완비화 (환론)

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1. 개요
2. 정의
3. 크룰 위상 (I-진 위상)
4. 성질
- 4.1. 코헨 구조 정리
5. 예
참조

1. 개요

완비화는 환과 가군에 대한 수학적 개념으로, 주어진 환 또는 가군을 특정 아이디얼에 대해 "완전하게" 만드는 과정이다. 환 R과 아이디얼 a가 주어졌을 때, R의 a에 대한 완비화는 몫환들의 역극한으로 정의되며, 이는 R을 완비환으로 변환한다. 완비화는 크룰 위상을 통해 정의되며, p진 정수, 형식적 멱급수 환 등이 완비화의 예시이다. 완비화는 특이점 이론에서 scheme의 국소 구조를 분석하는 데 사용되는 중요한 도구이다.

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환론 - 뇌터 환
뇌터 환은 환론에서 아이디얼의 특정 조건을 만족하는 환을 지칭하며, 가환환의 경우 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 뇌터 환의 개념이 일치하지만 비가환환의 경우 구별해야 하고, 힐베르트 기저 정리에 따라 뇌터 환 $R$ 에 대해 다항식환 $R[X]$ 역시 뇌터 환이 된다.
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완비화 (환론)
개요
분야	가환대수학, 대수기하학, 정수론
정의	환의 아이디얼을 지수에 따라 필터링하여 완비화하는 것 거리 공간의 완비화와 유사한 개념
관련 개념	아이디얼 필터링 완비 거리 공간 헤셀의 보조정리 형식멱급수환
정의
가환환	가환환 R의 아이디얼 I에 대한 완비화는 I-진 완비화라고도 함
표기	R^I 또는 R_I^∧
예시
p-진 정수환	정수환 Z를 소수 p에 의해 생성되는 아이디얼 (p)로 완비화하면 p-진 정수환 Z_p가 됨
형식 멱급수환	가환환 R에 대한 형식 멱급수환 RX는 R[X]를 (X)에 의해 생성되는 아이디얼로 완비화한 것과 같음
국소환	국소환 R의 극대 아이디얼 m에 대한 완비화는 R이 노터 환이면 형식적으로 평탄함
데데킨트 정역	데데킨트 정역에서 영이 아닌 모든 아이디얼은 가역적이므로 데데킨트 정역을 아이디얼 I에 대해 완비화하면 I를 포함하는 유일한 극대 아이디얼에서 국소화한 것과 같음
성질
완비환	R^I는 I-진 완비환임
형식적 평탄성	R이 뇌터환이면, 완비화 R^I는 R-모듈로서 형식적으로 평탄함
크룰 교차 정리	R이 뇌터 정역이면, 크룰 교차 정리에 의해 ⋂n In = {0}임. 따라서, R ↪ R^I는 단사 함수임
헤셀의 보조정리	완비 국소환 R에 대한 헤셀의 보조정리는 완비환의 중요한 성질을 설명함
정칙 국소환	R이 정칙 국소환이면, 완비화 R^I 역시 정칙 국소환임
특이점 해소	완비환은 특이점 해소 문제에서 중요한 역할을 함

2. 정의

환 또는 가군의 완비화는, 주어진 환이나 가군에 대하여 특정한 조건을 만족시키는 더 큰 환이나 가군을 만드는 과정이다.

환 $R$ 과 그 양쪽 아이디얼 $\mathfrak a$ 가 주어졌을 때, $R$ 의 $\mathfrak a$ 에 대한 완비화 $\hat R_{\mathfrak a}$ 는 몫환들의 극한으로 정의된다.^[5]

아벨 군 ''E''가 다음과 같은 부분군의 감소 여과를 가질 때,

: $E = F^0{E} \supset F^1{E} \supset F^2{E} \supset \cdots \,$

(이 필터에 관한) 완비화는 역극한

: $\hat{E}=\varprojlim (E/F^n{E}) \,$

로 정의된다.

