tⁿ''을 정의한다. 귀납적으로 이 사상은 상수 ''qⁿ''에 대해 립시츠 조건을 만족시킨다는 것에 유의해야 한다. 이제 ''X'' 내의 임의의 ''x''₀에 대해 수열 {''Tⁿ''(''x''₀)}이 코시 수열임을 보이고, 따라서 ''X''의 어떤 점 ''x*''에 수렴함을 보이면 된다. 그 점은 앞서 언급했듯이 분명히 ''T''의 고정점이다. 기본 수축 부등식에서 ''x''와 ''y''를 각각 ''Tⁿ''(''x''₀)와 ''T^m''(''x''₀)로 대체하면, 다음이 성립함을 알 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$

d(T^n(x_0), T^m(x_0)) &\le \frac{d(T(T^n(x_0)), T^n(x_0)) + d(T(T^m(x_0)),T^m(x_0))}{1-q}, \\

&= \frac{d(T^n(T(x_0)), T^n(x_0)) + d(T^m(T(x_0)), T^m(x_0))}{1-q} \\

&\le \frac{q^n d(T(x_0), x_0) + q^m d(T(x_0), x_0)}{1-q} \\

&= \frac {q^n + q^m} {1-q} d(T(x_0) ,x_0).

\end{align}

''q'' < 1이므로, 마지막 표현은 ''n'', ''m'' → ∞에 대해 0으로 수렴하며, 이는 {''Tⁿ''(''x''₀)}가 코시 수열임을 의미한다. ''m'' → ∞에 대해서는 첫 번째 증명에서 나타난 다음 부등식이 얻어진다.

:$d(T^n(x\_0),\; x^*)\; \backslash le\; \backslash frac\; \{q^n\}\; \{1-q\}\; d(T(x\_0)\; ,x\_0).$

이것은 {''Tⁿ''(''x''₀)}가 ''x*''에 수렴하는 수렴 속도를 제공한다.

4. 응용

바나흐 고정점 정리는 다양한 수학적 정리 및 실제 문제 해결에 응용될 수 있다.

바나흐 고정점 정리는 다음 명제들의 증명에서 사용할 수 있다.

• 피카르-린델뢰프 정리
• 음함수 정리

5. 역

바나흐 고정점 정리의 역은 다음과 같이 설명될 수 있다.
체스와프 베사가의 역정리1959년 체스와프 베사가는 다음과 같은 바나흐 고정점 정리의 역을 증명했다.^[8]

추상적인 집합 X에서 X로의 사상 f가 주어지고, 각 반복 fⁿ이 유일한 고정점을 갖는다고 가정하자. 임의의 q ∈ (0, 1)에 대해, X 위에 완비 거리 공간 구조를 부여하여 f를 축소 사상으로 만들 수 있으며, 이때 q는 축소 상수가 된다.

베사가의 정리는 매우 약한 조건하에서도 성립한다. 예를 들어, T₁ 위상 공간 X 위의 사상 f : X → X가 모든 x ∈ X에 대해 fⁿ(x)가 유일한 고정점 a로 수렴한다고 가정하면, f가 축소 상수 1/2을 갖는 바나흐 축소 사상이 되도록 하는 거리 공간 X를 구성할 수 있다. 특히, 이 거리는 초거리 공간을 이룬다.^[13]
일반화바나흐 고정점 정리의 몇몇 일반화는 즉각적인 따름정리 형태로 나타난다.^[9]

완비 거리 공간 (X, d) 위의 함수 T : X → X에 대해 다음이 성립한다.

