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반직선 유군

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목차

1. 개요

반직선 유군은 대수적 수론에서 사용되는 개념으로, 대수적 수체의 모듈러스에 따라 정의되는 아벨 군이다. 1897년 베버에 의해 처음 도입되었으며, 타카기에 의해 반직선 유체의 존재가 증명되었고, 슈발레는 이델을 사용하여 반직선 유군의 현대적인 정의를 제시했다. 반직선 유군은 아이디얼을 이용하거나 이델을 이용하여 정의할 수 있으며, 아이디얼 유군, 가역원군 등과 밀접한 관련을 가진다. 특히, 반직선 유군은 유체론 연구에 중요한 역할을 한다.

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반직선 유군

2. 역사

베버(Weber)는 1897년에 반직선 유군을 도입했다. 다카기는 1920년경에 이에 해당하는 반직선 유체(ray class field)의 존재를 증명했다. 슈발레는 1933년에 이델(idèle)을 사용하여 반직선 유군의 정의를 재구성했다. 이는 현대적인 정의의 기반이 되었다.

3. 정의

대수적 수체 K 위의 모듈러스 \mathfrak m이 주어졌다고 하자. K의 \mathfrak m에 대한 '''반직선'''(ray영어)은

:K_{\mathfrak m,1}=\{a\in K^\times\colon a\equiv1\pmod{\mathfrak m}\}

이다. 이는 곱셈에 대하여 아벨 군을 이룬다.

I^{\mathfrak m}이 \mathfrak m과 서로소인 소 아이디얼들로 생성되는 분수 아이디얼들의 아벨 군이라고 하자. 즉,

:\mathfrak a/\mathfrak b\qquad(\mathfrak p\mid\mathfrak m\implies \mathfrak p\nmid \mathfrak a,\mathfrak b)

의 꼴의 분수 아이디얼들로 구성된 아벨 군이다. 주 아이디얼 사상 i\colon a\mapsto(a)은 군 준동형

:i\colon K_{\mathfrak m,1}\to I^{\mathfrak m}

을 정의한다. K의 M에 대한 '''반직선 유군'''은 몫군

:\operatorname{Cl}\mathcal o_{\mathfrak m}=I^{\mathfrak m}/i(K_{\mathfrak m})

이며, '''반직선류'''(半直線類, ray class영어)는 반직선 유군의 원소이다.

3. 1. 아이디얼을 이용한 정의

대수적 수체 K와 모듈러스 m이 주어졌을 때, m과 서로소인 분수 아이디얼들의 군 Im을 생각한다. 반직선 Pm은 m에 대한 합동 조건 a ≡ 1 (mod m)을 만족하는 원소 a에 의해 생성되는 주 아이디얼들의 군이다. K의 m에 대한 반직선 유군은 몫군 Im/Pm으로 정의된다. 특히, a가 완전히 양수인 경우(실수 자리 S가 모든 실수 위치로 구성될 때)의 반직선 유군을 좁은 반직선 유군이라고 한다.

3. 2. 이델을 이용한 정의

클로드 슈발레는 이델 군을 이용하여 반직선 유군을 재정의하였다. 대수적 수체 K와 모듈러스 \mathfrak m에 대해, 이델 군 \mathbb A_K^\times의 부분군 U_{\mathfrak m}을 정의한다.

:U_{\mathfrak m}=\prod_pU_p

여기서

  • p가 복소 자리라면, U_p=\mathbb C^\times이다.
  • p가 실수 자리이며 p\in\mathfrak m_\infty라면, U_p=\mathbb R^+이다.
  • p가 실수 자리이며 p\not\in\mathfrak m_\infty라면, U_p=\mathbb R^\times이다.
  • p가 유한 자리이며 p\nmid\mathfrak m_0라면, U_p=\mathcal o_{K_p}^\times이다. (K_p는 K의 p에서의 완비화)
  • p가 유한 자리이며 p^n\mid\mathfrak m_0이지만 p^{n+1}\nmid\mathfrak m_0라면, U_p=1+\mathfrak p^n\subset\mathcal o_{K_p}^\times이다. (\mathfrak p는 이산 값매김환 \mathcal o_{K_p}의 유일한 극대 아이디얼)


U_{\mathfrak m}은 복소 자리, 실수 자리, 유한 자리에 따라 다르게 정의되는 단위들의 곱으로 구성된다.

이델 유군 C_K = \mathbb A_K^\times/i(K^\times)를 U_{\mathfrak m}의 이미지 U_{\mathfrak m}'=i(U_{\mathfrak m})로 나눈 몫군 C_K/U_{\mathfrak m}'이 반직선 유군과 동형임을 보였다. 즉, 다음과 같은 표준적인 군 동형이 존재한다.

