집합족

3. 종류

집합족은 포함되는 집합들 간의 관계 및 연산에 따라 다양하게 분류된다. 집합족은 특정 집합 연산(합집합, 교집합, 여집합 등)에 대해 닫혀 있거나, 안정되거나, 완전하다고 표현할 수 있다. 이는 집합족의 임의의 원소에 해당 연산을 적용한 결과가 항상 다시 그 집합족의 원소가 됨을 의미한다.

예를 들어, 유한 번의 교집합에 대해 닫혀 있는 집합족은 π-계라고 불린다. 가산 무한 번의 합집합에 대해 닫혀 있는 집합족은 σ-계, 가산 무한 번의 교집합에 대해 닫혀 있는 집합족은 δ-계라고 부른다.

이 외에도 여러 가지 특수한 집합족이 존재한다. 예를 들어, 추상 단순 복합체는 각 단순체가 정점의 집합으로 표현되며, 어떤 집합의 모든 부분집합이 그 집합족에 속하는 유한 집합족이다.

3. 1. 연산에 따른 분류

3. 2. 기타 특수 집합족

4. 성질

• 어떤 집합 S의 부분 집합들로 이루어진 집합족이 서로 다른 원소들로만 구성되어 있다면, 그 집합족은 S의 멱집합의 부분 집합이다.
• 서로 겹치는 원소가 없는 집합들로 이루어진 집합족은, 모든 집합을 포함하는 진부분류(전체)의 부분류이다.
• 필립 홀의 홀의 결혼 정리는 유한하고 비어 있지 않은 집합들로 구성된 집합족(원소의 중복 허용)이 서로 다른 대표원을 가질 필요충분조건을 제시한다.
• 집합족 $\backslash mathcal\{F\}$에 대하여, $\backslash cup\; \backslash mathcal\{F\}\; :=\; \{\backslash textstyle\; \backslash bigcup\backslash limits\_\{F\; \backslash in\; \backslash mathcal\{F\}\}\}\; F$는 $\backslash mathcal\{F\}$에 속하는 모든 집합들의 합집합을 의미하며, 특히 $\backslash cup\; \backslash varnothing\; =\; \backslash varnothing$이다.
• 모든 집합족 $\backslash mathcal\{F\}$는 $\backslash cup\; \backslash mathcal\{F\}$를 포함하는 집합족이며, $\backslash cup\; \backslash mathcal\{F\}$의 임의의 상위 집합을 포함하는 집합족이기도 하다.

4. 1. 함의 관계

또한, 집합족에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 시그마 대수이다.
• 집합 대수이자 σ-환이다.
• 집합 대수이자 δ-환이다.
• π-계이자 λ-계이다.
• 집합 대수이자 단조류이다.

4. 2. 생성된 집합족

4. 3. 딘킨 π-λ 정리 및 단조류 정리

5. 예

집합론에서, 집합족은 모든 원소가 집합인 집합이다. 예를 들어, $\backslash \{\backslash \{2,\backslash \{3\backslash \}\backslash \},\backslash \{1\backslash \},\backslash \{5,6\backslash \}\backslash \}$은 모든 원소가 집합이므로 집합족이다.

임의의 집합 $X$에 대하여, 공집합 $\backslash varnothing$과 $X$의 멱집합 $\backslash mathcal\; P(X)$은 $X$ 속의 집합족이다.

실수 구간 $[0,1]\backslash subseteq\backslash mathbb\; R$의 부분 구간들의 집합족은 $[0,1]$ 속의 집합 반대수를 이루며, 이는 집합 대수가 아니다.^[6] 실수선 $\backslash mathbb\; R$ 속의 유계 집합들의 집합족은 $\backslash mathbb\; R$ 속의 δ환이지만, 집합 대수나 σ환이 아니다.^[8]

주어진 집합 $S$의 모든 부분집합의 집합을 $S$의 멱집합이라 하며, $\backslash wp(S)$로 표기한다. $S$의 멱집합 $\backslash wp(S)$는 $S$에 대한 집합족이다.