• T의 어떤 반복 Tⁿ이 축약 사상이라면, T는 유일한 고정점을 갖는다.^[19]
• 모든 n에 대해, 모든 x와 y에 대해 d(Tⁿ(x), Tⁿ(y)) ≤ c_nd(x, y)를 만족하는 c_n이 존재하고, 이면 T는 유일한 고정점을 갖는다.^[20]
• 콤팩트 거리 공간 (X, d) 위의 함수 T : X → X가 임의의 x, y ∈ X에 대하여, x ≠ y이면 d(T(x), T(y)) < d(x, y)를 만족하면, T는 유일한 고정점을 갖는다.^[21]
• 거리 공간 (X, d) 위의 '''준축약 사상'''은 임의의 x, y ∈ X에 대하여, $d(T(x),T(y))\backslash le\backslash alpha\backslash max\backslash \{d(x,y),d(x,T(x)),d(y,T(y)),d(x,T(y)),d(y,T(X))\backslash \}$를 만족시키는 $\backslash alpha\backslash in[0,1)$이 존재하는 함수 T : X → X이다. 완비 거리 공간 (X, d) 위의 준축약 사상 T : X → X은 유일한 고정점을 갖는다.^[22]
• 거리 공간 (X, d) 위의 약축약 사상은 임의의 x, y ∈ X에 대하여, $d(T(x),T(y))\backslash le\; d(x,y)-\backslash phi(d(x,y))$를 만족시키는 함수 $\backslash phi\backslash colon[0,\backslash infty)\backslash to[0,\backslash infty)$가 존재하는 함수 T : X → X이다. $\backslash phi$는 연속 함수이며, 증가 함수이고, $\backslash phi^\{-1\}(0)=\backslash \{0\backslash \}$을 만족한다. 완비 거리 공간 (X, d) 위의 약축약 사상 T : X → X은 유일한 고정점을 갖는다.^[23]
• 유사 거리 공간, 직사각 거리 공간, 뿔 거리 공간 등에서도 바나흐 고정점 정리의 일반화가 존재한다.

6. 일반화

바나흐 고정점 정리는 다양한 조건 완화 및 공간 일반화를 통해 확장될 수 있으며, 여러 방향으로 수많은 변형과 일반화가 존재한다. 몇몇 일반화는 즉각적인 따름정리로 이어진다.^[9]
반복 함수의 축약 사상 조건완비 거리 공간 $(X,d)$ 위의 함수 $T\backslash colon\; X\backslash to\; X$에 대해, 어떤 양의 정수 $n$에 대해 $T^n$이 축약 사상이라면, $T$는 유일한 고정점을 갖는다.^[19] 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. $T^n$은 유일한 고정점 $x^*\backslash in\; X$을 가지므로,

:$T^n(T(x^*))=T(T^n(x^*))=T(x^*)$

이다. 따라서 $T(x^*)$ 역시 $T^n$의 고정점이며, 유일성에 의해 $T(x^*)=x^*$이다. $T$의 고정점은 $T^n$의 고정점이므로, $x^*$는 유일한 고정점이다.
합성 함수에 대한 상수 급수 조건완비 거리 공간 $(X,d)$ 위의 함수 $T\backslash colon\; X\backslash to\; X$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 수열 $(\backslash alpha\_n)\_\{n=1\}^\backslash infty\backslash subset[0,\backslash infty)$이 존재한다고 가정하자.

• 임의의 $n\backslash in\backslash mathbb\; Z^+$ 및 $x,y\backslash in\; X$에 대하여, $d(T^n(x),T^n(y))\backslash le\backslash alpha\_nd(x,y)$

• 임의의 $x,y\backslash in\; X$에 대하여, $d(T(x),T(y))\backslash le\; d(x,y)-\backslash phi(d(x,y))$
• $\backslash phi$는 연속 함수이며, 증가 함수이다.
• $\backslash phi^\{-1\}(0)=\backslash \{0\backslash \}$

6. 1. 축약 조건의 약화

• ''T''의 어떤 반복 ''Tⁿ''이 축약 사상이라고 가정한다. 그러면 ''T''는 유일한 고정점을 갖는다.
• 모든 ''n''에 대해, 모든 ''x''와 ''y''에 대해 ''d''(''T''^''n''(''x''), ''T''^''n''(''y'')) ≤ ''c''_''n''''d''(''x'', ''y'')를 만족하는 ''c_n''이 존재하고,

