바일 곡률 텐서

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 응용
- 5.1. 일반 상대성 이론
- 5.2. 중력파 연구
참조

1. 개요

바일 곡률 텐서는 n차원 준 리만 다양체에서 정의되는 (1,3)차 텐서장으로, 리만 곡률 텐서, 리치 곡률 텐서, 스칼라 곡률을 사용하여 표현된다. 바일 곡률 텐서는 등각 변환에 불변이며, 3차원 이하의 리만 다양체에서는 항상 0이다. 바일 텐서가 0인 것은 4차원 이상에서 해당 다양체가 등각 평탄 다양체임을 의미하며, 일반 상대성 이론에서 중력파를 나타내는 데 중요한 역할을 한다.

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바일 곡률 텐서
개요
이름	바일 텐서
다른 이름	바일 곡률 텐서 공형 텐서 공형 곡률 텐서
영어 이름	Weyl tensor
수학적 속성
유형	텐서 장
계수	(0, 4)
대칭성	반대칭 (처음 두 첨자) 반대칭 (마지막 두 첨자)
추가 대칭성	C_abcd = C_cdab
자취	완전히 자취 없음
관련 개념	리카르디 텐서, 스칼라 곡률

2. 정의

n^영어차원 준 리만 다양체 $(M,g)$ 에서 바일 곡률 텐서는 리만 곡률 텐서에서 리치 곡률 텐서와 스칼라 곡률을 이용하여 정의되는 (1,3)차 텐서이다. 바일 곡률 텐서는 리만 텐서를 (0,4) 밸런스 텐서로 작성하고 계량 텐서와 축약하여 다양한 대각합을 빼는 방식으로 구할 수 있다.^[3]

2. 1. 리만 곡률 텐서와의 관계

n^영어차원 준 리만 다양체

(M,g)

의 바일 곡률 텐서

W

는 (1,3)차 텐서장이며, 다음과 같이 표현된다.^[3]

:

W = \operatorname{Riem} - \frac1{n-2}\left(\operatorname{Ric} - \frac sng\right)\circ g - \frac{s}{2n(n-1)}g\circ g

여기서

g

는 (0,2)차 계량 텐서,

\operatorname{Riem}

은 (1,3)차 리만 곡률 텐서,

\operatorname{Ric}

은 (0,2)차 리치 곡률 텐서,

s

는 스칼라 곡률이다.

\circ

는 (0,2)차 텐서장의 쿨카르니-노미주 곱으로, 다음과 같이 정의된다.

:

(h\circ k)(v_1,v_2,v_3,v_4) =h(v_1,v_3)k(v_2,v_4)+h(v_2,v_4)k(v_1,v_3)-h(v_1,v_4)k(v_2,v_3)-h(v_2,v_3)k(v_1,v_4)

.

국소 좌표계에서는 아인슈타인 표기법을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

W_{abcd}=R_{abcd}-\frac{2}{n-2}(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a})+\frac{2}{(n-1)(n-2)}R~g_{a[c}g_{d]b}

(0,4)차 바일 텐서는 다음과 같다.

:

C = R - \frac{1}{n-2}\left(\mathrm{Ric} - \frac{s}{n}g\right) {~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~} g - \frac{s}{2n(n - 1)}g {~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~} g

여기서 ''n''은 다양체의 차원, ''g''는 계량 텐서, ''R''은 리만 텐서, ''Ric''는 리치 텐서, ''s''는 스칼라 곡률,

h {~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~} k

는 두 개의 대칭 (0,2) 텐서의 쿨카르니-노미주 곱이다.

텐서 성분 표기법으로는 다음과 같다.

:

\begin{align}C_{ik\ell m} = R_{ik\ell m}+{} &\frac{1}{n - 2} \left(R_{im}g_{k\ell} - R_{i\ell}g_{km} + R_{k\ell}g_{im} - R_{km}g_{i\ell} \right) \\{}+{} &\frac{1}{(n - 1)(n - 2)} R \left(g_{i\ell}g_{km} - g_{im}g_{k\ell} \right).\\end{align}

(1,3)차 바일 텐서는 위 식에서 계량 텐서의 역수로 축약하여 얻을 수 있다.

