반복 강제법

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 반복 강제법 모형
4. 역사
참조

1. 개요

반복 강제법은 ZFC의 표준 추이적 모형 M과 순서수 μ가 주어졌을 때 정의되는 구조로, 집합 D, 원순서 집합의 이름, 최소 원소, 집합족 I로 구성된다. 이 구조는 부분 순서 집합들의 열 Pα를 초한 귀납법으로 정의하고, 유한 지지 또는 가산 지지 반복 강제법 구조로 분류될 수 있다. 반복 강제법은 모형 확장 및 수슬린 가설의 독립성 증명에 활용되며, 로버트 솔로베이와 스탠리 테넨바움에 의해 1971년에 도입되었다.

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반복 강제법
개요
유형	집합론에서의 모형 구성 방법
상세 정보
관련 항목	강제법

2. 정의

반복 강제법은 다음과 같이 정의된다.^[4]^[5]

이후 이어지는 하위 섹션에서는 ''' $M$ 속의 $\mu$ 단계 반복 강제법 구조'''에 대한 정의와 구성 요소들을 자세히 설명한다. 또한, 집합족 $\mathcal{I}$ 가 유한 집합인 경우 '''유한 지지 반복 강제법''', 가산 집합인 경우 '''가산 지지 반복 강제법'''으로 정의한다.

2. 1. μ-단계 반복 강제법 구조

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

ZFC의 표준 추이적 모형 $M$
순서수 $\mu\in M\cap\operatorname{Ord}$

'''

M

속의

\mu

단계 반복 강제법 구조'''(

\mu

-段階反復強制法構造,

\mu

-step iterated forcing strucure in

M

^영어)는 다음과 같은 데이터로 구성된다.^[4]^[5]

$M$ 의 원소인 집합 $D\in M$
$M$ 의 원소인 $(\dot Q_\beta,\dot\lesssim_\beta)_{\beta<\mu}$ . $(\dot Q_\beta,\dot\lesssim_\beta)$ 는 유일한 최소 원소를 갖는 원순서 집합의 $P_\beta$ -이름이다.
각 $\beta<\mu$ 에 대하여, $\dot\bot_\beta$ 는 $(\dot Q_\beta,\dot\lesssim_\beta)$ 의 유일한 최소 원소이다.
집합족 $\mathcal I\subseteq\mathcal P(\mu)$ . 또한, $\mathcal I$ 는 $\mathcal P(\mu+1)$ 속의 순서 아이디얼을 이룬다.
$\mathcal I$ 는 $\mu$ 의 모든 유한 부분 집합을 포함한다.

여기서, 다음과 같은 함수열을 정의하자.

:

\operatorname{supp}_\lambda\colon D^\lambda\to \mathcal P(\lambda)

:

\operatorname{supp}_\lambda\colon p\mapsto \left\{\alpha\in\lambda\colon p_\alpha\ne\dot\bot_\mu\right\}

그렇다면 다음과 같은 부분 순서 집합들의 열

(P_\alpha)_{\alpha\le\mu}

을 초한 귀납법으로 정의할 수 있다.

:

\forall\lambda\le\mu\forall p\in D^\lambda\colon\qquadp\in P_\lambda \iff \begin{cases}\left(p\restriction\alpha\in P_\alpha\right) \land \left(p_\beta\in \operatorname{dom}\dot Q_\alpha\right) \land \left(p\restriction \alpha \Vdash ( p_\alpha\in \dot Q_\alpha )\right) & \exists\alpha\colon \alpha+1=\lambda\\\left(\forall \alpha<\lambda\colon p\restriction \alpha\in P_\alpha\right)\land (\operatorname{supp}_\lambda p\in \mathcal I)& \nexists\alpha\colon\alpha+1=\lambda\end{cases}

:

\forall\lambda\le\mu\forall p,q\in P_\lambda\colon\qquadp\le q\iff\begin{cases}(p\restriction\alpha\le q\restriction\alpha) \land(p\restriction\alpha\Vdash(p_\alpha\le q_\alpha))&\exists\alpha+1=\lambda\\\forall \alpha<\lambda\colon (p\restriction\alpha\le q\restriction\alpha)&\nexists \alpha\colon\alpha+1=\lambda\end{cases}

임의의

\alpha\le\beta\le\mu

에 대하여, 함수

\iota_{\alpha\beta}

를 다음과 같이 정의하자.

:

\iota_{\alpha\beta}\colon P_\alpha\to P_\beta

:

\left(q=\iota_{\alpha\beta}(p)\right) \iff\left( (q\restriction\alpha=\beta) \land (\forall \alpha\le\gamma<\beta\colon q_\gamma=\bot_\gamma)\right)

만약

\mathcal I

가 유한 집합이라면, 이를 '''유한 지지 반복 강제법 구조'''(有限支持反復強制法, iterated forcing structure with finite support^영어)이라고 한다.