• ''T''의 몇 번째 반복 ''Tⁿ''은 축소 사상이라고 가정한다. 이때, ''T''에는 유일한 고정점이 존재한다.
• ''T''는 연속 함수이고, ''X'' 내의 모든 ''x''와 ''y''에 대해

6. 1. 1. ''n''번 합성이 축약 사상인 경우

• ''T''의 어떤 반복 ''Tⁿ''이 축약 사상이라고 가정한다. 그러면 ''T''는 유일한 고정점을 갖는다.
• 모든 ''n''에 대해, 모든 ''x''와 ''y''에 대해 ''d''(''T''^''n''(''x''), ''T''^''n''(''y'')) ≤ ''c''_''n''''d''(''x'', ''y'')를 만족하는 ''c_n''이 존재하고,

• ''T''의 몇 번째 반복 ''Tⁿ''은 축소 사상이라고 가정한다. 이때, ''T''에는 유일한 고정점이 존재한다.
• ''T''는 연속 함수이고, ''X'' 내의 모든 ''x''와 ''y''에 대해

6. 1. 2. ''n''번 합성에 대한 상수의 급수가 수렴하는 경우

• 임의의 $n\backslash in\backslash mathbb\; Z^+$ 및 $x,y\backslash in\; X$에 대하여, $d(T^n(x),T^n(y))\backslash le\backslash alpha\_nd(x,y)$

• T의 어떤 반복 Tⁿ이 축약 사상이라고 가정한다. 그러면 T는 유일한 고정점을 갖는다.
• 모든 n에 대해, 모든 x와 y에 대해 *d* (T^*n*(x), T^*n*(y)) ≤ *c*_*n**d* (x, y)를 만족하는 *c_n*이 존재하고,

6. 1. 3. 콤팩트 공간에서의 약화

• 임의의 $x,y\backslash in\; X$에 대하여, 만약 $x\backslash ne\; y$라면

• ''T''의 어떤 반복 ''Tⁿ''이 축약 사상이라고 가정한다. 그러면 ''T''는 유일한 고정점을 갖는다.
• 모든 ''n''에 대해, 모든 ''x''와 ''y''에 대해 ''d''(''T''^''n''(''x''), ''T''^''n''(''y'')) ≤ ''c''_''n''''d''(''x'', ''y'')를 만족하는 ''c_n''이 존재하고,

• ''T''의 몇 번째 반복 ''Tⁿ''은 축소 사상이라고 가정한다. 이때, ''T''에는 유일한 고정점이 존재한다.
• ''T''는 연속 함수이고, ''X'' 내의 모든 ''x''와 ''y''에 대해

6. 1. 4. 준축약 사상

• ''T''의 어떤 반복 ''Tⁿ''이 축약 사상이라고 가정한다. 그러면 ''T''는 유일한 고정점을 갖는다.
• 모든 ''n''에 대해, 모든 ''x''와 ''y''에 대해 ''d''(''T''^''n''(''x''), ''T''^''n''(''y'')) ≤ ''c''_''n''''d''(''x'', ''y'')를 만족하는 ''c_n''이 존재하고,

• ''T''의 몇 번째 반복 ''Tⁿ''은 축소 사상이라고 가정한다. 이때, ''T''에는 유일한 고정점이 존재한다.
• ''T''는 연속 함수이고, ''X'' 내의 모든 ''x''와 ''y''에 대해

6. 1. 5. 약축약 사상

• 임의의 $x,y\backslash in\; X$에 대하여, $d(T(x),T(y))\backslash le\; d(x,y)-\backslash phi(d(x,y))$
• $\backslash phi$는 연속 함수이며, 증가 함수이다.
• $\backslash phi^\{-1\}(0)=\backslash \{0\backslash \}$