리만 텐서는 다음과 같이 직교 벡터 다발의 직합으로 분해할 수 있다.

:

|R|^2 = |C|^2 + \left|\frac{1}{n - 2}\left(\mathrm{Ric} - \frac{s}{n}g\right) {~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~} g\right|^2 + \left|\frac{s}{2n(n - 1)}g {~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~} g\right|^2.

이 분해는 리치 분해라고 불리며, 리만 곡률 텐서를 기약 성분으로 나타낸다. 4차원에서는 바일 텐서가 특수 직교군의 작용에 대해 불변 인자로 추가 분해되어 자기 쌍대 및 반자기 쌍대 부분 ''C''⁺ 및 ''C''⁻로 나뉜다.

바일 텐서는 쇼우텐 텐서 ''S''를 사용하여 표현할 수도 있다. 쇼우텐 텐서는 리치 텐서의 대각합 조정된 배수이다.

:

P = \frac{1}{n - 2}\left(\mathrm{Ric} - \frac{s}{2(n-1)}g\right).

따라서,

:

C = R - P {~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~} g.

지표를 사용하면,

:

C_{abcd} = R_{abcd} - \frac{2}{n - 2}\left(g_{a[c}R_{d]b} - g_{b[c}R_{d]a}\right) + \frac{2}{(n - 1)(n - 2)}R~g_{a[c}g_{d]b}

여기서

R_{abcd}

는 리만 텐서,

R_{ab}

는 리치 텐서,

R

는 스칼라 곡률이고, 지표 주위의 괄호는 반대칭 부분을 나타낸다.

또는,

:

{C_{ab}}^{cd} = {R_{ab}}^{cd} - 4S_{[a}^{[c}\delta_{b]}^{d]}

로 표현할 수 있다.

2. 2. 쿨카르니-노미즈 곱

쿨카르니-노미즈(Kulkarni–Nomizu^영어) 곱은 두 개의 대칭 (0,2)차 텐서

h

,

k

에 대하여 정의되며, (0,4)차 텐서를 다음과 같이 정의한다.

:

(h\circ k)(v_1,v_2,v_3,v_4) =h(v_1,v_3)k(v_2,v_4)+h(v_2,v_4)k(v_1,v_3)-h(v_1,v_4)k(v_2,v_3)-h(v_2,v_3)k(v_1,v_4)

.

바일 곡률 텐서를 정의할 때 쿨카르니-노미즈 곱이 사용된다.^[3]

2. 3. 수식 표현

n^영어차원 준 리만 다양체

(M,g)

의 바일 곡률 텐서

W

는 (1,3)차 텐서장이며, 다음과 같이 표현된다.

:

W = \operatorname{Riem} - \frac1{n-2}\left(\operatorname{Ric} - \frac sng\right)\circ g - \frac{s}{2n(n-1)}g\circ g

여기서

g

는 (0,2)차 계량 텐서,

\operatorname{Riem}

은 (1,3)차 리만 곡률 텐서,

\operatorname{Ric}

은 (0,2)차 리치 곡률 텐서,

s

는 스칼라 곡률이다.

\circ

는 (0,2)차 텐서장의 쿨카르니-노미즈(Kulkarni–Nomizu^영어) 곱이다.

국소 좌표계에서 바일 곡률 텐서는 아인슈타인 표기법을 사용하여 다음과 같이 간결하게 표현할 수 있다.^[3]

:

W_{abcd}=R_{abcd}-\frac{2}{n-2}(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a})+\frac{2}{(n-1)(n-2)}R~g_{a[c}g_{d]b}

(0,4) 밸런스 바일 텐서는 다음과 같다.

:

C = R - \frac{1}{n-2}\left(\mathrm{Ric} - \frac{s}{n}g\right) {~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~} g - \frac{s}{2n(n - 1)}g {~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~} g

여기서 ''n''은 다양체의 차원, ''g''는 계량 텐서, ''R''은 리만 텐서, ''Ric''는 리치 텐서, ''s''는 스칼라 곡률이다.