이 절차를 통해, 원래 환/가군이 가지고 있던 대수적 구조(덧셈, 곱셈 등)는 보존되면서, 추가적인 "완비성"이라는 성질을 가지게 된다.

p진 정수의 환 $\Z_p$ 는 정수 환 $\Z$ 를 아이디얼 (''p'')에서 완비하여 얻어진다.

체 ''K'' 위의 ''n'' 변수의 다항식 환 ''R'' = ''K''[''x''₁,...,''x''_''n'']에서, $\mathfrak{m}=(x_1,\ldots,x_n)$ 을 변수에 의해 생성된 극대 아이디얼이라고 하면, 완비 $\widehat{R}_{\mathfrak{m}}$ 은 체 ''K'' 위의 ''n'' 변수의 형식적 멱급수 환 ''K''''x''₁,...,''x''_''n''이다.

Noether 환 $R$ 과 아이디얼 $I = (f_1,\ldots, f_n)$ 이 주어지면, $I$ -진 완비 $R$ 은 형식적 멱급수 환의 상이며, 구체적으로 전사 사상의 상이다.^[1]

:: $\begin{cases} Rx_1, \ldots, x_n \to \widehat{R}_I \\ x_i \mapsto f_i \end{cases}$

:커널은 아이디얼 $(x_1 - f_1, \ldots, x_n - f_n).$ 이다.

완비는 특이점의 scheme의 국소 구조를 분석하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, $\Complex[x,y]/(xy)$ 및 절점 3차 평면 곡선 $\Complex[x,y]/(y^2 - x^2(1+x))$ 에 연관된 아핀 scheme은 그래프를 볼 때 원점에서 유사한 특이점을 갖는다. 완비를 사용하면, 절점이 두 개의 성분을 갖는 "충분히 작은" 근방을 볼 수 있다. 이 환들의 아이디얼 $(x,y)$ 를 따라 국소화하고 완비를 취하면 각각 $\Complexx,y/(xy)$ 와 $\Complexx,y/((y+u)(y-u))$ 가 되는데, 여기서 $u$ 는 $\Complexx,y.$ 에서 $x^2(1+x)$ 의 형식적 제곱근이다. 더 구체적으로, 멱급수는 다음과 같다.

:: $u = x\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^{n+1}.$

두 환 모두 차수 1의 동차 다항식에 의해 생성된 두 개의 아이디얼의 교집합으로 주어지므로, 특이점이 대수적으로 "동일하게 보이는" 것을 알 수 있다.

2. 1. 환의 완비화

(곱셈 항등원을 갖는) 환

R

와 그 양쪽 아이디얼

\mathfrak a\vartriangleleft R

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 몫환들을 정의할 수 있다.

:

0=R/R=R/\mathfrak a^0\leftarrow R/\mathfrak a\leftarrow R/\mathfrak a^2\leftarrow R/\mathfrak a^3\leftarrow\cdots

R

의,

\mathfrak a

에 대한 '''완비화'''

\hat R_{\mathfrak a}

는 이 몫환들의 (환의 범주

\operatorname{Ring}

에서의) 극한이다.^[5] (만약

R

가 가환환이라면, 이는 가환환의 범주

\operatorname{CRing}

에서 생각하여도 좋다. 이는

\operatorname{CRing}

이

\operatorname{Ring}

의 반사 부분 범주이기 때문이다.) 구체적으로, 이는 다음과 같다.

:

\hat R_{\mathfrak a}=\left\{(r_0,r_1,r_2,\dots)\in\prod_{i=0}^\infty R/\mathfrak a^i\colonr_i\equiv r_{i+1}\mod\mathfrak a^i\quad\forall i\in\mathbb N\right\}

이에 대하여 자연스러운 환 준동형

:

R\to\hat R_{\mathfrak a}

:

r\mapsto(r+R,r+\mathfrak a,r+\mathfrak a^2,\dots)

가 존재한다.

만약 표준적 환 준동형

R\to\hat R_{\mathfrak a}

가 동형 사상이라면,

R

가

\mathfrak a

-'''완비환'''(

\mathfrak a

-adically complete ring^영어)이라고 한다.

