따름정리
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1. 개요
따름정리는 어떤 명제 B가 다른 명제 A로부터 쉽게 연역되거나 A의 증명으로부터 자명하게 도출될 때 B를 A의 따름정리라고 한다. '쉽게' 또는 '자명하게'의 기준은 주관적이며, 저자나 문맥에 따라 달라진다. 찰스 샌더스 퍼스는 연역 추론을 정리적 추론과 따름정리적 추론으로 구분하며, 따름정리적 연역은 전제가 참인 경우 결론이 성립함을 즉시 인식할 수 있는 반면, 정리적 연역은 전제의 이미지를 상상 속에서 실험해야 한다고 주장했다.
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| 따름정리 | |
|---|---|
| 수학적 개념 | |
| 정의 | 어떤 정리로부터 자명하게 유도되는 또 다른 정리 |
| 설명 | 어떤 정리로부터 곧바로 따라 나오는 결론 증명 과정이 복잡하지 않고 간단하여 기존의 정리로부터 쉽게 유도될 수 있는 명제 |
| 예시 | 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다는 정리로부터 "마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분한다"는 따름정리를 도출할 수 있음. |
| 활용 | 기존의 정리를 바탕으로 새로운 사실을 발견하거나 문제를 해결하는 데 활용될 수 있음. |
| 관련 개념 | |
| 정리 | 증명된 명제 |
| 명제 | 참 또는 거짓을 구별할 수 있는 문장 |
| 보조정리 | 어떤 정리를 증명하는 데 이용되는 미리 증명된 명제 |
2. 정의 및 특징
수학에서 따름정리는 기존의 정리와 짧은 증명으로 연결된 정리이다. "따름정리"라는 용어는 명제 또는 "정리" 대신 사용되는데, 이는 본질적으로 주관적이다. 명제 ''B''가 명제 ''A''로부터 쉽게 추론되거나, ''A''의 증명으로부터 자명하다면, ''B''는 ''A''의 따름정리이다.
따름정리는 더 큰 정리의 특수한 경우에 해당하며,[4] 이로 인해 정리의 사용과 적용이 더 쉬워진다.[5] 비록 그 중요성이 일반적으로 정리 자체의 중요성에 비해 부차적인 것으로 여겨지더라도 말이다. ''B''의 수학적 결과가 ''A''의 결과만큼 중요할 경우 따름정리라고 불릴 가능성은 낮다.
어떤 주장을 「따름정리」라고 부르는지에 대한 기준은 주관에 근거한다. 명제 ''B''가 명제 ''A''로부터 곧바로 연역될 수 있다거나 그 증명으로부터 명백할 경우에 「''B''는 ''A''의 따름정리이다」라고 말하는데, 「곧바로」 또는 「명백함」의 의미는 저자나 문맥에 따라 다르다.
따름정리는 도출되는 것에 대한 증명을 하는 경우도 있지만, 대개는 명백하다고 여겨 증명은 생략된다.[7]
2. 1. 예시
피타고라스 정리는 코사인 법칙의 따름정리로 볼 수 있다.[7]3. 찰스 샌더스 퍼스의 연역 추론 이론
찰스 샌더스 퍼스는 연역 추론을 정리적 추론과 따름정리적 추론으로 구분했다. 따름정리적 연역은 전제가 참인 경우를 상상하면 결론이 성립함을 즉시 인식할 수 있는 추론이다. 정리적 연역은 전제의 이미지를 상상 속에서 실험하여 결론의 진실에 대한 따름정리적 연역을 하는 추론이다.[9] 퍼스는 따름정리적 연역이 아리스토텔레스가 생각한 직접적인 증명과 일치한다고 주장했으며, 보조 정리나 정의를 도입하는 것을 포함할 수 있다고 보았다.[10]
3. 1. 퍼스의 관점에서 본 따름정리적 연역과 정리적 연역
찰스 샌더스 퍼스는 연역 추론에서 가장 중요한 구분을 정리적 추론과 따름정리적 추론으로 보았다. 그는 모든 연역이 결국 그림이나 도식에 대한 정신적 실험에 의존한다고 주장했다.[8]따름정리적 연역은 전제가 참이라고 가정하면, 결론이 성립한다는 것을 바로 알 수 있는 추론 방식이다.
