이산 값매김환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 동치 조건
3. 성질
- 3.1. 균등화원 (소원)
- 3.2. 위상
4. 예시
- 4.1. 대수적 정수론 및 대수기하학과의 관련성
- 4.2. Scheme-theoretic 관점
참조

1. 개요

이산 값매김환은 정역의 일종으로, 여러 가지 동치 조건을 만족하며, 그 조건들을 통해 정의된다. 이산 값매김환은 뇌터 환, 국소환, 데데킨트 정역, 유일 인수 분해 정역 등의 조건을 갖추며, 값매김군이 정수와 동형이라는 특징을 가진다. 이산 값매김환은 유클리드 정역이며, 완비화 역시 이산 값매김환이다. 또한, 균등화원이라는 특수한 원소를 가지며, 이를 통해 아이디얼과 원소를 표준적으로 분류할 수 있다. 이산 값매김환은 대수적 정수론과 대수기하학에서 중요한 역할을 하며, 특히 대수 곡선의 특이점이 아닌 닫힌 점에서의 국소환으로 나타난다.

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이산 값매김환
정의
정의	가환환 R의 분수체 K의 valuation v: K* → Z가 다음 조건을 만족하는 경우 이산 값매김환이라고 함
조건	v(xy) = v(x) + v(y) v(x+y) ≥ min(v(x), v(y))
추가 설명
조건 설명	여기서 Z는 정수 집합이며, v(0) = ∞로 정의
환 R	R = {x ∈ K : v(x) ≥ 0}
극대 아이디얼	m = {x ∈ K : v(x) > 0}
유일한 소 아이디얼	m은 R의 유일한 소 아이디얼
생성원	m은 단일 원소로 생성 가능
성질
정역	이산 값매김환은 정역임
뇌터 환	이산 값매김환은 뇌터 환임
정규 환	이산 값매김환은 정규 환임
유일 인수 분해 정역	이산 값매김환은 유일 인수 분해 정역임
주 아이디얼 정역	이산 값매김환은 주 아이디얼 정역임
예시
p진 정수환	p진 정수환 Zp는 이산 값매김환임
형식적 멱급수환	체 k에 대한 형식적 멱급수환 kx는 이산 값매김환임

2. 정의

정역 $R$ 에 대하여, 이산 값매김환은 다음 조건들을 모두 만족하는 정역이다.^[3]

(N): 뇌터 환
(LR): 국소환
(Ded): 데데킨트 정역
(UFD): 유일 인수 분해 정역
(NF): 체가 아님
(1D): 크룰 차원이 1
(VR): 값매김환

2. 1. 동치 조건

정역

R

에 대하여 다음 조건들은 모두 서로 동치하며, 이를 만족시키는 정역을 '''이산 값매김환'''이라고 한다.^[3]

(VR) + 값군이 $\mathbb Z$ 와 동형이다.^[3]
(VR) + (N) + (NF)^[3]
(L) + (Ded) + (NF)
(L) + (N) + (NF) + 극대 아이디얼이 주 아이디얼이다.^[3]
(L) + (N) + (1D) + 정수적으로 닫힌 정역이다.^[3]
(1D) + 정칙 국소환이다.^[3]
(UFD) + (Ded) + 유일한 0이 아닌 소 아이디얼을 가진다.
(UFD) + (Ded) + 스펙트럼이 시에르핀스키 공간과 위상 동형이다.
(UFD) + (가역원과의 곱에 대한) 유일한 기약원 동치류를 가진다.

여기서 사용된 조건의 정의는 다음과 같다.

조건	정의
(N)	뇌터 환
(LR)	국소환
(Ded)	데데킨트 정역
(UFD)	유일 인수 분해 정역
(NF)	체가 아님
(1D)	크룰 차원이 1
(VR)	값매김환

3. 성질

모든 이산 값매김환은 유클리드 정역을 이룬다. 이산 값매김환의 완비화 역시 이산 값매김환이다.^[1] 이산 값매김환의 모든 0이 아닌 아이디얼은 유일한 극대 아이디얼의 거듭제곱 꼴로 표현되며, 모든 0이 아닌 원소는 가역원과 균등화원의 거듭제곱의 곱으로 유일하게 표현된다.