$k$개의 원소를 가진 $S$의 부분집합을 $S$의 $k$-부분집합이라고 한다. 집합 $S$의 $k$-부분집합 $S^\{(k)\}$은 집합족을 이룬다.

$S\; =\; \backslash \{a,\; b,\; c,\; 1,\; 2\backslash \}$라고 하자. $S$에 대한 집합족의 예시(멀티집합의 의미에서)는 $F\; =\; \backslash left\backslash \{A\_1,\; A\_2,\; A\_3,\; A\_4\backslash right\backslash \}$로 주어지며, 여기서 $A\_1\; =\; \backslash \{a,\; b,\; c\backslash \},\; A\_2\; =\; \backslash \{1,\; 2\backslash \},\; A\_3\; =\; \backslash \{1,\; 2\backslash \}$, 그리고 $A\_4\; =\; \backslash \{a,\; b,\; 1\backslash \}$이다.

모든 서수의 모임 $\backslash operatorname\{Ord\}$는 ''큰'' 집합족이다. 즉, 그 자체는 집합이 아니고, 대신 진정한 모임이다.

6. 관련 개념

부분 집합족 '''A'''가 유한 교차에 대해 닫혀 있을 때 pi-system|π-계^영어라고 하며, π-계가 공집합을 포함할 때 승법족이라고 한다. 더 나아가 가산 교차에 대해 닫혀 있을 때는 δ-System (Maßtheorie)|δ-계^de(δ-승법족)라고 한다. 임의 농도의 교차로 닫혀 있는 것은 Hüllensystem|폐포족^de이라고 한다. 승법족이 포함 관계를 가지는 임의의 두 집합에 대해, 한쪽에서 유한 번의 비교합적 합을 수행하여 다른 쪽으로 도달하는 열을 가질 때 집합 반환이라고 한다.

'''A'''가 (유한) 합과 (유한) 교차에 대해 닫혀 있을 때, Mengenverband|집합속^de 또는 환이라고 한다. '''A'''가 공집합이 아니고 합과 차에 대해 닫혀 있거나, 대칭차와 교차에 대해 닫혀 있는 경우에 한하여 집합환이라고 하는 경우도 있다. 더 나아가 가산 교차에 대해 닫혀 있으면 δ-집합환, 가산 합에 대해 닫혀 있으면 σ-집합환이라고 한다. 또한, 이것들이 전체 집합을 포함한다면 대수 또는 체라고 한다. δ-집합체는 σ-집합체이다.

'''A'''가 공집합을 포함하고 유한 합병 및 여집합에 대해 닫혀 있을 때 가법족, 특히 유한 가법족이라고 한다. 더 나아가 가산 합병에 대해 닫혀 있다면 -가법족 또는 완전 가법족이라고 한다. 집합족 '''A'''가 가법족인 것은 집합체인 것과 동등하며, 마찬가지로 완전 가법족은 σ-집합체의 다른 이름이다. 임의 농도의 합병에 대해 닫혀 있다면 Kernsystem|개핵족^de이라고 한다.

단조족은 포함 관계에 관한 단조열의 극한에 대해 닫혀 있는 집합족이다.

딘킨족(d-족, δ-족)은 전체 집합을 포함하고, 포함 관계를 가지는 집합끼리의 차에 대해 닫혀 있으며, 가산 증가열의 극한에 대해 닫혀 있다. λ-계는 전체 집합을 포함하고, 여집합에 대해 닫혀 있으며, 가산 비교합적 합에 대해 닫혀 있다. 이 두 가지는 같은 개념이다. Dynkinscher π-λ-Satz|딘킨족 정리^de는 승법족이 생성하는 딘킨족이 마찬가지로 생성하는 완전 가법족과 일치함을 언급하는 것으로 측도론에서 유용하다.

