맨위로가기

바이어스트라스 준비 정리

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

바이어슈트라스 준비 정리는 복소 해석 함수, 매끄러운 함수, 완비 국소 환의 형식 멱급수, 테이트 대수 등 다양한 수학적 대상에 적용되는 정리이다. 이 정리는 함수를 특정 형태의 다항식과 해석 함수의 곱으로 나타내는 방법을 제공하며, 이를 통해 함수의 영점, 나눗셈, 환의 성질 등을 분석할 수 있다. 특히, 뇌터 환임을 보이는 데 사용되며, 오카의 연접 정리, 아르틴 근사 정리, 이와사와 이론 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 복소 해석 함수

단변수 해석 함수 $f(z)$는 원점 근처에서 $z^k h(z)$ 형태로 나타낼 수 있다. 여기서 $h$는 원점에서 0이 아니고, $k$는 $f$의 원점에서의 중복도이다. 바이어스트라스 준비 정리는 이를 다변수 함수로 일반화한 것이다.

복소 변수를 $(z, z_2, \dots, z_n)$로 쓰고, 첫 번째 변수를 $z$로 표기한다. 바이어스트라스 다항식 $W(z)$는 다음과 같은 형태이다.

:$z^k + g_{k-1}z^{k-1} + \dots + g_0$

여기서 $g_i(z_2, \dots, z_n)$는 해석적이고 $g_i(0, \dots, 0) = 0$이다.

해석 함수 $f(z, z_2, \dots, z_n)$가 $f(0, \dots, 0) = 0$이고, $f$를 멱급수로 볼 때 $z$만 나타나는 항이 있다면, 원점에서 0이 아닌 해석 함수 $h(z, z_2, \dots, z_n)$와 바이어스트라스 다항식 $W(z)$가 존재하여, $(0, \dots, 0)$ 근처에서 국소적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$f(z, z_2, \dots, z_n) = W(z)h(z, z_2, \dots, z_n)$

이로부터 원점 $(0, \dots, 0)$ 주변의 $f$의 영점은, 임의의 작은 $z_2, \dots, z_n$와 이에 대한 방정식 $W(z) = 0$의 해로 구성된다는 것을 알 수 있다. 해의 개수는 $W$의 $z$에 대한 차수와 같으며, $z_2, \dots, z_n$를 연속적으로 움직이면, 대응하는 $z$는 가지 모양으로 움직인다. 따라서 $f$는 고립된 영점을 가질 수 없다.

2. 1. 나눗셈 정리

Weierstrass division theorem|바이어스트라스 나눗셈 정리영어는 복소 해석 함수에 대한 정리로, 주어진 함수를 바이어스트라스 다항식으로 나눈 몫과 나머지를 구할 수 있음을 의미하며, 바이어스트라스 준비 정리와 동치이다.[17]

만약 ''f''와 ''g''가 해석 함수이고, ''g''가 차수 ''N''의 바이어스트라스 다항식이라면, 다음을 만족하는 고유한 쌍 ''h''와 ''j''가 존재한다.

:''f'' = ''gh'' + ''j''

여기서 ''j''는 ''N''보다 작은 차수의 다항식이다. 많은 저자들이 바이어스트라스 나눗셈 정리의 따름정리로 바이어스트라스 준비 정리를 증명한다. 두 정리가 동치이므로 준비 정리에서 나눗셈 정리를 증명하는 것도 가능하다.[1]

2. 2. 응용

바이어스트라스 준비 정리는 해석 함수 싹의 환이 뇌터 환임을 보이는 데 사용될 수 있다(뤼케르트 기저 정리).[18][2][11] 오카의 연접 정리[12], Artin approximation theorem|아르틴 근사 정리영어[13] 증명에도 사용된다.

3. 매끄러운 함수

매끄러운 함수에 대한 준비 정리는 베르나르 말랑주가 증명하였으며, 말랑주 준비 정리라고 불린다. 존 메이더의 이름을 딴 관련 나눗셈 정리도 있다.