3. 1. 균등화원 (소원)

이산 값매김환

(D,\mathfrak m,\kappa)

의 원소

t\in D

가 다음 두 조건을 만족하면 '''균등화원'''(uniformizing element^영어)이라고 한다.

$(t) = \mathfrak m$ 이다. 즉, 유일한 극대 아이디얼 $\mathfrak m$ 은 $t$ 로 생성되는 주 아이디얼이다. (이산 값매김환은 주 아이디얼 정역이므로 이러한 원소는 항상 존재한다.)
$t$ 는 $D$ 의 기약원이다. (즉, 가역원 또는 0이 아닌 두 원소의 곱으로 표현될 수 없다. 이산 값매김환은 정역이므로 이 개념이 잘 정의된다.)

균등화원은 항상 존재하지만, 일반적으로 유일하지 않을 수 있다. 균등화원

t

가 있다면, 임의의

m,n\in\mathbb N

에 대하여

:

\forall m,n\in\mathbb N \colon \left( m = n \iff t^m = t^n \right)

이다. 즉, 균등화원의 서로 다른 자연수 지수의 거듭제곱은 항상 서로 다르다.

이산 값매김환

(D,\mathfrak m,\kappa)

의 균등화원

t\in D

이 주어졌을 때,

D

의 모든 아이디얼과 모든 원소는 다음과 같이 표준적으로 분류된다.

$D$ 속의 모든 아이디얼은 $(0)$ 이거나 또는 어떤 $n\in\mathbb N$ 에 대하여 $(t^n)$ 의 꼴이다. (여기서 물론 $(t^0) = D$ 이다.)
$D$ 속의 모든 0이 아닌 원소 $x\in D \setminus\{0\}$ 는 가역원과 $t$ 의 거듭제곱의 곱의 꼴로 유일하게 표현된다.
: $x = at^{\nu(x)} \qquad(a\in D^\times)$

즉, 이산 값매김환의 곱셈 구조는 그 가역원군

D^\times

으로서 완전히 결정된다. 물론, 가환환은 곱셈과 덧셈으로 정의되며, 환의 덧셈 구조는 이와 별개의 데이터이다.

이산 값매김환의 임의의 기약원은 유일한 극대 아이디얼의 생성원이며, 역도 성립한다. 그러한 원을 이산 값매김환의 '''소원'''(prime element^영어 또는 uniformizing parameter^영어 / uniformizing element^영어 / uniformizer^영어)이라고 부른다.

소원

t

를 하나 고정하여 이산 값매김환의 유일한 극대 아이디얼을

M = (t)

라고 쓰면, 다른 임의의 비영 아이디얼은

M

의 거듭제곱, 즉 적당한 정수

k \ge 0

에 대해

(t^k)

의 형태가 된다.

t

의 거듭제곱은 모두 다르므로,

M

에 대해서도 그러하다. 이산 값매김환의 임의의 비영원

x

는

x

로부터 유일하게 정해지는 단원

\alpha

와 정수

k \ge 0

를 사용하여

\alpha t^k

의 형태로 쓸 수 있으며, 그 값매김은

\nu(x) = k

로 주어진다. 따라서, 이산 값매김환을 완전히 알기 위해서는, 단원군과, 그것이

t

의 거듭제곱에 대해 가법적으로 어떻게 작용하는지를 알면 된다.

3. 2. 위상

이산 값매김환은 국소환이므로 자연스럽게 위상환을 이룬다. 이산 값매김환은 거리 함수를 정의할 수 있으며, 이 거리 함수를 통해 완비 거리 공간으로 만들 수 있다.

이산 값매김환

(D,\mathfrak m)

에 대하여, 다음과 같은 거리 함수가 존재한다.^[1]

:

d(x,y) =\begin{cases}\exp(-\nu(x-y)) & x \ne y \\0 & x = y\end{cases}

여기서

\nu\colon D \setminus \{0\} \to \mathbb N

은 이산 값매김이다.

두 원소 ''x''와 ''y'' 사이의 거리는 다음과 같이 정의할 수 있다.^[1]

:

|x-y| = 2^{-\nu(x-y)}

(여기서 2 대신 1보다 큰 다른 고정된 실수를 사용할 수도 있다.)

직관적으로, 원소 ''z''는 값매김 ν(''z'')이 클 때 "작고" "0에 가깝다".^[1]

이산 값매김환이 콤팩트 공간인 것과 완비 거리 공간이고 그 잉여류체가 유한체인 것은 동치이다.^[1]

4. 예시

다음은 대표적인 이산 값매김환의 예시이다.

