마디 (물리)
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1. 개요
마디는 정상파에서 진폭이 0이 되는 지점이다. 정상파는 동일한 주파수를 가진 두 파동이 반대 방향으로 간섭할 때 발생하며, 마디는 파동이 서로 상쇄되는 지점이다. 마디는 반 파장 간격으로 발생하며, 마디와 마디 사이에는 진폭이 최대인 배가 존재한다. 경계 조건에 따라 마디의 위치가 결정되며, 고정 경계에서는 경계에서 마디가 발생하고, 자유 경계에서는 경계에서 배가 발생한다. 2차원 및 3차원 정상파에서도 마디는 곡선 또는 면의 형태로 나타나며, 양자 역학적 시스템에서도 중요한 개념으로 사용된다.
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| 마디 (물리) | |
|---|---|
| 개요 | |
| 정의 | 정상파에서 진폭이 최소인 지점 |
| 진폭 | 최소 |
| 위상 변화 | 180도 |
| 간격 | 인접한 마디 사이의 거리는 파장의 절반과 같다. |
| 파동의 종류 | 횡파 종파 |
| 설명 | |
| 정상파 | 두 파동이 반대 방향으로 진행하면서 간섭을 일으켜 특정 위치에서 진폭이 최소가 되는 지점. |
| 진폭의 변화 | 시간이 지나도 위치가 변하지 않는다. |
| 에너지 | 에너지는 마디에서 최소이며, 에너지가 전혀 없는 것은 아니다. |
| 파동의 중첩 | 마디는 파동의 중첩으로 인해 발생한다. |
| 파동의 종류별 마디 | |
| 횡파 | 횡파에서는 마디가 파동의 변위가 최소인 지점이다. |
| 종파 | 종파에서는 마디가 밀도와 압력 변화가 최소인 지점이다. |
2. 정상파의 원리
정상파는 동일한 주파수와 진폭을 가진 두 파동이 같은 매질 안에서 서로 반대 방향으로 진행하며 간섭할 때 발생하는 현상이다.[2] 이 간섭으로 인해 파동의 진폭이 항상 0인 지점인 '''마디'''(node)와 진폭이 최댓값을 가지는 지점인 '''배'''(antinode)가 공간상에 고정된 위치에 형성된다.
정상파가 형성될 때, 주어진 길이 안에서 나타나는 마디의 수는 파동의 주파수에 정비례한다. 즉, 주파수가 높을수록 더 많은 마디가 생긴다.
2. 1. 마디와 배
정상파는 동일한 주파수를 가진 두 개의 정현파가 같은 공간에서 서로 반대 방향으로 이동하며 간섭할 때 만들어진다.[2] 이러한 현상은 파동이 경계면에서 반사될 때 흔히 발생한다. 예를 들어, 벽에 부딪혀 되돌아오는 음파나 전송선 끝에서 반사되는 전자기파 등이 있다. 특히, 공명기 안에서 파동이 공명을 일으키며 오르간 파이프나 기타 현처럼 양쪽 경계 사이를 왕복하며 갇힐 때 정상파가 잘 형성된다.
정상파에서는 파동의 진폭(움직임)이 0이 되는 위치들이 일정한 간격으로 나타나는데, 이를 '''마디'''라고 한다. 마디 지점에서는 두 파동이 서로 정반대의 위상으로 만나 상쇄 간섭을 일으켜 파동의 움직임이 사라진다. 마디들은 반 파장(λ/2)만큼의 간격으로 나타난다. 각각의 마디 사이 중간 지점에는 진폭이 최대로 커지는 위치가 존재하는데, 이를 '''배'''라고 부른다. 배 지점에서는 두 파동이 같은 위상으로 만나 보강 간섭을 일으켜 진폭이 가장 커진다.
만약 서로 반대 방향으로 진행하는 두 파동의 진폭이 동일하지 않다면, 마디에서 진폭이 완벽하게 0이 되지 않고 최소값을 가지게 된다. 이는 경계면에서의 반사가 불완전할 때 발생하며, 정재파비(SWR, Standing Wave Ratio)라는 값으로 나타낸다. 정재파비는 배에서의 최대 진폭과 마디에서의 최소 진폭 사이의 비율을 의미한다.
드럼의 표면이나 진동하는 금속판과 같은 2차원 표면이나 막에서 공명이 일어날 때, 마디는 움직이지 않는 선의 형태로 나타난다. 이를 마디선(nodal line)이라고 부르며, 마디선은 진동하는 표면을 서로 반대 위상으로 움직이는 여러 개의 영역으로 나눈다. 표면 위에 모래를 뿌리면 진동이 없는 마디선 부분에 모래가 모여 복잡한 선 모양을 만드는데, 이를 클라드니 도형이라고 한다.