만약

\mathcal I

가 가산 집합이라면, 이를 '''가산 지지 반복 강제법 구조'''(可算支持反復強制法, iterated forcing structure with countable support^영어)이라고 한다.

2. 2. 지지 (Support)

만약

\mathcal I

가 유한 집합이라면, 이를 '''유한 지지 반복 강제법 구조'''(有限支持反復強制法, iterated forcing structure with finite support^영어)라고 한다.^[4]

만약

\mathcal I

가 가산 집합이라면, 이를 '''가산 지지 반복 강제법 구조'''(可算支持反復強制法, iterated forcing structure with countable support^영어)라고 한다.

2. 3. 부분 순서 집합 P_λ

다음과 같은 부분 순서 집합들의 열

(P_\alpha)_{\alpha\le\mu}

을 초한 귀납법으로 정의할 수 있다.^[4]^[5]

:

\forall\lambda\le\mu\forall p\in D^\lambda\colon\qquadp\in P_\lambda \iff \begin{cases}\left(p\restriction\alpha\in P_\alpha\right) \land \left(p_\beta\in \operatorname{dom}\dot Q_\alpha\right) \land \left(p\restriction \alpha \Vdash ( p_\alpha\in \dot Q_\alpha )\right) & \exists\alpha\colon \alpha+1=\lambda\\\left(\forall \alpha<\lambda\colon p\restriction \alpha\in P_\alpha\right)\land (\operatorname{supp}_\lambda p\in \mathcal I)& \nexists\alpha\colon\alpha+1=\lambda\end{cases}

:

\forall\lambda\le\mu\forall p,q\in P_\lambda\colon\qquadp\le q\iff\begin{cases}(p\restriction\alpha\le q\restriction\alpha) \land(p\restriction\alpha\Vdash(p_\alpha\le q_\alpha))&\exists\alpha+1=\lambda\\\forall \alpha<\lambda\colon (p\restriction\alpha\le q\restriction\alpha)&\nexists \alpha\colon\alpha+1=\lambda\end{cases}

임의의

\alpha\le\beta\le\mu

에 대하여, 함수

\iota_{\alpha\beta}

를 다음과 같이 정의한다.

:

\iota_{\alpha\beta}\colon P_\alpha\to P_\beta

:

\left(q=\iota_{\alpha\beta}(p)\right) \iff\left( (q\restriction\alpha=\beta) \land (\forall \alpha\le\gamma<\beta\colon q_\gamma=\bot_\gamma)\right)

2. 4. 함수 ι_αβ

임의의

\alpha\le\beta\le\mu

에 대하여, 함수

\iota_{\alpha\beta}

를 다음과 같이 정의한다.^[4]^[5]

:

\iota_{\alpha\beta}\colon P_\alpha\to P_\beta

:

\left(q=\iota_{\alpha\beta}(p)\right) \iff\left( (q\restriction\alpha=\beta) \land (\forall \alpha\le\gamma<\beta\colon q_\gamma=\dot\bot_\gamma)\right)

2. 5. 유한/가산 지지 반복 강제법

ZFC의 표준 추이적 모형

M

및 순서수

\mu\in M\cap\operatorname{Ord}

가 주어졌을 때,

M

속의

\mu

단계 반복 강제법 구조는 다음 데이터로 구성된다.^[4]^[5]

$M$ 의 원소인 집합 $D\in M$
$M$ 의 원소인 $(\dot Q_\beta,\dot\lesssim_\beta)_{\beta<\mu}$ . 여기서 $(\dot Q_\beta,\dot\lesssim_\beta)$ 는 유일한 최소 원소를 갖는 원순서 집합의 $P_\beta$ -이름이다.
각 $\beta<\mu$ 에 대하여, $\dot\bot_\beta$ 는 $(\dot Q_\beta,\dot\lesssim_\beta)$ 의 유일한 최소 원소이다.
집합족 $\mathcal I\subseteq\mathcal P(\mu)$ . $\mathcal I$ 는 $\mathcal P(\mu+1)$ 속의 순서 아이디얼을 이루며, $\mu$ 의 모든 유한 부분 집합을 포함한다.

다음과 같은 함수열을 정의한다.

:

\operatorname{supp}_\lambda\colon D^\lambda\to \mathcal P(\lambda)

:

\operatorname{supp}_\lambda\colon p\mapsto \left\{\alpha\in\lambda\colon p_\alpha\ne\dot\bot_\mu\right\}

그러면 부분 순서 집합들의 열

(P_\alpha)_{\alpha\le\mu}

을 초한 귀납법으로 정의할 수 있다.

