베유 군

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1. 개요
2. 베유 군의 정의 및 기본 성질
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 상호 사상(Reciprocity Map)
3. 다양한 체에서의 베유 군
4. 베유-들리뉴 군(Weil-Deligne Group)
참조

1. 개요

베유 군은 유체론과 랭글랜즈 프로그램에 사용되는 갈루아 군의 수정된 형태이다. class formation의 기본류에 해당하는 군 확장으로 정의되며, 모든 레이어의 베유 군의 역극한으로 전체 베유 군을 구성한다. 아르키메데스 국소체의 경우 복소수 곱셈군이나 사원수의 부분군으로, 유한체는 무한 순환군으로 정의된다. p-진 체의 경우 절대 갈루아 군의 조밀 부분군이며, 수체의 경우 "자연스러운" 구성을 알 수 없다. 베유-들리뉴 군은 베유 군의 확대이며, 국소 랭글랜즈 대응과 관련이 있다.

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크로네커-베버 정리는 유리수체의 유한 아벨 확대가 항상 원분체의 부분체가 된다는 정리로, 유리수체 위에서 갈루아 군이 아벨 군인 대수적 수체는 1의 거듭제곱근을 유리수체에 첨가하여 얻어지는 체의 부분체이며, 1853년 크로네커에 의해 처음 언급되고 1896년 힐베르트에 의해 완전하게 증명되었으며, 암호학 및 부호 이론 분야에 응용된다.

베유 군
베유 군
베유 군
정보
분야	수학
학교	파리 고등사범학교 로마 대학교 라 사피엔차
학위	박사
지도 학생	마이클 아티야 알렉산드르 그로텐디크 구스타프 드 라에르
주요 아이디어	베유 추측 타원 곡선 대수기하학 수론 군론
수상	울프상 (1979) 미국 국가 과학 훈장 (1979) 교토상 (1994)

2. 베유 군의 정의 및 기본 성질

기본류 ` $u_{E:F}\in H^2(E:F,A^F)$ `를 갖는 class formation의 '''베유 군'''은 유체론의 다양한 공식화, 특히 랭글랜즈 프로그램에 사용되는 일종의 수정된 갈루아 군이다.

베유 군은 군 코호몰로지의 원소를 중앙 확장으로 해석하여 정의된다. '' $E:F$ ''가 일반 레이어인 경우, '' $E:F$ ''의 (상대) 베유 군 $W_{E:F}$ 는 다음 확대로 주어진다.

: '' $1\rightarrow A^F\rightarrow W_{E:F}\rightarrow\text{Gal}(E:F)\rightarrow1$ ''

전체 베유 군은 모든 레이어 '' $E:F$ ''의 베유 군의 역극한으로 정의되며, '' $F$ ''의 경우 '' $G$ ''의 열린 부분 군이다. class formation의 상호 사상은 '' $A^G$ ''에서 베유 군의 아벨화로의 동형사상을 유도한다.

2. 1. 기본 정의

기본류 `

u_{E:F}\in H^2(E:F,A^F)

`를 갖는 class formation에서, `

E:F

`가 일반 레이어인 경우 `

E:F

`의 (상대) 베유 군 `

W_{E:F}

`는 `

H^2

`의 기본류 `

u_{E:F}\in H^2(\text{Gal}(E:F),A^F)

`에 해당하는 군 확대로 정의된다.

:`

1\rightarrow A^F\rightarrow W_{E:F}\rightarrow\text{Gal}(E:F)\rightarrow1

`

(두 번째 군 코호몰로지의 원소를 중앙 확장으로 해석한다.) 전체 베유 군은 모든 레이어 `

E:F

`의 베유 군의 역극한으로 정의된다.

2. 2. 상호 사상(Reciprocity Map)

class formation의 상호 사상

(G,A)

는

A^G

에서 베유 군의 아벨화(abelianization)로의 동형사상(isomorphism)을 유도한다.

3. 다양한 체에서의 베유 군

베유 군은 체의 종류에 따라 다른 형태를 가진다.

'''아르키메데스 국소체'''의 경우, 베유 군은 비교적 쉽게 설명된다.
'''유한체'''의 경우, 베유 군은 무한 순환군의 형태를 띤다.
'''국소체'''의 경우, 베유 군은 절대 갈루아 군의 부분군으로 나타난다.
'''함수체'''의 경우, 베유 군은 프로베니우스 자기동형사상의 거듭제곱으로 작용하는 원소들의 절대 갈루아 군의 부분군이다.
'''수체'''의 경우, 베유 군의 구성은 복잡하며, 베유 군에서 갈루아 군으로의 사상은 전사이고 그 핵은 베유 군의 항등원과 연결된 성분이다.