4. 완비 국소 환의 형식 멱급수

완비 국소 환 ''A''에 대한 형식적 멱급수 환 At에서도 바이어스트라스 준비 정리와 비슷한 결과가 성립한다. f = \sum_{n=0}^\infty a_n t^n \in At를 멱급수라 하고, a_n 중 적어도 하나가 ''A''의 극대 이데알 \mathfrak m에 포함되지 않는다고 가정하자. 그러면 At의 유일한 단원 ''u''와 b_i \in \mathfrak m인 다항식 F=t^s + b_{s-1} t^{s-1} + \dots + b_0 (특수 다항식)가 존재하여,

:f=uF

가 성립한다. At는 다시 완비 국소 환이므로, 이 결과를 반복 적용할 수 있다. 따라서 다변수 형식적 멱급수에 대해서도 비슷한 분해 결과를 얻을 수 있다.

4. 1. p진수에의 응용

p-진 체의 정수 환에 대한 바이어스트라스 준비 정리는 멱급수 ''f(z)''가 π''n''''u''(''z'')''p''(''z'')로 유일하게 분해될 수 있음을 보여준다. 여기서 ''u(z)''는 형식적 멱급수 환의 단원이고, ''p(z)''는 특수 다항식(모닉이고, 극대 아이디얼에서 각각의 비선두 항의 계수를 가짐)이며, π는 고정된 균일자이다.[19]

이와사와 대수라고도 불리는 환 \mathbf Z_pt에 대한 바이어스트라스 준비 및 분할 정리의 적용은 이와사와 이론에서 이 환에 대해 유한하게 생성된 가군을 설명할 때 중요한 역할을 한다.[20]

5. 테이트 대수

완비 비 아르키메데스 체 ''\mathbb k''에 대한 테이트 대수를 위한 바이어스트라스 준비 정리가 존재한다.[22]

:T_n(k) = \left \{ \sum_{\nu_1, \dots, \nu_n \ge 0} a_{\nu_1, \dots, \nu_n} X_1^{\nu_1} \cdots X_n^{\nu_n}, |a_{\nu_1, \dots, \nu_n}| \to 0 \text{ for } \nu_1 + \dots +\nu_n \to \infty \right \}

이 대수는 강체 기하학의 기본적인 구성 요소이다. 이 형태의 바이어스트라스 준비 정리는 환 T_n(\mathbb k)들이 뇌터이라는 사실에 적용된다.

참조

[1] 서적 Analytische Stellenalgebren Springer
[2] 서적 Functions of Several Complex Variables and Their Singularities American Mathematical Society
[3] 서적 Commutative algebra Hermann
[4] 서적 Introduction to cyclotomic fields Springer
[5] 간행물 A noncommutative Weierstrass preparation theorem and applications to Iwasawa theory https://www.degruyte[...] 2022-01-27
[6] 서적 Non-archimedean analysis Springer
[7] 서적 L{{sup|2}} Approaches in Several Complex Variables: Towards the Oka–Cartan Theory with Precise Bounds https://books.google[...]
[8] Arxiv Karl Weierstrass Bicentenary 2015
[9] 서적 Coherent Analytic Sheaves https://books.google[...]
[10] 서적 Analytische Stellenalgebren Springer
[11] 서적 Functions of Several Complex Variables and Their Singularities https://books.google[...] American Mathematical Society
[12] Arxiv A Weak Coherence Theorem and Remarks to the Oka Theory 2017
[13] 서적 Artinの近似定理とPicard関手の表現可能性 https://drive.google[...]
[14] 서적 Commutative algebra Hermann
[15] 서적 Introduction to cyclotomic fields Springer
[16] 서적 Non-archimedean analysis Springer
[17] 인용 Springer
[18] 인용 American Mathematical Society
[19] 인용 Nicolas Bourbaki Hermann
[20] 인용 Lawrence C. Washingt[...] Springer
[21] 저널인용 A noncommutative Weierstrass preparation theorem and applications to Iwasawa theory https://www.degruyte[...] 2022-01-27
[22] 인용 Siegfried Bosch Springer


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com