반면 정리적 연역은 전제의 이미지를 상상 속에서 실험하여 결론을 도출하고, 그 결론의 진실에 대해 따름정리적 연역을 하는 방식이다.[9]
퍼스는 따름정리적 연역이 아리스토텔레스가 생각한 직접적인 증명과 일치하며, 유일하게 완벽한 증명이라고 보았다. 반면 정리적 연역은 다음과 같은 특징을 가진다.
# 수학자들이 더 중요하게 생각한다.
# 수학 고유의 것이다.[8]
# 증명 과정에서 보조 정리나 정의를 도입하며, 특이한 경우 그 정의는 "적절한 공리에 의해 뒷받침되어야 하는" 추상화이다.[10]
어떤 주장을 「명제」나 「정리」 대신 「따름정리」라고 부르는 기준은 주관적이다. 즉, 명제 ''B''가 명제 ''A''로부터 곧바로 연역되거나 그 증명으로부터 명백할 경우 "''B''는 ''A''의 따름정리이다"라고 말한다. 여기서 '곧바로' 또는 '명백함'의 의미는 저자나 문맥에 따라 달라진다.
또한, 「따름정리」는 원래 정리보다 중요성이 덜하다고 여겨지는 경우가 많다. 도출된 ''B''의 수학적 결과가 원래 ''A''와 동일하게 중요하다면, ''B''를 따름정리로 부르는 경우는 드물다. 따름정리가 도출되는 것에 대한 증명을 하는 경우도 있지만, 대개는 명백하다고 여겨 증명을 생략한다.
참조
[1]
웹사이트
Definition of corollary
https://www.dictiona[...]
2019-11-27
[2]
웹사이트
Definition of COROLLARY
https://www.merriam-[...]
2019-11-27
[3]
웹사이트
COROLLARY
https://dictionary.c[...]
2019-11-27
[4]
웹사이트
Mathwords: Corollary
https://www.mathword[...]
2019-11-27
[5]
웹사이트
Corollary
http://mathworld.wol[...]
2019-11-27
[6]
서적
Chambers's Encyclopaedia
https://books.google[...]
Appleton
1864
[7]
웹사이트
Mathwords: Corollary
https://www.mathword[...]
2019-11-27
[8]
문서
Peirce, C. S., from section dated 1902 by editors in the "Minute Logic" manuscript, ''[[Charles Sanders Peirce bibliography#CP|Collected Papers]]'' v. 4, paragraph 233, quoted in part in "[http://www.helsinki.fi/science/commens/terms/corollarial.html Corollarial Reasoning]" in the ''Commons Dictionary of Peirce's Terms'', 2003–present, Mats Bergman and Sami Paavola, editors, University of Helsinki.
[9]
문서
Peirce, C. S., the 1902 Carnegie Application, published in ''[[Charles Sanders Peirce bibliography#NEM|The New Elements of Mathematics]]'', Carolyn Eisele, editor, also transcribed by [[Joseph Morton Ransdell|Joseph M. Ransdell]], see "From Draft A – MS L75.35–39" in [http://www.cspeirce.com/menu/library/bycsp/l75/ver1/l75v1-06.htm#m19 Memoir 19] (once there, scroll down).
[10]
문서
Peirce, C. S., 1901 manuscript "On the Logic of Drawing History from Ancient Documents, Especially from Testimonies', ''[[Charles Sanders Peirce bibliography#EP|The Essential Peirce]]'' v. 2, see p. 96. See quote in "[http://www.helsinki.fi/science/commens/terms/corollarial.html Corollarial Reasoning]" in the ''Commens Dictionary of Peirce's Terms''.
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