전송선의 경우, 전압의 마디 지점은 전류의 배 지점이 되고, 반대로 전압의 배 지점은 전류의 마디 지점이 된다.
마디는 단순히 두 파동이 교차하는 지점이 아니라, 실제 변위가 0이 되는 지점을 의미한다.
2. 2. 정재파비 (SWR)
두 개의 반대 방향으로 진행하는 파동의 진폭이 동일하지 않으면, 마디에서 파동이 완벽하게 상쇄되지 않는다. 따라서 정상파의 진폭은 마디에서 0이 아니라 최소값을 가지게 된다. 이러한 현상은 경계에서의 반사가 불완전할 때 발생한다. 이 불완전성의 정도는 유한한 정재파비 (SWR, Standing Wave Ratio)로 나타내며, 이는 배에서의 파동 진폭과 마디에서의 파동 진폭의 비율을 의미한다.3. 경계 조건
파동이 반사되는 경계, 즉 경계 조건에 따라 정상파의 마디가 발생하는 위치가 결정된다. 다양한 종류의 경계 조건이 존재하지만, 공명기의 끝에서는 일반적으로 완전 반사를 유발하는 두 가지 주요 유형이 있다. 이는 고정 경계와 자유 경계로 나뉘며, 각 조건에 따라 마디의 위치와 파동의 형태가 달라진다.
3. 1. 고정 경계
파동이 반사되는 경계에서 마디가 발생하는 위치는 종단 조건 또는 경계 조건에 따라 달라진다. 다양한 종류의 종단 조건이 있지만, 공명기의 끝은 일반적으로 완전 반사를 유발하는 두 가지 유형 중 하나이며, 고정 경계는 그중 하나이다.고정 경계의 예시로는 기타 현의 부착점, 오르간 파이프 또는 목관악기 파이프와 같은 열린 파이프의 닫힌 끝, 드럼 헤드의 주변, 끝이 단락된 전송선, 또는 레이저 공진기의 끝에 있는 거울 등이 있다. 이 유형에서는 경계에서 파동의 진폭이 0이 되도록 강제되므로 경계에 마디가 형성된다. 다른 마디들은 경계로부터 파장(λ)의 절반(λ/2) 간격의 배수가 되는 지점에서 발생한다:
0, λ/2, λ, 3λ/2, 2λ, ..., nλ/2
3. 2. 자유 경계
자유 경계는 파동 진폭의 미분 (기울기)이 경계에서 0이 되어야 하는 조건을 말한다. 예를 들어, 음파의 경우에는 압력의 변화율, 전자기파의 경우에는 전류의 변화율이 경계면에서 0이 된다.이러한 조건 때문에 자유 경계에서는 진폭이 최대가 되는 지점, 즉 배(antinode)가 형성된다. 첫 번째 마디는 경계면으로부터 파장의 1/4만큼 떨어진 지점에서 발생하며, 이후 마디들은 파장의 절반 간격으로 나타난다. 마디의 위치는 다음과 같다.
λ/4, 3λ/4, 5λ/4, 7λ/4, ..., (2n+1)λ/4
자유 경계의 예시는 다음과 같다.
4. 정상파의 예시
정상파는 동일한 주파수를 가진 두 개의 정현파가 같은 공간에서 반대 방향으로 이동하며 서로 간섭할 때 만들어진다.[2] 파동이 벽과 같은 경계에서 반사되거나, 전송선 끝에서 전자기파가 반사될 때 흔히 발생한다. 특히 공명기 안에서 파동이 공명하며 두 경계 사이를 왕복할 때 정상파가 형성되는데, 오르간 파이프나 기타 현에서 관찰되는 현상이 대표적이다.
정상파가 형성되면 파동의 진폭이 항상 0인 지점들이 일정한 간격으로 나타나는데, 이를 '''마디'''라고 한다. 마디에서는 두 파동이 서로 반대 위상으로 만나 상쇄된다. 마디는 반 파장 (λ/2) 간격으로 나타나며, 각 마디 사이의 중간 지점에는 진폭이 최대가 되는 '''배'''가 존재한다. 배에서는 두 파동이 같은 위상으로 만나 서로 보강된다. 만약 반사되는 파동의 진폭이 원래 파동보다 작으면 마디에서 진폭이 완전히 0이 되지 않고 최소값을 가지게 된다.
전송선에서는 전압 마디가 전류 배가 되고, 전압 배는 전류 마디가 되는 특징이 있다.