• ''T''의 어떤 반복 ''Tⁿ''이 축약 사상이라고 가정한다. 그러면 ''T''는 유일한 고정점을 갖는다.
• 모든 ''n''에 대해, 모든 ''x''와 ''y''에 대해 ''d''(''T''^''n''(''x''), ''T''^''n''(''y'')) ≤ ''c''_''n''''d''(''x'', ''y'')를 만족하는 ''c_n''이 존재하고,

• ''T''의 몇 번째 반복 ''Tⁿ''은 축소 사상이라고 가정한다. 이때, ''T''에는 유일한 고정점이 존재한다.
• ''T''는 연속 함수이고, ''X'' 내의 모든 ''x''와 ''y''에 대해

6. 2. 거리 공간의 일반화

• ''T''의 어떤 반복 ''Tⁿ''이 축약 사상이라고 가정한다. 그러면 ''T''는 유일한 고정점을 갖는다.
• 모든 ''n''에 대해, 모든 ''x''와 ''y''에 대해 ''d''(''T''^''n''(''x''), ''T''^''n''(''y'')) ≤ ''c''_''n''''d''(''x'', ''y'')를 만족하는 ''c_n''이 존재하고,

• ''T''의 몇 번째 반복 ''Tⁿ''은 축소 사상이라고 가정한다. 이때, ''T''에는 유일한 고정점이 존재한다.
• ''T''는 연속 함수이고, ''X'' 내의 모든 ''x''와 ''y''에 대해

7. 예

바나흐 고정점 정리가 성립하려면 완비 거리 공간이어야 하지만, 표준적인 거리 공간 구조를 갖춘 구간 $(0,1]\backslash subset\backslash mathbb\; R$은 완비 거리 공간이 아니다. 함수

:$T\backslash colon\; x\backslash mapsto\backslash frac\; 12x$

는 축약 사상이지만, 고정점을 가지지 않는다.

표준적인 거리 공간 구조를 갖춘 실수 집합 $\backslash mathbb\; R$은 완비 거리 공간이지만 콤팩트 공간이 아니다. 함수

:$T\backslash colon\; x\backslash mapsto\backslash frac\backslash pi\; 2+x-\backslash arctan\; x$

를 생각하자. 임의의 $x\backslash ne\; y$에 대하여, 평균값 정리에 따라

:

:$\backslash xi\backslash in(x,y)\backslash cup(y,x)$

이다. 그러나 $T$는 고정점을 가지지 않는다.

집합

:$A=\backslash \{0\backslash \}\backslash cup\backslash bigcup\_\{n=1\}^\backslash infty\; A\_n\backslash subset\backslash mathbb\; R^2$

:$A\_n=\backslash \{(t,t/n)\backslash colon\; t\backslash in(0,1]\backslash \}$

을 생각하자.^[24] 이는 $\backslash mathbb\; R^2$의 닫힌집합이 아니므로 ($(0,1)\backslash not\backslash in\; A$) 완비 거리 공간이 아니지만, 모든 축약 사상이 유일한 고정점을 갖는다. 임의의 연속 함수 $T\backslash colon\; A\backslash to\; A$에 대하여, $T$의 고정점의 존재를 보이는 것으로 족하다. (이는 모든 축약 사상이 연속 함수이며, 축약 사상의 고정점은 많아야 하나이기 때문이다.) 만약 $T(0)=0$이라면, 0은 $T$의 고정점이다. 이제 $n\backslash in\backslash mathbb\; Z^+$에 대하여 $T(0)\backslash in\; A\_n$이라고 가정하자. 다음과 같이 정의하자.