3. 1. 아르키메데스 국소체(Archimedean Local Field)

복소수체

\mathbb{C}

의 경우, 베유 군은 0이 아닌 복소수들의 곱셈군

\mathbb{C}^\times

이다. 실수체

\mathbb{R}

의 경우, 베유 군은

\mathbb{C}^\times

에 의한 갈루아 군의 2차 비분해 확대(non-split extension)이며, 0이 아닌 사원수(quaternion)의 부분 군

\mathbb{C}^\times \cup j\mathbb{C}^\times

로 표현된다.

3. 2. 유한체(Finite Field)

유한체의 경우 베유 군은 무한 순환군이며, 프로베니우스 자기동형사상에 의해 생성된다. 산술 프로베니우스와 같은 용어에 대한 특정 관례는 프로베니우스 또는 그 역수를 생성원으로 고정하는 것에서 유래한다.

3. 3. 국소체(Local Field)

표수

p>0

인 국소체의 경우, 베유 군은 상수 체(모든 유한 부분 체의 합집합)에서 프로베니우스 자기동형사상의 거듭제곱으로 작용하는 절대 갈루아 군의 부분 군이다.

p

-진 체의 경우 베유 군은 절대 갈루아 군의 조밀 부분 군이며, 잉여체의 갈루아 군에서 프로베니우스 자기동형사상의 적분 거듭제곱인 모든 원소로 구성된다.

보다 구체적으로, 이러한 경우 베유 군은 부분 공간 위상이 아닌 더 미세한 위상을 갖는다. 이 위상은 관성 부분군에 부분 공간 위상을 부여하고 베유 군의 개방형 부분 군이 되도록 정의된다. (결과적인 위상은 "locally profinite]]"이다.)

3. 4. 함수체(Function Field)

표수

p>0

인 대역체(함수체)의 경우 베유 군은 모든 유한 부분 체의 합집합인 상수 체에서 프로베니우스 자기동형사상의 거듭제곱으로 작용하는 원소들의 절대 갈루아 군의 부분 군이다.

3. 5. 수체(Number Field)

수체의 경우 확장을 구성하기 위해 여순환을 사용하지 않고는 베유 군의 "자연스러운" 구성이 알려진 바 없다. 베유 군에서 갈루아 군으로의 사상은 전사이며 그 핵은 베유 군의 항등원과 연결된 성분이므로 상당히 복잡하다.

4. 베유-들리뉴 군(Weil-Deligne Group)

비아르키메데스 국소체 ''K''의 '''베유-들리뉴 군'''(Weil–Deligne group^영어)은 1차원 가법 군 스킴 '' $G_a$ ''에 의한 베유 군 '' $W_K$ ''의 확대이다.

4. 1. 정의

베유 군은 가법 군에 다음과 같이 작용한다.

:

\displaystyle wxw^{-1} = ||w||x

여기서

w

는 ''q''차 잉여체에

a\rightarrow a^

로 작용하고,

||w||

는 q의 거듭제곱이다.^[1]

4. 2. 국소 랭글랜즈 대응(Local Langlands Correspondence)과의 관계

국소 랭글랜즈 대응(현재 증명됨)은 ''

K

''에 대한 ''

\text{GL}_n

''에 대하여 ''

\text{GL}_n(K)

''의 기약 허용 가능한 표현(irreducible admissible representation)의 동치류와 ''

K

''의 베유-들리뉴 군의 특정 ''n'' 차원 표현 사이에 자연스러운 전단사가 있음을 나타낸다.^[1]

4. 3. 표현(Representation)

베유-들리뉴 군은 종종 표현을 통해 나타난다. 이러한 경우 베유-들리뉴 군은

W_K\times\text{SL}(2,\mathbb{C})

또는

W_K\times\text{SU}(2,\mathbb{R})

로 여겨지거나, 단순히 제거되고

W_K

의 베유–들리뉴 표현이 대신 사용된다.^[1]

4. 4. 아르키메데스 경우

아르키메데스의 경우 베유-들리뉴 군은 단순히 베유 군으로 정의된다.^[1]

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