층족은 이에 속하는 임의의 집합 A, B가 A ⊆ B 또는 A ⊇ B 또는 A ∩ B ≠ ∅ 중 하나만을 만족한다.

부울환

Sperner family|스페르너족^영어 또는 독립 집합계는, 각 집합이 그 집합족에 속하는 자신 이외의 집합을 포함하지 않는 집합족을 말한다. Sperner's theorem|스페르너의 정리^영어는 스페르너족의 크기의 최대값을 평가한다.

Helly family|헬리족^영어은 공집합이 아닌 교차를 가지는 임의의 극소 부분족의 크기가 아래로 유계인 족을 말한다. 헬리의 정리는 유계인 차원의 유클리드 공간에서의 볼록 집합족이 헬리족을 이룸을 주장한다.

Fréchet-Filter|프레셰 필터^de

매트로이드

집합 필터

집합의 분할

(위상 공간)의 열린 집합계, 닫힌 집합계, 근방계

(유계형 공간)의 유계 집합계

(균등 공간)의 근연계

보렐 집합족은 위상이 생성하는 -가법족으로, 측도론에서 중요하다.

무향 그래프

Zermelosystem|체르멜로계^de

Ω 위의 임의의 첨자 집합족은 중복되는 원소를 갖지 않는다면, 그 자체가 멱집합 P(Ω)의 부분 집합이다.

중복 원소를 갖지 않는 임의의 부분 집합족은, 그 자체가 전체 집합을 구성하는 진정한 종류 V ( 우주)의 부분 종류이다.

Philip Hall|필립 홀^영어에 의한 홀의 결혼 정리는, 공집합이 아닌 집합의 (원소의 중복을 허용하는) 유한족이 transversal (combinatorics)|완전 대표계^영어를 가질 필요 충분 조건을 제공한다.

6. 1. 다른 분야와의 연관성

• 하이퍼그래프는 정점의 집합과 하이퍼에지의 집합으로 구성되며, 하이퍼에지는 집합족을 형성한다. 모든 집합족은 집합의 합집합을 정점으로 갖는 하이퍼그래프로 해석될 수 있다.
• 추상 단순 복합체는 단순 복합체의 조합적 추상화이다. 가족 내의 모든 집합의 부분 집합이 또한 가족에 속하는 중복 없는 유한 집합족은 추상 단순 복합체를 형성한다.
• 사건 구조는 점의 집합, 선의 집합, 그리고 어떤 점이 어떤 선에 속하는지 지정하는 이항 관계인 사건 관계로 구성된다. 사건 구조는 각 선에 속하는 점의 집합처럼 집합족으로 지정될 수 있으며, 모든 집합족은 이런 방식으로 사건 구조로 해석될 수 있다.
• 이진 블록 코드는 코드워드로 구성되며, 각 코드워드는 0과 1로 구성된 문자열로 길이가 같다. 각 코드워드 쌍이 큰 해밍 거리를 가지면 오류 정정 코드로 사용할 수 있다. 블록 코드는 각 코드워드를 1을 포함하는 위치의 집합으로 설명함으로써 집합족으로 설명할 수도 있다.
• 위상 공간은 집합 $X$(그 원소를 ''점''이라고 함)와 $X$에 대한 위상 $\backslash tau$로 구성된다. 여기서 $\backslash tau$는 $X$에 대한 집합족(그 원소를 ''열린 집합''이라고 함)이며, 공집합 $\backslash varnothing$과 $X$ 자체를 포함하고 임의의 집합 합집합과 유한 집합 교집합에 대해 닫혀 있다.

7. 응용

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참조

_[1] 서적 Naive Set Theory Litton Educational Publishing, Inc.
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적 Combinatorial Optimization: Theory and Algorithms https://books.google[...]
_[6] 서적 Probability and Measure https://archive.org/[...] Wiley-Interscience 1995
_[7] 서적 Measure Theory and Probability Theory Springer 2006
_[8] 서적 Measure theory. Volume I Springer 2007