텐서 성분 표기법으로는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\begin{align}C_{ik\ell m} = R_{ik\ell m}+{} &\frac{1}{n - 2} \left(R_{im}g_{k\ell} - R_{i\ell}g_{km} + R_{k\ell}g_{im} - R_{km}g_{i\ell} \right) \\{}+{} &\frac{1}{(n - 1)(n - 2)} R \left(g_{i\ell}g_{km} - g_{im}g_{k\ell} \right).\\end{align}

바일 텐서는 쇼우텐 텐서를 사용하여 표현할 수도 있다.

:

P = \frac{1}{n - 2}\left(\mathrm{Ric} - \frac{s}{2(n-1)}g\right).

:

C = R - P {~\wedge\!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc~} g.

지표로는 다음과 같이 표현된다.^[3]

:

C_{abcd} = R_{abcd} - \frac{2}{n - 2}\left(g_{a[c}R_{d]b} - g_{b[c}R_{d]a}\right) + \frac{2}{(n - 1)(n - 2)}R~g_{a[c}g_{d]b}

여기서

R_{abcd}

는 리만 텐서,

R_{ab}

는 리치 텐서,

R

는 리치 스칼라(스칼라 곡률)이고 지표 주위의 괄호는 반대칭 부분을 나타낸다. 또는 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

{C_{ab}}^{cd} = {R_{ab}}^{cd} - 4S_{[a}^{[c}\delta_{b]}^{d]}

여기서 ''S''는 쇼우텐 텐서를 나타낸다.

3. 성질

바일 곡률 텐서는 리만 곡률 텐서와 마찬가지로 대칭성을 가지며, 추가적으로 대각합이 0이라는 성질을 가진다.

3. 1. 대칭

바일 곡률 텐서는 리만 곡률 텐서와 마찬가지로 다음과 같은 성질을 갖는다.

$W(u,v) = -W(v,u)$
$g(W(u,v)w,z) = -g(W(u,v)z,w)$
$W(u,v)w + W(v,w)u + W(w,u)v = 0$

또한, 바일 곡률 텐서의 대각합은 0이다.

:

\operatorname{tr}W(u,-)v = 0

이를 지표로 적으면 각각 다음과 같다.

$W^a{}_{bcd} = - W^a{}_{bdc}$
$W_{abcd} = -W_{bacd}$
$W^a{}_{bcd} + W^a{}_{cdb} + W^a{}_{dbc} = 0$
$W^a{}_{bac} = 0$

바일 텐서는 리만 텐서와 동일한 대칭성을 가지며, 여기에는 다음이 포함된다.

:

\begin{align}C(u, v) &= -C(v, u) \\\langle C(u, v)w, z \rangle &= -\langle C(u, v)z, w \rangle \\C(u, v)w + C(v, w)u + C(w, u)v &= 0.\end{align}

또한 바일 텐서는 대칭이 없는 특징을 갖는다.

:

\operatorname{tr} C(u, \cdot)v = 0

모든 ''u'', ''v''에 대해 성립한다. 지표로 나타내면, 이 네 가지 조건은 다음과 같다.

:

\begin{align}C_{abcd} = -C_{bacd} &= -C_{abdc} \\C_{abcd} + C_{acdb} + C_{adbc} &= 0 \\{C^a}_{bac} &= 0.\end{align}

3. 2. 등각 변환

바일 곡률 텐서는 (1,3)차 텐서장으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

W^a{}_{bcd}

이 텐서는 바일 변환(등각 변환)

g_{ab}(x)\to\lambda(x)g_{ab}

에 대하여 불변이다. 반면 리만 곡률 텐서, 리치 곡률 텐서, 스칼라 곡률은 바일 변환에 대하여 복잡하게 변환한다.

바일 텐서는 컨포멀 변화에 대해 계량에 불변하는 특별한 성질을 갖는다. 어떤 양의 스칼라 함수

f

에 대해

g_{\mu\nu}\mapsto g'_{\mu\nu} = f g_{\mu\nu}

이면, (1,3) 밸런트 바일 텐서는

{C'}^{a}_{\ \ bcd} = C^{a}_{\ \ bcd}

을 만족한다. 이러한 이유로 바일 텐서는 '''컨포멀 텐서'''라고도 불린다.