:\operatorname{Cl}_{\mathfrak m}\mathcal o_K\cong C_K/U_{\mathfrak m}'

이델을 이용한 정의는 아이디얼을 이용한 정의와 동치이며, 이론적으로 더 다루기 쉽다.

4. 성질

5. 이델 유군과의 관계

반직선 유군은 이델 유군을 이용하여 더 추상적으로 정의될 수 있으며, 이는 유체론 연구에 유용하다. 이델 유군 C_K는 대각 사상 i\colon K^\times\hookrightarrow\mathbb A_K^\times의 상에 대한 몫군 C_K=\mathbb A_K^\times/i(K^\times)이다. 대수적 수체 K 및 그 모듈러스 \mathfrak m에 대하여, 이델 군 \mathbb A_K^\times의 부분군 U_{\mathfrak m}=\prod_pU_p을 정의할 수 있다. 여기서 p는 다음과 같다.


  • p가 복소 자리라면, U_p=\mathbb C^\times
  • p가 실수 자리이며 p\in\mathfrak m_\infty라면, U_p=\mathbb R^+
  • p가 실수 자리이며 p\not\in\mathfrak m_\infty라면, U_p=\mathbb R^\times
  • p가 유한 자리이며 p\nmid\mathfrak m_0라면, U_p=\mathcal o_{K_p}^\times (K_p는 K의 p에서의 완비화)
  • p가 유한 자리이며 p^n\mid\mathfrak m_0이지만 p^{n+1}\nmid\mathfrak m_0라면, U_p=1+\mathfrak p^n\subset\mathcal o_{K_p}^\times (\mathfrak p는 이산 값매김환 \mathcal o_{K_p}의 유일한 극대 아이디얼)


U_{\mathfrak m}'=i(U_{\mathfrak m})이라고 하면, 반직선 유군은 C_K/U_{\mathfrak m}'과 동형이다. 즉, 표준적인 군 동형 \operatorname{Cl}_{\mathfrak m}\mathcal o_K\cong C_K/U_{\mathfrak m}'이 존재한다.

6. 예시

6. 1. 일반적인 경우

대수적 수체 K에 대하여, 자명한 모듈러스 \mathfrak m=1에 대한 반직선류군은 아이디얼 유군 \operatorname{Cl}\mathcal o_K이다.

유리수체 \mathbb Q 및 양의 정수 m에 대하여, 유한 모듈러스 (m)에 대한 반직선류군은 가역원군의 몫군

:\operatorname{Cl}_{(m)}\mathbb Z\cong(\mathbb Z/(m))^\times/\{\pm1\}

이며, 모듈러스 (m)\infty에 대한 반직선류군은 가역원군

:\operatorname{Cl}_{(m)\infty}\mathbb Z\cong(\mathbb Z/(m))^\times

이다.

만약 ''K''가 유리수의 체이고, ''m''이 0이 아닌 유리 정수이며, ''S''가 ''K''의 아르키메데스 자리를 포함한다면, (''m'')과 ''S''의 반직선 유군은 '''Z'''/''m'''''Z'''의 단위군과 동형이며, 반직선 유체는 ''m''번째 단위근에 의해 생성된 체이다. (''m'')과 자리의 공집합에 대한 반직선 유체는 그것의 최대 완전 실 부분체, 즉 체 \mathbb{Q}(\cos (\frac{2 \pi}{m}))이다.

힐베르트 유체는 단위 아이디얼과 실수 자리의 공집합에 해당하는 반직선 유체이므로, 가장 작은 반직선 유체이다. 좁은 힐베르트 유체는 단위 아이디얼과 모든 실수 자리의 집합에 해당하는 반직선 유체이므로, 가장 작은 좁은 반직선 유체이다.

6. 2. 유리수체 ℚ

유리수체 ℚ 및 양의 정수 m에 대하여, 유한 모듈러스 (m)에 대한 반직선 유군은 가역원군의 몫군

:Cl(m)ℤ≅(ℤ/(m))×/ {±1}

이며, 모듈러스 (m)∞에 대한 반직선 유군은 가역원군

:Cl(m)∞ℤ≅(ℤ/(m))×

이다. m번째 단위근에 의해 생성된 체는 (m)과 아르키메데스 자리에 대한 레이 유수체이다. 체 ℚ(cos(2π/m))는 (m)과 자리의 공집합에 대한 레이 유수체이다.

7. 응용

7. 1. 유체론


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