이산 값매김환 D	값매김 ν	극대 아이디얼 $\mathfrak m$	잉여류체 $D/\mathfrak m$	분수체 $\operatorname{Frac}D$
소수 p에 대한 p진 정수환 $\mathbb Z_p$	$p^n\mapsto n,\;m\mapsto 0\;(p\nmid m)$	$(p)$	$\mathbb F_p$	p진수체 $\mathbb Q_p$
정수환의 국소화 $\mathbb Z_{(p)}$	$p^n\mapsto n,\;m\mapsto 0\;(p\nmid m)$	$(p)$	$\mathbb F_p$	유리수체 $\mathbb Q$
체 K 위의 형식적 멱급수환 $Kx$	$x^n\mapsto n$	$(x)$	$K$	형식적 로랑 급수체 $K((x))$
국소화 $K[x]_{(x)}$	$x^n\mapsto n$	$(x)$	$K$	유리 함수체 $K(x)$
수렴 거듭제곱 급수환 $\{p\in Kx\colon\exists\epsilon>0\forall x\colon\|x\|<\epsilon\implies p(x)<\infty\},\,K=\mathbb R,\mathbb C$	$x^n\mapsto n$	$(x)$	$K$	원점 근방의 유리형 함수체

$\mathbb{Z}_{(2)} := \{ z/n\mid z,n\in\mathbb{Z},\,\, n\text{ 은 홀수} \}$ 에서, 분수체는 $\mathbb{Q}$ 이다. $\mathbb{Q}$ 의 0이 아닌 원소 $r$ 은 $r = 2^k (z/n)$ (''z'', ''n''은 홀수) 꼴로 나타낼 수 있으며, 이 때 ν(''r'')=''k''로 정의한다. $\mathbb{Z}_{(2)}$ 의 극대 아이디얼은 $2\mathbb{Z}_{(2)}$ 이며, "유일한" 기약 원소는 2이다.

소수 ''p''에 대한 ''p''-진 정수의 이산 값매김환 $\mathbb{Z}_p$ 에서 $p$ 는 기약원이며, 값매김은 $p^k$ 가 $x$ 를 나누는 가장 큰 정수 $k$ 를 할당한다.

체 $k$ 위의 형식적 멱급수환 $k T$ 에서, "유일한" 기약원은 $T$ 이고, 극대 아이디얼은 $T$ 로 생성되는 주 아이디얼이며, 값매김 $\nu$ 는 각 멱급수의 첫 번째 0이 아닌 계수의 지수를 할당한다.

실수 또는 복소수 계수의, 0 근방에서 수렴하는 멱급수환은 이산 값매김환이다.

변수 ''X''에 대한 유리 함수 체 '''R'''(''X'')의 부분환 ''R'' = {''f''/''g'' : ''f'', ''g''는 '''R'''[''X'']의 다항식이며 ''g''(0) ≠ 0}는 실수 축 상의 0의 근방에서 정의된 모든 실수 값 유리 함수의 고리와 동일시될 수 있다. 이는 이산 값매김환이며, "유일한" 기약원은 ''X''이고, 값매김은 각 함수 ''f''에 0에서의 ''f''의 영점의 차수를 할당한다.

4. 1. 대수적 정수론 및 대수기하학과의 관련성

이산 값매김환은 1차원 정칙 국소환이므로, 대수기하학에서 이산 값매김환은 대수 곡선(1차원 스킴)

X

의 닫힌 비특이점

x\in X

에서의 줄기

\mathcal O_{X,x}

이다.

특히, 대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체의 경우는 다음과 같다.

k

가 대수적으로 닫힌 체라고 하고,

C

가

k

위의 대수 곡선(1차원 대수다양체)이며,

x\in C

가 특이점이 아닌 닫힌 점이라고 하자. 그렇다면, 국소환

\mathcal O_{C,x}

은 이산 값매김환이며, 다음 포함 관계가 성립한다.

:

k\subsetneq\mathcal O_{C,x}\subsetneq \mathcal K(C)

또한,

k

는

\mathcal O_{C,x}

에서 값매김이 0 또는

\infty

인 원소들로만 구성된다.