:$U\backslash colon\; A\_n\backslash cup\backslash \{0\backslash \}\backslash to\; A\_n\backslash cup\backslash \{0\backslash \}$

:$U\backslash colon\; x\backslash mapsto$

\begin{cases}

T(x)&T(x)\in A_n\\

0&T(x)\not\in A_n

\end{cases}



그렇다면, $U$는 연속 함수이다. $A\_n\backslash cup\backslash \{0\backslash \}$이 콤팩트 볼록 집합이므로, $U$는 고정점 $x^*\backslash in\; A\_n\backslash cup\backslash \{0\backslash \}$을 가진다. 또한, $x^*\backslash ne\; 0$이며 $T(x^*)=x^*$임을 보일 수 있다. (만약 $x^*=0$이라면,

:$U(0)=0\backslash not\backslash in\; A\_n$

이므로 $T(0)\backslash not\backslash in\; A\_n$이 되어 모순이다. 그렇다면,

:$U(x^*)=x^*\backslash in\; A\_n$

이므로, $T(x^*)\backslash in\; A\_n$이며, 따라서

:$T(x^*)=U(x^*)=x^*$

이다.)

바나흐 고정점 정리와 고정점 반복의 응용은 의 고정점을 고정점 반복을 사용하여 매우 정확하게 빠르게 근사하는 데 사용될 수 있다. 함수 $f(x)=\backslash sin(x)+x$를 고려해 보자. 가 ''f''의 고정점이며, ''f''가 구간 $\backslash left[3\backslash pi/4,5\backslash pi/4\backslash right]$를 자신에게 매핑한다는 것을 확인할 수 있다. 또한, $f\text{'}(x)=1+\backslash cos(x)$이며, 다음을 확인할 수 있다.

:

이 구간에서. 따라서, 평균값 정리를 적용하면 ''f''는 1보다 작은 립시츠 상수(즉, $1-1/\backslash sqrt\{2\}$)를 갖는다. 바나흐 고정점 정리를 적용하면 고정점 가 이 구간에서 유일한 고정점이며, 고정점 반복을 사용할 수 있다.

예를 들어, $3\backslash pi/4\backslash leq3\backslash leq5\backslash pi/4$이므로 고정점 반복을 시작하기 위해 값 3을 선택할 수 있다. 바나흐 고정점 정리를 사용하여 다음을 결론 내릴 수 있다.

: $\backslash pi=f(f(f(\backslash cdots\; f(3)\backslash cdots)))).$

3에 ''f''를 세 번만 적용해도 이미 를 소수점 33자리까지 정확하게 확장할 수 있다.

: $f(f(f(3)))=3.141592653589793238462643383279502\backslash ldots\backslash ,.$

8. 역사

스테판 바나흐는 1922년에 바나흐 고정점 정리를 처음 서술했다.^[25][26]

참조

_[1] 서적 An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications Academic Press
_[2] 논문 Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales http://matwbn.icm.ed[...]
_[3] 논문 On Stefan Banach and some of his results http://www.emis.de/j[...]
_[4] 논문 Zum Einbettungssatz von J. Nash
_[5] 서적 Optimal Control John Wiley & Sons
_[6] 논문 Existence and Uniqueness of Cournot Equilibrium: A Contraction Mapping Approach https://www.cirano.q[...]
_[7] 서적 Recursive Methods in Economic Dynamics https://books.google[...] Harvard University Press
_[8] 논문 A 'Converse' of the Banach Contraction Mapping Theorem
_[9] 서적 Topics in Fixed Point Theory Springer
_[10] 서적 Mathematical Aspects of Logic Programming Semantics Chapman and Hall/CRC
_[11] 논문 Generalized Distance Functions in the Theory of Computation
_[12] URL http://www.emis.de/j[...]
_[13] 논문 A ‘Converse’ of the Banach Contraction Mapping Theorem
_[14] 서적 Mathematical Aspects of Logic Programming Semantics Chapman and Hall/CRC
_[15] 논문 Generalized Distance Functions in the Theory of Computation
_[16] 논문
_[17] 논문
_[18] 논문
_[19] 논문
_[20] 논문
_[21] 논문
_[22] 논문
_[23] 논문
_[24] 논문
_[25] 논문
_[26] 논문 http://www.emis.de/j[...]