음파 역시 정상파를 형성할 수 있다. 음파는 매질의 압축과 팽창이 반복되는 파동인데, 마디는 매질의 압력 변화가 거의 없는 지점에 해당한다. 특정 길이 안에 형성되는 마디의 수는 파동의 주파수에 정비례한다.
기타나 바이올린과 같은 현악기에서는 정상파의 마디를 이용하여 특정 배음을 만들어내기도 한다. 연주자가 손가락으로 현 위의 특정 지점(마디)을 가볍게 누르면, 해당 지점이 새로운 마디 역할을 하게 되어 특정 배음이 강조되고 기본음은 약하게 울린다. 예를 들어, 현의 정확히 중간 지점을 누르면 원래 기본음보다 한 옥타브 높은 첫 번째 배음이 울린다. 현을 3등분하는 지점에 마디를 만들면 옥타브와 완전 5도 높은 배음이, 4등분하는 지점에서는 두 옥타브 높은 배음이, 5등분하는 지점에서는 두 옥타브와 장 3도 높은 배음이 생성된다. 이렇게 생성되는 배음들의 상대적인 크기 차이가 각 악기 특유의 소리를 만들어내는 중요한 요소가 된다.
4. 1. 2차원 및 3차원 정상파
2차원 정상파에서 마디는 곡선 형태를 띤다. 단순한 기하학적 구조에서는 직선이나 원으로 나타나기도 한다. 예를 들어, 진동하는 클라드니 판 위에 모래를 뿌리면, 판이 거의 움직이지 않는 영역인 마디를 따라 모래가 모여 독특한 무늬를 형성한다.[3] 이를 클라드니 도형이라고 한다.
화학 분야에서는 양자역학적 파동, 즉 원자 궤도 함수를 이용하여 전자의 파동과 같은 특성을 설명한다. 이러한 양자 파동 역시 마디와 배(antinode)를 가진다. 마디와 배의 수와 위치는 원자나 공유 결합의 여러 특성을 결정하는 중요한 요소가 된다. 원자 궤도 함수는 방사형 마디와 각 마디의 수에 따라 분류된다. 예를 들어, 수소 원자의 경우, 방사형 마디는 파동 함수 값이 0이 되는 구면 형태이며, 각 마디는 평면 형태이다.[4]
분자 궤도 함수는 결합 특성에 따라 나뉜다. 핵과 핵 사이에 배가 존재하는 분자 궤도 함수는 매우 안정적이어서 원자 간의 결합을 강화하는데, 이를 '결합 궤도 함수'라고 한다. 반대로, 핵 사이에 마디가 존재하는 분자 궤도 함수는 정전기적 반발력 때문에 불안정하며 결합을 약화시키는데, 이를 '반결합 궤도 함수'라고 한다.
또 다른 양자역학적 개념인 상자 속의 입자 모형에서도 파동 함수의 마디 수가 양자 에너지 상태를 결정하는 데 중요한 역할을 한다. 마디가 0개이면 가장 낮은 에너지 상태인 바닥 상태, 마디가 1개이면 첫 번째 들뜬 상태 등으로 에너지가 높아진다. 일반적으로,[5] ''고유 상태를 에너지 증가 순서 ε1, ε2, ε3, ...로 배열하면, 해당하는 고유 함수들도 마디 수가 증가하는 순서로 나타난다. ''n''번째 고유 함수는 ''n−1''개의 마디를 가지며, 각 마디 사이에는 다음 고유 함수가 최소한 하나의 마디를 갖는 위치가 존재한다.''
5. 관련 개념
음파는 파동 매체의 압축과 팽창이 반복되는 주기로 구성된다. 압축하는 동안 매체의 분자가 서로 힘을 합쳐 압력과 밀도가 증가한다. 팽창하는 동안 분자는 강제로 분리되어 압력과 밀도가 감소한다.
지정된 길이에서 마디의 수는 파동의 주파수에 정비례한다.
마디 개념은 다음과 같은 음향학 분야와 관련이 깊다.
참조
[1]
서적
Physics for Students of Science and Engineering
https://books.google[...]
Academic Press
2014
[2]
서적
The Feynman Lectures on Physics, Vol.1
Addison-Wesley
[3]
논문
Chladni plates revisited.
https://aapt.scitati[...]
American journal of physics
2004
[4]
웹사이트
Supplemental modules (physical and Theoretical Chemistry). Chemistry LibreTexts.
https://chem.librete[...]
2020-12-13
[5]
서적
Quantum Mechanics
https://archive.org/[...]
North Holland, John Wiley & Sons
1966
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