:

\forall\lambda\le\mu\forall p\in D^\lambda\colon\qquadp\in P_\lambda \iff \begin{cases}\left(p\restriction\alpha\in P_\alpha\right) \land \left(p_\beta\in \operatorname{dom}\dot Q_\alpha\right) \land \left(p\restriction \alpha \Vdash ( p_\alpha\in \dot Q_\alpha )\right) & \exists\alpha\colon \alpha+1=\lambda\\\left(\forall \alpha<\lambda\colon p\restriction \alpha\in P_\alpha\right)\land (\operatorname{supp}_\lambda p\in \mathcal I)& \nexists\alpha\colon\alpha+1=\lambda\end{cases}

:

\forall\lambda\le\mu\forall p,q\in P_\lambda\colon\qquadp\le q\iff\begin{cases}(p\restriction\alpha\le q\restriction\alpha) \land(p\restriction\alpha\Vdash(p_\alpha\le q_\alpha))&\exists\alpha+1=\lambda\\\forall \alpha<\lambda\colon (p\restriction\alpha\le q\restriction\alpha)&\nexists \alpha\colon\alpha+1=\lambda\end{cases}

임의의

\alpha\le\beta\le\mu

에 대하여, 함수

\iota_{\alpha\beta}

를 다음과 같이 정의한다.

:

\iota_{\alpha\beta}\colon P_\alpha\to P_\beta

:

\left(q=\iota_{\alpha\beta}(p)\right) \iff\left( (q\restriction\alpha=\beta) \land (\forall \alpha\le\gamma<\beta\colon q_\gamma=\bot_\gamma)\right)

만약

\mathcal I

가 유한 집합이라면, 이를 '''유한 지지 반복 강제법 구조'''(有限支持反復強制法, iterated forcing structure with finite support^영어)라고 한다. 만약

\mathcal I

가 가산 집합이라면, 이를 '''가산 지지 반복 강제법 구조'''(可算支持反復強制法, iterated forcing structure with countable support^영어)라고 한다.

3. 성질

다음과 같은 성질이 성립한다.

임의의 $p\in P_\beta$ 및 $\gamma<\beta$ 에 대하여, $p\restriction\gamma\in P_\beta$ 이다.
임의의 $(p_\gamma)_{\gamma<\beta}\in P_\beta$ 및 $\gamma<\beta$ 에 대하여, $p_\gamma\in\operatorname{dom}(\pi_\gamma)$ 이다.

3. 1. 반복 강제법 모형

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

ZFC의 표준 추이적 모형 $M$
$\mathcal I$ 지지 $\mu$ 단계 반복 강제법 구조 $(\pi_\alpha)_{\alpha<\mu}$
$P_\mu$ 의 $M$ -포괄적 순서 아이디얼 $G\subseteq P_\mu$

이 경우, 임의의

\alpha\le\mu

에 대하여

:

G_\alpha=\iota_{\alpha\mu}^{-1}(G)\subseteq P_\alpha

를 정의한다. (특히

G_\mu=G

이다.) 그렇다면, 임의의

\alpha\le\beta\le\mu

에 대하여

:

M[G_\alpha]\subseteq M[G_\beta]

이다. 즉,

:

M\subseteq M[G_0]\subseteq M[G_1]\subseteq\cdots\subseteq M[G_\omega]\subseteq M[G_{\omega+1}]\subseteq\cdots\subseteq M[G_\mu]=M[G]

이다.

4. 역사

1971년에 로버트 솔로베이와 스탠리 테넨바움이 수슬린 가설의 독립성을 보이기 위하여 반복 강제법을 도입하였다.^[8]^[5]

참조

_[1] 서적 Proper and Improper Forcing Springer 1992
_[2] 논문 Shelah's work on non-semiproper iterations I 2008
_[3] 논문 Shelah's work on non-semiproper iterations II 2001
_[4] 서적 Set theory: an introduction to independence proofs https://web.archive.[...] North-Holland 1980
_[5] 서적 Set theory https://archive.org/[...] Springer-Verlag 2003
_[6] 서적 Surveys in set theory Cambridge University Press 1983
_[7] 서적 Handbook of set theory Springer-Verlag 2010
_[8] 저널 Iterated Cohen extensions and Souslin’s problem 1971

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반복 강제법

1. 개요

더 읽어볼만한 페이지

2. 정의

2. 1. μ-단계 반복 강제법 구조

2. 2. 지지 (Support)

2. 3. 부분 순서 집합 Pλ

2. 4. 함수 ιαβ

2. 5. 유한/가산 지지 반복 강제법

3. 성질

3. 1. 반복 강제법 모형

4. 역사

참조

2. 3. 부분 순서 집합 P_λ

2. 4. 함수 ι_αβ