가환환론에서, 가환환 ''R''의 진 아이디얼 ''I''의 거듭제곱에 의한 필터는, ''R'' 위에 (볼프강 크룰의 이름을 따서) ''I''-진 위상(''I''-adic topology)을 결정한다. 극대 아이디얼

I=\mathfrak{m}

인 경우가 특히 중요하다. ''R''의 0의 기본 근방계는 아이디얼의 거듭제곱 ''I''^''n''에 의해 주어진다. 이것은 중첩되어 있으며 ''R''의 감소 필터를 이룬다.

:

R = I^0 \supset I^1 \supset I^2 \supset \cdots

이때 완비화는 몫환의 역극한이다.

:

\hat{R}_I=\varprojlim (R/I^n)

(「아르 아이 핫」이라고 읽는다. 문맥에서 ''I''가 명확할 때에는 단순히

\hat{R}

이라고 쓰기도 한다.) 환에서 완비화로의 자연스러운 사상 ''π''의 핵은 ''I''의 거듭제곱의 교집합이다. 따라서 ''π''가 단사사상인 것과 교집합이 환의 영원소만으로 이루어진 것은 동치이다. 예를 들어, 정역 또는 국소환인 가환 네터 환은 크룰의 교차 정리에 의해 그 완비화에 매장될 수 있다.

2. 2. 가군의 완비화

가군의 완비화는 몫가군들의 역극한으로 정의된다.

아벨 군 ''E''가 다음과 같은 부분군의 감소 여과를 갖는다고 가정하자.

:

E = F^0 E \supset F^1 E \supset F^2 E \supset \cdots \,

이때, 완비화(여과에 관하여)는 다음과 같은 역극한으로 정의된다.

:

\widehat{E} = \varprojlim (E/F^n E)=\left\{\left.(\overline{a_n})_{n\geq0} \in \prod_{n\geq0}(E/F^nE) \;\right|\; a_i \equiv a_j\pmod{F^iE} \text{ for all } i \leq j\right\}. \,

이것은 다시 아벨 군이 된다. 보통 ''E''는 "덧셈" 가환군이다. 만약 ''E''가 여과와 호환되는 추가적인 대수 구조를 갖는다면, 예를 들어 ''E''가 여과된 환, 여과된 가군, 또는 여과된 벡터 공간이라면, 그 완비화는 여과에 의해 결정되는 위상에서 완비된, 동일한 구조를 갖는 대상이 된다. 이 구성은 가환환과 비가환환 모두에 적용될 수 있다.

가환환 ''R''의 아이디얼 ''I''의 거듭제곱에 의한 여과는 ''R''에 크룰 또는 ''I''-아디 위상을 결정한다. ''R''에서 0의 열린 근방의 기저는 거듭제곱 ''I''^''n''에 의해 주어지며, 이는 ''중첩''되고 ''R''에 강하 여과를 형성한다.

:

F^0 R = R\supset I\supset I^2\supset\cdots, \quad F^n R = I^n.

''R''-가군 ''M''의 ''I''-아디 완비화는 몫의 역극한이다.

:

\widehat{M}_I=\varprojlim (M/I^n M).

이 절차는 ''R'' 위의 모든 가군을

\widehat{R}_I

위의 완비 위상 가군으로 변환한다.

2. 3. 완비환

표준적 환 준동형

R\to\hat R_{\mathfrak a}

가 동형 사상이라면,

R

를

\mathfrak a

-'''완비환'''(

\mathfrak a

-adically complete ring^영어)이라고 한다.^[5]

3. 크룰 위상 (I-진 위상)

''R''의 적절한 아이디얼 ''I''의 거듭제곱에 의한 여과에 의해 ''R''에 크룰 위상 또는 ''I''-아디 위상이 결정된다. 특히 극대 아이디얼 $I=\mathfrak{m}$ 인 경우가 중요한데, 예를 들어 평가 환의 특수 극대 아이디얼이 있다. ''R''에서 0의 열린 근방의 기저는 거듭제곱 ''I''^''n''에 의해 주어지며, 이는 ''중첩''되고 ''R''에 강하 여과를 형성한다.

