바닥 상태

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1. 개요
2. 바닥 상태의 겹침(축퇴)
3. 1차원에서의 마디 부재 증명
- 3.1. 유도
- 3.2. 함의
4. 예시
5. 장(場) 이론에서의 정의
참조

1. 개요

바닥 상태는 물리학에서 가장 낮은 에너지를 갖는 양자 역학적 시스템의 상태를 의미한다. 바닥 상태는 겹침이 발생할 수 있으며, 절대 영도에서 계는 항상 바닥 상태에 존재한다. 1차원 슈뢰딩거 방정식의 바닥 상태는 마디가 없다는 것을 수학적으로 증명할 수 있으며, 바닥 상태 파동 함수는 마디를 가질 수 없다. 바닥 상태는 공간적으로 비퇴화적이며, 스핀 상태로 인해 퇴화될 수 있다. 일차원 상자 속 입자, 수소 원자, 세슘-133 원자 등이 바닥 상태의 예시이다. 장(場) 이론에서 기저 상태는 입자의 소멸 연산자를 사용하여 정의된다.

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바닥 상태
양자 역학
정의	양자 시스템의 가장 낮은 에너지 상태
설명	시스템이 가질 수 있는 최소 에너지
특징	더 낮은 에너지 상태로 붕괴되지 않음 들뜬 상태와 반대되는 개념
상세 정보
파동 함수	바닥 상태에 해당하는 파동 함수는 바닥 상태 파동 함수라고 불림
고유 상태	양자 시스템의 해밀토니안의 가장 낮은 고유값에 해당하는 고유 상태
축퇴	해밀토니안의 바닥 상태가 하나 이상일 수 있음 (축퇴)
예시	수소 원자의 바닥 상태: 전자가 핵에 가장 가까운 궤도에 있는 상태 양자점의 바닥 상태: 전자가 양자점 내 가장 낮은 에너지 준위에 있는 상태
활용
응용	분광학 양자 화학 고체 물리학 양자 컴퓨팅

2. 바닥 상태의 겹침(축퇴)

바닥 상태는 유일하지 않을 수 있다. 이를 겹침이라고 한다. 예를 들어, 수소 원자의 경우 전자의 스핀으로 인하여 두 개의 바닥 상태가 존재한다.

열역학 제3법칙에 따라, 절대 영도에 다다른 계는 항상 바닥 상태에 존재한다. 따라서, 절대 영도에서의 엔트로피는 바닥 상태의 겹침 수의 로그이다. 만약 바닥 상태가 겹치지 않는다면 절대 영도에서 엔트로피는 항상 0이다.

3. 1차원에서의 마디 부재 증명

1차원에서 슈뢰딩거 방정식의 바닥 상태는 마디가 없다는 것을 수학적 증명을 통해 보일 수 있다.^[1] 이는 귀류법으로 증명 가능한데, 바닥 상태에 마디가 존재한다고 가정하면, 에너지를 더 낮출 수 있는 변형된 파동 함수를 만들 수 있기 때문이다. 이는 바닥 상태의 정의에 모순되므로, 바닥 상태는 마디를 가질 수 없다.

바닥 상태는 마디가 없으므로 공간적으로 비퇴화적이다. 즉, 동일한 에너지 고유값과 스핀 상태를 가지면서 위치 공간 파동 함수만 다른 두 개의 정지 상태는 존재하지 않는다.^[1] 그러나, 서로 다른 스핀 상태(예: $\left|\uparrow\right\rang$ 및 $\left|\downarrow\right\rang$ )는 동일한 위치 공간 파동 함수를 가질 수 있으며, 이로 인해 바닥 상태가 퇴화될 수 있다.

3. 1. 유도

마디가 있는 상태의 평균 에너지를 부분 적분을 통해 계산하고, 마디 주변의 작은 구간을 고려하여 변형된 파동 함수를 정의한다. 변형된 파동 함수의 운동 에너지와 포텐셜 에너지를 계산하여, 원래 파동 함수보다 에너지가 낮아짐을 보인다. 이를 통해 마디가 있는 상태는 바닥 상태가 될 수 없음을 증명한다.^[1]

x = 0에서 마디가 있는 상태, 즉 ψ(0)|ψ(0)^영어 = 0인 상태의 평균 에너지는 다음과 같다.