3. 3. 등각 평탄 다양체

3차원이 아닌 리만 다양체

(M,g)

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

바일 곡률 텐서가 0이다.
국소적으로, 어떤 스칼라장 $\phi\colon M\to\mathbb R$ 에 대하여, 리만 계량 $(\exp\phi)g$ 의 리만 곡률 텐서가 0이다. (즉, $M$ 은 '''등각 평탄 다양체''' conformally flat manifold^영어이다.)

(3차원에서는 임의의 다양체에 대하여 바일 곡률 텐서가 0이다. 그러나 등각 평탄이 아닌 3차원 다양체가 존재한다. 2차원 이하에서는 임의의 다양체에 대하여 바일 곡률 텐서가 0이며, 임의의 다양체가 항상 등각 평탄 다양체이다.)

바일 텐서는 컨포멀 변화에 대해 계량에 불변하는 특별한 성질을 갖는다. 즉, 어떤 양의 스칼라 함수

f

에 대해

g_{\mu\nu}\mapsto g'_{\mu\nu} = f g_{\mu\nu}

이면 (1,3) 밸런트 바일 텐서는

{C'}^{a}_{\ \ bcd} = C^{a}_{\ \ bcd}

을 만족한다. 이러한 이유로 바일 텐서는 '''컨포멀 텐서'''라고도 불린다. 따라서 리만 다양체가 컨포멀 평탄해지기 위한 필요 조건은 바일 텐서가 0이 되는 것이다. 4차원 이상에서는 이 조건이 충분 조건이기도 하다. 3차원에서는 코튼 텐서가 0이 되는 것이 리만 다양체가 컨포멀 평탄해지기 위한 필요충분 조건이다. 모든 2차원 (매끄러운) 리만 다양체는 컨포멀 평탄한데, 이는 등온 좌표의 존재에서 비롯된다.

실제로, 컨포멀 평탄한 척도의 존재는 다음과 같은 과결정 편미분 방정식을 푸는 것과 같다.

:

Ddf - df\otimes df + \left(|df|^2 + \frac{\Delta f}{n - 2}\right)g = \operatorname{Ric}.

4차원 이상에서는 바일 텐서가 0이 되는 것이 이 방정식의 유일한 적분 가능 조건이며, 3차원에서는 대신 코튼 텐서가 0이 된다.

3. 4. 비앙키 항등식

슈텐 텐서 ''S''에 대해, 바일 텐서의 축약은 다음 비앙키 항등식을 만족한다.^[1]

:

\nabla_a {C^a}_{bcd} = 2(n - 3)\nabla_{[c}S_{d]b}

여기서 우변의 텐서는 (0,3) 텐서이며, 코튼 텐서와 관련이 있다.^[1]

4. 예

준 리만 다양체의 바일 곡률 텐서는 3차원 이하에서는 항상 0이다.

5. 응용

일반 상대성 이론에서 바일 곡률 텐서는 아인슈타인 방정식을 통해 결정되는 리치 곡률 텐서와 달리 아무런 제한이 없다. 이는 중력의 고유한 자유도를 나타내며, 미시적으로 중력자, 거시적으로 중력파를 의미한다.^[1]

5. 1. 일반 상대성 이론

일반 상대성 이론에서, 리만 곡률 텐서의 성분 가운데 리치 곡률 텐서는 아인슈타인 방정식을 통해 결정되지만, 바일 곡률 텐서는 아무런 제한이 없다. 즉, 이는 중력의 고유한 자유도, 다시 말해 미시적으로 중력자 또는 거시적으로 중력파를 나타낸다.

5. 2. 중력파 연구

일반 상대성 이론에서 바일 곡률 텐서는 중력의 고유한 자유도를 나타내는데, 이는 미시적으로 중력자 또는 거시적으로 중력파를 의미한다.^[1] 따라서 바일 곡률 텐서는 중력파 연구에 중요한 역할을 한다.

참조

_[1] 학술지 Reine Infinitesimalgeometrie https://doi.org/10.1[...] 1918-09-01
_[2] 학술지 On the Significance of the Weyl Curvature in a Relativistic Cosmological Model 2009
_[3] 서적 2007

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