: $F^0 R = R\supset I\supset I^2\supset\cdots, \quad F^n R = I^n.$

(임의의 ''r'' ∈ ''R''의 열린 근방은 잉여류 ''r'' + ''I''^''n''에 의해 주어진다.) ''I''-아디 완비화는 몫환의 역극한이다.

: $\widehat{R}_I=\varprojlim (R/I^n)$

("R I hat"로 발음한다.) 환에서 완비화로의 표준 사상의 핵은 ''I''의 거듭제곱들의 교집합이다. 따라서 이 교집합이 환의 영원소로 축소되는 경우에만 표준 사상은 단사이며, 크룰 교차 정리에 의해 이는 정역 또는 국소환인 모든 가환 노에터 환의 경우이다.

''R''-가군에 대한 관련 위상도 있는데, 이를 크룰 또는 ''I''-아디 위상이라고도 한다. 가군 ''M''의 열린 근방의 기저는 다음 형태의 집합에 의해 주어진다.

: $x + I^n M \quad\text{for }x \in M.$

''R''-가군 ''M''의 ''I''-아디 완비화는 몫의 역극한이다.

: $\widehat{M}_I=\varprojlim (M/I^n M).$

이 절차는 ''R'' 위의 모든 가군을 $\widehat{R}_I$ 위의 완비 위상 가군으로 변환한다.

4. 성질

양쪽 아이디얼 $\mathfrak a$ 에 대한 $\mathfrak a$ -완비환 $R$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

$\mathfrak a\subseteq\operatorname{rad}R$ ^[5]
$R/\operatorname{rad}R$ 의 임의의 멱등원 $\bar e\in R/\operatorname{rad}R$ 에 대하여, $e+\operatorname{rad}R=\bar e$ 가 되는 $R$ 의 멱등원 $e\in R$ 가 존재한다.^[5]
어떤 아이디얼에 대한 노에터 환의 완비화는 노에터 환이다.^[2]
고유 극대 아이디얼에 대한 노에터 국소환의 완비화는 노에터 국소환이다.^[3]
완비화는 함자 연산이다. 위상환의 연속 사상 ''f'': ''R'' → ''S''는 완비화의 사상 $\widehat{f}: \widehat{R}\to\widehat{S}$ 를 발생시킨다.

: 게다가, ''M''과 ''N''이 동일한 위상환 ''R''에 대한 두 개의 가군이고 ''f'': ''M'' → ''N''이 연속 가군 사상이면, ''f''는 완비화의 사상으로 유일하게 확장된다.

:

\widehat{f}: \widehat{M}\to\widehat{N},

: 여기서

\widehat{M},\widehat{N}

은

\widehat{R}

에 대한 가군이다.

노에터 환 ''R''의 완비화는 ''R'' 위의 평탄 가군이다.^[4]
노에터 환 ''R'' 위의 유한 생성 가군 ''M''의 완비화는 ''스칼라 확장의 방법''으로 얻을 수 있다.

::

\widehat{M}=M\otimes_R \widehat{R}.

: 앞선 속성과 함께, 이것은 유한 생성 ''R''-가군에 대한 완비화 함자가 완전 함자임을 의미한다. 즉, 짧은 완전열을 보존한다. 특히, 환의 몫을 취하는 것은 완비화와 가환한다. 즉, 임의의 몫 ''R''-대수

R / I

에 대해, 다음 동형사상이 존재한다.

::

\widehat{R / I} \cong \widehat R / \widehat I.

4. 1. 코헨 구조 정리

'''코헨 구조 정리'''(영어: Cohen structure theorem)는 완비 국소환의 구조에 대한 중요한 정보를 제공한다.

극대 아이디얼이

\mathfrak{m}

이고 잉여류체가 ''K''인 완비 국소환 노에터 가환환 ''R''이 체를 포함한다면, 다음이 성립한다.