\langle\psi|H|\psi\rangle = \int dx\, \left(-\frac{\hbar^2}{2m} \psi^* \frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)|\psi(x)|^2\right),

여기서 V(x)|V(x)^영어는 포텐셜이다.

부분 적분을 하면:

\int_a^b \psi^* \frac{d^2\psi}{dx^2} dx= \left[ \psi^*\frac{d\psi}{dx}\right]_a^b - \int_a^b \frac{d\psi^*}{dx}\frac{d\psi}{dx} dx=  \left[ \psi^*\frac{d\psi}{dx}\right]_a^b - \int_a^b \left|\frac{d\psi}{dx}\right|^2 dx

만약

\left[ \psi^*\frac{d\psi}{dx}\right]_{-\infty}^{\infty} = \lim_{b\to\infty}\psi^*(b)\frac{d\psi}{dx}(b)-\lim_{a\to-\infty}\psi^*(a)\frac{d\psi}{dx}(a)

가 0 이라면, 다음을 얻는다.

-\frac{\hbar^2}{2m}\int_{-\infty}^{\infty} \psi^* \frac{d^2\psi}{dx^2} dx= \frac{\hbar^2}{2m}\int_{-\infty}^{\infty} \left|\frac{d\psi}{dx}\right|^2 dx

이제

x = 0

주변의 작은 구간

x \in [-\varepsilon, \varepsilon]

을 생각한다. 새로운 (변형된) 파동 함수 ψ'(x)|ψ'(x)^영어를 다음과 같이 정의한다.

$x < -\varepsilon$ 에 대해 $\psi'(x) = \psi(x)$
$x > \varepsilon$ 에 대해 $\psi'(x) = -\psi(x)$
$x \in [-\varepsilon, \varepsilon]$ 에 대해 상수

\varepsilon

이 충분히 작으면, ψ'(x)|ψ'(x)^영어는 연속이다.

\psi(x) \approx -cx

를

x = 0

근처로 가정하면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

\psi'(x) = N \begin{cases}|\psi(x)|,    & |x| >   \varepsilon, \\c\varepsilon, & |x| \le \varepsilon,\end{cases}

여기서

N = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{4}{3} |c|^2\varepsilon^3}}

는 노름이다.

운동 에너지 밀도는 정규화로 인해 모든 곳에서

\frac{\hbar^2}{2m}\left|\frac{d\psi'}{dx}\right|^2 < \frac{\hbar^2}{2m}\left|\frac{d\psi}{dx}\right|^2

을 유지한다. 더 중요한 것은, 평균 운동 에너지가 ψ'(x)|ψ'(x)^영어로의 변형에 의해

O(\varepsilon)

만큼 감소한다는 것이다.

이제, 포텐셜 에너지를 생각한다. 명확성을 위해,

V(x) \ge 0

을 선택하면 구간

x \in [-\varepsilon, \varepsilon]

밖에서는 포텐셜 에너지 밀도가 ψ'(x)|ψ'(x)^영어에 대해 더 작다. 왜냐하면 거기에서

|\psi'| < |\psi|

이기 때문이다.

반면에, 구간

x \in [-\varepsilon, \varepsilon]

에서 다음을 얻는다.

{V^\varepsilon_\text{avg}}' = \int_{-\varepsilon}^\varepsilon dx\, V(x)|\psi'|^2 = \frac{\varepsilon^2|c|^2}{1 + \frac{4}{3}|c|^2\varepsilon^3} \int_{-\varepsilon}^\varepsilon dx\, V(x) \simeq 2\varepsilon^3|c|^2 V(0) + \cdots,

이것은

\varepsilon^3

차수까지 유효하다.

그러나, 마디가 있는 상태 ψ(x)|ψ^영어에 대한 이 영역에서 포텐셜 에너지 기여는 다음과 같다.

V^\varepsilon_\text{avg} = \int_{-\varepsilon}^\varepsilon dx\, V(x)|\psi|^2 = |c|^2\int_{-\varepsilon}^\varepsilon dx\, x^2V(x) \simeq \frac{2}{3}\varepsilon^3|c|^2 V(0) + \cdots,

ψ'(x)|ψ'^영어와 마찬가지로 여전히 동일한 낮은 차수

O(\varepsilon^3)

이고, 평균 운동 에너지 감소에 비해 부차적이다. 따라서, 마디가 있는 상태 ψ(x)|ψ^영어를 마디가 없는 상태 ψ'(x)|ψ'^영어로 변형하면 포텐셜 에너지는

\varepsilon^2

차수까지 변경되지 않으며, 변경은 무시할 수 있다.