반대로,

k

가 대수적으로 닫힌 체이며,

D\supsetneq k

가 이산 값매김환이고,

k

의 원소들의 값매김이 0 또는

\infty

라고 하자. 그렇다면

D

는 유리 함수체

\operatorname{Frac}D

를 갖는 어떤

k

위의 대수 곡선의 특이점이 아닌 닫힌 점에서 국소화한 것이다.^[4] 구체적으로,

a\in D\setminus k

라고 하고, 다항식환

k[a]

의

D

속에서의 정수적 폐포를

B

라고 하자. 그렇다면,

B

는 데데킨트 정역이자

K

위의 유한 생성 단위 결합 대수이며, 따라서

\operatorname{Spec}B

는

K

위의 아핀 대수 곡선이다. 또한,

D

의 극대 아이디얼을

\mathfrak m

이라고 하면,

\mathfrak m\cap B

는

\operatorname{Spec}B

의 극대 아이디얼이며,

\operatorname{Spec}B

의

\mathfrak m\cap B

에서 국소환은

D

와 동형이다.

데데킨트 정역의 0이 아닌 소 아이디얼에서 국소화하면 이산 값매김환이 된다. 실제로, 이산 값매김환은 이런 방식으로 자주 나타난다. 예를 들어, 소수

p

에 대해 다음과 같은 환을 정의할 수 있다.

:

\mathbb Z_{(p)}:=\left.\left\{\frac zn\,\right| z,n\in\mathbb Z,p\nmid n\right\}

주어진 대수 곡선

(X,\mathcal{O}_X)

에 대해, 매끄러운 점

\mathfrak{p}

에서의 국소환

\mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}}

는 주된 평가환이므로 이산 평가환이다. 점

\mathfrak{p}

가 매끄럽기 때문에, 환의 완비화는 어떤 점

\mathfrak{q}

에서의

\mathbb{A}^1

의 국소화를 완비화한 것과 동형이다.

4. 2. Scheme-theoretic 관점

이산 값매김환

(D,\mathfrak m,\kappa)

는 (국소환이므로) 유일한 극대 아이디얼

\mathfrak m

을 가지며, (크룰 차원이 1이므로) 소 아이디얼은

(0)

과

\mathfrak m

두 개이다. 따라서 이산 값매김환의 스펙트럼

\operatorname{Spec}D

는 두 개의 점을 가지는데,

\mathfrak m

은 닫힌 점,

(0)

은 일반점이다. 특히,

\operatorname{Spec}D

는 위상 공간으로서 시에르핀스키 공간과 위상 동형이다.

이산 값매김환 위에는 두 가지 표준적인 환 준동형이 존재한다.

$D \twoheadrightarrow \frac D{\mathfrak m} = \kappa$
$D \hookrightarrow \operatorname{Frac}D = K$

이는 각각 닫힌 점과 일반점에 대응되는 스킴 사상이다.

$\operatorname{Spec}\kappa \to \operatorname{Spec}D$
$\operatorname{Spec}K \to \operatorname{Spec}D$

이산 값매김환

R

에 대해, 분수체는

K = \text{Frac}(R)

, 잉여류체는

\kappa = R/\mathfrak{m}

로 표기한다. 이들은

S=\text{Spec}(R)

의 일반점과 닫힌 점에 해당한다. 예를 들어

\text{Spec}(\mathbb{Z}_p)

의 닫힌 점은

\mathbb{F}_p

이고, 일반점은

\mathbb{Q}_p

이다. 이를 다음과 같이 나타내기도 한다.

:

\eta \to S \leftarrow s

여기서

\eta

는 일반점,

s

는 닫힌 점이다.

주어진 대수 곡선

(X,\mathcal{O}_X)

에서 매끄러운 점

\mathfrak{p}

에서의 국소환

\mathcal{O}_{X,\mathfrak{p}}

는 이산 값매김환이다. 점

\mathfrak{p}

가 매끄럽기 때문에, 환의 완비화는 어떤 점

\mathfrak{q}

에서의

\mathbb{A}^1

의 국소화의 완비화와 동형이다.

참조

_[1] 웹사이트 ac.commutative algebra - Condition for a local ring whose maximal ideal is principal to be Noetherian https://mathoverflow[...]
_[2] 기타
_[3] 서적 Commutative ring theory Cambridge University Press 1989-06
_[4] 서적 Algebraic geometry Springer 1977

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