:

R\simeq Kx_1,\ldots,x_n/I

여기서 ''n''은 어떤 이상 ''I''이다.^[2]

5. 예

정수환 $\mathbb Z$ 를 0이 아닌 소 아이디얼 $(p)$ 에서 완비화하면 $p$ 진 정수환 $\mathbb Z_p$ 를 얻는다. 체 $K$ 에 대한 다항식환 $K[x_1,\dots,x_n]$ 을 극대 아이디얼 $(x_1,\dots,x_n)$ 에서 완비화하면 형식적 거듭제곱 급수환 $Kx_1,\dots,x_n$ 을 얻는다.^[1]

Noether 환 $R$ 과 아이디얼 $I = (f_1,\ldots, f_n)$ 이 주어지면, $I$ -진 완비 $R$ 은 형식적 멱급수 환의 상이며, 구체적으로 다음 전사 사상의 상이다.

:: $\begin{cases} Rx_1, \ldots, x_n \to \widehat{R}_I \\ x_i \mapsto f_i \end{cases}$

:이때 커널은 아이디얼 $(x_1 - f_1, \ldots, x_n - f_n)$ 이다.

특이점 이론에서 완비는 특이점의 scheme의 국소 구조를 분석하는 데 사용될 수 있다.^[1]

5. 1. p진 정수

정수환

\mathbb Z

를 0이 아닌 소 아이디얼

(p)

에서 완비화하면

p

진 정수환

\mathbb Z_p

를 얻는다.^[1]

5. 2. 형식적 멱급수 환

체

K

에 대한 다항식환

K[x_1,\dots,x_n]

을 극대 아이디얼

(x_1,\dots,x_n)

에서 완비화하면 형식적 멱급수환

Kx_1,\dots,x_n

을 얻는다.

이는 다음과 같이 구체적으로 설명할 수 있다.

$R = K[x_1, \dots, x_n]$ 을 체 $K$ 위의 $n$ 변수 다항식환이라 하고, $\mathfrak{m} = (x_1, \dots, x_n)$ 을 변수에 의해 생성된 극대 아이디얼이라고 하자. 그러면 $R$ 의 완비화 $\widehat{R}_{\mathfrak{m}}$ 은 체 $K$ 위의 $n$ 변수의 형식적 멱급수 환 $Kx_1, \dots, x_n$ 이다.^[1]

5. 3. 특이점 이론

특이점 이론에서 완비는 특이점의 scheme의 국소 구조를 분석하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어,

\Complex[x,y]/(xy)

및 절점 3차 평면 곡선

\Complex[x,y]/(y^2 - x^2(1+x))

에 연관된 아핀 scheme은 그래프를 볼 때 원점에서 유사한 특이점을 갖는다(둘 다 더하기 기호처럼 보인다). 두 번째 경우에서 원점의 임의의 자리스키 근방은 여전히 기약 곡선이라는 점에 유의해야 한다. 완비를 사용하면, 절점이 두 개의 성분을 갖는 "충분히 작은" 근방을 보고 있는 것이다. 이 환들의 아이디얼

(x,y)

를 따라 국소화하고 완비를 취하면 각각

\Complexx,y/(xy)

와

\Complexx,y/((y+u)(y-u))

가 되는데, 여기서

u

는

\Complexx,y.

에서

x^2(1+x)

의 형식적 제곱근이다. 더 구체적으로, 멱급수는 다음과 같다.

::

u = x\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^{n+1}.

두 환 모두 차수 1의 동차 다항식에 의해 생성된 두 개의 아이디얼의 교집합으로 주어지므로, 특이점이 대수적으로 "동일하게 보이는" 것을 알 수 있다. 이는 그러한 scheme이 아핀 평면의 두 개의 같지 않은 선형 부분 공간의 합집합이기 때문이다.^[1]

참조

_[1] 웹사이트 Stacks Project — Tag 0316 http://stacks.math.c[...] 2017-01-14
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적 A first course in noncommutative rings Springer-Verlag 2001

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