따라서 모든 마디를 제거하고 에너지를

O(\varepsilon)

만큼 줄일 수 있으며, 이는 ψ(x)|ψ^영어가 바닥 상태일 수 없음을 의미한다. 따라서 바닥 상태 파동 함수는 마디를 가질 수 없다.

3. 2. 함의

바닥 상태는 마디가 없으므로 공간적으로 비퇴화적이다. 즉, 에너지 고유값이 바닥 상태(

E_g

로 명명)와 동일하고 스핀 상태도 같아서 위치 공간 파동 함수에서만 다른 두 개의 바닥 상태의 정지된 양자 상태는 존재하지 않는다.^[1]

이러한 추론은 모순 증명법으로 진행된다. 만약 바닥 상태가 퇴화되어 있다면, 두 개의 정규 직교^[2]하는 정지 상태

\left|\psi_1\right\rang

과

\left|\psi_2\right\rang

가 존재할 것이다. 이들은 복소수 값을 갖는 위치 공간 파동 함수

\psi_1(x,t)=\psi_1(x,0)\cdot e^{-iE_g t/\hbar}

및

\psi_2(x,t)=\psi_2(x,0)\cdot e^{-iE_g t/\hbar}

로 표현되며, 복소수

c_1, c_2

가 조건

|c_1|^2+|c_2|^2=1

을 만족하는 임의의 중첩

\left|\psi_3\right\rang := c_1\left|\psi_1\right\rang + c_2\left|\psi_2\right\rang

도 동일한 에너지 고유값

E_g

와 동일한 스핀 상태를 가질 것이다.

이제

x_0

를 임의의 점(두 파동 함수가 모두 정의된 곳)이라고 하고, 다음과 같이 설정한다.

:

c_1=\frac{\psi_2(x_0,0)}{a}

:

c_2=\frac{-\psi_1(x_0,0)}{a}

여기서

:

a=\sqrt

4. 예시

일차원 상자 속 입자의 바닥 상태 파동 함수는 반주기 사인파이며, 우물의 두 가장자리에서 0이 된다. 입자의 에너지는 $\frac{h^2 n^2}{8 m L^2}$ 로 주어지며, 여기서 ''h''는 플랑크 상수, ''m''은 입자의 질량, ''n''은 에너지 상태 (''n'' = 1은 바닥 상태 에너지에 해당), ''L''은 우물의 너비이다.

수소 원자의 바닥 상태 파동 함수는 원자핵을 중심으로 하는 구형 대칭 분포이며, 중심에서 가장 크고 더 먼 거리에서 지수 분포로 감소한다. 전자는 보어 반지름과 같은 거리에서 원자핵에서 발견될 가능성이 가장 높다. 이 함수는 1s 원자 궤도로 알려져 있다. 수소(H)의 경우, 바닥 상태 전자는 이온화 에너지에 상대적으로 -13.6eV의 에너지를 갖는다. 즉, 13.6eV는 전자가 더 이상 원자에 결합되지 않도록 하는 데 필요한 에너지 입력이다.
1997년 이후 1초의 정확한 정의는 0 K 온도에서 정지해 있는 세슘-133 원자의 바닥 상태의 두 초미세 구조 준위 사이의 전이에 해당하는 방사선의 9,192,631,770 주기의 지속 시간이다.^[3]

5. 장(場) 이론에서의 정의

장론에서 기저 상태는 입자의 소멸 연산자를 사용하여 다음과 같이 정의한다.

: $a|\psi\rangle=0$

위 식이 성립할 때, $|\psi\rangle$ 를 기저 상태로 정의한다. N개 입자계에서는 N개 입자계의 기저 상태를 나타내며, 입자가 존재하지 않을 때는 진공 상태를 의미한다.

참조

_[1] 학위논문 The energy spectrum of the excitations in liquid helium California Institute of Technology 1956
_[2] 수식
_[3] 웹사이트 Unit of time (second) http://www.bipm.org/[...] International Bureau of Weights and Measures 2013-12-22

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